精品解析：2022年湖南省长沙市岳麓区长沙市麓山国际实验学校九年级中考全真模拟考试数学试题

长沙麓山国际实验学校2022届中考全真模拟测试 数学试卷 总分：120分时量：120分钟 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的相反数是（ ）． A. 2022 B. C. D. 2. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 国家智慧教育公共服务平台已于2022年3月28日正式上线，据统计，3月1日至25日试运行期间，最高日浏览量达64330000，其中数据64330000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程的变形，正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 5. 在2022年北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛中，中国选手谷爱凌通过第三跳的“1620”逆袭夺冠，六位裁判分别给出了95、95、93、94、94、95的分数，则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 95，93 B. 94，93 C. 95，94.5 D. 94，94.5 6. 如图，直线a∥b，将一个三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝48°，则∠2的度数是（ ） A. 40° B. 42° C. 48° D. 50° 7. 《中共中央国务院关于促进农民增加收入若干政策的意见》中提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”政策出台后，湖南陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口 、 、 的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点处 B. 三个角的平分线的交点处 C. 三角形三条高线的交点处 D. 三角形三条中线的交点处 8. 如图，在测量一个小口圆形容器的壁厚时，李师傅用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中O是AD、CB的中点，由三角形全等的知识可知只要测量A、B的距离，即得C、D的距离，便能计算出圆形容器的壁厚．请问李师傅得到△AOB≌△COD的依据是（ ） A. SAS B. SSS C. ASA D. HL 9. 《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，如某一问题：有一扇形田地，下周长（弧长）为米，径长（两段半径的和）为米，则该扇形田地的面积为（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 10. 图（1），在 中， ，点 从点 出发，沿三角形的边以/秒的速度逆时针运动一周，图（2）是点 运动时，线段 的长度 （ ）随运动时间 （秒）变化的关系图象，则图（2）中 点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分、不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 分解因式：________． 12. 若关于x的方程x2+3x﹣k＝0有一个解是1，则k的值是____． 13. 小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次，小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次是一正一反，则我赢．”判断该游戏_____（填“公平”或“不公平”）． 14. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是________米． 15. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至B，已知，则这名滑雪运动员的高度下降了_______米． 16. 一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力、、、，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是 ____同学． 三、解答题（本大题共有9小题，共72分．17、18、19每小题6分，20、21每小题8分，22、23每小题9分，24、25每小题10分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：（﹣1）2022＋﹣4sin45°＋|﹣2|． 18. 解不等式组：． 19. 如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中， 的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将 向右平移5个单位得到，画出； （2）将（1）中的绕点逆时针旋转90°得到，在旋转过程中，求点经过的路径长度． 20. 2022年3月23日下午，中国空间站“天宫课堂”再度开课，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富演示了太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验．某校学生全员观看了太空授课直播，为了了解学生心中“最受启发的实验”的情况，随机抽取了部分学生（每人只选择一个实验）进行调查，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分． 最受启发的实验 频数（人） 频率 A．“冰雪”实验 6 0.15 B．液桥演示实验 C．水油分离实验 D．太空抛物实验 0.35 根据以上信息，回答下列问题： （1）被调查的学生中，认为最受启发的实验是A的学生人数为______人，认为最受启发的实验是C的学生人数占被调查学生总人数的百分比为______%； （2）本次调查的样本容量为______，样本中认为最受启发的实验是D的学生人数为______人； （3）若该校共有1200名学生，请根据调查结果，估计认为最受启发的实验是B的学生人数． 21. 如图，在矩形 中，对角线 的垂直平分线分别与边的延长线交于点，垂足为点 ，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 22. 截至5月31日，全国累计报告接种新型冠状病毒疫苗超过33.8亿剂次，新冠疫苗接种加上有效个人防护，是当前新冠肺炎疫情防控的重要手段．为了满足市场需求，某公司计划投入大、小两种车间若干个共同生产同一种新型冠状病毒疫苗，已知1个大车间和2个小车间每周能生产疫苗共70万剂，2个大车间和1个小车间每周能生产疫苗共80万剂． （1）该公司每个大车间、小车间每周分别能生产疫苗多少万剂？ （2）现需要在一周内生产150万剂疫苗，请问如何安排车间生产恰好满足需求？ 23. 如图， 是 的直径，点C是 上异于A、B的点，连接，点D在的延长线上，且，点E在的延长线上，且． （1）求证：是 的切线； （2）若，，求的长． 24. 如图①，在 中， 于点，点E是 上一动点（不与点A，D重合），在内作矩形，点F在 上，点G，H在 上，设，连接 ． （1）求 的长； （2）设 的面积为，矩形的面积为，令，求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围） （3）如图②，点是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求面积的最小值，并说明理由． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为．点B为抛物线上一动点，连接， ，过点B的直线与抛物线交于另一点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）Q为y轴上一点，当周长最小时，求点Q的坐标及周长的最小值； （3）若点B的横坐标与纵坐标相等，，且点C位于x轴上方，求点C的坐标； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙麓山国际实验学校2022届中考全真模拟测试 数学试卷 总分：120分时量：120分钟 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的相反数是（ ）． A. 2022 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的定义选择即可． 【详解】解：因为只有符号不同的两个数互为相反数， 所以的相反数是， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数，熟记定义：只有符号不同的两个数互为相反数是解题关键． 2. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形． D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 3. 国家智慧教育公共服务平台已于2022年3月28日正式上线，据统计，3月1日至25日试运行期间，最高日浏览量达64330000，其中数据64330000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时， 是正整数；当原数的绝对值小于1时， 是负整数． 【详解】解：数据64330000用科学记数法表示为． 故选：B 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数，正确确定 的值以及 的值是解决问题的关键． 4. 下列方程的变形，正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、对于，等式两边同时减3，得，故本选项错误； B、对于，等式两边同时除以7，得 ，故本选项错误； C、对于，等式两边同时乘2，得 ，故本选项错误； D、对于，等式两边同时减3，得 ，故本选项正确． 5. 在2022年北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛中，中国选手谷爱凌通过第三跳的“1620”逆袭夺冠，六位裁判分别给出了95、95、93、94、94、95的分数，则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 95，93 B. 94，93 C. 95，94.5 D. 94，94.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数和众数的计算方法进行计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，把6个数由小到大排列， 93，94，94，95，95，95， 则众数为：95，中位数为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了众数和中位数，解题的关键是熟练掌握众数和中位数的计算方法进行求解． 6. 如图，直线a∥b，将一个三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝48°，则∠2的度数是（ ） A. 40° B. 42° C. 48° D. 50° 【答案】B 【解析】 【分析】由对顶角相等，根据∠1的度数求出∠3的度数，再由a与b平行，得到同旁内角互补，再由∠4为直角，求出∠2的度数即可． 【详解】解：∵∠1=∠3，∠1=48°， ∴∠3=48°， ∵a∥b， ∴∠3+∠4+∠2=180°， ∵∠4=90°， ∴48°+90°+∠2=180°， ∴∠2=42°． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键． 7. 《中共中央国务院关于促进农民增加收入若干政策的意见》中提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”政策出台后，湖南陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口 、 、 的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点处 B. 三个角的平分线的交点处 C. 三角形三条高线的交点处 D. 三角形三条中线的交点处 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解： 电动车充电桩到三个出口的距离都相等， 充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处， 故选：A． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 8. 如图，在测量一个小口圆形容器的壁厚时，李师傅用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中O是AD、CB的中点，由三角形全等的知识可知只要测量A、B的距离，即得C、D的距离，便能计算出圆形容器的壁厚．请问李师傅得到△AOB≌△COD的依据是（ ） A. SAS B. SSS C. ASA D. HL 【答案】A 【解析】 【分析】根据利用中点定义和对顶角相等证得OA=OD，OB=OC，∠AOB=∠DOC，根据全等三角形的判定SAS证明三角形△AOB≌△DOC即可． 【详解】解：连接AB， ∵O是AD、CB的中点， ∴OA=OD，OB=OC，又∠AOB=∠DOC， ∴△AOB≌△DOC（SAS）， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、对顶角相等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键． 9. 《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，如某一问题：有一扇形田地，下周长（弧长）为米，径长（两段半径的和）为米，则该扇形田地的面积为（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是扇形的面积计算，解题关键是熟练掌握扇形的面积计算公式． 首先求得半径的长，然后利用扇形面积公式即可求解． 【详解】解： 径长（两段半径的和）为米， 半径长为 米， 又下周长（弧长）为米， 该扇形田地的面积． 故选：． 10. 图（1），在 中， ，点 从点 出发，沿三角形的边以/秒的速度逆时针运动一周，图（2）是点 运动时，线段 的长度 （ ）随运动时间 （秒）变化的关系图象，则图（2）中 点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图象及题意易得AB=8cm，AB+BC=18cm，则有BC=10cm，当x=13s时，点P为BC的中点，进而根据直角三角形斜边中线定理可求解． 【详解】解：由题意及图象可得： 当点P在线段AB上时，则有，AP的长不断增大，当到达点B时，AP为最大，所以此时AP=AB=8cm； 当点P在线段BC上时，由图象可知线段 的长度 先随运动时间 的增大而减小，再随运动时间 的增大而增大，当到达点C时，则有AB+BC=18cm，即BC=10cm，由图象可知当时间为13s时，则BP=13-8=5cm，此时点P为BC的中点，如图所示： ∵ ， ∴， ∴ 点的坐标是； 故选C． 【点睛】本题主要考查勾股定理、直角三角形斜边中线定理及函数图象，解题的关键是根据函数图象得到相关信息，然后进行求解即可． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分、不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用提取公因式法进行因式分解即可得． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法是解题关键． 12. 若关于x的方程x2+3x﹣k＝0有一个解是1，则k的值是____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，将x＝1代入原方程中，可求k的值． 【详解】解：依题意，当x＝1时，原方程为1+3﹣k＝0， 解得k＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，掌握方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值是解题关键． 13. 小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次，小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次是一正一反，则我赢．”判断该游戏_____（填“公平”或“不公平”）． 【答案】不公平 【解析】 【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． 【详解】解：所有可能出现的结果如下表所示： 正 反 正 （正，正） （正，反） 反 （反，正） （ 反，反） 因为抛两枚硬币，所有机会均等的结果为：正正，正反，反正，反反， 所以出现两个正面的概率为，一正一反的概率为＝， 因为二者概率不等，所以游戏不公平． 故答案为：不公平． 【点睛】本题考查用列表法或树状图表示概率，从而判断游戏是否公平，掌握列表法或树状图是解题关键. 14. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是________米． 【答案】 【解析】 【分析】连接 交 于 ，连接 ，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出 ，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：连接 交 于 ，连接 ， 点 为运行轨道的最低点， ， （米， 在中，（米， 点 到弦 所在直线的距离米， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 15. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至B，已知，则这名滑雪运动员的高度下降了_______米． 【答案】50 【解析】 【分析】过点A作AD⊥BD于点D，根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作AD⊥BD于点D， 根据题意得：∠B=30°， ∵AD⊥BD，， ∴米， 即这名滑雪运动员的高度下降了50米． 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 16. 一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力、、、，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是 ____同学． 【答案】乙 【解析】 【分析】利用杠杆原理，得到力的大小与对杆的压力的作用点到支点的距离成反比关系，再通过比较力的大小，即可得到正确答案． 【详解】解：根据杠杆平衡原理：阻力阻力臂 动力动力臂可得， ∵阻力阻力臂是个定值，即水桶的重力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变， 即：力的大小与对杆的压力的作用点到支点的距离成反比关系 ∴动力越小，动力臂越大，即拉力越小，压力的作用点到支点的距离越远， ∵最小， ∴乙同学到支点的距离最远． 故答案为：乙． 【点睛】本题主要是考查了反比例函数的实际应用，利用反比关系，比较不同量的大小，熟练掌握反比关系，是求解该题的关键． 三、解答题（本大题共有9小题，共72分．17、18、19每小题6分，20、21每小题8分，22、23每小题9分，24、25每小题10分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：（﹣1）2022＋﹣4sin45°＋|﹣2|． 【答案】3 【解析】 【分析】先计算乘方、化简平方根、计算特殊角的三角函数值、去绝对值，再进行合并即可． 【详解】原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，特殊角的三角函数值，绝对值的化简等知识，熟练运用各自的运算法则化简是解题的关键． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别解一元一次不等式，再由不等式组解集求法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”求解即可． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为． 19. 如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中， 的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将 向右平移5个单位得到，画出； （2）将（1）中的绕点逆时针旋转90°得到，在旋转过程中，求点经过的路径长度． 【答案】（1）； （2） ． 【解析】 【分析】（1）将点A、B、C分别向右平移5个单位得到、、，顺次连接三个顶点，得到； （2）根据绕点逆时针旋转90°得到，得到点的运动路径是以点为圆心、以长为半径的圆弧，根据弧长公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，即为所求作．点经过的路径长度为 ． 20. 2022年3月23日下午，中国空间站“天宫课堂”再度开课，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富演示了太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验．某校学生全员观看了太空授课直播，为了了解学生心中“最受启发的实验”的情况，随机抽取了部分学生（每人只选择一个实验）进行调查，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分． 最受启发的实验 频数（人） 频率 A．“冰雪”实验 6 0.15 B．液桥演示实验 C．水油分离实验 D．太空抛物实验 0.35 根据以上信息，回答下列问题： （1）被调查的学生中，认为最受启发的实验是A的学生人数为______人，认为最受启发的实验是C的学生人数占被调查学生总人数的百分比为______%； （2）本次调查的样本容量为______，样本中认为最受启发的实验是D的学生人数为______人； （3）若该校共有1200名学生，请根据调查结果，估计认为最受启发的实验是B的学生人数． 【答案】（1）6，30； （2）40，14； （3）240人． 【解析】 【分析】（1）分析图表即可知正确答案； （2）利用A所占的频数为：6，频率为：0.15，可以求出样本容量，利用D所占的频率为：0.35，可以求出样本中认为最受启发的实验是D的学生人数； （3）利用A、C、D各自所占的频数，求出B所占的频数，进一步估计出全校认为最受启发的实验是B的学生人数． 【小问1详解】 解：由图表可知： 认为最受启发的实验是A的学生人数为6人，认为最受启发的实验是C的学生人数占被调查学生总人数的百分比为30%； 【小问2详解】 解：∵A所占的频数为：6，频率为：0.15， ∴本次调查的样本容量为， ∵D所占的频率为：0.35， ∴样本中认为最受启发的实验是D的学生人数为（人）； 【小问3详解】 解：∵A所占的频数为6，C所占的频数为：，D所占的频数为：14， ∴B所占的频数为：， ∴认为最受启发的实验是B的学生人数为：（人） 【点睛】本题考查频数，频率，样本容量，样本所占比求总体数量．比较简单，解题的关键是理解题意，结合图表进行分析计算． 21. 如图，在矩形 中，对角线 的垂直平分线分别与边的延长线交于点，垂足为点 ，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过三角形全等，求证出四边相等进而得出四边形是菱形； 通过求证，利用对应边成比例进而求出 的长，再利用勾股定理、平行四边形的性质求出 ，即可解答． 【小问1详解】 证明∶ 是 的垂直平分线， ， ∵四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及菱形的判定、相似三角形对应边成比例．解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 22. 截至5月31日，全国累计报告接种新型冠状病毒疫苗超过33.8亿剂次，新冠疫苗接种加上有效个人防护，是当前新冠肺炎疫情防控的重要手段．为了满足市场需求，某公司计划投入大、小两种车间若干个共同生产同一种新型冠状病毒疫苗，已知1个大车间和2个小车间每周能生产疫苗共70万剂，2个大车间和1个小车间每周能生产疫苗共80万剂． （1）该公司每个大车间、小车间每周分别能生产疫苗多少万剂？ （2）现需要在一周内生产150万剂疫苗，请问如何安排车间生产恰好满足需求？ 【答案】（1）该公司每个大车间、小车间每周分别能生产疫苗30万剂、20万剂； （2）方案一：安排大车间1个，小车间6个；方案二：安排大车间3个，小车间3个；方案三：安排大车间5个，小车间0个 【解析】 【分析】（1）设该公司每个大车间每周能生产 万剂疫苗，每个小车间每周能生产 万剂疫苗，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）设安排个大车间， 个小车间生产恰好满足需求，列出二元一次方程，求出非负整数解即可. 【小问1详解】 解：设该公司每个大车间每周能生产 万剂疫苗，每个小车间每周能生产 万剂疫苗，由题意， ，解得， 答：该公司每个大车间、小车间每周分别能生产疫苗30万剂、20万剂； 【小问2详解】 解：设安排个大车间， 个小车间生产恰好满足需求，则： ， ∵为非负整数， 解得，，， 故有3种方案：方案一：安排大车间1个，小车间6个；方案二：安排大车间3个，小车间3个；方案三：安排大车间5个，小车间0个． 23. 如图，是 的直径，点C是 上异于A、B的点，连接，点D在的延长线上，且，点E在的延长线上，且． （1）求证：是 的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵是 的直径， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴是 的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，等边对等角结合圆周角定理，推出，即可得证； （2）设，则，，再根据相似三角形的判定证出，然后根据相似三角形的性质求出 的值，由此即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 设，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 24. 如图①，在 中， 于点，点E是 上一动点（不与点A，D重合），在内作矩形，点F在 上，点G，H在 上，设，连接 ． （1）求 的长； （2）设 的面积为，矩形的面积为，令，求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围） （3）如图②，点是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求面积的最小值，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）最小值为 ，理由如下： 过 作于点 ，于点 ， 则，， ， 设， ，即， ，解得， ∴ ， 所以，当时，面积取得最小值，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理计算边长即可； （2）先根据等腰直角三角形以及直角三角形得出，，代入化简即可； （3）设l：，则，当面积的最小时，两个函数图像仅有一个交点，列出面积的表达式求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ， ∴， 【小问2详解】 解：由（1）知，则为等腰直角三角形， ， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴在 中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为．点B为抛物线上一动点，连接，，过点B的直线与抛物线交于另一点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）Q为y轴上一点，当周长最小时，求点Q的坐标及周长的最小值； （3）若点B的横坐标与纵坐标相等，，且点C位于x轴上方，求点C的坐标； 【答案】（1）； （2）当点Q坐标为，此时周长的最小，最小值为； （3）点C的坐标为或； 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把点代入即可求解； （2）作点P关于y轴的对称点，连接，交y轴于点Q，点Q即为所求点，周长，当点A，，Q三点共线时，的周长最小，求出直线的解析式，得到点Q的坐标，求出，，得到周长的最小值； （3）求得或，分两种情况讨论，①当点B的坐标为时，过点B作交抛物线于点C，利用待定系数法求得直线 的解析式为，解方程组即可求解；②点B的坐标为时，作出如图的辅助线，利用三角形函数以及轴对称的性质求得，同①可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过原点O，即经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，作点P关于y轴的对称点，连接，交y轴于点Q，点Q即为所求点， ∵， ∴的周长， ∴当点A，，Q三点共线时，的周长最小， ∵， ∴， 令 ，则， 解得 或， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵，， 此时周长的最小值为； 【小问3详解】 解：在中，令， 得：， 解得 或， ∴或， ①当点B的坐标为时，过点B作交抛物线于点C， 此时，如图： 在中，令 ， 得：， 解得： 或， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得 ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线 的解析式为， 将代入得， ∴直线 的解析式为， 由， 得：(此点为点O，舍去)或， ∴点C的坐标为； ②点B的坐标为时，过点P作轴于点Q，过点B作轴于点H，作H关于的对称点M，作直线 交抛物线于C，连接 ，如图： ∵，， ∴，， 在中，， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∵H关于的对称点为M， ∴， ∴，即C为满足条件的点， 设， ∵H关于的对称点为M， ∴，， ∴ 两式相减得：，代入即可解得： (此点为点H，舍去)或， ∴， 同理求得 的解析式为：， 解得：(此点为点B，舍去)或， ∴点C的坐标为； 综上，点C的坐标为或； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $