精品解析：2022年 湖南省长沙市中考数学模拟调研会考试卷

2022年湖南省长沙市数学模拟调研会考试卷 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷．第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置．第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置．答案写在试卷上均无效，不予记分． 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 以下四幅图案，其中图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 要在算式的“”中，填入一个适当的运算符号，使计算结果最大，应填入（　　） A. B. C. D. 3. 2016年，义乌市经济总体平稳，全年实现地区生产总值1118亿元． 将1118亿元用科学记数法表示应为（单位：元）（ ） A. 1.118×1010 B. 1.118×1011 C. 1.118×1012 D. 1.118×1013 4. 下列式子变形正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 已知，如图是由一些小立方体组合成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4．若点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH的面积为（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 6 7. 已知点（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）都在函数y=3x－7的图像上，若数据x1，x2，x3的平均数为3，方差为2， 则另一组数据y1、y2、y3的平均数和方差分别为( ) A. 3，2 B. 2，2 C. 2，18 D. 3，6 8. 如图，在 中，，， ，则下列结论不正确的是（ ） ​​​​​​​ A. B. C. D. 9. 如果多项式可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 10. “恒盛”超市购进一批大米，大米的标准包装为每袋30kg，售货员任选6袋进行了称重检验，超过标准重量的记作“”，不足标准重量的记作“”，他记录的结果是，，，，，，那么这6袋大米重量的平均数和极差分别是 A. 0， B. ，1 C. 30， D. ，0 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 已知a2+＝4a﹣4，则的平方根是______________． 12. 观察下列等式： ； ； ． 计算：______． 13. ___边形内角和为． 14. 已知一个口袋中装有四个除所标数字外其余均完全相同的小球，小球上分别标有，0，1，2四个数，搅匀后一次从中摸出两个小球，将小球上的数分别用a，b表示，将a、b代入方程组，则方程组有解的概率是___________． 15. 如图，已知等腰 中，，，E是上的一个动点，将沿着 折叠到处，再将边 折叠到与重合，折痕为，当是等腰三角形时，的长是 ______________________． 16. 抛物线的对称轴是___． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 求下列各式的值 （1）； （2）； （3）． 18. （1）化简： （2）解不等式组． 19. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）在网格中画； （2）线段 的长为______，的长为______； （3）请用无刻度的直尺画出边上的高； （4）边上的高的长为______． 20. 某校为迎接体育中考，了解学生的体育情况，学校随机调查了本校九年级50名学生“30秒跳绳”的次数，并将调查所得的数据整理如下： 成绩段 频数 频率 5 0.1 10 a b 0.14 m c 12 n 根据以上图表信息，解答下列问题： （1）表中______，______； （2）请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应的数据） （3）若该校九年级共有1200名学生，请你估计“30秒跳绳”的次数60次以上（含60次）的学生有多少人？ 21. 温润有度，为爱加温．近年来设计精巧、物美价廉的暖风机逐渐成为人们冬天必备的“取暖神器”，今年11月下旬某商场计划购进A、B两种型号的暖风机共900台，每台 型号暖风机售价为600元，每台B型号暖风机售价为900元． （1）若要使得A、B两种型号暖风机的销售额不低于69万元，则至多购进多少台A型号暖风机？ （2）由于质量超群、品质卓越，11月下旬购进的A、B两种型号的暖风机全部售完．该商场在12上旬又购进了A、B两种型号的暖风机若干台，并且进行“双12”促销活动，每台 型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠，A型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最高购进量增加，每台B型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠，B型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最低购进量增加a%， 、 两种型号的暖风机在12月上旬的销售额比（1）问中最低销售额增加了，求 的值． 22. 如图，一次函数（k＜0）与反比例函数的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1），B（n,2) （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）写出 >时，的取值范围． 23. 在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知压柄BC的长度为15cm，BD＝5cm，压柄与托板的长度相等． （1）当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度； （2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．tan37°≈0.75） 24. 已知关于x的方程的某个解与方程 ＝4的解相同． （1）求k的值： （2）求方程的另一个解． 25. 已知在扇形AOB中，圆心角∠AOB＝120°，半径OA＝OB＝8． （1）如图1，过点O作OE⊥OB，交弧AB于点E，再过点E作EF⊥OA于点F，求FO的长，∠FEO的度数； （2）如图2，设点P为弧AB上的动点，过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，点M，N分别在半径OA，OB上，连接MN，则 ①求点P运动的路径长是多少？ ②MN的长度是否是定值？如果是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； （3）在（2）中的条件下，若点D是△PMN的外心，直接写出点D运动的路经长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年湖南省长沙市数学模拟调研会考试卷 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷．第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置．第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置．答案写在试卷上均无效，不予记分． 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 以下四幅图案，其中图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义逐一分析即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 2. 要在算式的“”中，填入一个适当的运算符号，使计算结果最大，应填入（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，有理数的大小比较，先把各符号代入一一计算，然后再比较结果计算即可． 【详解】解：当填入时：， 当填入时：， 当填入时：， 当填入时，， ∵， 则当填入时，使计算结果最大， 故选：C． 3. 2016年，义乌市经济总体平稳，全年实现地区生产总值1118亿元． 将1118亿元用科学记数法表示应为（单位：元）（ ） A. 1.118×1010 B. 1.118×1011 C. 1.118×1012 D. 1.118×1013 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，n的值取决于原数变成a时，小数点移动的位数，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：1118亿＝1.118×1011． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键． 4. 下列式子变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式，二次根式的性质，积的乘方分别求出每个式子的值，再得出答案即可. 【详解】解：A、结果是a2+2ab+b2，故本选项不符合题意； B、结果是|a|，故本选项不符合题意； C、结果是a2b2，故本选项符合题意； D、不一定等于，如a＝1，b＝4时，＝，＝1+2＝3，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了整式的化简，准确应用完全平方公式、二次根式的性质、积的乘方是解题的关键． 5. 已知，如图是由一些小立方体组合成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】俯视图是从上面看到的图形，据此可得答案． 【详解】解：由题意得该立体图形的俯视图分为上下两层，上面一层有三个并排的小正方形，下面一层，最右边有一个小正方形，即俯视图如下：  ． 6. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4．若点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH的面积为（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】连接AC、BD交于O，根据三角形中位线性质得到EH∥BD，FG∥BD，EF∥AC，HG∥AC，推出四边形EFGH是平行四边形，求得∠HEF＝90°，得到四边形EFGH是矩形，解直角三角形得到AC＝AB＝4，BD＝，于是得到结论． 【详解】连接AC、BD交于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点， ∴EH∥BD，FG∥BD，EF∥AC，HG∥AC， ∴EH∥FG，EF∥HG， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∴∠BAO+∠ABO＝90°， ∵∠AEO＝∠ABO，∠BEF＝∠EAO， ∴∠AEO+∠BEF＝90°， ∴∠HEF＝90°， ∴四边形EFGH是矩形， ∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝4，， ∴， ∴， ∴四边形EFGH的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质、三角形中位线定理是解题的关键． 7. 已知点（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）都在函数y=3x－7的图像上，若数据x1，x2，x3的平均数为3，方差为2， 则另一组数据y1、y2、y3的平均数和方差分别为( ) A. 3，2 B. 2，2 C. 2，18 D. 3，6 【答案】C 【解析】 【分析】根据数据的变化和其平均数及方差的变化规律即可求解新数据的平均数与方差. 【详解】∵当每一组数据的每一个数据发生变化其平均数也会发生变化， ∵y=3x－7 ∴另一组数据y1、y2、y3的平均数是x1，x2，x3的平均数的3倍减7， ∵数据x1，x2，x3的平均数为3， ∴数据y1、y2、y3的平均数是3×3-7=2， ∵当一组数据同时加上一个常数不影响方差，乘以一个常数则其方差变为原来的常数的平方倍， ∴数据y1、y2、y3的方差是32×2=18， 故选C. 【点睛】此题主要考查数据的平均数，方差的变化，解题的关键是熟知数据变化的规律. 8. 如图，在 中，，，，则下列结论不正确的是（ ） ​​​​​​​ A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等腰三角形三线合一得到，，，由直角三角形斜边中线的性质得到，证明，证明，，求出． 【详解】解：∵，，， ∴，，，故A正确； ∴，故C正确； 又∵， ∴，故B正确； ∴， ∴，， ∴， ∴，故D错误． 9. 如果多项式可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，结合十字相乘法，先整理出把12分成2个整数因数的积的形式的情况，进而即可得到对应的p值情况． 【详解】解：设12可分成，则（m，n同号，且为整数）， 当或或时，有或或， ∴， ， ， ， ， ， 共6个值． 故选C． 10. “恒盛”超市购进一批大米，大米的标准包装为每袋30kg，售货员任选6袋进行了称重检验，超过标准重量的记作“”，不足标准重量的记作“”，他记录的结果是，， ，，，，那么这6袋大米重量的平均数和极差分别是 A. 0， B. ，1 C. 30， D. ，0 【答案】C 【解析】 【分析】平均数是所有数据的和除以数据的个数，极差是所有数据的最大值减去最小值，据此求解即可． 【详解】解：平均数：， 极差：， 故选：C． 【点睛】本题考查了平均数，极差，有理数的混合运算，以及用正负数表示一对具有相反意义的量，正确求得平均数是关键． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 已知a2+＝4a﹣4，则的平方根是______________． 【答案】 【解析】 【分析】把原式整理为a2-4a+4+＝0，根据非负数的性质求出a，b的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：因为a2+＝4a﹣4， a2-4a+4+＝0， ， a﹣2＝0，b﹣2＝0， 解得a＝2，b＝2， ∴， ∴的平方根是 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查完全平方公式,非负数的非负性质和平方根的定义,解决本题的关键是要熟练掌握完全平方公式,非负数的非负性质和平方根的定义. 12. 观察下列等式： ； ； ． 计算：______． 【答案】## 【解析】 【详解】解： ． 13. ___边形内角和为． 【答案】九 【解析】 【分析】根据n边形内角和公式，列出方程，即可求解． 【详解】设n边形内角和为， 由题意得：180×（n-2）=1260，解得：n=9． 故答案是：九． 【点睛】本题主要考查多边形的边数，掌握多边形的内角和公式，是解题的关键． 14. 已知一个口袋中装有四个除所标数字外其余均完全相同的小球，小球上分别标有，0，1，2四个数，搅匀后一次从中摸出两个小球，将小球上的数分别用a，b表示，将a、b代入方程组，则方程组有解的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定所有等可能的结果，再根据二元一次方程组有解的条件筛选出符合条件的结果，最后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：解方程组， 由第一个方程得， 将整理后的式子，代入第二个方程得， 整理得， 当即时，方程左边为 ， 此时由，可知， ∴右边，即方程右边与方程左边不相等，方程组无解， ∴方程组有解的概率，即抽取的两个小球上的数字之积不为的概率， 由题意，列表如下： a b 0 1 2 / 0 0 0 / 0 0 1 0 / 2 2 0 2 / 由表可知，共有12种等可能的情况，其中满足的情况共种，因此方程组有解的情况有种， ∴方程组有解的概率为． 15. 如图，已知等腰 中，，，E是 上的一个动点，将沿着 折叠到处，再将边 折叠到与 重合，折痕为，当是等腰三角形时， 的长是 ______________________． 【答案】5或或或10 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，由折叠的性质可得，分三种情况讨论，利用全等三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：∵将沿着 折叠到处，再将边 折叠到与 重合，折痕为， ∴， ①当时，且点F在边 上时，是等腰三角形，如图1， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 垂直平分 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在 的延长线上时，是等腰三角形，如图， 由折叠得：，，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图2，作，连接 ，延长 交 于N， ∵， ∴， ∴， ∵将沿着 折叠到处，再将边 折叠到与 重合，折痕为， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴，且， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； ③若，如图3，过点A作于H，延长交 于M， 同理可求， ∴， 故答案为：5或或或10． 16. 抛物线的对称轴是___． 【答案】直线 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴公式即可求解． 【详解】解：对称轴为直线， 即直线 故答案为：直线． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 求下列各式的值 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了特殊三角函数值的运算，熟悉掌握特殊角的三角函数值的大小是解题的关键． （1）根据，代入运算即可； （2）根据，，代入运算即可； （3）根据，代入运算即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ； 【小问3详解】 ， ， ． 18. （1）化简： （2）解不等式组． 【答案】（1）a；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，熟练掌握分式的运算法则、解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键． （1）先根据分式的性质把括号内的化为同分母的分式，并将除法转化为乘法，再进行计算即可； （2）分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后再找出公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式 ； （2）由①可得： 由②去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为1得： 不等式组的解集为：． 19. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）在网格中画； （2）线段 的长为______， 的长为______； （3）请用无刻度的直尺画出边上的高； （4）边上的高的长为______． 【答案】（1）如图， 即为所求， （2） （3）如图，即为所求， （4） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形即可； （2）利用网格，勾股定理解答即可； （3）取格点T，连接与线段 交于点T，线段即为所求； （4）利用面积法解答即可． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 ，， ， ， ，即， 解得：． 20. 某校为迎接体育中考，了解学生的体育情况，学校随机调查了本校九年级50名学生“30秒跳绳”的次数，并将调查所得的数据整理如下： 成绩段 频数 频率 5 0.1 10 a b 0.14 m c 12 n 根据以上图表信息，解答下列问题： （1）表中______，______； （2）请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应的数据） （3）若该校九年级共有1200名学生，请你估计“30秒跳绳”的次数60次以上（含60次）的学生有多少人？ 【答案】（1）0.2；7 （2） （3）672人 【解析】 【分析】（1）根据频数 总数频率列式求解即可； （2）求出b的值，再补全频数分布直方图即可； （3）用1200乘以样本中“30秒跳绳”的次数60次以上（含60次）的学生人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得， 【小问2详解】 解：, 补全频数分布直方图见答案； 【小问3详解】 解：人， 答：估计“30秒跳绳”的次数60次以上（含60次）的学生有672人． 21. 温润有度，为爱加温．近年来设计精巧、物美价廉的暖风机逐渐成为人们冬天必备的“取暖神器”，今年11月下旬某商场计划购进A、B两种型号的暖风机共900台，每台 型号暖风机售价为600元，每台B型号暖风机售价为900元． （1）若要使得A、B两种型号暖风机的销售额不低于69万元，则至多购进多少台A型号暖风机？ （2）由于质量超群、品质卓越，11月下旬购进的A、B两种型号的暖风机全部售完．该商场在12上旬又购进了A、B两种型号的暖风机若干台，并且进行“双12”促销活动，每台 型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠，A型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最高购进量增加，每台B型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠，B型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最低购进量增加a%， 、 两种型号的暖风机在12月上旬的销售额比（1）问中最低销售额增加了，求 的值． 【答案】（1）至多购进400台A型号暖风机 （2）a的值为12.5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设购进 台 型号暖风机，则购进台 型号暖风机，根据总价 单价数量结合销售额不低于69万元，即可得出关于 的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论； （2）根据总价 单价数量，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设购进 台 型号暖风机，则购进台 型号暖风机， 依题意，得：， 解得：． 答：至多购进400台 型号暖风机． 【小问2详解】 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答： 的值为12.5． 22. 如图，一次函数（k＜0）与反比例函数的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1），B（n,2) （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）写出 >时， 的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为y=；； （2）x<0或． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数的解析式，然后根据解析式求出B点的坐标，最后根据A、B的坐标求解一次函数的解析式； （2）结合图像，根据（1）所求点的坐标直接可写出结果． 【小问1详解】 解：∵点A（4，1）在反比例函数的图象上， ∴m=4×1=4， ∴反比例函数的解析式为y=． ∵点B在反比例函数y=的图象上， ∴将点B的坐标为（n，2）代入y=得n=2． ∴B（2,2)， 将点A（4，1），B（2,2)分别代入y=kx+b，得， 解得， ∴一次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：由图象可知，当 >时， <0或． 【点睛】此题主要考查一次函数与反比例函数综合，解题的关键是熟知待定系数法及图象的特点求解不等式． 23. 在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知压柄BC的长度为15cm，BD＝5cm，压柄与托板的长度相等． （1）当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度； （2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．tan37°≈0.75） 【答案】（1）连接杆DE的长度为3cm（2）这个过程中点E滑动的距离为（16﹣）cm 【解析】 【分析】（1）作DH⊥BE于H，在Rt△BDH中用三角函数算出DH和BH，再求出EH，在三角形DEH中用勾股定理即可求得DE；（2）作DH⊥AB的延长线于点H，在Rt△DBH和Rt△DEH中，用三角函数分别求出BH，DH，EB的长，从而可求得 点E滑动的距离． 【详解】（1）如图①，作DH⊥BE于H， 在Rt△BDH中，∠DHB＝90°，BD＝5，∠ABC＝37°， ∴= sin37°，＝cos37°， ∴DH＝5sin37°≈5×0.6＝3（cm），BH＝5cos37°＝5×0.8＝4（cm）． ∵AB＝BC＝15cm，AE＝2cm， ∴EH＝AB﹣AE﹣BH＝15﹣2﹣4＝9（cm）， ∴DE＝ 答：连接杆DE的长度为 cm． （2）如图②，作DH⊥AB的延长线于点H， ∵∠ABC＝127°， ∴∠DBH＝53°，∠BDH＝37°， 在Rt△DBH中，＝sin37°＝0.6， ∴BH＝3cm， ∴DH＝4cm， 在Rt△DEH中，EH2+DH2＝DE2， ∴（EB+3）2+16＝90， ∴EB＝（）（cm）， ∴点E滑动的距离为：15﹣（）﹣2＝（16﹣）（cm）． 答：这个过程中点E滑动的距离为（16﹣）cm． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，正确构造直角三角形是解决问题的关键. 24. 已知关于x的方程的某个解与方程 ＝4的解相同． （1）求k的值： （2）求方程的另一个解． 【答案】（1）k＝3；（2）x＝1 【解析】 【分析】（1）第二个方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验确定出分式方程的解，代入第二个方程求出k的值即可； （2）将k的值代入第一个方程，求出解即可确定出另一解． 【详解】解：(1)方程＝4 去分母得：2x+1=4−4x， 移项合并得6x=3， 解得：x=， 经检验是分式方程的解， 将x=代入 得：， 解得：k=3； (2)将k=3代入得：， 分解因式得：(2x−1)(x−1)=0， 可得2x−1=0或x−1=0， 解得：， 则另一解为1. 【点睛】此题主要考查方程解的意义及同解方程、解分式方程和一元二次方程等知识，注意可以运用根与系数的关系使运算简便. 25. 已知在扇形AOB中，圆心角∠AOB＝120°，半径OA＝OB＝8． （1）如图1，过点O作OE⊥OB，交弧AB于点E，再过点E作EF⊥OA于点F，求FO的长，∠FEO的度数； （2）如图2，设点P为弧AB上的动点，过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，点M，N分别在半径OA，OB上，连接MN，则 ①求点P运动的路径长是多少？ ②MN的长度是否是定值？如果是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； （3）在（2）中的条件下，若点D是△PMN的外心，直接写出点D运动的路经长． 【答案】（1）OF＝4，∠FEO＝60°，（2）①点P运动的路径长为；②MN＝4，是定值；（3）点D运动的路经长为． 【解析】 【分析】（1）先求出∠AOE，即可得出结论； （2）①当点M与点O重合时，∠PMB＝30°，当点N与点O重合时，∠PNA＝30°，进而求出点P运动路径所对的圆心角是120°﹣30°﹣30°＝60°，最后用弧长公式即可得出结论； ②先判断出点P，M，O，N四点均在同一个圆，即⊙H上，进而求出MK＝2，即可得出结论； （3）先判断出三角形PMN的外接圆的圆心的运动轨迹，最后根据弧长公式即可得出结论． 【详解】（1）∵OE⊥OB， ∴∠BOE＝90°， ∵∠AOB＝120°， ∴∠AOE＝30°， ∵EF⊥OA， ∴∠EFO＝90°， 在Rt△EFO中，OE＝OB＝8． ∴OF＝OE•cos30°＝4，∠FEO＝90°﹣30°＝60°， 故答案为4，60； （2）①点P在弧AB上运动，其路径也是一段弧，由题意可知， 当点M与点O重合时，∠PMB＝30°， 当点N与点O重合时，∠PNA＝30°， ∴点P运动路径所对的圆心角是120°﹣30°﹣30°＝60°， ∴点P运动的路径长＝； ②是定值； 如图1，连接PO，取PO的中点H，连接MH，NH， ∵在Rt△PMO和Rt△PNO中，点H是斜边PO的中点， ∴MH＝NH＝PH＝OH＝PO＝4， ∴根据圆的定义可知，点P，M，O，N四点均在同一个圆，即⊙H上， 又∵∠MON＝120°，∠PMO＝∠PNO＝90°， ∴∠MPN＝60°，∠MHN＝2∠MPN＝120°， 过点H作HK⊥MN，垂足为点K， 由垂径定理得，MK＝KN＝MN， ∴在Rt△HMK中，∠MHK＝60°，MH＝4，则MK＝2， ∴MN＝2MK＝4，是定值． （3）由（2）知，点P，M，O，N四点共圆， ∴H是△PMN的外接圆的圆心， 即：点H和点D重合， ∴OD＝PD， ∴点D是以点O为圆心OP＝4为半径， ∵点P运动路径所对的圆心角是120°﹣30°﹣30°＝60°， ∴点D运动路径所对的圆心角是120°﹣30°﹣30°＝60°， ∴点D运动的路经长为． 【点睛】 圆的综合题，主要考查了垂直的定义，直角三角形的性质，锐角三角函数，四点共圆的方法，弧长公式，垂径定理，判断出点P，M，O，N四点均在同一个圆，即⊙H上是解本题的根据． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $