2025-2026学年北师大版八年级下册数学期末模拟试题2

**基本信息** 本试卷聚焦八年级数学核心知识，通过几何探究（如23题等腰三角形中点连线）、实际应用（如22题“包子计划”经济问题）等设计，分层考查抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称图形、因式分解、分式方程|结合图形辨析与概念理解，考查几何直观| |填空题|5/15|角平分线性质、一次函数解集、二次根式意义|融入动态旋转（14题正六边形旋转角），体现空间观念| |解答题|8/75|不等式组求解、几何证明、函数建模（22题）、综合探究（23题）|22题“包子计划”多任务情境发展模型意识；23题从特例到一般探究，培养推理能力与创新意识|

2025~2026学年第二学期中小学期末学业水平监测 八年级数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.B 【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项符合题意； ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项不符合题意； 2.C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断各选项即可. 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、等式的右边不是积的形式，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式的右边不是整式的积的形式，不符合题意. 3.C 【分析】已知是分式方程的根，将代入原方程，即可解出的值． 【详解】解：∵是分式方程的根， ∴将代入原方程可得 化简得， 解得． 4.A 【分析】根据“空心圆圈表示不包含该点，实心点表示包含该点；大于向右画，小于向左画，不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分”求解． 【详解】解： 从图中可得： 处是空心圆圈，折线向右，对应解集为 ； 处是实心点，折线向左，对应解集为 ； 两个解集的公共部分为 ． 5.B 【分析】首先得到，根据同角的余角相等得到，即可判断A正确；由角平分线的性质定理即可判断C正确；证明，得到，即可判断D正确；由和不一定相等得到和不一定相等，即可判断B错误． 【详解】解：由作图得，， ∴， ∴， ∴，故A正确； 由作图得，平分， 又∵， ∴，故C正确； 又∵， ∴， ∴，故D正确； ∵和不一定相等， ∴和不一定相等，故B错误． 6.C 【分析】由平行线的性质可得，再由角平分线的定义可得，然后结合平行分线的性质即可得到的度数． 【详解】解：在中，，， ，则， 平分交 于点， ， 又， ， ． 7.A 【分析】先根据点A和其对应点C确定平移规律，再按规律计算点D的坐标即可． 【详解】解：∵点平移后得到对应点， ∴平移规律为横坐标增加，纵坐标增加，即线段向右平移个单位，纵坐标不变， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 8.B 【分析】根据平行线的性质求出 的度数，再利用三角形外角的性质求出 的度数． 【详解】，， （两直线平行，同位角相等）， 是 的外角， ， ， ， ． 9.A 【分析】先根据题意，用表示出第二组的人数，再分别表示两组平均每人带的图书数，根据第一组比第二组平均每人多带1本的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵设第一组人数为人， 又∵第二组人数是第一组人数的倍， ∴第二组人数为人， ∴第一组平均每人带图书数量为本，第二组平均每人带图书数量为本， ∵第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书， ∴列方程得． 10.C 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，设与交于点，则为中点，，当时，最小，即最小，然后通过勾股定理即可求解 【详解】解：如图，设与相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵为边上一动点， ∴当时，的值最小，此时的值最小，如图 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 【分析】过作 于点 ，由角平分线性质可得，然后代入即可求出 的面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作 于点 ， ∵ 是 的平分线，， ∴， ∴ 的面积为， 12. 【分析】直接利用图象法求出不等式的解集即可. 【详解】解：由图象可知，关于的不等式的解集为. 13.3（答案不唯一） 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，结合分式分母不为零列出不等式，求解得到的取值范围，在范围内任取一个值即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 解得， 取，符合条件．（答案不唯一） 14./60度 【分析】本题主要考查了利用旋转设计图案的知识．根据旋转的定义确定两个对应点的位置，求得与点连线的夹角即可求得旋转角度． 【详解】解：如下图，当经过一次循环后点旋转至点的位置上，    ∴． 故答案为：． 15. 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识．连接，由四边形是平行四边形，可得，推出，再根据的长度是长度的倍，可得，，进而求出，最后根据面积的和差即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ， ，即， 的长度是长度的倍， ，， ， ， 故答案为：． 三、解答题：本大题共8小题，16~18题每题7分，19~21题每题9分，22题13分，23题14分，共75分. 16.；在数轴上表示为： 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，得到每个不等式的解集，再求两个解集的公共部分，如果两个解集存在公共部分，那么这个部分就是不等式组的解集；如果没有公共部分，那么不等式组无解；最后将得到的不等式组的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：． 数轴略． 17.，当时，原式 【分析】根据分式的运算法则化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， 解得且且， ∴只能取， 当时，原式． 18.见解析 【分析】由等角对等边可得，再利用证明，然后利用全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19.(1)， (2)，证明见解析 【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式，再总结即可，最后对等式的左边进行整理，即可求证． 【详解】（1）解：由题意可得：， ． （2）规律：． 证明：左边 右边， 故上式成立． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，利用完全平方公式进行因式分解，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． 20.(1)解：作图如下： (2)证明：由作图知，是的平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）按照尺规作图作角平分线的步骤进行即可； （2）由角平分线的性质及平行四边形的性质、等角对等边得，从而可证明猜想． 【详解】（1）解：略； （2）证明：略． 21.(1)一棵甲种树苗30元，一棵乙种树苗60元 (2)购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵时费用最少 【分析】（1）设一棵甲种树苗x元，则一棵乙种树苗元，根据题意，列出分式方程，求解检验即可； （2）设第二批买乙种树苗棵，则甲种树苗棵，总费用为w元，根据题意，先列出不等式，求出的取值范围，再列出w关于m的一次函数，利用一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设一棵甲种树苗x元，则一棵乙种树苗元， （元），（元）， 根据题意，得， 解得， 经检验：是分式方程的解， ， 则购买一棵甲种树苗30元，一棵乙种树苗60元； （2）解：设第二批买乙种树苗棵，总费用为w元， （棵），（棵）， （棵）， 即第二批共600棵树苗，则甲种树苗棵， 根据题意，得，解得， 总费用， ，是正整数， w随增大而增大，当时，w最小， ， 则当学校购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵时，费用最少． 22.任务一：（且为整数），（且为整数）；任务二：他最多能买肉包的5个数、此时菜包1个数，豆浆2碗．任务三：在买包子的钱最少的前提下，顾客所能买的最多28豆浆碗，此时按方案一购买20个肉包，0个菜包，碗豆浆即可． 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，理解题意，清晰的分类讨论是解本题的关键； （1）直接利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据购买任意种类包子6个，豆浆2碗，结合套餐中豆浆的数量，再选择购买方式即可； （3）分三种情况依次列不等式进行讨论即可． 【详解】解：任务一：当且为整数，设此时函数解析式为， ∴把代入可得：， 解得：， 此时解析式为， 当且为整数时，设此时函数解析式为， 把，代入可得： ， 解得：， ∴此时函数解析式为：， 任务二：∵某顾客有资金30元，想购买任意种类包子6个，豆浆2碗． 选套餐A：2菜包+1肉包+1豆浆，2份，付元，满足题意， 选套餐A：2菜包+1肉包+1豆浆，1份，付元， 再购买3个肉包，1份豆浆，付元，满足题意， 选套餐B：1菜包+1肉包+2豆浆，1份，再买4个肉包，付元，符合题意， ∴他最多能买肉包的5个数、此时菜包1个数，豆浆2碗． 任务三：∵计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，在买包子的钱最少的前提下， ∴肉包买20个，菜包买0个， 设购买豆浆碗， 选择方案一：， 解得：， ∴的最大值为：， 选择方案二：购买20个肉包，赠送了8个菜包， ∴， 解得：， ∴的最大值为：， 选择方案三：选择A套餐10份，则肉包有20个， ∴， 解得：， 此时购买豆浆的最大数量为（碗）， 选择B套餐10份，则肉包有20个， ∴， 解得：， 此时购买豆浆的最大数量为（碗）， 同理可得：选择A，B套餐共10份，购买豆浆的数量不会超过27碗， 综上：在买包子的钱最少的前提下，顾客所能买的最多28豆浆碗，此时按方案一购买20个肉包，0个菜包，碗豆浆即可． 23.（1） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，中位线的性质，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定； （1）根据题意得出三点共线，根据已知得，进而根据中位线的性质，即可得出结论； （2）证明，得出，进而根据中位线的性质，即可得出结论； （3）设交于点，交于点，根据全等三角形的性质可得，进而可得，则，设交于点，交于点，根据中位线的性质可得则四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可求解； （4）延长至，连接，同理可得则，进而根据中位线的性质，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∴三点共线， 又∵， ∴ 即 ∵点，，分别是边、，的中点， ∴ ∴ （2）如图，连接， ∵ ∴即 又∵， ∴ ∴ ∵点，，分别是边、，的中点， ∴ ∴ （3）解：如图，设交于点，交于点， ∵ ∴即 又∵ ∴ ∴ 如图，设交于点，交于点， ∵点，，分别是边、，的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴， （4）如图，延长至，使得，连接， ∵ ∴ 同理可得 ∴ 又∵点是的边的中点，分别为的中点 ∴ ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期中小学期末学业水平监测 八年级数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2.下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3.已知是分式方程的根，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 4.一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（     ） A． B． C． D． 5.如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 6.如图，在中，， 平分交 于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7.在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移得到线段，其中点A的对应点C的坐标为，则点B的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 8.如图，，如果，，那么的度数为（     ） A． B． C． D． 9.某班在“世界读书日”开展了图书交换活动，第一组同学共带图书本，第二组同学共带图书本．已知第一组同学比第二组同学平均每人多带本图书，第二组人数是第一组人数的倍．设第一组人数为人，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 10.如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11.如图，是 的平分线，过上一点D作，分别交于E，F，若， ，则 的面积为______． 12.如图为一次函数和的图象，则关于的不等式的解集为_____． 13.若二次根式在实数范围内有意义，则x的值可以是________（写出一个即可） 14.小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度的最小值为________． 15.如图，在平行四边形中的长度是长度的倍，三角形的面积是平方厘米．则阴影部分的面积是____________平方厘米． 三、解答题：本大题共8小题，16~18题每题7分，19~21题每题9分，22题13分，23题14分，共75分. 16.解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 17.先化简：，再请你在、0、1、2这四个数中选取一个合适的的取值代入求值． 18.如图，延长的边至点E，点D在下方，连接、、、、，，求证：． 19.观察下面的算式： ． ； ， ， (1)请你写出个与上述算式具有相同规律的算式； (2)用字母表示数，写出上述算式反映的规律，并加以证明． 20.综合与实践 在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，在中，．用尺规完成基本作图：作出的平分线，交于点． 【问题提出】 他们猜想，，之间存在以下数量关系：． 【问题解决】 任务： (1)请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； (2)请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 21.某校组织全体七年级学生开展“共植一抹绿，一起上春山”活动．经过前期调研，学校决定分两批购买树苗共800棵．第一批用9000元购买了相同数量的甲、乙两种树苗，且每棵甲种树苗的价格比每棵乙种树苗的价格少30元，购买甲种树苗的费用是购买乙种树苗费用的一半． (1)求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元． (2)学校在购买第二批树苗时，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，乙种树苗的售价打九折．若要求第二批购买的甲种树苗数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使第二批购买树苗的费用最少？ 22.浦江“包子计划”开展的如火如荼，众多居民希望通过卖包子增加收益．根据提供的材料解决问题． 项目 内容 材料一 “沁园包子”店铺开张，经营早餐销售，有菜包、肉包、豆浆等类型早餐，客户可自行搭配．菜包2元/个，豆浆2元/碗，肉包的总金额y（单位：元）随购买个数x（单位：个）之间的关系如图所示，坐标，均经过该分段函数．    材料二 经过试销，“沁园包子”店铺推出套餐A和套餐B，如下：   套餐A：2菜包+1肉包+1豆浆，6元  套餐B：1菜包+1肉包+2豆浆，7元 现在某顾客有资金30元，想购买任意种类包子6个，豆浆2碗． 材料三 为了吸引顾客，扩大市场，“沁园包子”店铺决定开办线上外卖（运费在3km以内4元，超过3km后每1km收费1元），并对包子和豆浆进行优惠，具体方案如下： 方案一：全场九折（不包括运费） 方案二：①每买5个肉包赠送2个菜包 ②每买3个菜包赠送1碗豆浆 方案三：每购买材料二中的套餐任意2份，赠送肉包2个 任务一 求购买肉包的总价y（单位：元）与购买肉包个数x（单位：个）之间的函数关系式，并写明自变量的取值范围． 任务二 在材料二中，若该顾客想要在一定资金内买到心仪的早餐，求他最多能买肉包的个数、菜包的个数以及豆浆的碗数． 任务三 家住距离早餐店14km的某客户想要在“沁园包子”店铺购买早餐，该客户用预算100元的资金购买早餐，计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，用买包子剩下的钱买豆浆．若该客户想用材料三中的一种方案购买早餐，在买包子的钱最少的前提下，求他所能买的最多的豆浆碗数，并列举此时该客户的购买方案． 23.综合与实践 问题提出 某兴趣小组在一次综合与实践中提出这样一个问题：分别以的边、为腰，向外作等腰和等腰，使，，，点，，分别是边、，的中点，连接，，探究，的数量关系． 特例感知 （1）如图，当，，，的数量关系为：______； 类比探究 （2）如图，当为任意三角形时，猜想并证明，的数量关系； 拓展应用 （3）如图，若，直接写出的度数；（用含的式子表示） （4）如图，点，分别在外，，，点是的边的中点，连接，，证明：． 1 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