期末复习卷（二）2025-2026学年浙教版八年级第二学期数学

**基本信息** 结合二十四节气文化、新能源汽车销售等真实情境，覆盖几何图形、方程应用、统计量等核心知识，通过新定义“等邻边四边形”探究题设计，发展几何直观、模型意识与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称图形（第1题）、二次根式（第2题）|文化情境与基础概念结合，考查抽象能力| |填空题|6/18|三角形三边关系（第15题）、平行四边形中点问题（第14题）|知识综合应用，体现推理意识| |解答题|8/72|新定义“等邻边四边形”（第24题）、动点面积问题（第22题）|分层设计，从运算能力到创新探究，适配期末复习需求|

2025学年浙教版八年级第二学期数学期末复习卷（二） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个多边形的每个内角都是144°，这个多边形是( ) A. 八边形 B. 十边形 C. 十二边形 D. 十四边形 4. 一组数据中，去掉一个最高分和一个最低分，下列数据一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 6.已知关于x的方程ax2﹣x＝0有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. a≠0 B. a≤0 C. a＞0 D. 全体实数 7.估计的值应在（ ） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 5到6之间 D. 到之间 8. 新能源汽车已逐渐成为人们交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 10.. 如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为(　　) A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若二次根式的值为9，则的值为__________． 12. 一元二次方程的根是________． 13. 若，则________． 14. 如图，在中，点分别是边的中点，点是线段上的一点．连接，且，则的长是_____． 15. 已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是______． 16. 如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是________． 三、解答题（共72分） 17. 计算 （1） （2） 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，在中，，是的角平分线，四边形是平行四边形．求证：四边形是矩形． 20. 如图，平行四边形中，，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（要求：①不写作法，②保留作图痕迹，③说明作图结果．）： （1）在图1中，作出的角平分线； （2）在图2中，作出的角平分线． 21. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 22. 如图所示，已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． （1）如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 23. 我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中、为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识解决下列问题： （1）如果，其中、为有理数，那么_________，_________； （2）如果，其中、为有理数，求的算术平方根； （3）若、都是有理数，且，试求的立方根． 24.类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． （1）如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的正方形网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点在网格格点上； （2）如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”； （3）如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请求出的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年浙教版八年级第二学期数学期末复习卷（二） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列式子中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判定．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：A.，故此选项不是最简二次根式，不符合题意； B.符合最简二次根式的条件，故此选项是最简二次根式，符合题意； C.，故此选项不是最简二次根式，不符合题意； D.，故此选项不是最简二次根式，不符合题意； 故选B． 3. 一个多边形的每个内角都是144°，这个多边形是( ) A. 八边形 B. 十边形 C. 十二边形 D. 十四边形 【答案】B 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的外角和是360度求出n的值即可． 【详解】解：∵多边形的各个内角都等于144°， ∴每个外角为36°， 设这个多边形的边数为n，则 36°×n=360°， 解得n=10． 故选：B． 【点睛】本题考查的是多边形的内角与外角，解答此类问题时要找到不变量，即多边形的外角是360°这一关键． 4. 一组数据中，去掉一个最高分和一个最低分，下列数据一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的定义判断即可． 【详解】解：一组数据中，去掉一个最高分和一个最低分，再进行统计，则上述四个统计量中，一定不会发生变化的是中位数；平均数、众数、方差都会发生改变； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了中位数、众数、算术平均数、方差的含义和判断，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响. 5. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用该药品经过两次降价后的价格=原价×（1一降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设两次降价的百分率均是x，由题意得： 100（1﹣x）2=81． 故选B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6.已知关于x的方程ax2﹣x＝0有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. a≠0 B. a≤0 C. a＞0 D. 全体实数 【答案】D 【解析】 【分析】当a≠0时，是一元二次方程，根据根的判别式的意义得∆＝(﹣1)2﹣4a×0＝1＞0；当a＝0时，是一元一次方程有实数根，由此得出答案即可． 【详解】解：当a≠0时，是一元二次方程， ∵原方程有实数根， ∴∆＝(﹣1)2﹣4a×0＝1＞0， ∴a≠0； 当a＝0时，﹣x＝0是一元一次方程，有实数根x＝0， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根． 7.估计的值应在（ ） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 5到6之间 D. 到之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、无理数的大小估算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．首先计算原式，根据，可得，根据不等式的性质即可求解． 详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：A． 8. 新能源汽车已逐渐成为人们交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设某月均增长率为x，根据1月份的销售量×（增长率）²＝3月份的销售量，列出方程即可． 【详解】解：设月均增长率为x，根据题意得： ， 故选：B． 9. 欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】B 【解析】 【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB的长，进而求得AD的长，即可发现结论． 【详解】用求根公式求得： ∵ ∴ ∴ AD的长就是方程的正根． 故选：B． 【点睛】本题考查解一元二次方程及勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 10.. 如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形性质和勾股定理，利用勾股定理得到边的长度，根据平行四边形的性质，得知最短即为最短，利用垂线段最短得到点的位置，再根据得到的长度，继而得到的长度，从而即可得解． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ，， 最短也就是最短， 过作的垂线，垂足为，连接， ∵垂线段最短， ∴当点P在点处时，最小，即最小， ∵， 即， ∵， ， 则的最小值为， ， ， ∴当取得最小值时，的长为． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若二次根式的值为9，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据题意列出，进而可得，求平方根，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 12. 一元二次方程的根是________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ∴或， 解得：，． 故答案为：，． 13. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的性质，算术平方根和绝对值的非负性，理解实数的相关性质是解本题的关键． 根据算术平方根和绝对值的非负性质列方程即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，点分别是边的中点，点是线段上的一点．连接，且，则的长是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，直角三角形的性质，由三角形中位线性质可得，由直角三角形的性质可得，进而由线段的和差关系即可求解，掌握三角形中位线的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点分别是边的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∴， 故答案为：3． 15. 已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是______． 【答案】或6##6或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定（勾股定理的逆定理）等．先解一元二次方程求出该方程的实数根，再根据三角形的三边关系定理得出第三边，然后得出这个三角形是直角三角形或等腰三角形，最后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】解：， 因式分解得， 解得或， 三角形两边的长分别是4和3， 第三边取值范围为：，即， 第三边长度为3或5． 分两种情况： 当这个三角形的三边长分别为3，3，4，即为等腰三角形， 如图，中，，，作于点D， ， ， ； 当这个三角形的三边长分别为3，4，5， ， 这个三角形是直角三角形，且直角边的边长为3和4， 这个三角形面积为， 综上可知，这个三角形的面积为或6， 故答案为：或6． 16. 如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的性质，先作辅助线，延长，在的延长线上截取，连接，过点G作于点H，过点C作交的延长线于点M，根据勾股定理和平行四边形的性质得到线段的长度，证明出四边形为平行四边形，再根据三角形全等得到对应边相等，再根据垂线段最短得到最小值，即可求解． 【详解】解：延长，在的延长线上截取，连接，过点G作于点H，过点C作交的延长线于点M，如图所示： ， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，最小，此时， ∴最小值为， 故答案为： ． 三、解答题（共72分） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质，乘法公式，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）先混合运算法则，先算除法，再化简二次根式，最后计算二次根式的加减运算即可； （2）先计算完全平方公式和平方差公式，再计算二次根式的加减运算即可得． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查因式分解方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法步骤是解决问题的关键． （1）由因式分解法解一元二次方程即可得到答案； （2）由十字相乘法分解因式解一元二次方程即可得到答案． 小问1详解】 解：， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得， 或， 解得，． 19. 如图，在中，，是的角平分线，四边形是平行四边形．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的三线合一，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．先利用三线合一得出，，利用四边形是平行四边形结合，推出四边形是平行四边形，再结合，即可证明． 【详解】证明：∵，是的角平分线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 20. 如图，平行四边形中，，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（要求：①不写作法，②保留作图痕迹，③说明作图结果．）： （1）在图1中，作出的角平分线； （2）在图2中，作出的角平分线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】(1)作射线，由得到，由得，则，即平分； (2)连接交于点，作射线，由平行四边形的性质与判定、等腰三角形的性质可知为的角平分线． 【小问1详解】 如图1所示：即为的平分线； 【小问2详解】 如图2所示，为的角平分线； 【点睛】本题考查的是作图-基本作图、平行四边形的性质与判定、等腰三角形的性质，熟知平行四边形及等腰三角形的性质是解答此题的关键． 21. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 【答案】（1）；（2）值为． 【解析】 【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得，把和分别代入一元二次方程求出对应的，同时满足． 【详解】解：（1）根据题意得， 解得； （2）的最大整数为2， 方程变形为，解得， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得， 而， ∴的值为． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 22. 如图所示，已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． （1）如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【答案】（1）1秒后的面积等于 （2）不能等于，理由见详解 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用； （1）设经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长可列方程求解． （2）根据（1）的方法列出方程，通过根的判别式即可判定能否达到． 【小问1详解】 解：设经过x秒以后面积为，依题意， 则， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：1秒后的面积等于； 【小问2详解】 解：的面积不能等于，理由如下∶ 设经过t秒以后面积为， 则， 整理得：， ， 所以此方程无解， 故的面积不能等于． 23. 我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中、为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识解决下列问题： （1）如果，其中、为有理数，那么_________，_________； （2）如果，其中、为有理数，求的算术平方根； （3）若、都是有理数，且，试求的立方根． 【答案】（1） （2）的算术平方根为5 （3）的立方根为1或 【解析】 【分析】本题考查了立方根，实数的运算，算术平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据已知可得，，然后进行计算即可解答； （2）根据已知可得，从而可得，进而可得：，然后把a，b的值代入式子中进行计算，即可解答； （3）根据已知可得，从而可得，，进而可得，，然后分两种情况进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：∵，其中a、b为有理数， ∴，， ，， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：， ， ∵a、b为有理数， ∴， 解得：， ∴， ∴其算术平方根为5； 【小问3详解】 解：， ， ∴， 解得：或， ∴∴当，时，，立方根为1； 当，时，，的立方根为． 24.类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． （1）如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的正方形网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点在网格格点上； （2）如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”； （3）如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请求出的长度． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）或或． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理和“等邻边四边形”的定义求解即可； （2）根据题意证明出，得到，进而求解即可； （3）如图所示，过点B作交于点G，首先求出，得到，求出，然后根据题意分3种情况讨论，然后分别根据勾股定理和等边三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 如图所示， 图（甲）和图（乙）中，； 图（丙）中； ∴四边形是等邻边四边形； 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴ ∵，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴四边形是“等邻边四边形”； 【小问3详解】 如图所示，过点B作交于点G ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当四边形是“等邻边四边形”，且时， ∴； 如图所示，当时，过点F作交于点H，连接 ∴ ∵， ∴， ∵，即 ∴ ∴， ∴ ∴此时四边形是“等邻边四边形”； ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴， 如图所示，当时，过点M作交于点M ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 综上所述，当四边形是“等邻边四边形”时，的长度为或或． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 学科网（北京）股份有限公司 $