2025-2026学年北师大版八年级下册数学期末模拟试题

**基本信息** 以实际情境与探究活动为载体，考查数学抽象、几何直观与模型意识，如绿道快走问题（第9题）、购车费用分析（第22题）及旋转综合探究（第23题）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|图形性质（1）、因式分解（2）、分式方程（3）|基础概念与几何直观结合，如第5题角平分线性质应用| |填空题|5/15|分式意义（13）、旋转对称（14）、面积计算（15）|设置开放性问题（13题），考查数学表达| |解答题|8/75|不等式组（16）、分式化简（17）、几何证明（18）、规律探究（19）、方案设计（21）、综合实践（22-23）|分层设计，21题结合分式方程与不等式考查模型意识，23题通过旋转探究发展推理能力与创新意识|

2025~2026学年第二学期中小学期末学业水平监测 八年级数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.D 【分析】轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴；中心对称，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心，根据定义，结合图形判定即可． 【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，不符合题意； B、没有对称轴，不是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，不符合题意； C、没有对称轴，不是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，不符合题意； D、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，符合题意 ． 2.D 【分析】本题考查因式分解的概念，因式分解的定义是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解： A． 是整式乘法，从乘积变形为多项式，不符合因式分解定义，故此选项错误，不符合题意； B． ，结果是和的形式，不是整式乘积的形式，不符合定义，故此选项错误，不符合题意； C． ，等号右侧的式子中含有分式，不是整式，不符合定义，故此选项错误，不符合题意； D． ，把多项式转化为两个整式乘积的形式，符合因式分解的定义，故此选项正确，符合题意． 3.D 【分析】分式方程无解的原因是化为整式方程后无解，或解是原方程的增根，本题的整式方程有解，因此无解的原因是产生了增根，找出增根并代入化简后的整式方程，即可求出的值． 【详解】解：将原方程两边同乘最简公分母去分母，得， 整理得， ∵原分式方程无解， ∴方程的解为增根， 令分母 ，得增根， 把代入 ，得， 解得． 4.D 【分析】先求出不等式的解集，再判断数轴即可． 【详解】解：， 两边同加上，得， 两边同除以，得， 解集在数轴上表示为：． 5.D 【分析】利用角平分线的性质得到，从而得到，最后根据“在直角三角形中，所对边是斜边的一半”求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6.A 【分析】根据平行四边形的性质可知，又因为平分，所以，则，则，同理可证，继而可求得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， 则， ∴， 同理可得， 则． 7.B 【分析】由平移的性质得到，再由和推出即可． 【详解】解：由平移的性质可知，平移得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8.B 【分析】先证，从而得到，．再根据，证，从而得到，在中，运用勾股定理求出，即得到的长，最后根据，求得的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，． ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 9.C 【分析】由题意得，小明走完全程的时间为小时，小林走完全程的时间为小时，而小林比小明早15分钟走完全程，即小明走完全程的时间比小林多小时，即可建立方程． 【详解】解：设小明的速度为千米/时，则小林的速度为千米/时， 由题意得，． 10.C 【分析】过点作，交于点，证明四边形为平行四边形，连接，当三点共线时，最短，为的长度，计算的长度，即可求得的最小值． 【详解】解：如图，过点作，交于点， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ，米， ， 连接，当三点共线时，最短，为的长度， 米，米， 米， 根据勾股定理可得米， 则的最小值为米． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，结合的周长和的周长求出的长，进而求出的长． 【详解】解：是的垂直平分线 ， 的周长为厘米 ，即 的周长为厘米 ． 12. 【详解】解：由题意可把点代入正比例函数得：，解得：， ∴， ∴由图象可知：关于x的不等式的解集为． 13.（答案不唯一） 【分析】本题考查分式无意义的条件，分式值为零的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件为分母等于零，分式的值为零，分子为零．根据分式有意义的条件和分式的值为零的条件进行解答即可． 【详解】解：由题意得，满足题意的分式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 【分析】本题考查利用旋转设计图案，根据图形的对称性质，用除以计算即可得解．理解旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵如图是一个正六边形雪花状饰品， ∴它既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的旋转中心为正六边形的中心， ∴该图形绕着它的中心旋转的整数倍能与自身重合， 即它绕着它的中心至少旋转，能与自身重合． 故答案为：． 15. 【分析】本题考查了平行线间的距离的应用，组合图形的面积计算，解题关键在于根据与重叠部分的面积等于长方形未被这两个三角形盖住部分的面积和．因为长方形的面积等于与的面积和，所以与重叠部分的面积等于长方形未被这两个三角形盖住部分的面积和，即． 【详解】解：如图： 因为与的面积都等于长方形的面积， 所以长方形的面积等于与的面积和， 所以与重叠部分的面积等于长方形未被这两个三角形盖住部分的面积和， 即： 故答案为：． 三、解答题：本大题共8小题，16~18题每题7分，19~21题每题9分，22题13分，23题14分，共75分. 16.，在数轴上表示： 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示略 17.， 【分析】先对括号内的分式通分计算，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分化简，最后代入计算结果． 【详解】解：原式 ， 将代入得：原式． 18.证明：∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中，， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】利用证明，得出，根据角平分线的判定定理即可得出结论． 【详解】略． 19.(1) (2)；见解析 【分析】本题主要查了平方差公式： （1）直接根据规律解答，即可； （2）利用平方差公式解答，即可． 【详解】（1）解：第④个算式：； 故答案为： （2）解：两个连续偶数，的平方差为： 故两个连续偶数的平方差是4的倍数． 20.（1）见解析；（2）DC＝BE，理由见解析． 【分析】（1）以A点为圆心，任意长为半径画弧交AB、AD于M、N，再以M、N为圆心，大于MN为半径画弧交于P，射线AP交直线BC于E，交CD于F； （2）利用AE平分∠BAD得到∠DAE=∠BAE，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到DC=AB，∠E=∠DAC，所以∠E=∠BAE，然后根据等腰三角形的性质和等量代换得BE=DC． 【详解】解：（1）如图，AE为所作； （2）DC=BE． 证明如下：∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE=∠BAE， ∵AD∥BC，AD＝BC． ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴DC=AB，AD∥BC， ∴∠E=∠DAC， ∴∠E=∠BAE， ∴BA=BE， ∴BE=DC． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质． 21.(1)甲种袋装食品的进价为10元，乙种袋装食品的进价为8元 (2)超市有11种进货方案 (3)①当时，应购进甲种袋装食品210袋，乙种袋装食品590袋；②当时，11种进货方案获利都相同；③当时，应购进甲种袋装食品200袋，乙种袋装食品600袋 【分析】（1）设甲种袋装食品的进价为m元，则乙种袋装食品的进价为元，根据“用2500元购进甲种袋装食品的数量与用2000元购进乙种袋装食品的数量相同”列出方程并解答； （2）设购进甲种袋装食品x袋，表示出乙种袋装食品袋，然后根据总利润不少于5000元且购进甲种袋装食品的数量不超过210袋列出一元一次不等式组解答即可； （3）根据总利润两种袋装食品利润之和列出函数解析式，再分一次项系数大于0、等于0、小于0三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设甲种袋装食品的进价为m元，则乙种袋装食品的进价为元， 由题意得， 解得， 检验，当时，， ∴是分式方程的解， ∴（元）， 答：甲种袋装食品的进价为10元，乙种袋装食品的进价为8元； （2）解：设购进甲种袋装食品x袋，则购进乙种袋装食品袋， 由题意得，， 解得， ∴， ∵x是正整数，， ∴该超市有11种进货方案； （3）解：设总利润为w元，则， ①当时，，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值， （袋）， ∴此时应购进甲种袋装食品210袋，乙种袋装食品590袋； ②当时，，11种进货方案获利都相同； ③当时，，w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值， （袋）， ∴此时应购进甲种袋装食品200袋，乙种袋装食品600袋． 22.(1) (2)燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元 (3)当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．建议：如果每年行驶里程超过大于买新能源车，如果每年行驶里程小于买燃油车，如果每年行驶里程等于买新能源车和燃油车都可以． 【分析】此题考查了分式方程的实际应用、一元一次不等式的应用、列代数式等知识． （1）行驶千米时，需要耗费电池的电量为70千瓦时，电价为0.5元/千瓦时，据此列代数式即可； （2）燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，据此列方程，解方程并检验即可得到答案； （3）根据设每年行驶里程为，根据燃油车费用高于新能源车列不等式，解不等式即可求出答案，根据求出的答案提出建议即可． 【详解】（1）解：新能源车的每千米行驶费用是（元） 故答案为： （2）解：∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； （3）解：设每年行驶里程为， 由题意得：， 解得， 即当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 建议：如果每年行驶里程超过大于买新能源车，如果每年行驶里程小于买燃油车，如果每年行驶里程等于买新能源车和燃油车都可以． 23.（1）；（2），过程见解析；（3） 【分析】此题考查旋转模型以及勾股定理，解题关键是找准边与角的关系证明全等，然后利用勾股定理求解． （1）通过判定证明全等即可； （2）由（1）可知边长与角度的关系，然后利用勾股定理求解即可； （3）与（1）相同，证明全等后，利用勾股定理证明三边关系即可． 【详解】（1）解：与均为等边三角形， ， 又，， ， 在与中 ， ， ； （2）解：由（1）可知 ，， 在等边中，由可得 则， 在中，，， 由勾股定理可得：； （3）解：连接， ， ， 在与中 ， ， ，， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期中小学期末学业水平监测 八年级数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2.下列从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3.若关于x的分式方程无解，则m的值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 4.不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 5.如图，在△ABC中，平分．若，则等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6.如图，在平行四边形中，平分交于点E，平分交AD于点F，，，则的长为（     ） A．1 B． C．2 D． 7.如图，将沿方向平移得到（点、、、在同一直线上），交边于点，若阴影部分的面积为4，则四边形的面积为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 8.如图，在中，平分交于点M，过点C作，垂足为E，交于点D．若，，，则的长为（     ） A． B． C．3 D．4 9.内江市小青龙河绿道风光秀丽，适合市民徒步休闲．小林、小明两人在小青龙河6千米长的绿道上快走，小林的速度是小明的1.2倍，小林比小明早15分钟走完全程．设小明的速度为x千米/时，则符合题意的方程是（     ） A． B． C． D． 10.如图，河岸，村庄E和村庄F在河的两岸，现要在河上架一座桥，点M、N分别在、上，M、N是动点，，过点F作，连接，，若米，米，米，则的最小值为（     ） A．50米 B．60米 C．80米 D．120米 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11.如图所示，在中，的垂直平分线交于点N， 交于点M，若的周长为12厘米，的周长为17厘米，则的长为__________厘米． 12.如图，正比例函数与一次函数（a，b为常数，且）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为______． 13.请写一个分式，使它满足当时，分式无意义，当时，它的值为0，这个分式可以是_______． 14.如图是一个正六边形雪花状饰品，它绕着它的中心至少旋转_____，能与自身重合． 15.如图，在长方形内画了一些直线，已知其中有块面积分别是，，的三角形、三角形、四边形，那么图中阴影部分的面积是___________． 三、解答题：本大题共8小题，16~18题每题7分，19~21题每题9分，22题13分，23题14分，共75分. 16.解不等式组：，并在数轴上表示出不等式组的解集． 17.先化简，再求值：，其中． 18.如图，的延长线于，于，若，，求证：平分． 19.张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式解答下列问题． 观察以下算式： ①； ②； ③； …… (1)请结合上述三个算式的规律，写出第④个算式：_____； (2)设两个连续偶数为，（其中为正整数），写出它们的平方差，并说明结果是4的倍数． 20.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC． （1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，作∠DAB的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） （2）猜想与证明：试猜想DC与BE有怎样的数量关系，并说明理由． 21.某超市准备购进甲、乙两种袋装食品．其中甲种袋装食品的进价比乙种袋装食品的进价高2元，甲、乙两种袋装食品的售价分别为20元和13元，已知用2500元购进甲种袋装食品的数量与用2000元购进乙种袋装食品的数量相同． (1)求甲、乙两种袋装食品的进价分别为多少元？ (2)要使购进的甲、乙两种袋装食品共800袋的总利润（利润售价进价）不少于5000元，且购进甲种袋装食品的数量不超过210袋，则该超市有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，该超市准备对甲种袋装食品每袋优惠元出售，乙种袋装食品价格不变，超市要如何进货才能获得最大利润？ 22.综合与实践：随着环保意识的增强和技术的进步，电动汽车（电车）逐渐受到人们的青睐．小聪家计划购买新车，正在考虑购买油车还是电车．小聪通过市场调查，获取了以下信息： 信息一：燃油车的油箱容积为50升，油价：7.6元/升，续航里程（加满一箱油可持续行驶的里程）为千米，每千米行驶费用：元； 信息二：新能源车同样行驶千米时，需要耗费电池的电量为70千瓦时，电价为0.5元/千瓦时，每千米行驶费用：①_________元； 信息三：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 解决问题： (1)根据信息二，用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用①是_____元； (2)分别求出这两款车的每千米行驶费用的具体数值； (3)若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？请你帮小聪给出购车建议．（年费用=年行驶费用+年其它费用） 23.综合与实践： 【问题情景】 综合与实践课上王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动． 【实践操作】王老师让同学们先画出两个等边和，将绕点旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决． （1）如图①，“慎思组”的同学们连接、，则与有何数量关系？请你探究后直接写出结论； （2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接，他们认为，如果，且，，就可以求出的长，请写出求解过程． 【类比探究】如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角三角形和，其中，，；且点恰好落在上，那么、和之间一定存在某种数量关系，请你探究后直接写出它们之间的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $