2025-2026学年北师大版数学八年级下册期末模拟试题3

**基本信息** 以新能源汽车图标、水果店进货等真实情境为载体，通过平行四边形折叠探究、套餐方案优化等设计，考查空间观念、运算能力及模型意识，实现基础巩固与创新应用的梯度融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称图形、因式分解、分式方程|第1题结合新能源汽车图标考中心对称，体现情境时代性| |填空题|5/15|角平分线性质、一次函数、网格旋转|第14题网格旋转中心对称，考查空间观念与几何直观| |解答题|8/75|不等式组、几何作图、函数应用、探究性问题|21题水果店利润优化考模型意识，23题折叠探究发展推理能力与创新意识|

2025~2026学年第二学期中小学期末学业水平监测 八年级数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.下面的新能源汽车图标中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2.下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（     ）． A． B． C． D． 3.方程的解是（    ） A． B． C． D． 4.若关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值为（     ） A． B． C． D． 5.如图，在中，，，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当长为半径作弧，与射线相交于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点；③作直线，与边 相交于点．则的大小为（     ） A． B． C． D． 6.如图，为平行四边形内任一点，，，面积分别为3，4，5，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 7.三个顶点的坐标分别为，，，将平移到了，其中，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 8.如图，在三角形纸片中，，，点D是边上的点，，将三角形纸片沿对折，使点B落在点处，当时，则的长等于（     ） A． B． C． D． 9.某列车提速前行驶与提速后行驶所用时间相同，若列车平均提速，设提速后平均速度为，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 10.如图，在平行四边形中，，，，点是边上的动点，连接，将沿折叠得到，当线段取最小值时，线段的长度是（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11.如图，点是的两条角平分线的交点．若，则的度数为________． 12.一次函数与的图象如图所示，则的解集是______． 13.已知关于的分式方程无解，则的值是________ 14.如图，在4×4的网格纸中，的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点，，，中找一点作为旋转中心．将绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有 _______． 15.如图，在中，对角线，相交于点，，垂足为点，过点，交于点，交于点．若，，则图中阴影部分的面积是______． 三、解答题：本大题共8小题，16~18题每题7分，19~21题每题9分，22题13分，23题14分，共75分. 16.解不等式组并求它的所有整数解的和． 17.先化简，再求值：，其中． 18.如图，和是等边三角形，点分别在边上．求证：． 19.张老师在黑板上写了三个等式，希望同学们认真观察，发现规律， 请观察下列算式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… （1）请结合上述三个算式的规律，写出第5个式子：______； （2）猜想第个等式：______（用含的式子表示），并说明等式成立的理由． 20.如图，四边形是平行四边形，，的平分线交于点． (1)实践与操作：利用尺规过点作的垂线，垂足为（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）； (2)猜想与证明：在（1）的条件下，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 21.某水果店依托山西特色产品资源，准备购进一批质量相等的隰县玉露香梨和运城红富士苹果，其中购进玉露香梨花费600元，购进红富士苹果花费500元．已知每千克玉露香梨的进价比每千克红富士苹果的进价贵2元． (1)分别求每千克玉露香梨和红富士苹果的进价． (2)若该水果店决定购进这两种水果共120千克，且总费用不超过1300元，玉露香梨每千克售价15元，红富士苹果每千克售价12元，通过计算说明怎样进货能使利润最大，最大利润是多少． 22.根据提供的材料解决问题． 材料一 保定某包子铺经营早餐销售，有菜包、肉包、豆浆等类型早餐，客户可自行搭配．菜包2元/个，豆浆2元/碗，肉包的总金额y（单位：元）随购买个数x（单位：个）之间的关系如图所示，坐标，均经过该分段函数． 材料二 母亲节店铺推出购套餐送康乃馨活动：规定任意购买套餐一份即可获得康乃馨一朵． 店铺推出套餐A和套餐B，如下： 套餐A：2菜包肉包豆浆，6元  套餐B：1菜包肉包豆浆，7元 材料三 为了吸引顾客，扩大市场，店铺决定开办线上外卖（运费在以内4元，超过后每收费1元），并对包子和豆浆进行优惠，具体方案如下： 方案一：全场九折（不包括运费） 方案二：①每买5个肉包赠送2个菜包 ②每买3个菜包赠送1碗豆浆 方案三：每购买材料二中的套餐任意2份，赠送肉包2个 (1)求购买肉包的总价y（单位：元）与购买肉包个数x（单位：个）之间的函数关系式，并写明自变量的取值范围． (2)在材料二中，现在某顾客有资金30元，想购买任意种类包子6个，豆浆2碗，并且获得康乃馨．求他最多能买肉包的个数． (3)家住距离早餐店的某客户想要在此包子铺购买早餐，该客户用预算100元的资金购买早餐，计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，用买包子剩下的钱买豆浆．若该客户想用材料三中的一种方案购买早餐，在买包子的钱最少的前提下，求他所能买的最多的豆浆碗数，并列举此时该客户的购买方案． 23.综合探究 综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动． 问题初探： （1）如1图，点O是平行四边形纸片对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段折叠，使点C的对应点为，点B与点D重合，猜想和的数量关系，并说明理由； 迁移探究 （2）如2图，连接，与交于点P，猜想和的位置关系，并说明理由； 拓展探索 （3）如3图，若纸片沿过点O的线段折叠，点B不与重合，连接，猜想和的位置关系，并说明理由 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期中小学期末学业水平监测 八年级数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.B 【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做对称中心． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形． 2.B 【分析】因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：因式分解要求等式左边为多项式，右边为几个整式的积的形式， A中从左到右是整式乘法，结果为和的形式，不属于因式分解，错误； B中，左边是多项式，右边是两个整式的积，符合因式分解的定义，正确； C中等式本身变形错误，不属于因式分解，错误； D中等式本身变形错误，且结果不是整式积的形式，不属于因式分解，错误． 3.D 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 检验：当时，， 故是原方程的解． 4.D 【分析】先求出的解集，结合数轴可得关于的方程，求解即可． 【详解】解：， 两边同乘以，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 由数轴可得，不等式的解集为， ∴， 解得． 5.B 【分析】利用等边对等角求得，利用角平分线的定义求得，利用三角形的外角性质求得，由作图知，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 由作图知， ∴， ∴． 6.B 【分析】过P作交于点E，交于点F，作交于点M，交于点N，根据平行四边形的性质得出，根据，，即可得出答案． 【详解】如图，过P作交于点E，交于点F，作交于点M，交于点N，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵ ， 同理：， ∴． 7.C 【分析】先根据A点平移前后的坐标确定整个三角形的平移规律，再计算点的坐标即可求解． 【详解】解：∵平移前坐标为，平移后坐标为， ∴平移规律为先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∵点坐标为， ∴点的坐标为，即． 8.A 【分析】过点A作于点E，连接，则，由折叠的性质得，得，由此求得，再求出，即可求解． 【详解】解：过点A作于点E，连接，如图， ∵， ∴，， 由折叠的性质得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理， 在中，，由勾股定理得， ∴． 9.C 【分析】根据提速前行驶400km与提速后行驶500km所用时间相等，结合时间等于路程除以速度的关系列方程即可． 【详解】解：设提速后平均速度为，则提速前的平均速度为 ， 根据题意得：． 10.A 【分析】取的中点，连接，由题意易得是等边三角形，则有，然后可得，由折叠的性质可知：，根据三角形三边不等关系可知：，当且仅当点三点共线时取最小，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：取的中点，连接，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：，根据三角形三边不等关系可知：，当且仅当点三点共线时取最小，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11./124度 【分析】由题意易得，然后根据三角形内角和进行求解即可． 【详解】解：∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12. 【分析】首先将变形为，然后结合图象求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵一次函数与的图象交于点B，点B的横坐标为， 由图象可得，当时，一次函数的图象在的图象下方或重合， ∴的解集为， ∴的解集是． 13. 【分析】先将分式方程化为整式方程，根据分式方程无解确定方程的增根，再代入整式方程求解的值． 【详解】解：， 去分母得： ， 移项合并同类项得：， ∵分式方程无解， ∴分母，即， 代入得： ， 解得：． 14.点，点 【分析】本题主要考查旋转的性质，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．画出中心对称图形即可判断． 【详解】解：画出中心对称图形， 观察图象可知，点，点满足条件． 故答案为：点，点． 15.24 【分析】证明，可得，则可推出，由勾股定理求出的长，再根据平行四边形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 三、解答题：本大题共8小题，16~18题每题7分，19~21题每题9分，22题13分，23题14分，共75分. 16.，它的所有整数解的和为 【详解】解： 由①得，； 由②得， ∴原不等式组的解集为： ∴它的所有整数解为，0，1， ∴所有整数解的和为：． 17.， 【分析】先根据整式的混合运算法则和分式的混合运算法则进行化简，再根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质求出的值，代入化简后的式子计算即可得出结果． 【详解】解： ， ， 原式． 18.证明过程见解析 【分析】由等边三角形的性质，可得，，可得，证明，即可证得结论． 【详解】证明：∵和是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19.（1）；（2），理由见解析． 【分析】（1）观察所给三个等式可以发现：等号左边第二个分数的分子与分母比第一个分数的分子分母多2，第一个分数的分子比分母多2，等号右边的分子都是4，分母是等号左边两个分母的积，据此可解答； （2）由（1）可得规律，证明左边等于右边即可． 【详解】解：（1）第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， 故答案为：， （2）由（1）得， 理由：左边= = = = = =右边 ∴． 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，根据题中所给出的式子找出规律时解答此题的关键． 20.(1) 即为所求 (2)相等， 理由如下 四边形是平行四边形， ． 平分， ． ． ， ． 【分析】（1）利用尺规作图方法画垂线即可得出答案． （2）通过平行四边形性质可得，再通过角平分线以及等量代换可知，进而可知，再通过三线合一即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 21.(1)每千克玉露香梨进价为元，每千克红富士苹果进价为元 (2)购进玉露香梨千克，红富士苹果千克时利润最大，最大利润为元 计算：设购进玉露香梨千克，则购进红富士苹果千克，利润为元， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∵总费用不超过1300元， ∴， 解得， ∴当时，取得最大值（元）． 答：购进玉露香梨千克，红富士苹果千克时利润最大，最大利润为元． 【分析】（1）设每千克玉露香梨进价为元，则每千克红富士苹果进价为元，根据质量相等列出分式方程，求解并检验即可； （2）设购进玉露香梨千克，则购进红富士苹果千克，利润为元，得出，则随的增大而增大，由总费用的限制可得，因此当时，取得最大值元． 【详解】（1）解：设每千克玉露香梨进价为元，则每千克红富士苹果进价为元， 根据题意，可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元）． 答：每千克玉露香梨进价为元，每千克红富士苹果进价为元． （2）略 22.(1) (2)5个 (3)在买包子的钱最少的前提下，他所能买的最多的豆浆碗数为碗，此时该客户的购买方案为：肉包20个，菜包0个，碗豆浆． 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题关键． （1）将函数分为两段：当且为整数时；当且为整数时，利用待定系数法分别求解即可； （2）根据顾客要求以及套餐中的包子和豆浆数量，确定三种购买方式，再得到最多的肉包数量即可； （3）设购买豆浆碗，根据三种方案分别列不等式求解，选择豆浆碗数最多的方式即可． 【详解】（1）解：当且为整数时，设， 则，解得：， ； 当且为整数时，设， 则，解得：， ； 即函数关系式为； （2）解：由题意可知，顾客有资金30元，想购买任意种类包子6个，豆浆2碗，并且获得康乃馨： ①若顾客购买两份套餐A，花费元，包子个，豆浆2碗，符合题意，此时肉包个； ②若顾客先购买一份套餐A，花费元，包子个，豆浆1碗， 再购买肉包3个豆浆1碗，花费元，符合题意，此时肉包个； ③若顾客先购买一份套餐B，花费元，包子个，豆浆2碗， 再购买肉包4个，花费元，符合题意，此时肉包个； 综上可知，他最多能买肉包的个数是5个． （3）解：由题意可知，需要运费元， 该客户用预算100元的资金购买早餐，计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，用买包子剩下的钱买豆浆． 设购买豆浆碗， 若按方案一购买：需购买肉包20个，菜包0个， 则， 解得：， 的最大值为，即最多购买豆浆碗数碗； 若按方案二购买：需购买肉包20个，赠送菜包个， 则， 解得：， 的最大值为，即最多购买豆浆碗数碗； 若按方案三购买：选择套餐A份，则肉包个，菜包个， ， 解得：， 则最多购买豆浆碗数碗； 选择套餐B份，则肉包个，菜包个， ， 解得：， 则最多购买豆浆碗数碗； 同理可得，选择套餐A、B共份，购买的豆浆数量不会超过碗， 综上可知，在买包子的钱最少的前提下，他所能买的最多的豆浆碗数为碗，此时该客户的购买方案为：肉包20个，菜包0个，碗豆浆． 23.（1），见解析 （2），见解析 （3），见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质： （1）由平行四边形的性质可得，，，推出，，证得，由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差关系，即可得出结论； （2）由折叠的性质可得，，，，结合平行四边形的性质，证得，可得，，进而推出，即可得出结论； （3）分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J，由（1）（2）可得，，，设，可得，证得，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 理由：是对角线的交点， ，，， ，， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：， 理由：纸片沿过点O的线段折叠，点B与点D重合， ，，，， 在中，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 即， ， ， ， ； （3）解：， 分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J， 由（2）得， 在中，， ， 纸片沿过点O的线段折叠， ， ， ， 由（1）得， ， ，， 设， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $