1.2.1 第2课时 平行四边形的对角线的性质 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦平行四边形对角线的性质，通过情景导入回顾对边相等、对角相等的旧知，自然引出对角线性质的探究问题，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以猜想-证明-应用为主线，通过全等三角形证明性质培养推理能力，结合例1求周长、例3证中点等实例强化运算能力，总结时系统梳理性质助力数学语言表达。学生能深化理解，教师可提升教学效率。

1.2.1 第2课时 平行四边形的对角线的性质 第1章 四边形 情景导入 平行四边形的对边相等， 平行四边形的对角相等. 平行四边形的两条对角线有什么性质呢？ 平行四边形的对角线的性质 我们知道了平行四边形的边和角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢? 如图，在□ ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O. OA 与 OC，OB 与 OD 有什么关系? 猜一猜 OA = OC，OB = OD. 怎样证明这个猜想呢？ A B C D O 1 3 已知：如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O. 求证：OA = OC，OB = OD. 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC，AD = BC. ∴ ∠1 = ∠2，∠3 = ∠4. ∴ △AOD≌△COB(角边角). ∴ OA = OC，OB = OD. A C D B O 3 2 4 1 证一证 A C D B O 平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形的性质 应用格式： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC，OB = OD. 知识要点 知识模块一　平行四边形对角线的性质 自学互研 如图，点 O 是 ABCD 两条对角线的交点，分别比较 OA 与 OC ，OB 与 OD 的长度，它们分别相等吗？为什么？ 猜想：OA=OC，OB=OD 如何证明？ 证明：因为四边形 ABCD 是平行四边形， 平行四边形的性质定理2： 平行四边形的对角线互相平分. A B D C O 1 4 3 2 所以 AD // BC，AD = BC， 从而∠1 =∠2，∠3 =∠4， 因此△OAD ≌ △OCB(角边角)， 从而 OA = OC，OD = OB． 平行四边形的对角线互相平分． 平行四边形的性质定理2 A C D B O 应用格式： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC，OB = OD. 例1 如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC = 6，BD = 10，CD = 4.8 . 试求 △COD 的周长. 解：因为 AC，BD为平行四边形 ABCD 的对角线， 又因为 CD = 4.8， 于是， △COD 的周长为3 + 5 + 4.8 = 12.8. A C D B O 所以 思考：平行四边形的对角线分平行四边形 ABCD 为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？请说明理由. 解：相等. 理由如下： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵△ADO 与△ODC 等底同高， ∴S△ADO＝S△ODC. 同理可得 S△ADO＝S△ODC＝S△BCO＝S△AOB. 还可结合全等来证明哟！ 总结：平行四边形的两条对角线将它分成的四个三角形的面积都相等. 例2 已知 ABCD 的周长为 60 cm，对角线 AC，BD 相交于点 O，△AOB 的周长比 △DOA 的周长长 5 cm，求这个平行四边形各边的长． 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝ OD，AB ＝ CD，AD ＝ BC. ∵△AOB 的周长比△DOA 的周长长 5 cm， ∴ AB－AD ＝ 5 cm. 又∵ ABCD 的周长为 60 cm，∴ AB＋AD＝30 cm， 则 AB ＝ CD ＝ 17.5 cm，AD ＝ BC ＝ 12.5 cm. 归纳：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差． 例3 如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 的直线 MN 分别交 AD，BC 于点M，N. 求证：点 O 是线段 MN 的中点. 证明 因为 AC，BD为□ABCD 的对角线，且相交于点 O，所以 OA = OC . 因为 AD∥BC，所以 ∠MAO =∠NCO. 又∠AOM =∠CON， 所以 △AOM≌△CON (角边角). 于是 OM = ON. 所以点 O 是线段 MN 的中点. A B C D N M O 思考 改变直线 MN 的位置，OM = ON 还成立吗? 知识模块二　利用平行四边形对角线的性质进行计算 例3 如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC = 6，BD = 10，CD = 4.8 . 试求 △COD 的周长. 所以 因为 AC，BD为□ ABCD的对角线， 解 又因为 CD = 4.8， 于是，△COD的周长为 3 + 5 + 4.8 = 12.8. AC ，OD BD 练 练 一 1.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若▱ABCD的面积为28 cm2，则△AOB的面积等于______． 7 cm2 A B C D O M N 问题1：请判断下列图中，OM = ON 还成立么？ 同例2，易证明 OM = ON 还成立. 总结: 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的两条线段总相等. A B D O E F C 问题2：如图，AC，BD 交于点 O，EF 过点 O，平行四边形ABCD 被 EF 所分的两个四边形周长相等吗？面积呢？ 易求得平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等. 总结：过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成周长相等、面积相等的两部分. 解：易证得DF=BE,CF=AE, 所以平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形周长相等. A B C D O 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， 根据勾股定理得 ∴ BC = AD = 8，CD = AB = 10. ∴△ABC 是直角三角形. 又∵OA = OC， 例4 如图，在　ABCD 中，AB = 10，AD = 8，AC⊥BC. 求 BC，CD，AC，OA 的长，以及　ABCD的面积． ∵AC ⊥ BC， 平行四边形的面积 2 解：设 AB = x，则 BC = 24 - x. 根据平行四边形的面积公式可得 5x = 10 ( 24 - x )， 解得 x = 16． 则平行四边形 ABCD 的面积为 5×16 = 80． 例5 如图，平行四边形 ABCD 中，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于 点F，若平行四边形 ABCD 的周长为 48，DE = 5，DF = 10，求平行四边形 ABCD 的面积. 归纳: 已知平行四边形的高 DE，DF，根据“等面积法”及平行四边形的性质列方程求解. 问题 平行四边形的对角线分平行四边形 ABCD 为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？ 解：相等. 理由如下： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵△ADO 与△ODC 等底同高， ∴S△ADO＝S△ODC. 同理可得 S△ADO＝S△ODC＝S△BCO＝S△AOB. 还可结合全等来证哟. 总结：平行四边形的两条对角线将它分成的四个三角形的面积都相等. 1.平行四边形具有但一般四边形不具有的性质是 ( ) A．内角和等于360° B．外角和等于360° C．不稳定性 D．对角线互相平分 练 练 一 D 归 总 纳 结 我们证明了平行四边形具有以下性质：（1）平行四边形的对边相等； （2）平行四边形的对角相等； （3）平行四边形的对角线互相平分. 课堂小结 平行 四边形 定义 两组对边分别平行的四边形 性质 两组对边分别平行，相等 夹在两条平行线间的平行线段相等； 两条平行线间的距离相等. 两组对角分别相等，邻角互补 $