1.2.1 课时2 平行四边形的对角线性质课件 2025--2026学年湘教版八年级数学下册

1.2.1 平行四边形的性质 课时2 平行四边形的对角线性质 当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少.你认为老人这样分合理吗？为什么？ 一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地平均分给他的四个孩子，他是这样分的： A B C D O 老大 老二 老三 老四 思考 如图，在□ ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O. 问题1：比较OA 、OB、OC 、 OD 的长度，有哪些线段相等？ OA = OC，OB = OD. 怎样去证明这个猜想呢？ A B C D O 问题2：对此你有什么猜想呢? 点O是每条对角线的中点. 如图，已知□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O. 求证：OA = OC，OB = OD. 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC，AD = BC. ∴ ∠1 = ∠2，∠3 = ∠4. ∴ △AOD≌△COB (角边角). ∴ OA = OC，OB = OD. A C D B O 3 2 4 1 平行四边形的对角线互相平分． 平行四边形的性质定理2 A C D B O 应用格式： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC，OB = OD. 例1 如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC = 6，BD = 10，CD = 4.8 . 试求 △COD 的周长. 解：因为 AC，BD为平行四边形 ABCD 的对角线， 又因为 CD = 4.8， 于是， △COD 的周长为3 + 5 + 4.8 = 12.8. A C D B O 所以 思考：平行四边形的对角线分平行四边形 ABCD 为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？请说明理由. 解：相等. 理由如下： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵△ADO 与△ODC 等底同高， ∴S△ADO＝S△ODC. 同理可得 S△ADO＝S△ODC＝S△BCO＝S△AOB. 还可结合全等来证明哟！ 总结：平行四边形的两条对角线将它分成的四个三角形的面积都相等. 例2 如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 的直线 MN 分别交 AD，BC 于点M，N.求证：点 O 是线段 MN 的中点. 证明：因为 AC，BD为□ABCD 的对角线，且相交于点 O， 所以 OA = OC . 因为 AD∥BC，所以 ∠MAO =∠NCO. 又∠AOM =∠CON，所以 △AOM≌△CON (角边角). 于是 OM = ON. 所以点 O 是线段 MN 的中点. A B C D N M O 改变直线 MN 的位置，OM = ON 还成立吗? A B C D O M N 问题1：请判断下列图中，OM = ON 还成立么？ 同例2，易证明 OM = ON 还成立. 总结: 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的两条线段总相等. A B D O E F C 问题2：如图，AC，BD 交于点 O，EF 过点 O，平行四边形ABCD 被 EF 所分的两个四边形周长相等吗？面积呢？ 易求得平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等. 总结：过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成周长相等、面积相等的两部分. 解：易证得DF=BE,CF=AE, 所以平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形周长相等. 平行四边形的对角线性质 平行四边形对角线互相平分 两条对角线分平行四边形为面积相等的四个三角形 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的两条线段总相等 过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成周长相等、面积相等的两部分，且与对角线围成的三角形相对的两个全等 1.平行四边形具有而一般四边形不具有的特征是（ 　） A.不稳定性 B.对角线互相平分 C.内角和为360度 D.外角和为360度 B 3.如图，平行四边形 ABCD 的面积为 20，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别是 AB，CD 上的点，且 AE = DF，则图中阴影部分的面积为_______. 5 2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于O．若AC＝6，则线段AO的长度等于_______． 3 4. 在 □ ABCD 中，对角线AC与BD相交于点O，BC=10 cm，AC=8cm，BD=14cm . （1）求△AOD的周长. 解：（1）如图所示，∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA=OC，OB=OD，AB=CD，AD=BC. 又∵BC=10cm，AC=8cm，BD=14cm， ∴ OA=4cm，OD=7cm，AD=10cm. ∴ OA+OD+AD=4+7+10=21(cm). ∴ △AOD的周长为21cm. （2）△ABC与△BCD的周长哪个长？长多少？ （2）∵ △ABC的周长=AB+BC+AC，△BCD的周长=BD+CD+BC， 又∵AB=CD， ∴ △BCD的周长－△ABC的周长=BD－AC=14－8=6(cm). ∴ △BCD的周长长，△BCD的周长比△ABC的周长长6cm. 5. 平行四边形一条对角线的两个端点到另一条对角线的距离相等吗？为什么？ 相等.理由如下： 如图所示，在□ ABCD 中， DM⊥AC 于点 M，BN⊥AC 于点 N . ∵ AC，BD 为 □ ABCD 的对角线， 且相交于点 O，∴ OB = OD . 又 ∠AOD=∠COB，∠DMO=∠BNO=90°， ∴ △DOM ≌ △BON(角角边). ∴ DM = BN. M N $