专题04 矩形、菱形与正方形（暑假复习讲义）新九年级数学新教材华东师大版

专题04 矩形、菱形与正方形 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 矩形的性质 题型2 矩形与折叠问题 题型3 矩形的判定定理理解 题型4 斜边的中线等于斜边的一半 题型5 菱形的性质 题型6 菱形的判定 题型7 正方形 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 矩形的性质与判定 2. 菱形的性质与判定 3. 正方形的性质与判定 4. 特殊平行四边形的面积计算 5. 特殊平行四边形的折叠问题 6. 中点四边形的判定与规律 7. 特殊平行四边形的动点与最值 8. 特殊平行四边形的综合证明与计算 1. 基础考查重辨析：从机械记忆性质定理转向概念深度辨析，围绕矩形、菱形、正方形的性质差异与判定条件设题，侧重考查特殊平行四边形的从属关系与逻辑边界，淡化纯背诵类考查，突出概念本质理解。 2. 核心考点常态化：三类特殊平行四边形的性质与判定为必考内容，覆盖选择、填空、解答全题型，侧重考查矩形的直角与对角线性质、菱形的边长与对角线垂直性质、正方形的双重属性，突出几何推理的通性通法。 3. 变换题型高频化：以折叠、旋转为代表的几何变换题型占比上升，常结合特殊平行四边形的对称性命题，融合勾股定理、全等三角形知识求解线段长度、角度大小，深度考查几何直观与逻辑推理能力。 4. 动点最值区分化：动点问题、最短路径、周长与面积最值成为中档压轴题标配，依托特殊平行四边形的图形特征，结合将军饮马等经典模型设问，梯度清晰，具备良好的区分度。 5. 综合证明分层化：解答题多采用分层设问模式，基础层考查特殊平行四边形的判定，中间层考查线段、角度的计算与证明，拓展层探究特殊图形的存在性，由易到难，兼顾基础与能力考查。 6. 知识关联体系化：注重与三角形中位线、勾股定理、全等三角形等已学知识的内在衔接，中点四边形规律、坐标系中的特殊平行四边形等题型持续考查，体现几何知识体系的关联性与综合性，契合新课标核心素养要求。 考情解码：“矩形、菱形与正方形” 是初中特殊四边形的核心内容，是平行四边形知识的深化与延伸，也是后续几何综合探究的重要基础，在八年级下册数学中占据核心地位。本专题涉及的特殊性质、判定定理及综合应用，是培养学生几何直观、逻辑推理与综合分析能力的关键载体。 试题从单一图形性质的记忆、辨析，向复杂图形变换、动点最值探究、综合证明计算转型，着重考查学生的图形分析能力、逻辑推理能力以及运用特殊四边形知识解决综合问题的能力。矩形与菱形的性质判定、正方形的双重属性、折叠与动点问题是高频综合考点，常与全等三角形、勾股定理、平面直角坐标系等知识结合，体现几何与代数知识的内在融合。 知识点一 矩形的性质与判定 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形。 性质：具备平行四边形的所有性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有2条对称轴。 判定：定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线法：对角线相等的平行四边形是矩形；角判定：有三个角是直角的四边形是矩形。 直角三角形推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 【易错提醒】 （1）对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”的前提，易忽略前提导致判定错误； （2）矩形的对角线相等且互相平分，不可只记相等，忽略平分的性质； （3）判定矩形只需三个角为直角，第四个角可由内角和推出，无需四个角全部作为条件。 即时即练如图，矩形的对角线，相交于点O，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用矩形的性质得出，再根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，求出的度数，再代入即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 知识点二 菱形的性质与判定 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 性质：具备平行四边形的所有性质；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有2条对称轴。 判定： 定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 边判定：四条边都相等的四边形是菱形。 面积计算：菱形面积底高对角线乘积的一半。 【易错提醒】 （1）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须加上“平行四边形”的前提，或证明四条边相等； （2）菱形的对角线平分对角，矩形没有这个性质，易混淆二者的对角线特征； （3）用对角线乘积的一半计算面积时，易忘记除以2，导致结果错误。 即时即练如图，在菱形中，若，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的对角线平分每一组对角，以及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ． 知识点三 正方形的性质与判定 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 性质：兼具矩形和菱形的所有性质 a. 边：四条边都相等，对边平行； b. 角：四个角都是直角； c. 对角线：对角线相等、互相垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角； d. 对称性：有4条对称轴，既是中心对称图形也是轴对称图形。 判定： a. 有一组邻边相等的矩形是正方形； b. 有一个角是直角的菱形是正方形； c. 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。 从属关系：正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，更是特殊的平行四边形。 【易错提醒】 （1）正方形的判定需同时满足矩形和菱形的特征，仅满足单一特征不能判定为正方形； （2）正方形的对角线与边的夹角为，这是重要隐含条件，解题时常被忽略； （3）正方形是特殊的矩形、菱形、平行四边形，从属关系不可颠倒； 即时即练下列条件能判断正方形的是（   ） A．对角线互相垂直的菱形 B．对角线相等的菱形 C．对角线互相平分的矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定，根据正方形、菱形、矩形、平行四边形的性质和判定定理，逐一判断各选项即可得出结果． 【详解】解：A、菱形本身的对角线互相垂直，因此对角线互相垂直的菱形仍是菱形，不能判定为正方形，该选项不符合题意； B、菱形是特殊的平行四边形，四边相等，对角线相等的平行四边形是矩形，因此对角线相等的菱形既是菱形又是矩形，是正方形，该选项符合题意； C、矩形本身对角线互相平分，因此对角线互相平分的矩形仍是矩形，不能判定为正方形，该选项不符合题意； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不能判定为正方形，该选项不符合题意． 知识点四 特殊平行四边形的综合应用 折叠问题：利用折叠前后图形全等，对应边、对应角相等，结合勾股定理列方程求解线段长度。 中点四边形规律：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形；原四边形对角线相等，中点四边形是菱形；原四边形对角线垂直，中点四边形是矩形。 动点与最值问题：依托特殊平行四边形的对称性，结合将军饮马模型、垂线段最短等结论，求解线段和、周长、面积的最值。 通用解题思路：先根据判定定理确定图形类型，再利用对应图形的性质推导边、角、对角线关系，结合全等三角形、勾股定理完成计算与证明。 【易错提醒】 （1）折叠问题中，折叠前后的对应边、对应角容易找错，需准确识别重合部分； （2）中点四边形的形状只与原四边形对角线的关系有关，与原四边形类型无直接关系，易记混结论； （3）综合证明中条件堆砌、逻辑不清晰，需逐步推导，先证平行四边形，再证特殊平行四边形； 即时即练如图，已知平行四边形的面积是，图中分割线均经过对角线、的交点，那么阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】根据平行四边形是中心对称图形，对角线交点为对称中心，过对称中心的直线将图形分成面积相等的两部分，利用中心对称性质可知阴影部分面积等于平行四边形面积的一半． 【详解】解：设平行四边形的对角线、相交于点． 因为平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点．又因为图中分割线均经过点， 所以根据中心对称的性质，阴影部分与空白部分关于点对称，即阴影部分的面积等于空白部分的面积． 所以阴影部分的面积等于平行四边形面积的一半． 因为平行四边形的面积是， 所以阴影部分的面积为． 题型1 矩形的性质 例1．如图，在矩形中，为对角线，平分交于点F，点E是上一点，连接、，若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，作于点，设，则，利用证明，推出，在中，利用勾股定理列式求得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 作于点， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 例2．如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的周长为_______． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，先证明，，，再进一步利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵矩形，，， ∴，，， ∵E，F，G，H分别是矩形各边的中点， ，． ∴， 同理可得：， ∴四边形的周长为； 故答案为： 【变式训练1-1】如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A．1 B．5 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，是解题的关键，勾股定理求出的长，进而得到的长，推出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D. 【变式训练1-2】一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是______． 【答案】 【分析】该题考查了列代数式，根据矩形的性质求面积，根据矩形的面积是长宽即可解答． 【详解】解：根据题意可得矩形的面积是， 故答案为：． 【变式训练1-3】如图，是矩形的对角线，请按以下要求解决问题： (1)利用尺规作，使与关于直线成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若交于点，，，求的长． 【答案】(1) 解：如图，即为所求作的三角形； (2) 【分析】（1）以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，即可； （2）如图，证明，，，，可得，证明，设，则，可得，再解方程即可． 【详解】（1）解： 由作图可得：，，， ∴， ∴即为所求作的三角形； （2）解：如图，∵矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：； ∴． 题型2 矩形与折叠问题 例3．如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键；结果矩形的性质的可得，，则，进而根据折叠的性质得出，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵折叠 ∴ ∴ ∵，即 ∴，故A不正确 ∵ ∴，故B不正确 ∵折叠， ∴ ∵，故C不正确，D选项正确 故选：D． 例4．如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则______． 【答案】/ 【分析】如图：连接，延长交的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，证明，进而得到为直角三角形，设，则，证明为等腰三角形，求出，进而完成解答． 【详解】解：如图：连接，延长交的延长线于H， ∵矩形中，为边的中点，， ∴，， ∵将沿翻折，点的对应点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为直角三角形， 设，则， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练2-1】将一张长方形纸片按如图所示的方式对折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故选：A． 【变式训练2-2】将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故答案为． 【变式训练2-3】如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)cm 【分析】（1）利用ASA证明即可； （2）过点E作EG⊥BC交于点G，求出FG的长，设AE=xcm，用x表示出DE的长，在Rt△PED中，由勾股定理求得答案． 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°， 由折叠知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°， ∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF =∠ADC， ∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF, ∴∠PDE=∠CDF， 在△PDE和△CDF中， , ∴（ASA）； （2）如图，过点E作EG⊥BC交于点G， ∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=CD=EG=4cm， 又∵EF=5cm，∴cm, 设AE=xcm， ∴EP=xcm， 由知，EP=CF=xcm， ∴DE=GC=GF+FC=3+x， 在Rt△PED中，, 即， 解得，， ∴BC=BG+GC= (cm）． 题型3 矩形的判定定理理解 例5．如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】A 【分析】本题主要围绕四边形中的动点问题展开，解题思路是先通过旋转的性质得到相关线段和角的关系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个结论的正确性． 【详解】解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． 又∵，，，， 过点作于点，在上取一点，使得延长交于点，则四边形是矩形， ∴． ∴， ∴（）， ∴ ∴，即点在上运动， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵， ，，， ∴ ∴， ∴最大时，最大， 当点与点重合时，与重合时，最小此时， ，故错误，符合题意； 故B正确，不符合题意； 作点关于的对称点，连接则，，过作于点，此时 当、、三点共线时，最小， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴的最小值 故正确，不符合题意； 当与重合时， 当与重合时，过作，则四边形是矩形，如下图， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， 综上，最大值为．故项正确，不符合题意； 故选：． 例6．如图，在矩形中，，点F，E分别是，上的动点，满足，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】过点A作，使，连接、，过点Q作，交的延长线于H，证明，由全等三角形的性质可得，进而可得，故当点C、Q、F在同一直线上时，的值最小，即线段的长度，证明四边形为矩形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点A作，使，连接、，过点Q作，交的延长线于H，如图所示： ∵矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴的最小值为线段的长， 即的最小值为线段的长， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式训练3-1】如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；    上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】如图，过作于，则四边形是矩形，则，由，可得，进而可判断①的正误；由，可得，，，，则，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，进而可判断②的正误；由勾股定理得，即，则，进而可判断③的正误． 【详解】解：如图，过作于，则四边形是矩形，    ∴， ∵， ∴，①正确，故符合要求； ∵， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得，， ∵， ∴，②正确，故符合要求； 由勾股定理得，即， ∴，③正确，故符合要求； 故选：D． 【变式训练3-2】如图，在四边形中，，，，，点E在边上，将沿向上折叠，若点B与点D恰好重合，则的长为______． 【答案】5 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，折叠性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明四边形是矩形，再结合折叠性质得，，根据勾股定理得，然后代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：过点C作的延长线上， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴在中，， 即， 解得， 故答案为：5 【变式训练3-3】如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明对角线互相平分，继而得到四边形是平行四边形，再由即可证明为矩形； （2）由矩形的性质得到，，得到二元一次方程组，求出，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴的长为10． 题型4 斜边的中线等于斜边的一半 例7．如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与互余的角是，共有4个， 故选：C． 例8．某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为_______m． 【答案】4 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．根据，得出为直角三角形，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形， ∵E是斜梁的中点， ∴． 故答案为：4． 【变式训练4-1】如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，点E，F分别在边上，连接交对角线于点P．若P为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角．根据矩形的性质求得，利用斜边中线的性质求得，求得，利用三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，P为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式训练4-2】如图，在矩形中，，E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，连接． （1）当点G恰为中点时，则______． （2）当平分时，若，则______． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识点，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）延长与交于点H，根据矩形的性质可得，从而可得，再根据线段的中点定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，进而可得，再根据垂直定义可得，最后利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算即可解答； (2)根据矩形的性质可得，再利用角平分线的性质可得，，从而可得，进而可得，然后在中，利用勾股定理求出，再设，则，从而在中，利用勾股定理进行计算可求出的长，最后求比即可． 【详解】解：（1）如图：延长与交于点H，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点G为中点， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ， ， 在中，， ∴， 设，, 在中，, ∴,解得：， ∴， , 故答案为：． 【变式训练4-3】如图，在中，交的延长线于点E，． (1)求证：四边形是矩形； (2)F为的中点，连接，．已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由四边形是平行四边形，得，，因为，故，，得证四边形是平行四边形，再结合有一个角是的平行四边形是矩形，即可作答． （2）因为四边形是矩形，则，因为为CD的中点，所以，因为，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）得四边形是矩形，， ， 为的中点， ， ∵ ， 由勾股定理得． 题型5 菱形的性质 例9．如图，在菱形中，，点E为对角线上一点，F为边上一点，连接，，若，，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明； 连接，根据菱形的性质证得，，进而得到，证明，得到，由等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理和直角三角形的性质即可求得答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形，E点在对角线上， ， ∴， ， ∴ ∵ ∴A，E，C三点共线∶ 在和中 ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴． 故选：C． 例10．如图，菱形的面积为24，点E是的中点，点F是上的动点．若的面积为4，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】10 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中线的性质，利用菱形的性质、三角形中线的性质求出，，根据和菱形的面积求出，，则可求出的面积，然后利用求解即可． 【详解】解：连接， ∵菱形的面积为24，点E是的中点，的面积为4， ∴，， 设菱形中边上的高为h， 则，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 【变式训练5-1】如图，四边形是菱形，对角线、交于点，于点，是线段的中点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查菱形的性质、勾股定理，由菱形的性质得， 则， 因为F是线段AD的中点，求出长，然后根据求出长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴， ∴， ∵是线段的中点，， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ， 故选： D． 【变式训练5-2】如图，在菱形中，，则的长为___________．    【答案】10 【分析】由菱形中，，易证得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：10． 【变式训练5-3】如图，在菱形中，分别是边上的点，且． 求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，先根据菱形的性质得到，再由线段的和差关系证明，则可利用证明，据此由全等三角形对应边相等可证明． 题型6 菱形的判定 例11．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可得四边形的四条边长相等，代入已知边长，计算周长即可． 【详解】解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形的周长为， 解法二： ∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴菱形的周长为， 故选：． 例12．如图，在中，，，对角线，交于点，点是的中点，，则的周长为_____． 【答案】8 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，证明四边形是菱形得，，根据直角三角形斜边中线的性质得，进而可求出的周长． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：8． 【变式训练6-1】四边形为矩形，过作对角线的垂线，过作对角线的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（    ） A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【答案】A 【分析】本题考查矩形性质、等面积法、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形性质及菱形的判定是解决问题的关键．由矩形性质得到，，进而由等面积法确定，再由菱形的判定即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 四边形为矩形， ，， 过作对角线的垂线，过作对角线的垂线， ， 如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为菱形， 故选：A． 【变式训练6-2】如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择_____（限填序号）． 【答案】①③或③① 【分析】本题主要考查了菱形的判定定理，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，据此可得到答案． 【详解】解：添加条件①时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故①符合题意； 添加条件②时， ∵四边形是平行四边形，， ∴不能得到四边形是菱形，故②不符合题意； 添加条件③时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故③符合题意； 故答案为：①③． 【变式训练6-3】如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为30，且，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：点是的中点， ． ， ∴四边形是平行四边形． 是直角三角形，点是的中点， ． 四边形是菱形． (2)30 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形．再结合直角三角形的性质可得，即可得证； （2）设，．则，，由勾股定理可得，求出，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：设，． 的周长为，． ，． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴． ∵点、分别是、的中点， ∴， ∵， ∴． ∴． 答：四边形的面积为30． 题型7 正方形 例13．如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由正方形的性质得到，再证明得到，进一步证明得到，设，则， 在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 例14．如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接． （1）线段的长为______； （2）若为的中点，则线段的长为______． 【答案】 2 / 【分析】本题考查正方形的性质，中位线定理，正确添加辅助线、熟练运用中位线定理是解题的关键； （1）运用正方形性质对角线互相平分、相等且垂直，即可求解， （2）作辅助线，构造中位线求解即可． 【详解】（1）四边形是正方形， ， 在中，， ， ， ； （2）延长到点，使，连接 由点向作垂线，垂足为 ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， 在中， ， ， 在中，， 为的中位线， ； 故答案为：2；. 【变式训练7-1】如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，连接，证明，可得，设，则，根据勾股定理可得，再利用角平分线的性质得到点到的距离相等，利用面积之比即可解答，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程解得是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，四边形是正方形， ，， 点E是边的中点， , 将沿直线翻折得， ，, ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得, 即， 解得， ， 和的平分线相交于点H， 点到的距离相等， ， 故选：A． 【变式训练7-2】如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则___________． 【答案】/ 【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 设正方形边长为，则， ∵， ∴， 在中，，即 解得：或（不合题意舍去） ∴． 故答案为：． 【变式训练7-3】【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上． 【数学理解】 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． (2)若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质可得，据此可利用证明； （2）由正方形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．zim 1．在菱形中，，则菱形的面积是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的面积计算公式计算即可． 【详解】解：． 2．菱形具有且矩形不一定具有的性质是（     ） A．四条边都相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相平分 D．对称轴互相垂直 【答案】A 【分析】根据菱形和矩形的性质逐一判断选项即可求解． 【详解】解：、菱形的四条边都相等，矩形的四条边不一定都相等，该选项符合题意； 、矩形的四个角都是直角，菱形的四个角不一定都是直角，该选项不符合题意； 、菱形和矩形的对角线都互相平分，该选项不符合题意； 、菱形和矩形的对称轴都互相垂直，该选项不符合题意． 3．如图，在中，，点为的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点、对应的刻度分别为、，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先求出，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，求解即可． 【详解】解：由刻度尺的读数可知，， 在中，点是斜边的中点， ∴． 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别位于轴、轴的正半轴上，分别是的中点，反比例函数经过点，若四边形的面积为，则的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】连接，易得四边形，均为矩形，矩形的面积等于四边形的面积，根据值的几何意义即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵矩形， ∴，，， ∵分别是的中点， ∴，， ∴，， ∵，， ∴四边形，均为矩形， ∴， ∴四边形的面积， ∵反比例函数经过点， ∴， ∵反比例函数过第一象限， ∴， ∴． 5．如图，四边形是菱形，，，于H，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记与相交于点，利用菱形的性质和勾股定理求出，再根据菱形的面积建立等式求解，即可解题． 【详解】解：记与相交于点， 四边形是菱形，，， ，， ， 菱形的面积， ， 解得． 6．如果一个平行四边形要成为一个正方形，需要增加的条件是（   ）． A．对角线互相垂直 B．对角互补 C．对角线互相垂直且相等 D．对角线相等 【答案】C 【分析】结合平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理逐一判断，正方形是同时满足矩形和菱形性质的平行四边形． 【详解】解：选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是正方形，故选项不符合题意； 选项：∵平行四边形对角相等，若对角互补，则每个内角为，此时平行四边形是矩形，不一定是正方形，故选项不符合题意； 选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形， ∴对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项符合题意； 选项：对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故选项不符合题意． 7．在矩形中， ，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为，当点落在线段的延长线上时，与 相交于点，则线段 的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明，再证明，设，则根据勾股定理，得，解答即可； 【详解】解：连接， 矩形绕点顺时针旋转得到矩形，，， ，，，， ∵在和中 ， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 设，则 根据勾股定理，得， 故， 解得， 故的长为：； 8．如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，且点C的对应点D恰好落在上，连接 ，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B作于点F，于点H，先根据图形旋转的性质及三角形内角和的性质，证明，再分别求出，的长即可． 【详解】解：过点B作于点F，于点H， ，，， ， 绕点B顺时针旋转得到， ， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的面积为． 9．如图，在中，，，，的两条外角平分线交于点，连接，若，则 的值为（    ）． A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】过点作交的延长线于，交的延长线于，于，根据角平分线的性质，可得，且四边形是正方形，结合可求出正方形的边长，再利用三角形面积关系推导的值． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于，交的延长线于，于， 平分，平分，，，， ，， ， 又 ， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ，在正方形中，对角线， ， 设，，因为，，所以，， 由角平分线性质可知， 在和中， , ， ， 在和中， , ， ， 所以， 在中，由勾股定理得， 即， 展开左边得， 化简得， 两边同时除以2得， 移项得， 两边同时除以2得． 二、填空题 10．如图，边长为2的正方形两边与坐标轴正半轴重合，则点C的坐标是______． 【答案】 【分析】根据题意求出，，再根据点C在第一象限即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是边长为2的正方形， ∴，， ∴点C的坐标为． 11．在矩形中，若，则________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形，为矩形的两条对角线， ∴， ∵， ∴. 12．如图，在长方形中，，在上存在一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处，若，那么长为_______． 【答案】/ 【分析】由折叠的性质，得，然后求出，则求出的长度，再根据勾股定理建立方程，求出即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ， 由折叠的性质，得， ∵， ∴， 又， 在中，， ， 解得， ． 13．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，E是的中点，连接，则的长为_________． 【答案】 【分析】取的中点，连接，由菱形的性质可得，，利用勾股定理求出，判断是的中位线，得到，，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵点是的中点，点E是的中点， ∴，是的中位线， ∴，，， ∴， ∴． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，点C的坐标为．点D在x轴上，连接，使，则点D的坐标为________． 【答案】或 【分析】先求出，，，从而可得，再分两种情况：当点在点左侧时，当点在点的右侧时，分别求解即可得出结果． 【详解】解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点在点左侧时， ∵，， ∴， 过点作，交直线于点，过点作轴，过点作于，过点作于，则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 将代入可得， 解得， ∴； 当点在点的右侧时， 作点关于直线的对称点，连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴， 综上所述，点D的坐标为或． 三、解答题 15．如图，四边形，分别是菱形与正方形，连接，若，求的度数． 【答案】 【分析】根据正方形和菱形的性质：一条对角线平分一组对角，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形，分别是菱形与正方形，且为对角线， ∴， ， ， ∵四边形是菱形， ， ． 16．如图，在中，为的中点，为的中点，为的中点．若，求的长． 【答案】20 【分析】先由三角形中位线定理得到，再由直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【详解】解：∵为的中点，为的中点，， ∴ ∵为的中点， ∴． 17．如图，在中，于点E． (1)尺规作图：作于点F（保留作图痕迹，不证明）； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据垂线的作法作图即可； （2）根据平行四边形的性质得到，进而得到，即可证明四边形是矩形； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：由作图可知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 18．如图，四边形是平行四边形，、相交于点，为的中点，连接，过点作于点，过点作于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形是菱形，，，求长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵点是的中点， ． ， ， 于点于点， ， 四边形是平行四边形 ， ， ∴四边形是矩形； (2)4.8 【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，根据已知可得，所以，于点F，于点G，则，先证明四边形是平行四边形，再证是直角即可； （2）根据菱形的性质可知，根据已知可求出，然后利用等面积法求出，利用矩形的性质即可求出的长． 【详解】（1）略． （2）解：∵四边形是菱形， ，，，， ，， ，， 在中，， ， 即， ． ∵四边形是矩形， ∴． 19．如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，，连接、，与对角线交于点O，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵ 四边形是矩形， ∴， ∴，． 在和 中， ， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）因为矩形对边平行，所以可得内错角相等，结合已知，可通过证明 和全等，得到． （2）连接，因为等腰三角形 中，所以根据等腰三角形三线合一可得，结合（1）可知，，根据斜边上的中线等于斜边的一半，则有，进而得到 ．结合，利用直角三角形两锐角互余的性质，可推出的度数．最后结合勾股定理，即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵，， ∴ ，即． 设 ，由题得， ∴ ， 即， ， ∴ ． ∵四边形是矩形，， ∴，， 由得，即是矩形对角线 的中点， ， ∴ ，即． 在中，，即， 解得，即． ∵， ∴， 由勾股定理得：． 20．如图，在平面直角坐标系中，将沿过原点的直线折叠，点A落在x轴上的点E处，折痕交边于点D，点B坐标为，四边形的面积为12． (1)四边形的形状为 ； (2)点D坐标为 ，线段的长为 ； (3)坐标平面内的点F使以点A、C、D、F为顶点的四边形构成平行四边形，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1)菱形 (2)， (3)或或 【分析】（1）延长，交轴于点，先求出，再根据折叠的性质可得，，，根据等角对等边得到，可知四边形是菱形； （2）证出四边形是平行四边形，求出，则可得，由此即可得点D坐标；利用勾股定理求出的长，从而可得的长； （3）先求出点的坐标，再分三种情况：①当以点、、、为顶点构成的四边形是平行四边形时，②当以点、、、为顶点构成的四边形是平行四边形时，③当以点、、、为顶点构成的四边形是平行四边形时，根据平行四边形的对角线互相平分求解即可得． 【详解】（1）解：如图，延长，交轴于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵点坐标为， ∴， 由折叠的性质得：，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：由（1）知， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的面积为12， ∴， 解得， ∴， ∴点坐标为； 由（1）已得：， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴； （3）解：由上已得：，，， ∴， ∴，， 设点的坐标为， ①当以点、、、为顶点构成的四边形是平行四边形时， ∴对角线互相平分， ∴，解得， ∴； ②当以点、、、为顶点构成的四边形是平行四边形时， ∴对角线互相平分， ∴，解得， ∴； ③当以点、、、为顶点构成的四边形是平行四边形时， ∴对角线互相平分， ∴，解得， ∴； 综上，点的坐标为或或． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 矩形、菱形与正方形 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 矩形的性质 题型2 矩形与折叠问题 题型3 矩形的判定定理理解 题型4 斜边的中线等于斜边的一半 题型5 菱形的性质 题型6 菱形的判定 题型7 正方形 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 矩形的性质与判定 2. 菱形的性质与判定 3. 正方形的性质与判定 4. 特殊平行四边形的面积计算 5. 特殊平行四边形的折叠问题 6. 中点四边形的判定与规律 7. 特殊平行四边形的动点与最值 8. 特殊平行四边形的综合证明与计算 1. 基础考查重辨析：从机械记忆性质定理转向概念深度辨析，围绕矩形、菱形、正方形的性质差异与判定条件设题，侧重考查特殊平行四边形的从属关系与逻辑边界，淡化纯背诵类考查，突出概念本质理解。 2. 核心考点常态化：三类特殊平行四边形的性质与判定为必考内容，覆盖选择、填空、解答全题型，侧重考查矩形的直角与对角线性质、菱形的边长与对角线垂直性质、正方形的双重属性，突出几何推理的通性通法。 3. 变换题型高频化：以折叠、旋转为代表的几何变换题型占比上升，常结合特殊平行四边形的对称性命题，融合勾股定理、全等三角形知识求解线段长度、角度大小，深度考查几何直观与逻辑推理能力。 4. 动点最值区分化：动点问题、最短路径、周长与面积最值成为中档压轴题标配，依托特殊平行四边形的图形特征，结合将军饮马等经典模型设问，梯度清晰，具备良好的区分度。 5. 综合证明分层化：解答题多采用分层设问模式，基础层考查特殊平行四边形的判定，中间层考查线段、角度的计算与证明，拓展层探究特殊图形的存在性，由易到难，兼顾基础与能力考查。 6. 知识关联体系化：注重与三角形中位线、勾股定理、全等三角形等已学知识的内在衔接，中点四边形规律、坐标系中的特殊平行四边形等题型持续考查，体现几何知识体系的关联性与综合性，契合新课标核心素养要求。 考情解码：“矩形、菱形与正方形” 是初中特殊四边形的核心内容，是平行四边形知识的深化与延伸，也是后续几何综合探究的重要基础，在八年级下册数学中占据核心地位。本专题涉及的特殊性质、判定定理及综合应用，是培养学生几何直观、逻辑推理与综合分析能力的关键载体。 试题从单一图形性质的记忆、辨析，向复杂图形变换、动点最值探究、综合证明计算转型，着重考查学生的图形分析能力、逻辑推理能力以及运用特殊四边形知识解决综合问题的能力。矩形与菱形的性质判定、正方形的双重属性、折叠与动点问题是高频综合考点，常与全等三角形、勾股定理、平面直角坐标系等知识结合，体现几何与代数知识的内在融合。 知识点一 矩形的性质与判定 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形。 性质：具备平行四边形的所有性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有2条对称轴。 判定：定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线法：对角线相等的平行四边形是矩形； 角判定：有三个角是直角的四边形是矩形。 直角三角形推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 【易错提醒】 （1）对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”的前提，易忽略前提导致判定错误； （2）矩形的对角线相等且互相平分，不可只记相等，忽略平分的性质； （3）判定矩形只需三个角为直角，第四个角可由内角和推出，无需四个角全部作为条件。 即时即练如图，矩形的对角线，相交于点O，若，则（   ） A． B． C． D． 知识点二 菱形的性质与判定 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 性质：具备平行四边形的所有性质；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有2条对称轴。 判定：定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 边判定：四条边都相等的四边形是菱形。 面积计算：菱形面积底高对角线乘积的一半。 【易错提醒】 （1）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须加上“平行四边形”的前提，或证明四条边相等； （2）菱形的对角线平分对角，矩形没有这个性质，易混淆二者的对角线特征； （3）用对角线乘积的一半计算面积时，易忘记除以2，导致结果错误。 即时即练如图，在菱形中，若，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 知识点三 正方形的性质与判定 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 性质：兼具矩形和菱形的所有性质 边：四条边都相等，对边平行；角：四个角都是直角； 对角线：对角线相等、互相垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角； 对称性：有4条对称轴，既是中心对称图形也是轴对称图形。 判定： 有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形； 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。 从属关系：正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，更是特殊的平行四边形。 【易错提醒】 （1）正方形的判定需同时满足矩形和菱形的特征，仅满足单一特征不能判定为正方形； （2）正方形的对角线与边的夹角为，这是重要隐含条件，解题时常被忽略； （3）正方形是特殊的矩形、菱形、平行四边形，从属关系不可颠倒； 即时即练下列条件能判断正方形的是（   ） A．对角线互相垂直的菱形 B．对角线相等的菱形 C．对角线互相平分的矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形 知识点四 特殊平行四边形的综合应用 折叠问题：利用折叠前后图形全等，对应边、对应角相等，结合勾股定理列方程求解线段长度。 中点四边形规律：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形；原四边形对角线相等，中点四边形是菱形；原四边形对角线垂直，中点四边形是矩形。 动点与最值问题：依托特殊平行四边形的对称性，结合将军饮马模型、垂线段最短等结论，求解线段和、周长、面积的最值。 通用解题思路：先根据判定定理确定图形类型，再利用对应图形的性质推导边、角、对角线关系，结合全等三角形、勾股定理完成计算与证明。 【易错提醒】 （1）折叠问题中，折叠前后的对应边、对应角容易找错，需准确识别重合部分； （2）中点四边形的形状只与原四边形对角线的关系有关，与原四边形类型无直接关系，易记混结论； （3）综合证明中条件堆砌、逻辑不清晰，需逐步推导，先证平行四边形，再证特殊平行四边形； 即时即练如图，已知平行四边形的面积是，图中分割线均经过对角线、的交点，那么阴影部分的面积为_______． 题型1 矩形的性质 例1．如图，在矩形中，为对角线，平分交于点F，点E是上一点，连接、，若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 例2．如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的周长为_______． 【变式训练1-1】如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A．1 B．5 C．2 D． 【变式训练1-2】一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是______． 【变式训练1-3】如图，是矩形的对角线，请按以下要求解决问题： (1)利用尺规作，使与关于直线成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若交于点，，，求的长． 题型2 矩形与折叠问题 例3．如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 例4．如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则______． 【变式训练2-1】将一张长方形纸片按如图所示的方式对折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则________． 【变式训练2-3】如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型3 矩形的判定定理理解 例5．如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 例6．如图，在矩形中，，点F，E分别是，上的动点，满足，则的最小值为_________． 【变式训练3-1】如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；    上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式训练3-2】如图，在四边形中，，，，，点E在边上，将沿向上折叠，若点B与点D恰好重合，则的长为______． 【变式训练3-3】如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 题型4 斜边的中线等于斜边的一半 例7．如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例8．某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为_______m． 【变式训练4-1】如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，点E，F分别在边上，连接交对角线于点P．若P为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】如图，在矩形中，，E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，连接． （1）当点G恰为中点时，则______． （2）当平分时，若，则______． 【变式训练4-3】如图，在中，交的延长线于点E，． (1)求证：四边形是矩形； (2)F为的中点，连接，．已知，，求的长． 题型5 菱形的性质 例9．如图，在菱形中，，点E为对角线上一点，F为边上一点，连接，，若，，则一定等于（   ） A． B． C． D． 例10．如图，菱形的面积为24，点E是的中点，点F是上的动点．若的面积为4，则图中阴影部分的面积为______． 【变式训练5-1】如图，四边形是菱形，对角线、交于点，于点，是线段的中点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】如图，在菱形中，，则的长为___________．    【变式训练5-3】如图，在菱形中，分别是边上的点，且． 求证：． 题型6 菱形的判定 例11．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 例12．如图，在中，，，对角线，交于点，点是的中点，，则的周长为_____． 【变式训练6-1】四边形为矩形，过作对角线的垂线，过作对角线的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（    ） A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【变式训练6-2】如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择_____（限填序号）． 【变式训练6-3】如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为30，且，求四边形的面积． 题型7 正方形 例13．如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A．2 B． C． D． 例14．如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接． （1）线段的长为______； （2）若为的中点，则线段的长为______． 【变式训练7-1】如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则___________． 【变式训练7-3】【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上． 【数学理解】 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． (2)若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 1．在菱形中，，则菱形的面积是（     ）． A． B． C． D． 2．菱形具有且矩形不一定具有的性质是（     ） A．四条边都相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相平分 D．对称轴互相垂直 3．如图，在中，，点为的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点、对应的刻度分别为、，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别位于轴、轴的正半轴上，分别是的中点，反比例函数经过点，若四边形的面积为，则的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．如图，四边形是菱形，，，于H，则等于（     ） A． B． C． D． 6．如果一个平行四边形要成为一个正方形，需要增加的条件是（   ）． A．对角线互相垂直 B．对角互补 C．对角线互相垂直且相等 D．对角线相等 7．在矩形中， ，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为，当点落在线段的延长线上时，与 相交于点，则线段 的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，且点C的对应点D恰好落在上，连接 ，则的面积为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，的两条外角平分线交于点，连接，若，则 的值为（    ）． A．1 B．2 C． D． 二、填空题 10．如图，边长为2的正方形两边与坐标轴正半轴重合，则点C的坐标是______． 11．在矩形中，若，则________． 12．如图，在长方形中，，在上存在一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处，若，那么长为_______． 13．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，E是的中点，连接，则的长为_________． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，点C的坐标为．点D在x轴上，连接，使，则点D的坐标为________． 三、解答题 15．如图，四边形，分别是菱形与正方形，连接，若，求的度数． 16．如图，在中，为的中点，为的中点，为的中点．若，求的长． 17．如图，在中，于点E． (1)尺规作图：作于点F（保留作图痕迹，不证明）； (2)求证：四边形是矩形． 18．如图，四边形是平行四边形，、相交于点，为的中点，连接，过点作于点，过点作于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形是菱形，，，求长． 19．如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，，连接、，与对角线交于点O，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 20．如图，在平面直角坐标系中，将沿过原点的直线折叠，点A落在x轴上的点E处，折痕交边于点D，点B坐标为，四边形的面积为12． (1)四边形的形状为 ； (2)点D坐标为 ，线段的长为 ； (3)坐标平面内的点F使以点A、C、D、F为顶点的四边形构成平行四边形，请直接写出点F的坐标． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $