专题01 分式（暑假复习讲义）新九年级数学新教材华东师大版

专题01 分式 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 分式 题型2 分式的基本性质 题型3 分式的乘除 题型4 分式的加减 题型5 分式方程的定义 题型6 分式方程无解问题 题型7 列分式方程 题型8 分式方程的应用 题型9 零指数幂与负整指数幂 题型10 科学记数法 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 分式的概念及相关条件 1. 分式的基本性质与变形 1. 分式的四则运算 1. 分式化简求值 1. 零指数幂与负整数指数幂 1. 分式方程的定义与解法 1. 分式方程的根的讨论 1. 基础题聚焦概念辨析：以选择题、填空题为主，考查分式定义、有意义 / 值为 0 的条件、零指数幂 / 负整数指数幂的计算，难度较低但易错）。 1. 运算题强调熟练度与细节：分式混合运算、化简求值为解答题必考题型，命题倾向 “多步骤、重细节”，侧重考查因式分解的彻底性、最简公分母的准确性、运算顺序及符号处理（如负号在分子分母中的传递），部分题目结合整式运算综合考查。 1. 分式方程侧重 “解法 + 根的讨论”：解分式方程必考题中，常设置 “增根检验” 的得分点；进阶题型以 “求参数取值” 为主，结合分类讨论思想（如分式方程无解可能是整式方程无解，或解为增根），难度中等偏上。 1. 应用题贴合实际情境：命题素材源于生活（如新能源汽车行程问题、工程队施工效率问题、电商销售折扣问题），强调数学建模能力，要求学生能从实际问题中提炼等量关系，并检验解的现实意义，常作为中档解答题或压轴小题。 1. 创新题型渗透数学思想：部分地区会考查分式新定义运算、规律性问题，渗透分类讨论、整体代入、转化与化归思想（如将分式方程转化为整式方程、将复杂分式化简为最简形式），侧重考查知识迁移能力。 1. 易错点反复考查：命题中高频出现 “约分不彻底”“通分漏字母 / 指数”“解分式方程不检验”“负整数指数幂运算错误” 等易错点，旨在检验学生的严谨性，平时练习需针对性规避。 考情解码：“分式”是初中代数的入门核心，是后续学习反比例函数、二次根式、一元二次方程等内容的基础，在八年级下册数学中占据关键地位。本专题涉及的概念、性质、运算法则及应用，是培养学生运算能力、建模思想与规范表达能力的重要载体。 试题从单一概念的记忆、辨析，向复杂运算化简、参数求解、生活情境应用转型，着重考查学生的运算严谨性、逻辑推理能力以及运用代数知识解决实际问题的能力。分式的混合运算、分式方程的解法与应用、增根问题是高频综合考点，常与后续因式分解、整体代入、实际应用题（行程、工程、利润）等知识结合，体现代数知识的内在联系。 知识点一 分式的概念 分式的定义：一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式。其中 A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。 有理式的分类：整式和分式统称有理式，即 分式有意义的条件：分母不为 0（） 分式无意义的条件：分母为 0（） 分式值为 0 的条件：分子为 0 且分母不为 0（ 且 ），二者缺一不可 整式与分式的核心区别：分式的分母必须含有字母；注意 是常数，不是字母，如 是整式不是分式 【易错提醒】 （1）判断分式只看原式的分母是否含字母，不能以化简后的结果判断，如 是分式，化简后为整式 ，但原式仍属于分式； （2）分式值为 0 时，必须同时满足“分子为0”和“分母不为0”，极易忽略分母不为0的隐含条件； （3）只有在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值。 即时即练下列有理式中、、、，哪些是整式 哪些是分式 ； 当 ______时，分式 有意义；当 ______时，分式 的值为 0。 【分析】 1. 整式与分式区分：分母不含字母的是整式，含字母的是分式， 为常数，因此 、 是整式，、 是分式； 2. 分式有意义：分母 ，解得 ； 3. 分式值为0：分子 得 ，分母 得 ，因此 。 【解答】 整式：、；分式：、； 时分式有意义； 时分式值为0。 知识点二 分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 用式子表示：，（，其中 A、B、C 是整式）。 分式的变号法则：改变分式的分子、分母与分式本身三者中任意两个的符号，分式的值不变；改变其中一个或三个的符号，分式变为原分式的相反数。 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。约分的结果必须是最简分式（分子与分母没有公因式的分式）。 通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。通分的关键是确定最简公分母（各分母系数的最小公倍数与所有因式最高次幂的乘积）。 【易错提醒】 （1）运用基本性质时，必须保证同乘/除的整式不为0，极易忽略 的前提条件； （2）约分、通分时，多项式要先因式分解，再找公因式或最简公分母，不可直接对原式约分； （3）分子分母是多项式时，变号要作用于整个多项式，容易只改变第一项符号导致错误。 即时即练 (1) 填空：； (2) 约分：； (3) 求分式 与 的最简公分母。 【分析】 (1) 分母 乘 得到 ，分子 也要同乘 ，得 ； (2) 先因式分解：分子 ，分母 ，约去公因式 ，得 ； (3) 系数最小公倍数是12， 的最高次幂是 ， 的最高次幂是 ，因此最简公分母为 。 【解答】 (1) ；(2) ；(3) 知识点三 分式的运算 分式的乘除： 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。即 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。即 分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方。即 （ 为正整数） 分式的加减 同分母分式加减：分母不变，把分子相加减。即 异分母分式加减：先通分，化为同分母分式，再加减。即 分式的混合运算：运算顺序为“先乘方，再乘除，最后加减”；有括号时先算括号内的；最终结果必须化为最简分式或整式。 【易错提醒】 （1）分式乘除运算中，遇到多项式应先因式分解再约分，避免直接相乘导致计算复杂、出错； （2）异分母分式加减时，通分后的分子是整体，需添加括号，极易漏括号导致符号错误； （3）混合运算易出现顺序混乱，需严格遵循运算规则，不可随意跳步； （4）化简求值题型，代入数值前必须保证原分式所有分母均不为0，不可代入使分母为0的值。 即时即练 (1) 计算：； (2) 先化简，再求值：，其中 。 【分析】 (1) 先因式分解：分子 ，分母 ；除法变乘法得 ，约分后得 ； (2) 先算括号内：；除法变乘法：；代入 ，结果为 。 【解答】 (1) ；(2) 化简结果为 ，代入 得 知识点四 分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 解法步骤（四步法）： a. 去分母：方程两边同乘最简公分母，将分式方程化为整式方程； b. 解整式方程：按照一元一次方程的解法求出未知数的值； c. 验根（必备步骤）：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则是原方程的解；若最简公分母为0，则是增根，原分式方程无解。 d. 写结论：根据检验结果作答，检验是必写步骤，不可省略。 增根的意义：增根是去分母后所得整式方程的解，但不是原分式方程的解，它会使原分式方程的分母为0。 实际应用：常见题型包括行程问题、工程问题、销售利润问题等，核心是找准等量关系列方程，求解后需检验解是否符合实际意义。 【易错提醒】 （1）去分母时，极易漏乘不含分母的常数项，导致方程变形错误； （2）验根是解分式方程的必要步骤，省略验根会造成失分； （3）“增根”与“无解”不是同一概念：增根是无解的一种情况，但无解还可能由整式方程本身无解导致，不可混淆； （4）实际应用题中，解出的结果需检验合理性，如人数、时间、长度不能为负数。 即时即练 (1) 解方程：； (2) 若关于 的分式方程 有增根，求 的值。 【分析】 (1) 最简公分母为 ，去分母得 ，解得 ；检验： 时，，因此 是原方程的解； (2) 最简公分母为 ，增根为 ；去分母得 ，将 代入整式方程，得 ，解得 。 【解答】 (1) 方程的解为 ；(2) 的值为4 知识点五 零指数幂与负整指数幂 零指数幂：（），即任何不等于0的数的0次幂都等于1。 负整数指数幂：（， 是正整数），即任何不等于0的数的 次幂，等于这个数的 次幂的倒数。 整数指数幂的运算性质：幂的运算性质可推广到全体整数范围 · 同底数幂相乘：（ 为整数） · 幂的乘方：（ 为整数） · 积的乘方：（ 为整数） 科学记数法：小于1的正数可以表示为 的形式，其中 ， 是正整数， 等于原数左边第一个非0数字前所有0的个数（含小数点前的0）。 【易错提醒】 （1）零指数幂的底数不能为0，极易忽略 的限制条件； （2）负整数指数幂计算时易出现符号错误，注意 （）结果恒为正数，负指数不代表结果为负； （3）用科学记数法表示小数时，易数错 的数值，需逐位确认0的个数。 即时即练 (1) 计算：； (2) 用科学记数法表示：______。 【分析】 (1) （底数不为0），，因此结果为 ； (2) 0.000072 左边第一个非0数字是7，前面共有5个0，因此表示为 。 【解答】 (1) 结果为10；(2) 题型1 分式 例1．要使分式有意义，的取值应满足（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式有意义时分母不为0，列出分母不为0的式子求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不为0， ∴要使分式有意义，则， 解得． 例2．已知分式． (1)若分式的值为0，则的值为_____． (2)若分式的值为正数，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2)且 【分析】（1）根据分式为0，得出分母不为0，分子为0进行列式计算，即可作答． （2）根据分式的值为正数，得出，，再解得且，即可作答． 【详解】（1）解：∵分式的值为0， ∴， ∴，， 即若分式的值为0，则的值为2； （2）解：∵由题得分式有意义， ， ， 分式的值为正数， ， ， 且． 【变式训练1-1】代数式，，，中分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵的分母为，是常数，不含字母，∴是整式； ∵的分母为，含有字母，∴是分式； ∵的分母为，含有字母，∴是分式； ∵的分母为，是常数，不含字母，∴是整式； 综上，分式共有个． 【变式训练1-2】若分式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件，分母不为0，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 【变式训练1-3】请写出一个使在实数范围内有意义的x的值：______． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】根据分式有意义的条件列式，求解后选取符合条件的的值即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 使在实数范围内有意义的的值可以为． 题型2 分式的基本性质 例3．下列从左到右的分式变形中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于A，分式的分子分母同时加上同一个整式，不满足分式基本性质，值不一定相等，例如取，左边为，右边为，，因此A错误； 对于B，该变形是分子分母同乘，但未说明，当时，右侧分母为0，无意义，因此B错误； 对于C，原式分母为，，分子分母同时约去公因式，可得，变形正确，因此C正确； 对于D，该变形不符合分式基本性质，值不一定相等，例如取，左边为，右边为，，因此D错误． 例4．分式与的最简公分母为____． 【答案】 【分析】此题考查了分式的最简公分母，掌握将所有多项式的分母分解因式，所有不同因式的乘积组成了分式的最简公分母是解题的关键．对分母进行因式分解，找到不同因式的乘积解题即可． 【详解】解：，， ∴分式与的最简公分母是， 故答案为：． 【变式训练2-1】若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（     ）． A．扩大2倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】C 【分析】将和代入即可得到答案． 【详解】解：将分式中的和都扩大2倍可得， 原分式缩小到原来的． 【变式训练2-2】若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意将扩大后的x，y代入分式，化简后结合原分式的值即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 将x，y都扩大3倍后，得到新分式： ． 【变式训练2-3】约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了约分，完全平方公式分解因式，平方差公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用分式的基本性质约分； （2）先将分子、分母分别分解因式，再约分． 【详解】（1）解：． （2）解：． 题型3 分式的乘除 例5．已知这是一道分式化简题，其中一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合分式除法法则化简原式，再将各选项代入被污染部分，判断结果是否为整式，即可得到答案． 【详解】解：根据分式除法运算法则，原式可化为： A 当时，原式，结果分母含未知数，不是整式，此选项符合题意； B 当时，原式，是整式，此选项不符合题意； C 当时，原式，是整式，此选项不符合题意；. D 当时，原式，是整式，此选项不符合题意； ∴ 被墨水覆盖的部分不可能是． 例6．化简__________． 【答案】 【详解】解： ． 【变式训练3-1】计算（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查分式的除法运算，利用分式除法法则将除法转化为乘法，再通过约分简化计算． 【详解】解：原式 ． 故选：D． 【变式训练3-2】计算：________． 【答案】 【分析】利用分式除法法则将除法运算转化为乘法运算，再通过约分得到计算结果． 【详解】解：原式 ． 【变式训练3-3】计算 (1)； (2) 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 题型4 分式的加减 例7．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，原计算错误； B．，原计算错误； C．，原计算错误； D．，原计算正确． 例8．若，则的值是______． 【答案】6 【分析】将，变形得，再两边平方，最后等式变形即可． 【详解】由，得， 两边平方，得， 得， ∴． 【变式训练4-1】已知是实数，并且，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据，得到，，再利用整体代入法进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，，等式不成立， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【变式训练4-2】若，则______． 【答案】4 【分析】先利用异分母的分式加减法可得，再对原式变形后将整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴原式． 【变式训练4-3】先化简，再求值，从，，2这三个数中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【详解】解： ， ， ， ∴当时，原式． 题型5 分式方程的定义 例9．岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题目的意思，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是．由于种植红薯地的面积=这块地的总产量÷平均每亩产量，根据改良红薯品种前后种植红薯地的面积不变列方程求解，用含a、m的代数式表示出x即可． 【详解】解：设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是． ∵总产量增加了， ∴， 解得：， 经检验符合题意， 所以现在平均每亩红薯的产量是． 故选：B． 例10．有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有_______（填序号）． 【答案】② 【分析】此题主要考查了分式方程的定义，利用分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进而判断即可． 【详解】解：①是一元一次方程， ②是分式方程， ③（为不等于2的常数），是一元一次方程， 故答案为：②． 【变式训练5-1】下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式方程的定义为：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分母不含未知数的方程是整式方程． 【详解】解：A选项，分母为5和4，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； B选项，方程是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求； C选项，分母为2和3，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； D选项，分母为，含有未知数，符合分式方程的定义， 【变式训练5-2】请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义______． 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据时没有意义可知，当时，分式的分母为0，根据条件进行构造即可． 【详解】解：一个未知数是且当时没有意义的分式方程为答案不唯一． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的概念和方程有增根，掌握使分式方程的最简公分母的值为0的方程的根是增根，是解题的关键． 【变式训练5-3】解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)分式方程无解． 【分析】（）先将分式方程两边乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （）先将分式方程两边乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； 本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， 经检验：是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为； （2）解：， ， ， 检验：时，， ∴原分式方程无解． 题型6 分式方程无解问题 例11．．关于的分式方程无解，则的值为（） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，据此分情况计算的值即可． 【详解】解： ， 分两种情况讨论： 当整式方程无解时，， 解得：； 当整式方程的解为原分式方程的增根时，即， 代入得：， 解得， 综上，的值为或． 例12．关于x的分式方程 无解，则m的值为________ ． 【答案】1或2 【分析】将原方程去分母并整理，然后根据题意分两种情况求得m的值即可． 【详解】解： 原方程去分母得：， 整理得：， 当时，该方程无解，符合题意， 解得：， 当时，原分式方程无解， 那么， 即， 则， 解得：， 综上，m的值为1或2． 【变式训练6-1】若分式方程无解，则a的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】分式方程无解说明方程的解为无解，无解使原分式分母为0，先去分母将分式方程化为整式方程，再将无解代入整式方程即可求出a的值． 【详解】解：， 方程两边同乘，得 ， 整理得， ∵ 分式方程无解， ∴ 原方程分母为， 解得， 把代入，得 ， 解得． 【变式训练6-2】若关于x的分式方程无解，则k的值为______． 【答案】 1 【分析】先将原分式方程去分母化为整式方程，分式方程无解说明原方程存在增根，增根使原方程分母为零，求出增根后代入整式方程即可求解． 【详解】解：， 两边同乘最简公分母得：， 关于的分式方程无解， 原分式方程有增根，增根使分母，即， 将代入得：． 【变式训练6-3】若解关于x的方程无解，求代数式的值． 【答案】9 【分析】此题考查了分式的化简求值，分式方程无解时求参数问题，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先解分式方程得到，然后由方程无解得到，代入求出，然后代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵关于x的方程无解， ∴ ∴， ∴， ∴， ， 当时，原式． 题型7 列分式方程 例13．袁隆平院士被称为“杂交水稻之父”，他在早期的研究中需要对不同的水稻品种进行种植，计算其单位产量．现有两块面积相同的水稻试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别获得水稻和，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少，如果设第一块试验田每公顷的产量为，那么满足怎样的分式方程？（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两块试验田面积相等建立等量关系，先由产量之差分别表示两块试验田的单位产量，再利用面积=总产量÷单位产量列出分式方程． 【详解】解：设第一块试验田每公顷的产量为， ∵第一块试验田每公顷的产量比第二块少， ∴第二块试验田每公顷的产量为， 又∵两块试验田面积相同， ∴第一块试验田的面积为，第二块试验田的面积为， ∴可得方程． 例14．中国高铁以其庞大的网络规模、先进的技术和快速便捷的服务，成为世界上最长的高速铁路网络，连接了国内众多城市，极大地促进了区域经济的发展和人员流动的便利．从地到地，路程为，某趟动车行驶的平均速度比普通列车快，所需时间比普通列车少，求该动车行驶的平均速度． (1)根据题意填空． ①小明设_____为，列出尚不完整的方程：_____； ②小华设_____为，列出尚不完整的方程：； (2)请选择其中一名同学的设法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)①普通列车的平均速度，；②动车的行驶时间， (2)见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键． (1) ①设普通列车的平均速度为，则动车的平均速度为，根据所需时间比普通列车少，即可列出关于的分式方程，此题得解．②设动车的行驶时间为，根据动车行驶的平均速度比普通列车快，列出方程即可； (2) 解（1）中列出的方程并检验即可． 【详解】（1）解：①小明设普通列车的平均速度为，列出的方程为：， 故答案为：普通列车的平均速度， ②小华设动车的行驶时间为，列出的方程为：； 故答案为：动车的行驶时间， （2）①设普通列车的平均速度为，列出的方程为：， 解得， 经检验是方程的根且符合题意， 此时， 答：该动车行驶的平均速度． ②设动车的行驶时间为y h，列出的方程为： 解得， 经检验是方程的根且符合题意， 此时 km/h， 答：该动车行驶的平均速度． 【变式训练7-1】我市为进一步加密城市轨道交通线网，提升城市交通的便捷性和覆盖范围，地铁5号线、6号线一期工程正在建设中，计划于2028-2029年陆续开通．为使工程提前半年完成，需将工作效率提高．若设原计划完成这项工程需要x个月，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将总工作量看作单位1，，分别表示原效率和实际效率，根据实际效率比原效率提高的关系列方程即可. 【详解】解：设原计划完成这项工程需要个月，将总工作量看作单位. ∵ ， ∴ 原工作效率为 ， ∵ 工程提前半年，即提前6个月完成， ∴ 实际工作时间为 个月，实际工作效率为 . ∵ 工作效率提高，即实际工作效率是原工作效率的倍 ∴可列方程： . 【变式训练7-2】《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为________． 【答案】 【分析】设规定时间为天，分别表示出慢马和快马的速度，再根据两者速度的倍数关系列方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 根据题意可得，慢马所需时间为天、快马所需时间为天，则慢马的速度为里/天、快马的速度为里/天， 由快马的速度是慢马的倍，得． 【变式训练7-3】人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业，某物流园区利用A，B两种自主移动机器人搬运化工原料． (1)若有化工原料，A型机器人小时搬运完成，则每小时搬运______化工原料，B型机器人小时搬运完成，则每小时搬运______化工原料，两种机器人合作需______小时搬运完成． (2)若A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 【答案】(1)，，． (2)A型机器人每小时搬运化工原料，B型机器人每小时搬运化工原料． 【分析】本题考查分式方程的应用，准确的表示A，B两种自主移动机器人搬运化工原料的工作时间是解本题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料，根据题意列出方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意可得A型机器人每小时搬运化工原料， B型机器人每小时搬运化工原料， 两种机器人合作搬运完成需要的时间为：， 故答案为：，，； （2）解：设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料， 根据题意可得，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：A型机器人每小时搬运化工原料，B型机器人每小时搬运化工原料． 题型8 分式方程的应用 例15.在中，是模型用来表示自然语言文本的基本单位．已知通过官方，模型每分钟输出生成速度是模型每分钟输出生成速度的3倍，模型输出生成 的时间比模型输出生成 的时间多用分钟．请问模型每分钟输出生成速度是多少？ 【答案】模型每分钟输出生成速度是分钟 【分析】利用时间 = 总量 ÷ 速度 的关系，结合两种模型的时间差建立方程求解； 【详解】解：设模型每分钟输出生成速度是 ，则模型每分钟输出生成速度是 ，根据题意列方程得， ， 解得，， 经检验是原分式方程的解且符合实际． 则分钟， 答：模型每分钟输出生成速度是分钟． 例16．“才人相见都相赏，天下风流是此花”，月季被称为“花中皇后”，为常绿、半常绿低矮灌木，四季开花．某苗圃培育了两个品种月季花，已知每棵A品种月季花的售价比每棵B品种月季花的售价多10元，用6000元购买A品种月季花与用4800元购买B品种月季花的数量相等． (1)每棵A品种月季花和B品种月季花的售价分别是多少元？ (2)5月份该苗圃共售卖月季花300棵，A品种月季花的销售量不高于B品种月季花的2倍，且销售收入不低于13900元，则一共有多少种售卖方案？（不需要写出具体方案） 【答案】(1)每棵A品种月季花的售价是50元，每棵B品种月季花的售价是40元 (2)11种 【分析】（1）设每棵A品种月季花的售价是x元，则每棵B品种月季花的售价是元，因为两种购买方式对应的花卉数量相等，所以可依据“数量=总价÷单价”的公式列分式方程求解． （2）设5月份该苗圃售卖a棵A品种月季花，则售卖棵B品种月季花，结合“A品种销量不高于B品种的2倍”，“销售收入不低于13900元”两个条件，列出一元一次不等式组，求解得到未知数的取值范围，根据未知数为正整数的属性确定取值个数，即可得到售卖方案的数量． 【详解】（1）解：设每棵A品种月季花的售价是x元，则每棵B品种月季花的售价是元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：每棵A品种月季花的售价是50元，每棵B品种月季花的售价是40元． （2）解：设5月份该苗圃售卖a棵A品种月季花，则售卖棵B品种月季花， 根据题意得， 解得， 又为整数，（种）， 答：一共有11种售卖方案． 【变式训练8-1】某工程队承接一项隧道工程，在挖掘一条200米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的1.2倍，结果提前了6天完成了其中180米的隧道挖掘任务． (1)求实际每天挖掘多少米； (2)由于天气等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过32天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，每天至少应多挖掘多少米？ 【答案】(1)6米 (2)4米 【分析】（1）设原计划每天挖掘x米，则实际每天挖掘米，根据结果提前了6天完成了其中180米的隧道挖掘任务，列方程求解； （2）设每天还应多挖掘m米．根据完成该项工程的工期不超过32天，列不等式进行分析． 【详解】（1）解：设原计划每天挖掘x米，则实际每天挖掘米， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的根． 则实际每天挖掘为（米）． 答：实际每天挖掘6米； （2）解：设每天应多挖掘m米， 根据题意得， 解得， 答：至少每天应多挖掘4米． 【变式训练8-2】某化工厂采用机器人和机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运10千克，机器人搬运450千克所用时间与机器人搬运500千克所用时间相等．求机器人，每小时分别搬运多少千克化工原料． 【答案】机器人A每小时搬运90千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料． 【分析】本题考查分式方程的实际应用．设机器人A每小时搬运的重量为未知数，结合机器人B与A的搬运量关系表示出B的速度，再根据时间相等的条件列方程求解． 【详解】解：设机器人A每小时搬运千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料， ， 解得：， 检验：当时，，所以是原方程的解， 则机器人B每小时搬运：（千克）． 答：机器人A每小时搬运90千克，机器人B每小时搬运100千克． 【变式训练8-3】李师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产汽车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：________元 (1)用含的代数式表示出新能源车每千米行驶费用________元； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车的每千米行驶费用多元．请你帮李师傅计算一下，这两款车的每千米行驶费用各是多少元？ 【答案】(1) (2)燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，理解题意并正确列出代数式是解题关键． （1）先计算出行驶千米的总费用，再平均一下即可； （2）根据两种车每千米费用的差值，构造分式方程，求解并检验即可． 【详解】（1）解：由题意可得，新能源车行驶千米的费用为（元）， ∴每千米行驶费用为元． 故答案为：； （2）解：∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ∴可列方程， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元． 题型9 零指数幂与负整指数幂 例17．下列各式中，值为负数的是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】分别计算零次幂、负整数指数幂及乘方运算即可得出结果. 【详解】解：A、，不符合题意； B、0不是负数，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意. 例18．计算：________． 【答案】5 【详解】解：． 【变式训练9-1】下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； ．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； ．，此选项的计算正确，故此选项符合题意； ．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； 【变式训练9-2】计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式训练9-3】．若，，，，则它们的大小关系是________．（用“”连接） 【答案】 【分析】根据乘方运算、零指数幂的意义、绝对值的性质以及负整数指数幂的意义即可求出答案． 【详解】解：，，，， ． 题型10 科学记数法 例19．在科技应用领域方面，皮米通常用于描述原子核的大小、原子之间的距离，或者更小的粒子结构，其中1皮米，某个原子的直径为，用科学记数法表示这个数正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 例20．近年来，中国科研团队在二维金属研究领域取得了突破性进展，成功制备出厚度仅为一张普通A4纸百万分之一（约0.34纳米）的二维金属材料，0.34纳米米，将0.00000000034用科学记数法可表示为________________． 【答案】 【详解】解：∵把0.00000000034的小数点移到第一个非零数字后面，向右移动了10位，得到3.4， ∴． 【变式训练10-1】叶绿体是绿色开花植物进行光合作用的场所，常存在于叶肉细胞中，多是扁球形，若某种叶绿体的长径约0.0005cm，0.0005用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 【变式训练10-2】据测量，一根眼睫毛的粗细只有0.0000013米，用科学记数法表示为__________米． 【答案】 【分析】根据科学记数法的定义确定和的值即可求解． 【详解】解：根据科学记数法的定义，绝对值小于1的正数的一般表示形式为，其中满足，为原数中第一个非零数字前零的个数， 对于，原数左边第一个非零数字为，其前面共有个零， 因此可得：． 【变式训练10-3】下列用科学记数法表示的数的原数是什么？ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查科学记数法的知识，解题的关键是把的形式还原成原数，在中，当时，则小数点向左移动位，当时，则小数点向右移动位，即可． （1）根据题意，，小数点向左移动位，即可； （2）根据题意，，小数点向右移动位，即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 1．若分式的值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的值为，即分子为且分母不为，由此计算即可． 【详解】解：若分式的值为，则且， 解得． 2．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式有意义的条件，分式有意义时分母不等于，据此求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得． 3．某高端芯片的核心——晶体管的栅极宽度已经达到．用科学记数法表示0.000000003是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 4．已知关于的分式方程有增根，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据分式分母为零确定增根，再将分式方程化为整式方程，代入增根计算的值即可． 【详解】解：∵分式方程有增根时，增根使原方程分母为0 ∴由得增根为 原方程变形为 方程两边同乘最简公分母，得整式方程： 将增根代入整式方程，得： 整理得， 解得． 5．若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先去分母后得到的整式方程，再根据原方程无解，即有增根，解答即可求出m的值． 【详解】解：． 方程两边同乘去分母，得： 整理得． ∵原方程无解，即原方程有增根，则， ∴是方程的增根，将代入得： ， 解得． 6．某班同学到距学校12千米的烈士陵园扫墓．一部分同学骑自行车先行，半小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车速度的3倍，若设自行车的速度为x千米/小时，则下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“时间=路程÷速度”，结合题目给出的时间关系，统一单位后即可得到正确方程． 【详解】解：∵设自行车速度为千米/小时，汽车速度是自行车速度的3倍， ∴汽车速度为千米/小时． ∵总路程为12千米， ∴自行车走完全程的时间为小时，汽车走完全程的时间为小时． ∵自行车先行半小时，即小时，最终同时到达， 因此自行车总用时比汽车多小时， 可得等量关系：． 7．为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级拟购置一批排球，预算总额设定为1500元．已知A品牌每个排球的单价比B品牌便宜20元，如果全部购买A品牌，可比全部购买B品牌多买20个．设B品牌每个排球的单价为元，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“A品牌数量比B品牌多20个”的等量关系，用含的代数式表示出两种排球的购买数量，进而列出方程． 【详解】解：设B品牌每个排球的单价为元， ∵A品牌每个排球的单价比B品牌便宜20元， ∴A品牌每个排球的单价为元， 总预算为1500元，可得：购买A品牌排球的数量为个，购买B品牌排球的数量为个， 又∵全部购买A品牌可比全部购买B品牌多买20个， ∴可列方程：． 8．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原式 . 9．若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查分式方程无解的问题，分式方程无解分两种情况：①整式方程本身无解；②整式方程的解为分式方程的增根，先将分式方程化为整式方程，再分两种情况计算的值即可． 【详解】解：原方程， 可变形为， 方程两边同乘去分母，得：， 整理得：， ∵原分式方程无解， ∴分两种情况讨论：① 当整式方程本身无解时，，解得； ② 当整式方程的解为原分式方程的增根时，原分式方程分母为，增根为， 把代入得：， 解得， 综上，的值为或． 10．设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的值为（     ） A．4 B．2 C．1 D．2或0 【答案】D 【分析】先根据新运算的定义将原方程转化为分式方程，再整理为整式方程，分一次方程无解、分式方程产生增根两种情况讨论，求出的可能值即可 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 去分母得 整理得 方程无解分两种情况： ① 当一次项系数为时，方程无解，即 ，得，此时，等式不成立，方程无解. ② 分式方程产生增根时，原方程分母，得增根，把代入，得 ，解得. 综上，的值为或 二、填空题 11．计算：_______． 【答案】3 【详解】解：． 12．若代数式有意义，则实数的取值范围是_______ 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件，分母不为零列不等式求解，即可得到实数的取值范围． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴分式的分母不为，即， 解得． 13．若实数，同时满足，，则的值为________． 【答案】/0.25 【分析】根据绝对值的非负性由第二个方程得到的取值范围，去掉第一个方程的绝对值符号，得到关于的表达式，代入第二个方程后分情况讨论去掉绝对值，舍去无解的情况，得到符合题意的和，计算即可． 【详解】解： ，移项得， ， ，即， ， ， ， 将代入，得，即． ， ①当时，原方程化为 整理得，等式不成立，此情况无解． ②当时，原方程化为， 解得． 将代入，得 检验得，满足原方程组， ． 【点睛】本题考查了含绝对值的二元方程组和负指数幂，解题的过程关键在于根据非负性去掉绝对值和根据绝对值分情况讨论去求未知数的值，以及一个数的负指数幂的计算法则． 14．计算：________． 【答案】2 【详解】解： ． 15．若整数a使得关于x的不等式组解集为，使得关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的和为__________． 【答案】 【分析】解不等式组，根据不等式组的解集确定的初步取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为正数且分母不为零确定的最终取值范围，排除增根对应的值，找出范围内所有整数计算其和． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， ， 解得， 解分式方程得， 分式方程的解为正数，且分母不为， 且， 解得且， 可得的取值范围为且， 满足条件的整数为， 计算和为：． 三、解答题 16．计算： (1)； (2)解分式方程：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 方程两边同乘最简公分母得， 去括号得， 移项得， 经检验，当时， 所以原分式方程的解为． 17．解方程： 【答案】 【分析】先去分母，把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】解： 两边同时乘， 得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入， 方程的解为． 18．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先对括号内进行通分，然后将分子能因式分解的进行因式分解，再约分化简；最后将，的值代入计算即可． 【详解】解： ； 当，时，原式． 19．伊通河是长春的母亲河，甲、乙两人选择了一段风光秀美的伊通河岸骑行．已知这段路程全长12000米，甲的骑行速度是乙的1.2倍，甲骑完全程比乙少用5分钟，问乙每分钟骑行多少米？ 【答案】 乙每分钟骑行400米. 【分析】先设乙每分钟骑行x米，可得甲每分钟骑行，再根据两人分别骑行12000米所用的时间差为5列出分式方程，求出解即可． 【详解】解：设乙每分钟骑行x米，根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以乙每分钟骑行400米． 20．抚州文昌里历史文化街区开展环境整治工作，安排甲、乙两支保洁队伍清理路面垃圾．已知甲队清理1800平方米路面和乙队清理1500平方米路面所用时间一致，甲队每天比乙队多清理30平方米．设乙队每天清理x平方米，请列出方程________； 【答案】 【分析】根据题干条件用表示甲队的工作效率．再利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合两队工作时间相等的关系列出方程． 【详解】解：设乙队每天清理平方米，则甲队每天清理平方米，依题意得 ． 21．按要求完成下列各题： (1)先化简，再求值：，其中a是从0，1，2中选取的一个合适的数； (2)解分式方程：． 【答案】(1)；当时，原式 (2) 【详解】（1）解： ； ∵，， ∴，， ∴当时，原式； （2）解：， 去分母得，， 解得： 检验：将代入 ∴原方程的解为． 22．长春某滑雪场需要清点540副滑雪装备，安排两位工作人员各自清点一遍．已知甲的清点速度是乙的1.5倍，结果甲比乙少用3小时完成清点．求这两位工作人员每小时各能清点的装备数量． 【答案】 甲每小时清点90副，乙每小时清点60副 【分析】设乙每小时清点的装备数量为未知数，根据甲的速度是乙的1.5倍表示出甲的速度，再利用甲比乙少用3小时的等量关系列分式方程求解. 【详解】解：设乙每小时清点副滑雪装备，则甲每小时清点副滑雪装备， 根据题意，得， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：甲每小时清点90副滑雪装备，乙每小时清点60副滑雪装备. 23．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如与因为，所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”）； (2)分式的“可存异分式”是____________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求x的值． 【答案】(1)是； (2)； (3)①；②x的值是1，3，． 【分析】（1）根据“可存异分式”的定义进行求解即可； （2）根据“可存异分式”的定义进行求解即可； （3）①由题意易得，然后进行求解即可； ②由①可知，然后根据“分式A的值是正整数”进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴分式是分式的“可存异分式”； （2）解：设分式的“可存异分式”是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴分式的“可存异分式”是； （3）解：①由条件可知， ， ； ②，且A为正整数， ∴x为整数，且是3的约数， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴x的值是1，3，． 24．小明翻开自己小学时的作业本，发现如下三道练习题的解答： 他发现有些运算结果错了，也有些运算结果歪打正着是对的．他将此事分享给班级数学兴趣小组，兴趣小组“错”中取义，对这三题解答过程中的运算结果的正确性进行探究，他们从练习②、③的计算过程中提炼出以下两个“非法运算”规则． “非法运算”（I）：对于非零实数a，b，c，d（其中），则 “非法运算”（II）：对于非零实数a，b，c（其中），则． (1)三道练习中，运算结果正确的是______________；（填序号） (2)判断“非法运算”（I）规则是否成立？若成立，请证明；若不成立，请探索当a，b，c，d满足何种条件时，该运算的结果是正确的． (3)是否存在非零实数a，b，c，使“非法运算”（II）的运算结果正确？若存在，求a，b，c应满足的条件；若不存在，请证明． 【答案】(1)①② (2)解：， ， ， ， ， 故结论不成立， 当a，b，c，d满足时，运算结果是正确的． (3)解：若不成立，理由如下： 根据题意，得， 非零实数a，b，c， ， ， ， ， 故方程没有实数根， 故结论不成立． 【分析】（1）根据有理数的混合运算，计算判断即可； （2）根据实数的混合运算，解答即可． （3）利用根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：，故①正确；，故②正确； ，故③错误． （2）略（3）略 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分式 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 分式 题型2 分式的基本性质 题型3 分式的乘除 题型4 分式的加减 题型5 分式方程的定义 题型6 分式方程无解问题 题型7 列分式方程 题型8 分式方程的应用 题型9 零指数幂与负整指数幂 题型10 科学记数法 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 分式的概念及相关条件 1. 分式的基本性质与变形 1. 分式的四则运算 1. 分式化简求值 1. 零指数幂与负整数指数幂 1. 分式方程的定义与解法 1. 分式方程的根的讨论 1. 基础题聚焦概念辨析：以选择题、填空题为主，考查分式定义、有意义 / 值为 0 的条件、零指数幂 / 负整数指数幂的计算，难度较低但易错）。 1. 运算题强调熟练度与细节：分式混合运算、化简求值为解答题必考题型，命题倾向 “多步骤、重细节”，侧重考查因式分解的彻底性、最简公分母的准确性、运算顺序及符号处理（如负号在分子分母中的传递），部分题目结合整式运算综合考查。 1. 分式方程侧重 “解法 + 根的讨论”：解分式方程必考题中，常设置 “增根检验” 的得分点；进阶题型以 “求参数取值” 为主，结合分类讨论思想（如分式方程无解可能是整式方程无解，或解为增根），难度中等偏上。 1. 应用题贴合实际情境：命题素材源于生活（如新能源汽车行程问题、工程队施工效率问题、电商销售折扣问题），强调数学建模能力，要求学生能从实际问题中提炼等量关系，并检验解的现实意义，常作为中档解答题或压轴小题。 1. 创新题型渗透数学思想：部分地区会考查分式新定义运算、规律性问题，渗透分类讨论、整体代入、转化与化归思想（如将分式方程转化为整式方程、将复杂分式化简为最简形式），侧重考查知识迁移能力。 1. 易错点反复考查：命题中高频出现 “约分不彻底”“通分漏字母 / 指数”“解分式方程不检验”“负整数指数幂运算错误” 等易错点，旨在检验学生的严谨性，平时练习需针对性规避。 考情解码：“分式”是初中代数的入门核心，是后续学习反比例函数、二次根式、一元二次方程等内容的基础，在八年级下册数学中占据关键地位。本专题涉及的概念、性质、运算法则及应用，是培养学生运算能力、建模思想与规范表达能力的重要载体。 试题从单一概念的记忆、辨析，向复杂运算化简、参数求解、生活情境应用转型，着重考查学生的运算严谨性、逻辑推理能力以及运用代数知识解决实际问题的能力。分式的混合运算、分式方程的解法与应用、增根问题是高频综合考点，常与后续因式分解、整体代入、实际应用题（行程、工程、利润）等知识结合，体现代数知识的内在联系。 知识点一 分式的概念 分式的定义：一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式。其中 A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。 有理式的分类：整式和分式统称有理式，即 分式有意义的条件：分母不为 0（） 分式无意义的条件：分母为 0（） 分式值为 0 的条件：分子为 0 且分母不为 0（ 且 ），二者缺一不可 整式与分式的核心区别：分式的分母必须含有字母；注意 是常数，不是字母，如 是整式不是分式 【易错提醒】 （1）判断分式只看原式的分母是否含字母，不能以化简后的结果判断，如 是分式，化简后为整式 ，但原式仍属于分式； （2）分式值为 0 时，必须同时满足“分子为0”和“分母不为0”，极易忽略分母不为0的隐含条件； （3）只有在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值。 即时即练下列有理式中、、、，哪些是整式 哪些是分式 ； 当 ______时，分式 有意义；当 ______时，分式 的值为 0。 知识点二 分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 用式子表示：，（，其中 A、B、C 是整式）。 分式的变号法则：改变分式的分子、分母与分式本身三者中任意两个的符号，分式的值不变；改变其中一个或三个的符号，分式变为原分式的相反数。 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。约分的结果必须是最简分式（分子与分母没有公因式的分式）。 通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。通分的关键是确定最简公分母（各分母系数的最小公倍数与所有因式最高次幂的乘积）。 【易错提醒】 （1）运用基本性质时，必须保证同乘/除的整式不为0，极易忽略 的前提条件； （2）约分、通分时，多项式要先因式分解，再找公因式或最简公分母，不可直接对原式约分； （3）分子分母是多项式时，变号要作用于整个多项式，容易只改变第一项符号导致错误。 即时即练 (1) 填空：； (2) 约分：； (3) 求分式 与 的最简公分母。 知识点三 分式的运算 分式的乘除： 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。即 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。即 分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方。即 （ 为正整数） 分式的加减 同分母分式加减：分母不变，把分子相加减。即 异分母分式加减：先通分，化为同分母分式，再加减。即 分式的混合运算：运算顺序为“先乘方，再乘除，最后加减”；有括号时先算括号内的；最终结果必须化为最简分式或整式。 【易错提醒】 （1）分式乘除运算中，遇到多项式应先因式分解再约分，避免直接相乘导致计算复杂、出错； （2）异分母分式加减时，通分后的分子是整体，需添加括号，极易漏括号导致符号错误； （3）混合运算易出现顺序混乱，需严格遵循运算规则，不可随意跳步； （4）化简求值题型，代入数值前必须保证原分式所有分母均不为0，不可代入使分母为0的值。 即时即练 (1) 计算：； (2) 先化简，再求值：，其中 。 知识点四 分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 解法步骤（四步法）： a. 去分母：方程两边同乘最简公分母，将分式方程化为整式方程； b. 解整式方程：按照一元一次方程的解法求出未知数的值； c. 验根（必备步骤）：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则是原方程的解；若最简公分母为0，则是增根，原分式方程无解。 d. 写结论：根据检验结果作答，检验是必写步骤，不可省略。 增根的意义：增根是去分母后所得整式方程的解，但不是原分式方程的解，它会使原分式方程的分母为0。 实际应用：常见题型包括行程问题、工程问题、销售利润问题等，核心是找准等量关系列方程，求解后需检验解是否符合实际意义。 【易错提醒】 （1）去分母时，极易漏乘不含分母的常数项，导致方程变形错误； （2）验根是解分式方程的必要步骤，省略验根会造成失分； （3）“增根”与“无解”不是同一概念：增根是无解的一种情况，但无解还可能由整式方程本身无解导致，不可混淆； （4）实际应用题中，解出的结果需检验合理性，如人数、时间、长度不能为负数。 即时即练 (1) 解方程：； (2) 若关于 的分式方程 有增根，求 的值。 知识点五 零指数幂与负整指数幂 零指数幂：（），即任何不等于0的数的0次幂都等于1。 负整数指数幂：（， 是正整数），即任何不等于0的数的 次幂，等于这个数的 次幂的倒数。 整数指数幂的运算性质：幂的运算性质可推广到全体整数范围 · 同底数幂相乘：（ 为整数） · 幂的乘方：（ 为整数） · 积的乘方：（ 为整数） 科学记数法：小于1的正数可以表示为 的形式，其中 ， 是正整数， 等于原数左边第一个非0数字前所有0的个数（含小数点前的0）。 【易错提醒】 （1）零指数幂的底数不能为0，极易忽略 的限制条件； （2）负整数指数幂计算时易出现符号错误，注意 （）结果恒为正数，负指数不代表结果为负； （3）用科学记数法表示小数时，易数错 的数值，需逐位确认0的个数。 即时即练 (1) 计算：； (2) 用科学记数法表示：______。 题型1 分式 例1．要使分式有意义，的取值应满足（ ） A． B． C． D． 例2．已知分式． (1)若分式的值为0，则的值为_____． (2)若分式的值为正数，求的取值范围． 【变式训练1-1】代数式，，，中分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1-2】若分式有意义，则x的取值范围是______． 【变式训练1-3】请写出一个使在实数范围内有意义的x的值：______． 题型2 分式的基本性质 例3．下列从左到右的分式变形中，正确的是（     ） A． B． C． D． 例4．分式与的最简公分母为____． 【变式训练2-1】若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（     ）． A．扩大2倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【变式训练2-2】若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】约分： (1)； (2)． 题型3 分式的乘除 例5．已知这是一道分式化简题，其中一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（    ） A． B． C． D． 例6．化简__________． 【变式训练3-1】计算（    ） A． B． C． D．1 【变式训练3-2】计算：________． 【变式训练3-3】计算 (1)； (2) 题型4 分式的加减 例7．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 例8．若，则的值是______． 【变式训练4-1】已知是实数，并且，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】若，则______． 【变式训练4-3】先化简，再求值，从，，2这三个数中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 题型5 分式方程的定义 例9．岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 例10．有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有_______（填序号）． 【变式训练5-1】下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-2】请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义______． 【变式训练5-3】解方程： (1)； (2) 题型6 分式方程无解问题 例11．．关于的分式方程无解，则的值为（） A．或 B．或 C．或 D． 例12．关于x的分式方程 无解，则m的值为________ ． 【变式训练6-1】若分式方程无解，则a的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．0 【变式训练6-2】若关于x的分式方程无解，则k的值为______． 【变式训练6-3】若解关于x的方程无解，求代数式的值． 题型7 列分式方程 例13．袁隆平院士被称为“杂交水稻之父”，他在早期的研究中需要对不同的水稻品种进行种植，计算其单位产量．现有两块面积相同的水稻试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别获得水稻和，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少，如果设第一块试验田每公顷的产量为，那么满足怎样的分式方程？（     ） A． B． C． D． 例14．中国高铁以其庞大的网络规模、先进的技术和快速便捷的服务，成为世界上最长的高速铁路网络，连接了国内众多城市，极大地促进了区域经济的发展和人员流动的便利．从地到地，路程为，某趟动车行驶的平均速度比普通列车快，所需时间比普通列车少，求该动车行驶的平均速度． (1)根据题意填空． ①小明设_____为，列出尚不完整的方程：_____； ②小华设_____为，列出尚不完整的方程：； (2)请选择其中一名同学的设法，写出完整的解答过程． 【变式训练7-1】我市为进一步加密城市轨道交通线网，提升城市交通的便捷性和覆盖范围，地铁5号线、6号线一期工程正在建设中，计划于2028-2029年陆续开通．为使工程提前半年完成，需将工作效率提高．若设原计划完成这项工程需要x个月，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为________． 【变式训练7-3】人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业，某物流园区利用A，B两种自主移动机器人搬运化工原料． (1)若有化工原料，A型机器人小时搬运完成，则每小时搬运______化工原料，B型机器人小时搬运完成，则每小时搬运______化工原料，两种机器人合作需______小时搬运完成． (2)若A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 题型8 分式方程的应用 例15.在中，是模型用来表示自然语言文本的基本单位．已知通过官方，模型每分钟输出生成速度是模型每分钟输出生成速度的3倍，模型输出生成 的时间比模型输出生成 的时间多用分钟．请问模型每分钟输出生成速度是多少？ 例16．“才人相见都相赏，天下风流是此花”，月季被称为“花中皇后”，为常绿、半常绿低矮灌木，四季开花．某苗圃培育了两个品种月季花，已知每棵A品种月季花的售价比每棵B品种月季花的售价多10元，用6000元购买A品种月季花与用4800元购买B品种月季花的数量相等． (1)每棵A品种月季花和B品种月季花的售价分别是多少元？ (2)5月份该苗圃共售卖月季花300棵，A品种月季花的销售量不高于B品种月季花的2倍，且销售收入不低于13900元，则一共有多少种售卖方案？（不需要写出具体方案） 【变式训练8-1】某工程队承接一项隧道工程，在挖掘一条200米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的1.2倍，结果提前了6天完成了其中180米的隧道挖掘任务． (1)求实际每天挖掘多少米； (2)由于天气等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过32天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，每天至少应多挖掘多少米？ 【变式训练8-2】某化工厂采用机器人和机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运10千克，机器人搬运450千克所用时间与机器人搬运500千克所用时间相等．求机器人，每小时分别搬运多少千克化工原料． 【变式训练8-3】李师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产汽车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：________元 (1)用含的代数式表示出新能源车每千米行驶费用________元； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车的每千米行驶费用多元．请你帮李师傅计算一下，这两款车的每千米行驶费用各是多少元？ 题型9 零指数幂与负整指数幂 例17．下列各式中，值为负数的是（     ） A． B．0 C． D． 例18．计算：________． 【变式训练9-1】下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练9-2】计算：． 【变式训练9-3】．若，，，，则它们的大小关系是________．（用“”连接） 题型10 科学记数法 例19．在科技应用领域方面，皮米通常用于描述原子核的大小、原子之间的距离，或者更小的粒子结构，其中1皮米，某个原子的直径为，用科学记数法表示这个数正确的是（　　） A． B． C． D． 例20．近年来，中国科研团队在二维金属研究领域取得了突破性进展，成功制备出厚度仅为一张普通A4纸百万分之一（约0.34纳米）的二维金属材料，0.34纳米米，将0.00000000034用科学记数法可表示为________________． 【变式训练10-1】叶绿体是绿色开花植物进行光合作用的场所，常存在于叶肉细胞中，多是扁球形，若某种叶绿体的长径约0.0005cm，0.0005用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式训练10-2】据测量，一根眼睫毛的粗细只有0.0000013米，用科学记数法表示为__________米． 【变式训练10-3】下列用科学记数法表示的数的原数是什么？ (1)； (2)． 1．若分式的值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．某高端芯片的核心——晶体管的栅极宽度已经达到．用科学记数法表示0.000000003是（     ） A． B． C． D． 4．已知关于的分式方程有增根，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．某班同学到距学校12千米的烈士陵园扫墓．一部分同学骑自行车先行，半小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车速度的3倍，若设自行车的速度为x千米/小时，则下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级拟购置一批排球，预算总额设定为1500元．已知A品牌每个排球的单价比B品牌便宜20元，如果全部购买A品牌，可比全部购买B品牌多买20个．设B品牌每个排球的单价为元，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 9．若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 10．设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的值为（     ） A．4 B．2 C．1 D．2或0 二、填空题 11．计算：_______． 12．若代数式有意义，则实数的取值范围是_______ 13．若实数，同时满足，，则的值为________． 14．计算：________． 15．若整数a使得关于x的不等式组解集为，使得关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的和为__________． 三、解答题 16．计算： (1)； (2)解分式方程：． 17．解方程： 18．先化简，再求值：，其中，． 19．伊通河是长春的母亲河，甲、乙两人选择了一段风光秀美的伊通河岸骑行．已知这段路程全长12000米，甲的骑行速度是乙的1.2倍，甲骑完全程比乙少用5分钟，问乙每分钟骑行多少米？ 20．抚州文昌里历史文化街区开展环境整治工作，安排甲、乙两支保洁队伍清理路面垃圾．已知甲队清理1800平方米路面和乙队清理1500平方米路面所用时间一致，甲队每天比乙队多清理30平方米．设乙队每天清理x平方米，请列出方程________； 21．按要求完成下列各题： (1)先化简，再求值：，其中a是从0，1，2中选取的一个合适的数； (2)解分式方程：． 22．长春某滑雪场需要清点540副滑雪装备，安排两位工作人员各自清点一遍．已知甲的清点速度是乙的1.5倍，结果甲比乙少用3小时完成清点．求这两位工作人员每小时各能清点的装备数量． 23．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如与因为，所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”）； (2)分式的“可存异分式”是____________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求x的值． 24．小明翻开自己小学时的作业本，发现如下三道练习题的解答： 他发现有些运算结果错了，也有些运算结果歪打正着是对的．他将此事分享给班级数学兴趣小组，兴趣小组“错”中取义，对这三题解答过程中的运算结果的正确性进行探究，他们从练习②、③的计算过程中提炼出以下两个“非法运算”规则． “非法运算”（I）：对于非零实数a，b，c，d（其中），则 “非法运算”（II）：对于非零实数a，b，c（其中），则． (1)三道练习中，运算结果正确的是______________；（填序号） (2)判断“非法运算”（I）规则是否成立？若成立，请证明；若不成立，请探索当a，b，c，d满足何种条件时，该运算的结果是正确的． (3)是否存在非零实数a，b，c，使“非法运算”（II）的运算结果正确？若存在，求a，b，c应满足的条件；若不存在，请证明． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $