江苏南京师范大学附属中学、天一中学、海安高级中学、海门中学2025-2026学年高二下学期6月测试数学试卷

南师附中、天一、海安、海门2027届高二年级6月测试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1.设集合A={+号<0}，B=xlog(x+1)<2,则AnB= A.[-2,2] B.[-2,2) C.（-1,2] D.(-1,2) 2.若随机变量X~N(3,2),且P(X≤6)=0.8，则P(X≤0)的值为 A.0.2 B.0.32 C.0.4 D.0.8 3.已知m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，若m∥a,n∥B,则m⊥n”是“a⊥B的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若命题“3x∈R,使得mx2-2mx-3≥0”是假命题，则实数m的取值范围是 A.[-3,0) B.（-3,0) C.[-3,0] D.(-3,0] 5.为研究空气相对湿度x和土壤含水量y之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图 所示，并对x,y进行线性回归分析若在此图中加上点P后，再次对x,y进行线性回归分析，则下列说法 正确的是 A.x,y不具有线性相关性 B.x,y线性相关性变强 C.相关系数r变小 D.x,y负相关 6.某校高二年级开设数学、物理、化学、生物四个竞赛课程，小李，小王，小陈三名同学，每人至少选一个课程， 至多选两个课程，且每个课程恰有1人选择，则不同的选择方法种数为 A.72 B.36 C.18 D.24 数学试题第1页共4页 7.某平台有10%的文章由AI生成，为识别AI文章，平台使用一款AI检测系统.该系统对AI生成文章的识 别率为90%，但对人类撰写的文章会有5%的概率误判为AI生成现从平台上随机抽取一篇文章，如果被 该系统判定为AI生成，那么这篇文章实际是AI生成的概率为 A.号 B. c.子 D. 8.已知平行六面体ABCD一A1B1CD1的底面是边长为2的正方形，A1A=3,∠A1AB=∠A1AD=60°.动点 M满足AM=A+xAB+yAD,x,y∈[0,1]，且CM∥平面ABD,则C的最小值为 A.1 B.5 C.√5 D.7 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9设a>0,b>0,且日+方=1，则 A.ab≤4 B.a+b≥4 C.a+4b≥9 D.2+2b≥8 10.已知f(x)=(x-3)2026=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a226(x-1)2026,则A.a1=-2026·22025 B.a+a2+a4十+…十a2026=1+32026 C.a1+2a2+3a3+…+2026a2026=-2026 D.今天是星期二，f(1)天后是星期三 1.已知函数f(,=h+ax+(a>0),g()=e+e-血a,1x|-g,则下列选项正确的是 a A.f(3)=f(x) B.函数f(x)的最小值为2a C.若g(x)=0有且仅有一个实根，则a=】 e D.若g(x)=0有三个实根x,龙，3(x<<),则e=点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.(3-x(V丘-'的展开式中，的系数为 13.已知P(N)=号，P(M1N)=令，P(a1网=子，则P(M)= 14.某同学进行一项摸球试验，己知袋中装有三个形状、大小均相同的小球，分别标有数字1,2,3某同学从袋 中有放回地依次随机摸出一球：若连续摸出三次奇数编号的球，则试验成功；连续摸出两次偶数编号的 球，则试验失败.则该同学试验成功的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.已知集合A={xI3≤x≤6}，集合B={xlx≥2m-1或x≤m-1,m∈R (1)若m>0,A∩B=,求实数m的取值范围； (2)设p:x∈A,9:x∈B,若p是q的充分条件，求实数m的取值范围， 数学试题第2页共4页 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD=之CD=1,M为棱CD的中点，PD⊥平 面ABCD (1)求证：CB∥平面PMA; (2)若二面角P-CB-D的大小为60°，求点A到平面PBC的距离. P D 6 17.某社团调研男女同学课余运动偏好，统计数据如下列联表： 喜爱球类 喜爱慢跑 合计 男生 24 16 40 女生 12 28 40 合计 36 44 80 (1)依据小概率值α=0.05的独立性检验，判断是否认为运动偏好与性别有关； (2)从男生中按喜爱的运动分层抽样抽取10人，再从这10人中随机选6人，设x为6人中喜爱球类与喜 爱慢跑人数之差的绝对值，求X的分布列与数学期望 附：X2= n(ad-be) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,其中n=a+b+c+d. a 0.1 0.05 0.01 Xa 2.706 3.841 6.635 18.己知函数f(x)=xe2x-2sinx-ax. (1)当a=1,求函数f(x)在x=0处的切线方程； (2)若函数f(x)在(0，+∞)单调递增，求a的取值范围； (3)当a≤1，求证：f(x)>lnx 19.某工厂生产某种商品的成本为每件2a元(a>0),正常售价为每件4a元.该商品的市场需求量为随机变 量X(单位：万件)，当产量大于市场需求量时会造成商品积压，积压的商品必须降价处理，按每件α元售 出（假设降价后所有积压商品均可售出）根据一段时间的统计，得到该商品的市场需求量X的频率分布 表如下 X(万件) 1 2 3 4 5 6 7 频率 0.01 0.02 0.04 0.07 0.10 0.12 0.13 X(万件) 8 9 10 11 12 13 14 频率 0.12 0.11 0.09 0.07 0.05 0.03 0.04 以该商品需求量的频率代替其概率.设计划产量为n(n为正整数，1≤n≤14)万件时，该商品的总利润为 随机变量W(单位：万元)： (1)求P(X≤101X≥5)； (2)当n=5时，求形，的分布列（用含a的式子表示）； (3)证明：E(形)=3a∑P(X≥)-a·,并求计划产量n的值，使总利润的数学期望E()最大. k=l 数学试题第4页共4页 2027届高二数学6月份考试卷答案 参考答案 1 2 3 4 5 6 个 8 9 10 11 D A D D C B C B BCD AC ABD 12.9 13. 14器 15. (1)已知A={x3≤x≤6，B={xx≤m-1或x≥2m-1},若AnB=0, 则A的所有元素都不在B中，可得不等式组： ∫m-1<3 l2m-1>6' ….4分 解得<m<4,即m的取值范围为(4： .6分 (2)若D是g的充分条件，则4二B,即A的所有元素都属于B,7分 因此有两种情况： ①A≤{x≤m-1,此时m-1≥6，解得m≥7；.....9分 ②A≤{xx之2m-,此时2m-1≤3，解得m≤2，.11分 综上，m的取值范围是m≤2或m之7........13分 16、(1)因为ABICD,所以四边形ABCM为平行四边形，则BC∥AM, 又BCt平面PAM,AMc平面PAM,所以BC‖平面PAM;.....6分 (2)如图建立坐标系，则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),D(0,0,0),P(0,0,t) 设平面PBC法向量为n=(x,y,z),则 n:P丽=0→x+y-亿0取元=0138分 n.BC=0-x+y=0 平面BCD的法向量为m=(0,0,1)...·. …….10分 因为二面角大小60°，所以 2 c0s60°= n.m →t=√6 ……….13分 n m 1× 1+1+3 所以A到平面PBC的距离等于AB·_6 4 …………15分 答案第1页，共5页 17.（1)提出零假设H0:运动偏好与性别无关...............1分 n(ad-bc)2 =8024x2816x12Y=80≈7.273>×6.05=3.841， (a+b)(c+d(a+cb+d)36×44×40×4011 …4分 所以有95%的把握认为运动偏好与性别有关..........6分 (2)按分层抽样10名男生中中喜爱球类有6人，喜爱慢跑有4人. X的可能取值为0,2,4,6..…....7分 PX=0)=c3C=3 C021 …8分 P(X-2)=3.C好+cgc= Cio 2….9分 P(X=4)=g=4 C035…….10分 PX=可=gg=1 c302101 ....11分 所以X的分布列为 0 2 4 6 6 4 21 35 210 所以..… .....13分 8 EX)=0×2 1 4 152 +2×2十4×5+6×2103515分 18.(1)当a=1时，f(x)=xe2x-2sinx-x,f(0)=0对f(x)求导： f(x)=(2x+1)e2x-2cosx-1............ ....2分 代入x=0得切线斜率：k=f(0)=-2 因此切线方程为y=-2x.......4分 (2)f(x)=xe2x-2sinx-ax, f(x)=(2x+1)e2x-2cosx-a≥0..........6分 令g(x)=(2x+1)e2x-2cosx,则a≤g(x)在(0，+∞)恒成立， 求g(x)在(0，+∞)的最小值即可。 答案第2页，共5页 对g(x)求导： g(x)=(4x+4)e2x+2sinx 当x>0时，4x+4>4,e2x>1,故(4x+4)e2x>4;同时2sinx∈[-2,2]， 因此g(x)>4-2=2>0, 所以g(x)在(0，+∞)上单调递增，. g(x)在(0，+∞)的最小值为g(0)=-1。 因此a的取值范围是：(-∞，-1].10分 (3)当a≤1时，f(x)≥xe2x-2sinx-x.由切线不等式， 当x>0时，sinx<x 且lnx≤x-1,所以只需证xe2x-2x-x>x-1, 即 e2x+1>4.… …..13分 令h()=e2x+是求导得： h(x)=2e2x-1 因=4a+员>0， 因此在(0，+∞)上h(x)单调递增。 又因为1imxo+h()=-∞，h()=2e-4>0,所以存在唯一的xo∈(0，)， h(xo)=2e2x0-1 0. 因此h(x)在(0，xo)上单调递减，在(xo,+o)上单调递增。 h)在0处取到最小值hc)=e2四+片=克+片>4. 所以h(x)>4在(0，+∞)上恒成立。 因此，当a≤1时，不等式成立。 ..17分 答案第3页，共5页 19. 【答案】(1) (2)见解析；(3)n=9 【解折】(1P(X≤101X≥5)=P0 0.67 67 P(x≥5) 0.67+0.19 86 (2)当x≥5时，W5=5×2a=10a, 当x=4时，w5=4×2a+(5-4)×(-a)=7a, 当x=3时，w5=3×2a+(5-3)×(-a)=4a, 当x=2时，Ws=2×2a+(5-2)×(-a)=a, 当x=1时，W5=1×2a+(5-1)×(-a)=-2a, 则分布列为： Ws -2a a 4a 7a 10a P 0.01 0.02 0.04 0.07 0.86 (3)生产了n万件，市场需求x万件. 当x≥n时，wn=2an 当x<n时，wn=2a·x+(n-x)·(-a)=3ax-an. n-1 14 E(W)= .(3ak-am-px=+∑.2an·p(x=k) k=1 k=n 3ak:Px-an P=+2an P= 台 ∑3ak·p(x=k)-an.(1-p(X≥n)+2an·PX≥m) 3ak·p(x=k)+3an·p(x≥n)-an = =3a 号kpx≥-3a0 k:px≥k+1)+3anpx≥n)-am k=1 头 n-1 a2Pe的30k+功Pe2++a P(x≥k+1)+3an k=1 ·P(x≥n)-an n-1 =3a·1·P(x≥1)-3a·n·P(x≥n)+3a·〉·P(x≥k+1)+3an·P(x≥n) an n-1 =3a·1·P(x≥1)+3a·>·P(x≥k+1)-an =3a·∑k=1P(x≥k)-an,得证. E(Wn+i)-E(w)=3a·∑k±1P(x≥k)-3a·k=1P(x≥k)-a(n+1)+an =3apx≥n+1)-a=3a·(P(x≥n+1)-) 当n≤8时，P(x≥n+1)>3,E(w+i)-E(wn)>0 当n≥9时，P(x≥n+1)<3,E(w+1)-E(w)<0 则E(Wg)最大，故n=9. 南师附中、天一、海安、海门2027届高二年级6月测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1. 设集合 ，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由 得 ,由 得 ,故 . 2. 若随机变量 ,且 ,则 的值为 A. 0.2 B. 0.32 C. 0.4 D. 0.8 【答案】A 【解析】由正态分布的对称性可知 . 3.已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，若 ，则 “ ” 是 “ ” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】由 不能推出 ; 由 也不能推出任意满足 的直线 ,故为既不充分也不必要条件 . 4.若命题“ ，使得 ”是假命题，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】原命题是假命题,等价于 恒成立. 当 时成立; 当 时, 需 ,得 ,故 . 5.为研究空气相对湿度 和土壤含水量 之间的关系,某课题研究小组采集了 9 组数据, 绘制散点图如图所示,并对 进行线性回归分析. 若在此图中加上点 后,再次对 进行线性回归分析, 则下列说法正确的是 A. 不具有线性相关性 B. 线性相关性变强 C. 相关系数 变小 D. 负相关 【答案】C 【解析】原散点图中各点呈正相关趋势,加入点 后偏离原来的线性趋势,线性相关性变弱,相关系数 变小. 6.某校高二年级开设数学、物理、化学、生物四个竞赛课程, 小李, 小王, 小陈三名同学, 每人至少选一个课程，至多选两个课程，且每个课程恰有 1 人选择，则不同的选择方法种数为 A. 72 B. 36 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】三名同学所选课程数只能为 2,1,1,先选出选两门课的同学有 3 种,再从四门课中选出两门给该同学有 种,剩余两门分给另外两人有 2 种,故共有 种. 7.某平台有 10% 的文章由 AI 生成, 为识别 AI 文章, 平台使用一款 AI 检测系统. 该系统对 AI 生成文章的识别率为 90%，但对人类撰写的文章会有 5%的概率误判为 AI 生成. 现从平台上随机抽取一篇文章, 如果被该系统判定为 AI 生成, 那么这篇文章实际是 AI 生成的概率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】所求概率为 . 8.已知平行六面体 的底面是边长为 2 的正方形， ， . 动点 满足 ，且 平面 ，则 的最小值为 A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】设 ,则 . 由 平面 得 ,故 ,所以 ,故最小值为 . 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设 ,且 ,则 A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】由 得 ,且 . 由 得 错误, 正确; 令 ,则 ,所以 正确; 由凸函数性质及 可知 正确. 10.已知 ,则 A. B. C. D. 今天是星期二, 天后是星期三 【答案】AC 【解析】令 ,则 ,故 , A 正确; 偶次项系数和为 , B 错误； 2026, 正确; ,且 ,星期二再过 天是星期四, 错误. 11.已知函数 ， ，则下列选项正确的是 A. B. 函数 的最小值为 C. 若 有且仅有一个实根,则 D. 若 有三个实根 ,则 【答案】ABD 【解析】 , 正确; ,当 时等号成立,故 的最小值为 正确; 可化为 或 ,其中 恒有一个正根, 在 时有两个正根,在 时有一个正根,在 时无正根,故 错误; 若有三个实根,则 ,故 正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 的展开式中， 的系数为________. 【答案】9 【解析】 的通项中 的指数为 ,令 无整数解; 令其为 3,得 , 系数为 -9 , 故原式中 的系数为 . 13.已知 ，则 _______. 【答案】 【解析】 ,故 . 14.某同学进行一项摸球试验, 已知袋中装有三个形状、大小均相同的小球, 分别标有数字 1, 2, 3. 某同学从袋中有放回地依次随机摸出一球: 若连续摸出三次奇数编号的球, 则试验成功；连续摸出两次偶数编号的球，则试验失败. 则该同学试验成功的概率为________. 【答案】 【解析】设从无连续记录开始成功的概率为 ,已连续摸出 1 次、 2 次奇数的成功概率分别为 ,已连续摸出 1 次偶数的成功概率为 . 由题意得 ，解得 ，故试验成功的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.已知集合 ，集合 或 . (1)若 ， ，求实数 的取值范围； (2)设 ， ，若 是 的充分条件，求实数 的取值范围 . 【解析】 (1)已知 或 ， 若 ， 则 的所有元素都不在 中,可得不等式组: , 解得 ,即 的取值范围为 ; (2)若p是q的充分条件，则 ，即 的所有元素都属于 ， 因此有两种情况: ① ，此时 ，解得 ； ② ，此时 ，解得 ， 综上, 的取值范围是 或 . 16.如图，在四棱锥 中， 为棱 的中点， 平面 . (1)求证: 平面 ； (2)若二面角 的大小为 ，求点 到平面 的距离. 【解析】(1)因为 ，所以四边形 为平行四边形，则 ， 又 平面 平面 ,所以 平面 ; (2)如图建立坐标系,则 设平面 PBC 法向量为 , 则取 . 平面 BCD 的法向量为 因为二面角大小 ,所以 . 所以 到平面 的距离等于 . 17.某社团调研男女同学课余运动偏好, 统计数据如下列联表: 喜爱球类 喜爱慢跑 合计 男生 24 16 40 女生 12 28 40 合计 36 44 80 (1)依据小概率值 的独立性检验，判断是否认为运动偏好与性别有关； (2)从男生中按喜爱的运动分层抽样抽取 10 人，再从这 10 人中随机选 6 人，设 为 6 人中喜爱球类与喜爱慢跑人数之差的绝对值，求 的分布列与数学期望. 附: ,其中 . 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【解析】 (1)提出零假设 : 运动偏好与性别无关. 所以有 95%的把握认为运动偏好与性别有关. 6 分 (2)按分层抽样 10 名男生中中喜爱球类有 6 人，喜爱慢跑有 4 人. X 的可能取值为 0,2,4,6 . 所以 的分布列为 X 0 2 4 6 P 所以 18.已知函数 . (1)当 ，求函数 在 处的切线方程； (2)若函数 在(0， )单调递增，求 的取值范围； (3)当 ，求证: . 【解析】(1)当 时， ， 对 求导: 代入 得切线斜率: 因此切线方程为 . (2) ，则 令 ,则 在 恒成立, 求 在 的最小值即可。 对 求导: 当 时, ,故 ; 同时 , 因此 , 所以 在 上单调递增, 在 的最小值为 . 因此 的取值范围是: . (3) 当 时, . 由切线不等式,当 时, 且 ，所以只需 证 ， 令 ,求导得: 因此在 上 单调递增。 又因为 ,所以存在唯一的 , 因此 在 上单调递减,在 上单调递增. 在 处取到最小值 . 所以 在 上恒成立. 因此,当 时,不等式成立. 19.某工厂生产某种商品的成本为每件 元 ,正常售价为每件 元. 该商品的市场需求量为随机变量 (单位:万件),当产量大于市场需求量时会造成商品积压，积压 的商品必须降价处理,按每件 元售出 (假设降价后所有积压商品均可售出). 根据一段时间的统计,得到该商品的市场需求量 的频率分布表如下: (万件) 1 2 3 4 5 6 7 频率 0.01 0.02 0.04 0.07 0.10 0.12 0.13 (万件) 8 9 10 11 12 13 14 频率 0.12 0.11 0.09 0.07 0.05 0.03 0.04 以该商品需求量的频率代替其概率. 设计划产量为 万件时,该商品的总利润为随机变量 (单位: 万元). (1)求 ； (2)当 时，求 的分布列(用含 的式子表示)； (3)证明: ，并求计划产量 的值，使总利润的数学期望 最大. 【解析】(1) ； (2)已知 时，成本 (万元)； 当 时:商品全部售出，收入 ，利润 ； 当 时:正常售价的收入 ，降价销售的收入 ，总收入 ， 利润 所以 , , 即 的分布列为: 7a 10a P 0.01 0.02 0.04 0.07 0.86 (3)设计划产量为 万件时,正常售出的件数为 ，降价售出的件数为 ,则 的分布列为: 1 2 ... ... 总利润 ,所以 ; 注意到: 所以 ; 所以 an] , 令 ,得 ,由频率分布表可知: 时, , 时, ,所以 时, 时, ; 即 时 取得最大值 . 学科网（北京）股份有限公司 $