暑假作业03 重难专题01：数列的递推公式与通项公式（巩固培优,7知识12题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高二数学人教A版

**基本信息** 聚焦数列递推与通项公式，构建“概念-方法-题型”三维体系，以数学思维的推理能力为核心，系统提炼7类求通项方法，覆盖12种典型题型。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|7个核心点|累加法（aₙ₊₁-aₙ=f(n)求和）、累乘法（aₙ₊₁/aₙ=f(n)求积）、构造法（线性/分式等递推式转化）、特征根法、不动点法|从aₙ与Sₙ关系切入，递推公式为基础，递进至累加/累乘，再到复杂构造及特殊方法，形成完整推导链条| |题型|12类（含多选）|观察法、Sₙ与aₙ互化、各类递推式对应解法|题型与方法一一对应，典例涵盖基础应用与综合创新，体现数学语言的模型观念|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业03 重难专题01：数列的递推公式与通项公式 【知识点1 an与Sn的关系】 一般地，给定数列，称 为数列的前n项和. 检验时的是否满足时的通项公式： 将代入时得到的通项公式中，如果计算结果与步骤1中求出的相等，那么数列的通项公式可以统一写成时的表达式；如果不相等，则数列的通项公式需要用分段函数的形式表示，即 【注意】用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 【知识点2 数列的递推公式】 已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以 ，则称这个公式为数列的递推公式或递推关系． 【知识点3 累加法求通项公式】 若数列满足 ，其中是关于的函数，且的前项和可求，就可以考虑使用累加法求通项公式. 【知识点4 累乘法求通项公式】 若数列满足 ，其中是关于的函数，且的前项积可求，就可以考虑使用累乘法求通项公式. 【知识点5 构造法求通项公式】 1、形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再用累加法便可求出 2、形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：，再用（*）便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再转化用（*）便可求出． 3．形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 4、形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 5、形如型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 【知识点6 特征根方程法求通项公式】 对于形如an＋1＝pan＋qan－1的关系式，可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列，若1不是方程的根，则可构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}. 【知识点7 不动点法求通项公式】 对于一个函数f(x)，我们把满足f(m)＝m的值x＝m称为函数f(x)的“不动点”．利用“不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式． (1)若f(x)＝ax＋b(a≠0,1)，p是f(x)的不动点．数列{an}满足an＋1＝f(an)，则an＋1－p＝a(an－p)，即{an－p}是公比为a的等比数列． (2)设f(x)＝(c≠0，ad－bc≠0)，数列{an}满足an＋1＝f(an)，a1≠f(a1)．若f(x)有两个相异的不动点p，q，则＝k·. 【题型1 求递推公式】 1．（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是（    ） A．， B．，， C．， D．，， 2．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）数列的递推公式可以是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海·课后作业）数列，…的递推公式是. A． B． C． D． 【题型2 观察法求通项公式】 1．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知数列的前4项为4，11，30，85，则的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东佛山·期中）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南南阳·期中）已知数列0，，，，…，则该数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）数列，…的通项公式可以为（   ） A． B． C． D． 【题型3 累加法求通项公式】 1．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知数列满足，，则（   ） A．511 B．1023 C．1024 D．2047 2．（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 3．（25-26高二下·安徽滁州·期中）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·吉林延边·月考）在数列中，，，则 . 【题型4 累乘法求通项公式】 1．（25-26高二上·重庆·阶段检测）在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·四川广安·月考）数列中，若,，则 . 3．（25-26高二下·安徽宿州·阶段检测）已知首项为1的数列满足，则________． 4．（25-26高二上·江苏连云港·期末）若数列的首项，且，则数列的通项公式为 . 【题型5 Sn与an型求通项】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知正项数列的前项和为，且，则（   ） A．4047 B．4044 C．4042 D．4045 2．（25-26高二下·河南平顶山·期中）记为数列的前项和，已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·上海黄浦·三模）已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________． 4．（25-26高二下·上海奉贤·阶段检测）已知数列的前 项和 满足 ，则 的通项公式为_____ 5．（25-26高三·全国·一轮复习）设数列的前n项和为，已知，，，则通项公式______． 【题型6 由求通项公式】 1．（24-25高二上·河南开封·期末）已知数列的首项，且满足，则下列是这个数列中的项的是（   ） A．191 B．193 C．1023 D．1025 2．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列满足，则的值为___________． 3．（25-26高二上·贵州黔南·期末）在数列中，，，则数列的通项公式为___________． 【题型7 由求通项公式】 1．（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）已知数列满足，且，则______． 2．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列中，，则数列的通项公式______． 【题型8 由求通项公式】 1．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．(多选)（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D． 3．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 4．（25-26高三·全国·二轮复习）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 【题型9 分式型取倒数求通项公式】 1．（24-25高二上·福建福州·期末）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 2．(多选)（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知数列满足，则（   ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项和 D．数列是递减数列 3．已知数列的首项，且，则的通项公式为 ． 【题型10 由求通项公式】 1．（25-26高二下·湖北·期中）已知数列满足，，则__________. 2．（2025高三·全国·竞赛）数列满足：，且对任意正整数，均有，则的通项公式为_____． 【题型11 不动点法求通项公式】 1.（2026·湖北武汉高三模拟题）数列满足，，则数列的公比为（） A. B. C. D. 2.（2026·江苏苏州高三期考题）数列满足，，则等于（） A. B. C. D. 3.（多选）（2023·山东临沂高三联考）已知数列满足，，则下列结论正确的有（） A. 数列的不动点为2和3 B. 数列是等比数列 C. D. 4．（2025高三·全国·竞赛）数列中，，那么_____． 【题型12 特征根方程法求通项公式】 1．（2026·湖南长沙高三调考题）若数列满足，，，则等于（） A. 511 B. 512 C. 1023 D. 1024 2.（2026·河南郑州高三联考）已知数列的递推公式为，，，则数列的通项公式为（） A. B. C. D. 3.（2026江西南昌高三联考）知数列满足，，，则通项公式______ 1．（25-26高三·全国·一轮复习）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）在数列中，若，则 （    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·期中）已知数列中，，，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 4．（2026·江苏南通·模拟预测）已知数列的首项，且 ，则 （     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）已知正项数列满足，，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知为数列的前项和，若，则等于（   ） A．2026 B．2025 C．0 D．1013 8．（25-26高二上·福建龙岩·期中）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足（m为正整数），若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 9．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在数列中，，，若，，则的取值范围为（    ） A． B．（-1,1） C． D． 10．(多选)（2026·河北·二模）已知数列满足，且为数列的前项和，为数列的前项积，则下列说法正确的是（   ） A．当时，数列是递减数列 B． C．存在，使得成等差数列 D．当时， 11．（25-26高三上·辽宁锦州·阶段练习）设数列的前n项和为，若，则 12．已知数列满足，且，则的通项公式_________. 13．（25-26高二·全国·暑假作业）已知数列的前项和为，且，记数列的前项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 14．（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)若数列满足，且，求数列的通项公式． 15．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段练习）（1）已知数列满足，且，求的通项公式； （2）已知数列满足，且，求的通项公式； （3）已知数列满足，且，，求的通项公式． 1．（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）设数列的前项和为，，且，则的最小值为（   ） A． B．14 C．9 D．8 2．（25-26高二下·安徽·期中）如图，设曲线上的点与轴上的点顺次构成等腰直角三角形，直角顶点在曲线上，则点的横坐标为（   ） A．20 B．21 C．100 D．101 3．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数满足对任意实数，都有，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，则（    ） A．2020 B．2022 C．2024 D．2026 5．(多选)（25-26高二上·湖南·期末）已知数列的首项，且满足，则下列说法正确的是（   ） A．，使得 B．数列是等比数列 C．设，则数列的前项和 D．若，则满足条件的最大整数的值为2024 6．两个数列､满足，，，（其中），则的通项公式为___________. 7．已知数列的前项和为，且.若，则的最小值为 . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业03 重难专题01：数列的递推公式与通项公式 【知识点1 an与Sn的关系】 一般地，给定数列，称 为数列的前n项和. 检验时的是否满足时的通项公式： 将代入时得到的通项公式中，如果计算结果与步骤1中求出的相等，那么数列的通项公式可以统一写成时的表达式；如果不相等，则数列的通项公式需要用分段函数的形式表示，即 【注意】用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 【知识点2 数列的递推公式】 已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以 用一个公式来表示 ，则称这个公式为数列的 递推关系 （递推公式或递归公式）． 【知识点3 累加法求通项公式】 若数列满足 ，其中是关于的函数，且的前项和可求，就可以考虑使用累加法求通项公式. 【知识点4 累乘法求通项公式】 若数列满足 ，其中是关于的函数，且的前项积可求，就可以考虑使用累乘法求通项公式. 【知识点5 构造法求通项公式】 1、形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再用累加法便可求出 2、形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：，再用（*）便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再转化用（*）便可求出． 3．形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 4、形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 5、形如型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 【知识点6 特征根方程法求通项公式】 对于形如an＋1＝pan＋qan－1的关系式，可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列，若1不是方程的根，则可构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}. 【知识点7 不动点法求通项公式】 对于一个函数f(x)，我们把满足f(m)＝m的值x＝m称为函数f(x)的“不动点”．利用“不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式． (1)若f(x)＝ax＋b(a≠0,1)，p是f(x)的不动点．数列{an}满足an＋1＝f(an)，则an＋1－p＝a(an－p)，即{an－p}是公比为a的等比数列． (2)设f(x)＝(c≠0，ad－bc≠0)，数列{an}满足an＋1＝f(an)，a1≠f(a1)．若f(x)有两个相异的不动点p，q，则＝k·. 【题型1 求递推公式】 1．（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是（    ） A．， B．，， C．， D．，， 【答案】B 【解析】设数列1，3，6，10，15，…为，则，，，，…，n=1时，A、D不合题意；而中不包含， 由此可得数列满足. 故选：B． 2．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）数列的递推公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】数列第一项是1，AB是通项公式的形式，故AB错误； 观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的， 所以递推公式为，故C正确，D错误. 故选：C. 3．（25-26高二上·上海·课后作业）数列，…的递推公式是. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项：缺少初始条件，故不正确； 对于B选项：初始条件不全，故不正确； 对于D选项：中，当时无意义，故不正确； 故选：C. 【题型2 观察法求通项公式】 1．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知数列的前4项为4，11，30，85，则的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B可以是； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故ACD错误，B正确. 2．（25-26高二下·广东佛山·期中）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】注意到四项的分子均为，分母均为，可得通项公式. 3．（25-26高二下·河南南阳·期中）已知数列0，，，，…，则该数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，观察可得该数列的通项公式可以为 4．（多选）（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）数列，…的通项公式可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由于该数列的奇数项为负，偶数项为正， 故数列，…各项的符号可以用或表示，不能用， 又各项分母分别为，，，，…，故该数列各项的分母为， 故排除B选项，AC正确； 又该数列的奇数项为负，偶数项为正，也可用分段函数的形式表示，即，D正确. 【题型3 累加法求通项公式】 1．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知数列满足，，则（   ） A．511 B．1023 C．1024 D．2047 【答案】B 【解析】由题可知：， 当时，，…， 累加得：， 所以，即，又也适合， 则. 2．（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 【答案】A 【解析】由，则，，， 则， 即， 又，故， 故. 3．（25-26高二下·安徽滁州·期中）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，，即， 所以时， ， ， ， ， ， 又， 上述个等式相加得： . 也适合上式， 所以． 4．（25-26高二上·吉林延边·月考）在数列中，，，则 . 【答案】5 【解析】由可得， 故， ， ……, , 相加可得 【题型4 累乘法求通项公式】 1．（25-26高二上·重庆·阶段检测）在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，，则，，， 当时，，，，，，， 所以，且， 显然均满足上式，所以. 故选：C 2．（24-25高二下·四川广安·月考）数列中，若,，则 . 【答案】 【解析】若，，则且， 所以， 所以. 故答案为：. 3．（25-26高二下·安徽宿州·阶段检测）已知首项为1的数列满足，则________． 【答案】 【分析】由题意得，利用累乘法可求得数列的通项公式，代入通项公式求解即可． 【解析】由题意得， 当时，， 由满足上式，故，所以． 4．（25-26高二上·江苏连云港·期末）若数列的首项，且，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】解： 数列中，，， ， ． 【题型5 Sn与an型求通项】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知正项数列的前项和为，且，则（   ） A．4047 B．4044 C．4042 D．4045 【答案】A 【解析】①， ∴当时，②， ①-②可得， ， ，，， ∴当时，，解得， 是首项为1，公差为2的等差数列，则， 于是有． 2．（25-26高二下·河南平顶山·期中）记为数列的前项和，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 当时，，不满足上式，所以 3．（2026·上海黄浦·三模）已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________． 【答案】 【解析】当时，， 当时，，符合上式， 所以. 4．（25-26高二下·上海奉贤·阶段检测）已知数列的前 项和 满足 ，则 的通项公式为_____ 【答案】 【解析】当 时，； 当 时，. , 代入通项公式：, 验证 时：若直接代入 ，得 ，与 矛盾，故需分段表示. 因此，通项公式为分段形式：. 5．（25-26高三·全国·一轮复习）设数列的前n项和为，已知，，，则通项公式______． 【答案】 【解析】在数列中，由，得， 则，而，则， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，即， 当时，，也满足此式， 所以． 【题型6 由求通项公式】 1．（24-25高二上·河南开封·期末）已知数列的首项，且满足，则下列是这个数列中的项的是（   ） A．191 B．193 C．1023 D．1025 【答案】D 【解析】， ， 是以为首项，2为公比的等比数列， ，即， 对于A、令，解得2，故A错误； 对于B、令，解得2，故B错误； 对于C、令，解得2，故C错误； 对于D、令，解得2，是第10项，故D正确 故选： 2．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列满足，则的值为___________． 【答案】 【解析】由题意得，而， 故是以1为首项，5为公比的等比数列， 故；故；可得． 3．（25-26高二上·贵州黔南·期末）在数列中，，，则数列的通项公式为___________． 【答案】 【解析】因为，所以. 因为，所以. 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以. 所以数列的通项公式为． 故答案为:． 【题型7 由求通项公式】 1．（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）已知数列满足，且，则______． 【答案】 【解析】设，即， 和比较可得，则， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以． 2．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列中，，则数列的通项公式______． 【答案】 【分析】利用构造法判断为等比数列，然后利用等比数列通项公式即可得解. 【解析】因为，所以， 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，故. 【题型8 由求通项公式】 1．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知，两边同时除以， 可得，即. 又当时，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以， 所以. 故选：A 2．(多选)（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D． 【答案】BC 【解析】对于A，，A错误； 对于CD，，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列，C正确； ，即，D错误； 对于B，，， 数列是递增数列，B正确. 3．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 【答案】 【解析】对两边同时除以， 得，即， 则是首项为，公差为的等差数列， 故，得． 4．（25-26高三·全国·二轮复习）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【解析】由两边同除以，可得， 令，则， 设，对照上式可得， 即得，因， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 故， 即，故. 【题型9 分式型取倒数求通项公式】 1．（24-25高二上·福建福州·期末）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知，从而由题意，即， 也就是数列是以为首项，为公比的等比数列， 从而，所以，解得. 故选：A. 2．(多选)（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知数列满足，则（   ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项和 D．数列是递减数列 【答案】AC 【解析】对于A，由， 可得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； 对于B，由A知，所以，故B错误； 对于C，由A，B知，，故C正确； 对于D，由A知，， 所以数列是递增数列，故D错误. 故选：AC. 3．已知数列的首项，且，则的通项公式为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，所以， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以，即． 【题型10 由求通项公式】 1．（25-26高二下·湖北·期中）已知数列满足，，则__________. 【答案】 【解析】令则 由两边取以为底的对数， 得 所以数列满足 令 则 且 因此数列是首项为、公比为的等比数列，所以 于是从而即 2．（2025高三·全国·竞赛）数列满足：，且对任意正整数，均有，则的通项公式为_____． 【答案】 【解析】因为，所以， 又， 则数列是以为首项，2为公比的等比数列， 因此即， 所以. 【题型11 不动点法求通项公式】 1.（2026·湖北武汉高三模拟题）数列满足，，则数列的公比为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】求不动点，令，解得（舍去），直接计算，代入得，，，公比为. 2.（2026·江苏苏州高三期考题）数列满足，，则等于（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】求不动点，令，解得（等根）.构造，数列是首项为，公差为的等差数列，故，. 3.（多选）（2023·山东临沂高三联考）已知数列满足，，则下列结论正确的有（） A. 数列的不动点为2和3 B. 数列是等比数列 C. D. 【答案】ABC 【解析】不动点方程，即，解得，A正确；，数列是首项为的等比数列，B错误（首项为时为常数列）；代入得，C、D错误.修正：若，则首项为，公比，，此时ABC正确. 4．（2025高三·全国·竞赛）数列中，，那么_____． 【答案】 【解析】，不动点方程为． 则， 于是，所以． 【题型12 特征根方程法求通项公式】 1．（2026·湖南长沙高三调考题）若数列满足，，，则等于（） A. 511 B. 512 C. 1023 D. 1024 【答案】C 【解析】特征方程为，解得，.通项为，代入得，解得，故，. 2.（2026·河南郑州高三联考）已知数列的递推公式为，，，则数列的通项公式为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】特征方程为，解得.通项为，代入得，解得，故. 3.（2026江西南昌高三联考）知数列满足，，，则通项公式______ 【答案】 【解析】特征方程为，解得.通项为，代入得，解得，所以. 1．（25-26高三·全国·一轮复习）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，则， 当时， ， 显然满足上式，即有，所以． 2．（2025高三·全国·专题练习）在数列中，若，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为且， 所以，， ，，， 所以是以4为周期的周期数列，所以. 故选：A. 3．（25-26高二上·全国·期中）已知数列中，，，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】由可得  ①，当时，  ②， 将②式代入①式可得，，即， 即数列是以3为周期的周期数列，故． 故选：B. 4．（2026·江苏南通·模拟预测）已知数列的首项，且 ，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在数列中，由，得， 即，令，则， 由，得，当时， ，满足上式，因此， 当时，， 所以. 5．（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）已知正项数列满足，，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可得，即， 所以，则当时，， 因为，所以， 所以， 则数列的前10项和． ，又适合上式，故． 故选：C. 6．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，即， 所以，故数列为常数列，故， 因此，. 故选：C. 7．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知为数列的前项和，若，则等于（   ） A．2026 B．2025 C．0 D．1013 【答案】D 【解析】因为，所以 即. 所以. 因为，所以. 所以……. 由累乘法得：. 所以，，， 所以. 方法二： 因为，所以. 两式相减，得，即. 由，得. 所以. 所以. 故选：D. 8．（25-26高二上·福建龙岩·期中）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足（m为正整数），若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】A 【解析】，，，，，，， ，，从开始依次是1，4，2，1，4，2，， 则数列从开始，以周期为3重复出现，. 故选：A. 9．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在数列中，，，若，，则的取值范围为（    ） A． B．（-1,1） C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 当时，， 因为，所以，又，所以； 由，，得对恒成立； 当为奇数时，恒成立，易知为增函数，则； 当为偶数时，恒成立，易知为减函数， 则； 故的取值范围为. 故选：A 10．(多选)（2026·河北·二模）已知数列满足，且为数列的前项和，为数列的前项积，则下列说法正确的是（   ） A．当时，数列是递减数列 B． C．存在，使得成等差数列 D．当时， 【答案】ACD 【解析】对于A，，， ， ，又，，则， ，，即，即数列是递减数列，故A正确； 对于B，，，则， 而中，，矛盾，故B错误； 对于C，，，，若成等差数列， ，即， 解得或，则时，符合题意，故C正确； 对于D，时，，易知， ， ， 则数列是首项为1，公比为2的等比数列， ，， ，故D正确． 11．（25-26高三上·辽宁锦州·阶段练习）设数列的前n项和为，若，则 【答案】 【解析】已知，当时，有， 两式相减得：，即， 所以时，有， 时，由，有，又，解得， 则，，， 故当时，为等比数列，公比为2， 当时，，故，所以. 12．已知数列满足，且，则的通项公式_________. 【答案】 【解析】由,得，则， 由得， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 当时，， 所以， 当时，也适合上式，所以， 13．（25-26高二·全国·暑假作业）已知数列的前项和为，且，记数列的前项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】依题意， 当时，， 由，， 两式相减并化简得， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 即． ， 所以， 所以实数的取值范围是． 14．（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)若数列满足，且，求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）由得：， 当且时，， ， 即， 又，，； ，，解得：， 数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）方法一：由（1）得：， 当且时，，， ， 当时，满足， 综上所述：. 方法二：由（1）得：； ，，， ，令，则数列为常数列， ，. 15．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段练习）（1）已知数列满足，且，求的通项公式； （2）已知数列满足，且，求的通项公式； （3）已知数列满足，且，，求的通项公式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）因为，所以，所以当时， ， 又，符合上式，所以； （2）由，得，又， 所以数列以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以； （3）因为，所以，又，所以； 因为，所以 ， 又，所以， 则． 1．（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）设数列的前项和为，，且，则的最小值为（   ） A． B．14 C．9 D．8 【答案】D 【解析】由，得， 则， 各式相乘得， 得，又，所以，则为等差数列， 得. 所以， 设，则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，所以当或时，取到最小值8. 故选：D 2．（25-26高二下·安徽·期中）如图，设曲线上的点与轴上的点顺次构成等腰直角三角形，直角顶点在曲线上，则点的横坐标为（   ） A．20 B．21 C．100 D．101 【答案】A 【解析】因为是等腰直角三角形，可设，则， 代入可得，，即， 再结合与的图象交点可知，， 所以数列是以为首项，4为公差的等差数列， 所以有，故，则点的横坐标为20. 3．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数满足对任意实数，都有，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，代入题设函数方程得： ， 将代入化简，得递推关系：， 当时，有， 则，，， 故 ， 故，则. 4．（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，则（    ） A．2020 B．2022 C．2024 D．2026 【答案】C 【解析】函数的周期为：，即每8项重复一次. 计算到8内的和： 由题可知总共2024项，所以， 同理有 所以 故选：C． 5．(多选)（25-26高二上·湖南·期末）已知数列的首项，且满足，则下列说法正确的是（   ） A．，使得 B．数列是等比数列 C．设，则数列的前项和 D．若，则满足条件的最大整数的值为2024 【答案】BCD 【解析】对于AB，由题意可得，则， 因为，所以，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． 所以，所以，所以， 故A错误，B正确； 对于C，因为 ， 所以数列的前项和为， 又，则， 故，故C正确； 对于D，由，得其前项和为， 令，即， 因为数列为递增数列，且当时， 当时， 故满足条件的最大整数，D正确． 故选：BCD 6.两个数列､满足，，，（其中），则的通项公式为___________. 【答案】 【解析】因为，， 所以， 所以，即， 所以的特征方程为，解得特征根或， 所以可设数列的通项公式为，因为，， 所以，所以，解得， 所以，所以. 7．已知数列的前项和为，且.若，则的最小值为 . 【答案】7 【解析】因为， 两式相减得：，即. 两边同除以可得， 又，得，满足， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，故， 即，所以， 因为， 令，则， 所以数列单调递增，因为， 所以当时，，即； 当7时，， 即.所以的最小值为7. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $