暑假作业04 重难专题02：数列求和全突破（巩固培优）（巩固培优,7知识12题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高二数学人教A版

**基本信息** 聚焦数列求和全方法突破，以7大核心方法为纲，9类题型为目，构建“方法-题型-素养”三维训练体系，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |公式法|4题|等差等比求和公式直接应用|基础公式→直接计算→综合应用| |倒序相加法|4题|高斯算法原理，首尾项和规律|函数性质→数列求和→实际应用| |分组求和法|11题|分段/相加/绝对值型分组策略|通项分解→分别求和→整合结果| |裂项相消法|8题|10类裂项技巧（等差/指数/根式等）|通项拆分→抵消中间项→剩余项处理| |错位相减法|4题|秒杀公式及符号变化规律|等差×等比→错位相减→化简求和| |奇偶并项法|6题|(-1)^n型两项合并技巧|通项符号特征→奇偶分组→并项求和| |常用公式|5个公式|自然数/平方/立方等求和公式|基础数列→公式推导→拓展应用|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业04 重难专题02:数列求和全突破 【知识点1 公式法求和】 1．等差数列的前n项和公式Sn＝ ＝na1＋d. 2．等比数列的前n项和公式①当q＝1时，Sn＝ ；②当q≠1时，Sn＝＝ . 【知识点2 倒序相加法求和】 如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和 ，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 【知识点3 分组求和法求和】 一个数列的通项公式是 组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 【知识点4 裂项相消法求和】 把数列的通项拆成 或各通项正负项交错出现的形式，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前项和． 常见的裂项技巧如下： (1)＝－. (2)＝. (3)＝. (4)＝－. (5)＝. (6) (7)指数型； (8)对数型. (9) (10) 【注意】裂项相消求和时注意前后剩余项数一致及拆分系数等价. 【知识点5 错位相消减法求和】 1．如果一个数列的各项是由 构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 2.（秒杀公式）形如的数列求和为， 其中，，. 【注意】错位相减求和时注意中间相减后的项数及前后符号变化 【知识点6 奇偶并项法求和】 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．奇偶并项可采用两大类合并求解． 【知识点7 常用求和公式】 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝. (2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2. (3)12＋22＋32＋…＋n2＝. (4)13＋23＋33＋…＋n3＝. (5)1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1. 【题型1 公式法】 1．（2026·辽宁朝阳·三模）设，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南株洲·三模）已知等差数列的前n项和为，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．72 3．（2026·广西·模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A．31 B．63 C．127 D．255 4．（25-26高三·全国·一轮复习）设数列满足（且），是前项和，且，，则（   ） A．1014 B． C．1013 D．1012 【题型2 倒序相加法】 1．（2026高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·北京西城·阶段检测）数学家高斯在年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则（    ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 3．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知数列中，，则（   ） A．96 B．97 C．98 D．99 4．已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则 . 【题型3 分组求和法(分段型)】 1．已知数列的通项公式为，则数列的前n项和（   ） A．107 B．1409 C．1414 D．112 2．已知等差数列中，，等比数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项的和. 3．（2026·河北·模拟预测）已知等比数列满足，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前40项和． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知等比数列的前项和为，数列是公差为1的等差数列，若，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设为的前项和，求． 【题型4 分组求和法(相加型)】 1． ． 2．（25-26高二上·重庆渝北·期中）若数列的通项公式为，则其前项和___________． 3．（25-26高一下·湖北宜昌·期中） ＝________ 4．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【题型5 分组求和法(绝对值型)】 1．（2026·天津·模拟预测）已知数列的前项和为，，则的前7项和为（     ） A． B． C． D． 2．(多选)（25-26高二下·广东江门·期中）已知数列满足，则（    ） A． B．的前项和为 C．的前100项和为50 D．的前30项和为357 3．（2026·海南·模拟预测）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 4．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）在数列 中， ，且 . (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 . 【题型6 并项求和法】 1．（24-25高一下·上海·期末）若数列满足，则_____ 2．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知数列满足，且，则其前2023项之和＝_______. 3．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知数列的前n项和为，，，则__________（用数字作答）. 4．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知是数列的前项和，，，，数列是公差为3的等差数列，则__________. 5．已知数列中，则 ． 6．公差不为0的等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【题型7 裂项相消法（等差型）】 1．（2026高三·全国·专题练习）数列中，，若的前项和为，则项数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）在数列中，，，则（） A． B． C． D． 3．（2026·云南昭通·模拟预测）已知正项数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，若，证明：． 4．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知数列满足，且 (1)求证：数列是等差数列，并求; (2)令，求数列的前n项和 【题型8 裂项相消法（指数型、根式型、平方型、奇偶交错型）】 1．已知数列满足，若，则数列的前n项和 ． 2．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知，数列的前项和为，求当时的最小值． 3．已知正项数列的前项的和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 4．（25-26高二下·广东佛山·期中）已知数列中，，且满足（）． (1)求的通项公式； (2)令，为数列的前n项和，证明：． 【题型9 错位相减法】 1．（25-26高三下·河北邯郸·开学考试）（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）数列的前项和等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知数列的前项和为，且满足． (1)求及数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 4．已知是首项为，公差为的等差数列，为的前项和． (1)求通项公式及； (2)设是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式及其前项和． 1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则数列的前3项和为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南郑州·期中）记为数列的前项和，.则 （   ） A．2024 B．2025 C．1012 D．1013 3．（25-26高二下·广东佛山·期中）记为等差数列的前项和，若，则数列的前20项和是（    ） A．40 B．20 C．10 D．0 4．（2026·重庆·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，若，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏南通·模拟预测）已知数列的首项，且 ，则 （     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）《算学启蒙》是中国最早的科普著作．该书中有名的“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子，底面每边果子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图，给出了5层三角锥垛俯视图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层三角锥垛的果子数分别为共有44层，则该三角锥垛从顶层向下数前10层的果子总数为（   ） （参考公式：） A．225个 B．220个 C．230个 D．250个 7．(多选)（25-26高二下·山西长治·阶段检测）设为数列的前项和，已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 8．(多选)（2026·山东济南·模拟预测）记数列的前项和为，且满足，则（    ） A． B．是单调递增数列 C．对任意，存在使得 D． 9．（25-26高三·全国·一轮复习）在数列中，已知，，则数列的前2025项和________． 10．（2026高二·全国·专题练习）已知数列满足，设数列的前项和为，则_____. 11．（2026·江西宜春·模拟预测）已知数列中，为正整数，且，，，则当的值最大时，满足的的值为________． 12．（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大依次排列得到数列，为数列的前项和，则________． 13．（2026·江苏无锡·三模）已知是数列的前项和，若，，则当为奇数时，___________（用含的式子表示）；___________. 14．（25-26高二上·新疆克拉玛依·期末）已知等比数列的公比，且． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)设是数列的前项和，对任意正整数，不等式恒成立，求的取值范围． 15．设数列的前项和为，且． (1)证明：为等差数列； (2)数列满足，当，且时，求的最小值． 16．（2026·江苏南京·模拟预测）已知数列的前项和为，对任意，满足，且．数列满足，且其前两项和为6，前4项和为． (1)求数列，的通项公式； (2)将数列，的项按照“当为奇数时，放在的前面；当为偶数时，放在的前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：．求该数列前39项的和． 17．（25-26高二上·安徽·期末）已知数列满足且． (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)令，记的前项和为，证明：． 1．（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，若，数列的前项和为，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山东济南·模拟预测）设为不超过的最大整数，若数列的通项公式为，记的前项和为，则使得的最大正整数的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME－7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，设，其前项和为，则（    ） A．63 B．8 C．7 D．64 4．（多选）（25-26高二下·广东汕头·期中）已知数列的前n项和为，且，，则下列说法正确的是（    ） A．数列为等比数列 B．若，在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，则 C．若，，则数列的前2026项的和为 D．若，在数列的和项之间插入个数，使得这个数成等差数列，其中，将所有插入的数由小到大组成新数列，则 5．（23-24高二下·河南南阳·期中）我国古代典籍《庄子·天下》中记载：一尺之棰，日取其半，万世不竭．其含义是：一尺长的棍棒，每日截取它的一半，则永远也截不完．这体现了古人的智慧—无限分割的思想．现运用此思想操作如下：取长度为1的线段，将其三等分（如图①，去掉中间线段，记剩下线段的长度之和为；再将线段三等分（如图②，去掉中间线段，记剩下线段的长度之和为．则__________． 6．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）某人工智能深度学习模型在训练时，采用自适应梯度下降算法优化参数，记第轮迭代的模型误差为数列，满足，，定义误差加权项，数列的前项和为，若（），且为奇数，则_____．（参考公式：（），参考数据：、、三个数均近似7.6） 7．（25-26高二下·江苏连云港·阶段检测）已知． (1)若，求n的值； (2)若，求数列的前n项和． (3)若随机变量X满足，求数学期望． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业04 重难专题02:数列求和的9大热点题型 【知识点1 公式法求和】 1．等差数列的前n项和公式Sn＝＝na1＋d. 2．等比数列的前n项和公式①当q＝1时，Sn＝na1；②当q≠1时，Sn＝＝. 【知识点2 倒序相加法求和】 如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和 相等或等于同一个常数 ，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 【知识点3 分组求和法求和】 一个数列的通项公式是 若干个等差或等比或可求和的数列 组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 【知识点4 裂项相消法求和】 把数列的通项拆成 两项之差或各通项正负项交错出现的形式，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前项和． 常见的裂项技巧如下： (1)＝－. (2)＝. (3)＝. (4)＝－. (5)＝. (6) (7)指数型； (8)对数型. (9) (10) 【注意】裂项相消求和时注意前后剩余项数一致及拆分系数等价. 【知识点5 错位相消减法求和】 1．如果一个数列的各项是由 一个等差数列和一个等比数列的对应项之积 构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 2.（秒杀公式）形如的数列求和为， 其中，，. 【注意】错位相减求和时注意中间相减后的项数及前后符号变化 【知识点6 奇偶并项法求和】 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．奇偶并项可采用两大类合并求解． 【知识点7 常用求和公式】 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝. (2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2. (3)12＋22＋32＋…＋n2＝. (4)13＋23＋33＋…＋n3＝. (5)1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1. 【题型1 公式法】 1．（2026·辽宁朝阳·三模）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】． 2．（2026·湖南株洲·三模）已知等差数列的前n项和为，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．72 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为，则， . 3．（2026·广西·模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A．31 B．63 C．127 D．255 【答案】C 【解析】根据题意可得：， 因为数列是等比数列，，则化简得， 因为，所以. 所以. 故选：C. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）设数列满足（且），是前项和，且，，则（   ） A．1014 B． C．1013 D．1012 【答案】B 【解析】因为（且），即， 可知数列为等差数列，设公差为， 又因为，即， 且，则，， 可得，则， 可得，所以． 【题型2 倒序相加法】 1．（2026高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 又 ， 两式相加化简得， 故选：C． 2．（25-26高二下·北京西城·阶段检测）数学家高斯在年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则（    ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 【答案】D 【解析】由函数，得， 令， 则， 两式相加得， 解得. 故选：D. 3．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知数列中，，则（   ） A．96 B．97 C．98 D．99 【答案】A 【分析】由倒序相加法求和即可； 【解析】， 所以， 两式相加可得：， 所以，故选：A 4．已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则 . 【答案】4034 【详解】令① 则也有② 由， ，即有， 可得：， 于是由①②两式相加得， 所以. 【题型3 分组求和法(分段型)】 1．已知数列的通项公式为，则数列的前n项和（   ） A．107 B．1409 C．1414 D．112 【答案】B 【详解】因为， 则． 故选：B． 2．已知等差数列中，，等比数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项的和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由， 得，所以， 从而， 所以，所以. （2），故， 当为偶数时， ， 当为奇数时，， 综上可得 3．（2026·河北·模拟预测）已知等比数列满足，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前40项和． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设等比数列的公比为， 由题意可知，∴公比， ∴， ∴数列的通项. ∴数列的通项公式. （2）由题意可知， ∴， ， ， . 4．（2026高三·全国·专题练习）已知等比数列的前项和为，数列是公差为1的等差数列，若，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设为的前项和，求． 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）等比数列的公比设为，前项和为， 数列是公差为的等差数列，设 即有，即， 由，，，得， 又，所以， 即为，即，代入解得， 可得；． （2）即为 ． 【题型4 分组求和法(相加型)】 1． ． 【答案】 【解析】令， 则 ． 2．（25-26高二上·重庆渝北·期中）若数列的通项公式为，则其前项和___________． 【答案】 【详解】因为， 则 ， 所以. 3．（25-26高一下·湖北宜昌·期中） ＝________ 【答案】 【详解】由题意有：， 4．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1);(2)(3)见解析. 【解析】（1）设数列的公差为， 因为，，成等比数列，所以. 因为，所以，解得或（舍去）， 因此的通项公式为. （2）由（1）知 . 因为等比数列的前项和为， 等差数列的前项和为， 所以. （3）因为， 所以. 因为，所以，故. 【题型5 分组求和法(绝对值型)】 1．（2026·天津·模拟预测）已知数列的前项和为，，则的前7项和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知， 当时，， 当时，， 时，， ， ，故是首项为3，公比为2的等比数列， 的前7项和为：． 2．(多选)（25-26高二下·广东江门·期中）已知数列满足，则（    ） A． B．的前项和为 C．的前100项和为50 D．的前30项和为357 【答案】ACD 【详解】当时，，故A正确； 当时，， 两式相减可得：，所以， 当时，，符合上式，故， 由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误； 令，的前100项和为： ，故C正确； 令，所以的前30项和为： ，故D正确． 3．（2026·海南·模拟预测）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1);(2) 【详解】（1）因为， 所以当时，， 当时，， 显然满足式，所以； （2）由（1）可得时，时， 所以当时，所以， 当时，所以 ， 所以. 4．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）在数列 中， ，且 . (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由数列 中， ，且 ， 所以 (符合首项)， 所以 ； （2）其中 ， 设 ， 的前 项和为 ，其中 ， 故 ， 当 时， ，故 ； 当 时， ， 故 综上所述， 【题型6 并项求和法】 1．（24-25高一下·上海·期末）若数列满足，则_____ 【答案】 【解析】由可得， ， ，解得， 2．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知数列满足，且，则其前2023项之和＝_______. 【答案】3034 【解析】由题意得 . 3．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知数列的前n项和为，，，则__________（用数字作答）. 【答案】 【解析】因为，，，， 所以. 4．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知是数列的前项和，，，，数列是公差为3的等差数列，则__________. 【答案】860 【解析】设，由题意知，为公差为3的等差数列， 则，故， 故， 故. 5．已知数列中，则 ． 【答案】340 【详解】因为， 注意到， 可得， 所以. 故答案为：340. 6．公差不为0的等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，, 因为，所以可解得，即. （2）因为， 所以， 因为 当为偶数时， ； 当为奇数时， ． 综上所述：. 【题型7 裂项相消法（等差型）】 1．（2026高三·全国·专题练习）数列中，，若的前项和为，则项数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则的前项和为， 由，解得. 2．（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）在数列中，，，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以 , 所以，所以. 3．（2026·云南昭通·模拟预测）已知正项数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，若，证明：． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】(1) 因为，所以， 所以， 所以， 又， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以． 当时，， 也满足上式， 所以数列的通项公式为． (2)证明：因为， 所以， 所以． 因为，所以， 因为数列单调递增，所以， 所以． 4．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知数列满足，且 (1)求证：数列是等差数列，并求; (2)令，求数列的前n项和 【答案】(1)因，易得， 则， 即，则是以为首项，公差为的等差数列， 则 ; (2). （2）由（1）, 则 . 【题型8 裂项相消法（指数型、根式型、平方型、奇偶交错型）】 1．已知数列满足，若，则数列的前n项和 ． 【答案】 【详解】当时，，即. ① 当时，② ①②得， 所以. 当时，也适合， 综上，. ， . 2．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知，数列的前项和为，求当时的最小值． 【答案】(1) (2)16 【解析】（1）， ． ，．     当时，．     当时，．     经检验，当时，也符合此式， ． （2），     ．     又，，解得． ，的最小值为16． 3．已知正项数列的前项的和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1），故，解得， 当时，，故， 整理得到：，正项数列，故， 数列是首项为，公差为的等差数列，故，验证时满足，故. （2）， 故 . 4．（25-26高二下·广东佛山·期中）已知数列中，，且满足（）． (1)求的通项公式； (2)令，为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）构造等比数列求通项公式； （2）利用裂项相消求出，并判断的正负性. 【解析】（1）由得，， 由于，故，故， 故数列是以3为首项，公比为3的等比数列， 所以，故 （2）由（1）得，所以， 故 ， 由于，故， 又， 故，所以 【题型9 错位相减法】 1．（25-26高三下·河北邯郸·开学考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令， 则 两式相减得 所以， 故选：D. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）数列的前项和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设的前项和为，则，① 所以，② ①②，得， 所以． 故选：B. 3．（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知数列的前项和为，且满足． (1)求及数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2) 【解析】（1）根据已知条件，，令，解得， 同理，易得. 当时，， 与两式相减，得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以. （2）由（1）知，所以， 所以，则， 两式相减可得， 整理得. 4．已知是首项为，公差为的等差数列，为的前项和． (1)求通项公式及； (2)设是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式及其前项和． 【答案】(1)； (2)； 【分析】 【详解】（1）由已知得，，则， 所以. （2）由已知得，，又由（1）得， 所以， 则. 令， 则， 所以， 即； 令，则， 所以. 1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则数列的前3项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】是首项为1，公差为2的等差数列， ， ， ， 数列的前3项和为： ． 2．（25-26高二下·河南郑州·期中）记为数列的前项和，.则 （   ） A．2024 B．2025 C．1012 D．1013 【答案】D 【解析】，，， ，，……， ， ， 将以上2026个等式左右分别相加， 得， 则． 3．（25-26高二下·广东佛山·期中）记为等差数列的前项和，若，则数列的前20项和是（    ） A．40 B．20 C．10 D．0 【答案】B 【解析】因为为等差数列，所以，设公差为d， 则，整理得， 又，令，得， 又， 所以，则，解得，则， 所以， 所以的前20项和为 . 4．（2026·重庆·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，若，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令可得，即， 因为，则， 令，，则， 即，故， 所以， 令①， 则②， ①②可得 ， 所以， 当时，，则数列为单调递增数列， 因为，，则， 故满足不等式的正整数的最小值为. 5．（2026·江苏南通·模拟预测）已知数列的首项，且 ，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在数列中，由，得， 即，令，则， 由，得，当时， ，满足上式，因此， 当时，， 所以. 6．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）《算学启蒙》是中国最早的科普著作．该书中有名的“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子，底面每边果子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图，给出了5层三角锥垛俯视图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层三角锥垛的果子数分别为共有44层，则该三角锥垛从顶层向下数前10层的果子总数为（   ） （参考公式：） A．225个 B．220个 C．230个 D．250个 【答案】B 【解析】设第n层果子数为，则由题可得第层果子数与前一层的关系为， 所以， 所以 ， 所以. 所以该三角锥垛从顶层向下数前10层的果子总数为 . 故选：B 7．(多选)（25-26高二下·山西长治·阶段检测）设为数列的前项和，已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】由已知有意义，故， 又， 所以数列是公比的等比数列， 因为， 所以， 所以， 因此数列的通项公式为， 对于选项A，，A正确； 对于选项B，，， 因此，B正确； 对于选项C，数列是首项，公比为的等比数列， 数列的前项和，与选项给出的不符，C错误； 对于选项D，， 则， 所以，D错误. 8．(多选)（2026·山东济南·模拟预测）记数列的前项和为，且满足，则（    ） A． B．是单调递增数列 C．对任意，存在使得 D． 【答案】ABD 【解析】选项A，已知 ，当时， ， 两式相减得，化简得 ， 即对任意，.当时，得，故选项A正确. 选项B，将代入原式得 ， 则 对任意成立， 故单调递增，选项B正确. 选项C，若​，则 ，解得​. 取，得，不存在满足条件的，选项C错误. 选项D，对 ，得 ， 裂项求和得，选项D正确. 9．（25-26高三·全国·一轮复习）在数列中，已知，，则数列的前2025项和________． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以， 因此. 10．（2026高二·全国·专题练习）已知数列满足，设数列的前项和为，则_____. 【答案】 【解析】数列中，，当时，， 则当时，， 而满足上式，因此，， 则， 所以. 11．（2026·江西宜春·模拟预测）已知数列中，为正整数，且，，，则当的值最大时，满足的的值为________． 【答案】66 【解析】由题意得，，，，的可能取值如图所示， 由图可知最大为11， 由，则或16，因为，所以， 所以， 当时，，解得， 当时，，满足条件的不存在， 所以． 12．（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大依次排列得到数列，为数列的前项和，则________． 【答案】 【解析】已知数列的前项和， 当时，； 当时，，当时也满足， 因此数列的通项公式为， 则数列是偶数数列：，数列为， 因此数列和数列的公共项为，即数列的通项公式为， 则数列的通项公式为， 则，， 两式相减得， 故. 13．（2026·江苏无锡·三模）已知是数列的前项和，若，，则当为奇数时，___________（用含的式子表示）；___________. 【答案】 2 【解析】当为奇数时，， 所以 当时，满足上式. 所以当为奇数时,. 当为偶数时，， 所以， 又因为，所以. 即      解得. 14．（25-26高二上·新疆克拉玛依·期末）已知等比数列的公比，且． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)设是数列的前项和，对任意正整数，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1);(2) (3) 【解析】（1）因为，所以. 又因为，所以，， 所以数列的通项公式为. （2）, 所以. （3）因为， 所以， ， 两式相减得，， 所以. 所以对任意正整数恒成立. 设，易知单调递增. 当为奇数时，的最小值为，所以，解得； 当为偶数时，的最小值为，所以. 综上可知， 即的取值范围是. 15．设数列的前项和为，且． (1)证明：为等差数列； (2)数列满足，当，且时，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【详解】（1）由题知， 当时，，即，可得， 当时，，又， 所以，即， 整理得，可得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则， ，， ， 所以是以为首项，以为公差的等差数列. （2）当，， 因为，所以， 令， ， 由得：， 即， 所以. ， 可得，则单调递增. ，， ， ，， 因为单调递增，所以，当时，；当时，， 由，可得， 故所求的最小值为6． 16．（2026·江苏南京·模拟预测）已知数列的前项和为，对任意，满足，且．数列满足，且其前两项和为6，前4项和为． (1)求数列，的通项公式； (2)将数列，的项按照“当为奇数时，放在的前面；当为偶数时，放在的前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：．求该数列前39项的和． 【答案】(1)，（或）；(2)前39项和为（或）。 【解析】（1）且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，. 当时，. 也适合上式，所以，. ，即，且， 所以，数列是正项等比数列，设其公比为，则. 由题意可得，解得， 因此，； （2）数列的前项和为， 数列的前项和为， 设新数列为，其前项和为， 则. 17．（25-26高二上·安徽·期末）已知数列满足且． (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)令，记的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析，； (2)； (3)证明见解析. 【解析】（1）因为且， 所以，即 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以. （2）由（1）， 所以数列的前项和 ； 所以， 所以， 所以， 所以； （3）， 所以的前项和为 . 1．（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，若，数列的前项和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，代入可得： ，. 令,代入得： ，又， 2．（2026·山东济南·模拟预测）设为不超过的最大整数，若数列的通项公式为，记的前项和为，则使得的最大正整数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知是不超过的最大整数，设（为整数）， 则. 变形得，即. 因为是正整数，所以的整数取值为，所以对，满足的正整数共有个，每个项的值为，该组的和为. 我们分组计算前项和的累计值： ：共项，和为，累计和，对应最大； ：共项，和为，累计和，对应最大； ：共项，和为，累计和，对应最大； ：共项，和为，累计和，对应最大； ：共项，和为，累计和，对应最大. 当时，满足的的取值范围为，设还可以取个这样的项，则， 解得，即最大取.总，此时； 若，，不符合要求. 因此使得的最大正整数为. 3．（2025高三·全国·专题练习）如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME－7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，设，其前项和为，则（    ） A．63 B．8 C．7 D．64 【答案】C 【解析】根据图形， 因为，都是直角三角形， ， 是以1为首项，以1为公差的等差数列， ，且满足上式，. 由题意得，，. ， . 故选：C. 4．（多选）（25-26高二下·广东汕头·期中）已知数列的前n项和为，且，，则下列说法正确的是（    ） A．数列为等比数列 B．若，在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，则 C．若，，则数列的前2026项的和为 D．若，在数列的和项之间插入个数，使得这个数成等差数列，其中，将所有插入的数由小到大组成新数列，则 【答案】BCD 【解析】选项A，  ①   当时，  ② ①式减去②式得：，整理得． 若，则数列不满足等比数列定义， 所以数列不一定是等比数列．因此选项A错误． 选项B，若，代入递推式得． 结合，可确定数列是首项为1、公比为3的等比数列，通项公式为． 在与之间插入n个数构成等差数列，该数列总项数为， 所以公差. 因此选项B正确． 选项C，若，由，可得， 所以．因此． 因为周期为，且， 因为， 所以数列的前2026项的和为 ，因此选项C正确． 选项D ，由，得，． 在与间插入个数构成等差数列，其公差为. 前k组插入数字的总个数为等差数列，求和得． 当时，总个数为2016； 当时，总个数为2080. 所以插入的第2026个数是第64组的第10个插入的数． 因为，，所以公差， 所以 因此选项D正确． 5．（23-24高二下·河南南阳·期中）我国古代典籍《庄子·天下》中记载：一尺之棰，日取其半，万世不竭．其含义是：一尺长的棍棒，每日截取它的一半，则永远也截不完．这体现了古人的智慧—无限分割的思想．现运用此思想操作如下：取长度为1的线段，将其三等分（如图①，去掉中间线段，记剩下线段的长度之和为；再将线段三等分（如图②，去掉中间线段，记剩下线段的长度之和为．则__________． 【答案】 【解析】由题意得： ； 所以 ． 令①， 则②， 由①②得 ， 所以， 所以， 故答案为：． 6．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）某人工智能深度学习模型在训练时，采用自适应梯度下降算法优化参数，记第轮迭代的模型误差为数列，满足，，定义误差加权项，数列的前项和为，若（），且为奇数，则_____．（参考公式：（），参考数据：、、三个数均近似7.6） 【答案】 【解析】由，则，所以， 因此数列是以为首项，1为公差的等差数列，则， 所以，代入，则， 所以， 因为，则， 因为，，所以， 又， 即， 又， 即， 所以， 又， 因此，即，即， 又因为（），且为奇数， 所以当时，区间为，而不合题意， 当时，则，此时符合题意， 所以. 7．（25-26高二下·江苏连云港·阶段检测）已知． (1)若，求n的值； (2)若，求数列的前n项和． (3)若随机变量X满足，求数学期望． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）二项式的展开式的通项为， 由题意得的系数为, 则,解得. （2）当时，，则， ∴， 所以数列的前项和 . （3）由上知,, 即, 所以随机变量服从，则. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $