暑假作业16 重难专题06：几何法破解空间距离问题（巩固培优,2知识7题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高一数学人教A版

**基本信息** 以几何法为核心，系统构建空间距离求解体系，通过定义梳理与转化思想实现从点线距离到展平最值的全类型突破，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点到直线距离|4题|作垂线段+直角三角形/等面积法|从两点距离定义延伸，构建点线距离几何模型| |点到平面距离|直接法3题/等体积法5题/转化法7题|直接作垂线/体积转换/平行转移|以点面距离为核心，衍生多维度转化策略| |线面/面面距离|6题|转化为点面距离|基于平行性质，实现距离求解降维| |展平法求最值|5题|曲面展开+平面最短路径|将空间问题平面化，体现转化思想|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业16 重难专题06：几何法破解空间距离问题 【知识点1 空间距离】 1.两点间的距离 连接 称为两点间的距离. 2.点到直线的距离 过点向直线作垂线，这点和 叫作这点到直线的距离. 3.点到平面的距离 一点到它在一个平面内的 叫做这一点到这个平面的距离.也可以说成这一点到平面的垂线段的长度. 4.直线到与它平行平面的距离： 一条直线上的任一点到 的距离，叫做这条直线与平面的距离. 从定义可知，求直线到与它平行平面的距离就是转化到直线上的点到平面的距 离.可选择直线上的端点、中点等. 5.两个平行平面的距离 若两个平面平行，则其中一个平面上的 距离，叫作两平行平面间的距离. 【知识点02 异面直线间的距离（拓展）】 1.公垂线与公垂线段 公垂线是指与两条异面直线都垂直且相交的直线，公垂线段是指连接公垂线与两异面直线的两交点所得的线段. 2.异面直线间的距离 两条异面直线的公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离. 3.求异面直线间的距离的方法 (1)定义法：找出公垂线，求公垂线段的长. ⑵转化法：将异面直线距离转化为直线到平面的距离或点到平面的距离. 【题型1 求点到直线的距离】 求点到直线的距离一般要作出表示这个距离的垂线段，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解. 1．（25-26高二下·江苏盐城·阶段检测）在棱长为1的正方体中，点到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D． 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为（　　） A.2　 B.2　　 C.　 D.4 3.（25-26高二上·天津·期末）如图，直三棱柱中，，，，点D是中点，则点到直线的距离是_______.    4.（2026春•徐汇区期末）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1所有棱长均为2．过线段AC中点M作平面α∥平面ABB1A1，设点N为平面α与线段A1C1的交点． （1）求直线A1M与平面ABC所成角的大小； （2）求证：MN∥AA1，并求点N到直线AB的距离． 【题型2 直接法求点到平面的距离】 所谓直接法，就是直接作出表示点到平面的距离的垂线段，再通过解三角形等策略求得该垂线段的长，即得点到平面的距离. 1．（25-26高一下·江西·期末）在棱长为3的正方体中，点D到平面的距离为（   ） A． B．3 C． D． 2．（25-26高三上·山东济南·开学考试）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球O的直径且，则点到底面的距离为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江苏泰州·阶段检测）已知在正四面体中，D，E，F分别在棱，，上，若，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【题型3 等体积法求点到平面的距离】 所谓等体积法，就是将所求点到面的距离对应的线段视为一个三棱锥的高，再通过转换三棱锥的顶点和底面，利用其体积不变求出相对应的点到平面的距离. 1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在长方体中，，，则点到平面的距离等于（    ） A． B． C．1 D． 2．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，，则到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图，在四面体OABC中，，，，，，，为BC的中点，则点到平面OMA的距离为（    ）    A． B． C． D． 4.（2026·山东泰安·三模）如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，． (1)证明：； (2)求D到平面MOB的距离． 5.（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【题型4 等距转化法求点到平面的距离】 寻找两平面垂直，再由一个平面内某点向另一个平面的交线作垂线，则所得垂线段的长度即为该点到另一个平面的距离. 1．（2025·河南·二模）在三棱锥P-ABC中，底面ABC为正三角形，平面ABC，，，若P，A，B，C四点都在球O的表面上，则球心O到平面PBC的距离为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一下·浙江·期中）如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的射影在上.若三棱锥的外接球表面积为，则到平面的距离为（   ） A． B． C． D．1 所以点到平面的距离为. 3．如图,长方体中，底面是边长为2的正方形，高为4，E为AA1的中点，求： ⑴点A1到截面AB1D1的距离； ⑵点E到截面AB1D1的距离.A B C D A1 B1 C1 D1 O1 H · E 【题型5 等距转化法求点到平面的距离】 当点到平面的垂线不易作出时，可寻找过该点且与平面平行的直线，将所求距离转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算. 1．在三棱柱中，是棱长为的正四面体，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方体的棱长为1，且M，N分别为，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．平面 B．与所成角为45° C．三棱锥的体积为 D．点到平面的距离为 3.（25-26高一下·河南鹤壁·阶段检测）如图，正方体的棱长为．截面将正方体分成两部分，其体积分别为，且． (1)求以及； (2)求点到平面的距离. 【题型6 转化法求直线到平面的距离】 一般利用转化法求直线到平面的距离，即将所求距离转化为直线上的某点到平面的距离. 1．（25-26高二上·山东潍坊·期中）正四棱柱的底面边长为2，点E，F分别为，的中点，且已知与BF所成角的大小为60°，则直线与平面BCF之间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）已知在中，斜边平面，，，分别与平面成和的角，已知，则到平面的距离为（     ） A．4 B． C． D． 3．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）已知正方体的棱长为4，则直线到平面的距离为___________． 4．（25-26高一下·吉林·期末）如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 【题型7 转化法求两平行平面间的距离】 两平行平面间的距离一般转化为求其中一个平面上某点到另一个平面的距离. 1．（25-26高一下·贵州贵阳·期末）正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知球的半径为5，若用两个平行的平面截该球所得的截面的面积分别为9π和25π，则这两个平行平面之间的距离为________． 3．（2026·福建龙岩·二模）棱长均为的四面体的顶点分别在四个互相平行的平面上．若相邻两平行平面的距离都为，则的值为______． 4．（25-26高一下·广东揭阳·期中）如图在直三棱柱中，，，，E 是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 【题型8 展平法破解距离的最值问题】 将立体图形的曲面、多面体表面沿母线或棱剪开，展开为同一平面。依据 “平面内两点之间线段最短”，连接两点得到线段，此线段长即为空间最短距离。求解时先确定展开方式，画出展开图，再结合几何边长、角度，用勾股定理或余弦定理计算线段长度. 1. （25-26高一上·甘肃定西·开学考试）如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程为（   ）（取3） A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定 2．（2026·山西晋中·模拟预测）如图，已知圆锥的母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点的最短距离为，则该圆锥的底面半径为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（25-26高二下·安徽·期末）已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，高为1，E为CD的中点．动点M在该棱锥的表面运动，满足．则动点M的轨迹的周长是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高三下·广东·开学考试）如图，圆锥SO底面圆的圆心为O，AB是圆O的一条直径，SA与底面所成角的正弦值为，，P是母线SA的中点，C是母线SB上一动点，则下列说法正确的是（   ）    A．圆锥SO的母线长为12 B．圆锥SO的表面积为 C．一只蚂蚁沿圆锥SO的侧面上的曲线从点A爬到点P处，在蚂蚁所爬的最短路径中，这只蚂蚁离圆锥SO的顶点S的最短距离是 D．在圆锥SO内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是 5．（25-26高一上·上海·期末）如图，是底面半径为的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为，若，弧，则沿圆柱侧面从到的最短距离是_________.    1．（25-26高一下·云南文山·阶段检测）已知A，B，C三点在球O的球面上，且，若球O上的动点D到点A，B，C所在平面的距离的最大值为，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二·上海·课堂例题）在棱长为1的正方体中，点A到直线的距离为，点到平面的距离为，到平面的距离为，平面到平面的距离为．其中最长距离是（    ） A．a； B．b； C．c； D．d． 3．（2026·北京·三模）某建筑物的部分建筑结构可以抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，且，顶点P到底面的距离为6，则点B到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的射影在上.若三棱锥的外接球表面积为，则到平面的距离为（   ） A． B． C． D．1 5．（多选）（25-26高一下·山东淄博·期中）如图，将棱长为2的正方体挖去一部分，得到几何体，，交于点，则下列说法正确的是（    ） A．几何体的体积为 B．，是异面直线 C． D．点到平面的距离为 6．（多选）（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（    ）    A．异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于 C．点C到平面的距离为 D．线段长度的最小值为 7．（25-26高一下·天津·期中）已知直二面角，点，，为垂足，点，，为垂足，若，，则到平面的距离等于_____． 8．（25-26高一下·北京·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，，为的中点，是棱上的中点，则异面直线与所成角的正弦值为______，点到平面的距离为______．    9．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，直三棱柱的侧棱长为2，，， ，分别为的中点，则到平面的距离为___________． 10．（2026高一·全国·专题练习）某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为______. 11.（2026·河南·高一下联考）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面间的距离. 12.（25-26高一下·北京·期中）如图所示，在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且. (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)是棱的中点，证明：平面 13.（25-26高一下·广东清远·期中）如图，在三棱柱中，，．点E，F分别为棱，的中点. (1)记三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，求； (2)若，且三棱柱是直棱柱. （i）求点E到平面ABF的距离； （ii）求一只蚂蚁沿三棱柱表面从点B爬行到点E的最短路程. 1．（25-26高三下·北京·阶段检测）某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·北京东城·阶段检测）金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用．如图1所示，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点，，，处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（点处），如图2所示，设，则到平面的距离为____________． 4．（2026高一·全国·专题练习）如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是____. 5．（25-26高一下·河北邯郸·期末）“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形组成的多面体.某广场的石凳就是由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成的阿基米德多面体，它可以看成一个正方体截去八个一样的四面体得到，称之为截半立方体.若图中截半立方体的棱长，则异面直线AD和FP所成的角为____________，直线EB到平面PGQ的距离为____________. 6．（25-26高一下·山东·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，．    (1)求证：平面； (2)当时，求点到平面的距离； (3)当时，求二面角正切值的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业16 重难专题06：几何法破解空间距离问题 【知识点1 空间距离】 1.两点间的距离 连接两点间线段的长度称为两点间的距离. 2.点到直线的距离 过点向直线作垂线，这点和垂足间的线段的长度叫作这点到直线的距离. 3.点到平面的距离 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离.也可以说成这一点到平面的垂线段的长度. 4.直线到与它平行平面的距离： 一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线与平面的距离. 从定义可知，求直线到与它平行平面的距离就是转化到直线上的点到平面的距 离.可选择直线上的端点、中点等. 5.两个平行平面的距离 若两个平面平行，则其中一个平面上的任一点到另一个平面的距离，叫作两平行平面间的距离. 【知识点02 异面直线间的距离（拓展）】 1.公垂线与公垂线段 公垂线是指与两条异面直线都垂直且相交的直线，公垂线段是指连接公垂线与两异面直线的两交点所得的线段. 2.异面直线间的距离 两条异面直线的公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离. 3.求异面直线间的距离的方法 (1)定义法：找出公垂线，求公垂线段的长. ⑵转化法：将异面直线距离转化为直线到平面的距离或点到平面的距离. 【题型1 求点到直线的距离】 求点到直线的距离一般要作出表示这个距离的垂线段，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解. 1．（25-26高二下·江苏盐城·阶段检测）在棱长为1的正方体中，点到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】在棱长为1的正方体中，连接，则， 所以到直线的距离即为正边上的高. 故选：A 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为（　　） A.2　 B.2　　 C.　 D.4 【答案】B 【解析】如图，取PA的中点M，连接BM，CM，因为PB⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以PB⊥BC，又因为AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA，BC⊥PB，因为M是PA的中点，PB＝AB，所以BM⊥PA，又BC⊥PA， BM∩BC＝B，BM，BC⊂平面BCM，所以PA⊥平面BCM，又CM⊂平面BCM，所以CM⊥PA，即CM为点C到直线PA的距离.在等腰Rt△PAB中，BM＝PB＝2，在Rt△BCM中，CM＝＝＝2，故点C到直线PA的距离为2. 3.（25-26高二上·天津·期末）如图，直三棱柱中，，，，点D是中点，则点到直线的距离是_______.    【答案】/ 【解析】连接,    因为，，点D是中点，， 所以，, 又因为,, 所以是边长为的等边三角形， 取的中点，连接, 则, 所以的长即为点到直线的距离， 又因为是边长为的等边三角形， 所以. 4.（2026春•徐汇区期末）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1所有棱长均为2．过线段AC中点M作平面α∥平面ABB1A1，设点N为平面α与线段A1C1的交点． （1）求直线A1M与平面ABC所成角的大小； （2）求证：MN∥AA1，并求点N到直线AB的距离． 【解析】（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，有AA1⊥平面ABC， 所以∠A1MA即为直线A1M与平面ABC所成角的平面角， 因为点M为AC的中点，所以AM＝1，AA1＝2， 所以， 即直线A1M与平面ABC所成角的为arctan2； （2）证明：因为平面α∥平面ABB1A1，且MN⊂平面α， 所以MN∥平面ABB1A1， 因为MN⊂平面AA1C1C，AA1⊂平面AA1C1C， 所以MN∥AA1， 连接AN，BN，BM， 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为正三角形， 所以，，， 在△NAB中，， 则， 所以点N到直线AB的距离为． 【题型2 直接法求点到平面的距离】 所谓直接法，就是直接作出表示点到平面的距离的垂线段，再通过解三角形等策略求得该垂线段的长，即得点到平面的距离. 1．（25-26高一下·江西·期末）在棱长为3的正方体中，点D到平面的距离为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解析】如图： 连接交AC于点，则为BD中点， 因为为正方体，所以平面，又平面，所以； 又底面为正方体，所以. 因为，平面, 所以平面. 故点到平面的距离为． 故选：A． 2．（25-26高三上·山东济南·开学考试）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球O的直径且，则点到底面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 设球的半径为，取的中点，连接. 三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球O的直径且， 球心O是的中点，，. 在中，，， 在中，，， 在中，，. 又，平面，平面， ，平面， 点到底面的距离为. 3．（25-26高一下·江苏泰州·阶段检测）已知在正四面体中，D，E，F分别在棱，，上，若，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，由题意可得，，所以为等边三角形， 即，在中，根据余弦定理可得：， ，所以， 同理在中，，即， 取的中点，过点作的垂线交的延长线于点， 可知点到平面的距离为的长，因为， 所以在中，， 在中，， 又因为，所以为等腰三角形， 为中点，所以在中，， 在中，为中点，所以为等边的高， 在中，， 所以， 即，整理可得：， 两边平方可得：， 整理可得：，即， 两边平方可得：， 化简可得：，所以. 【题型3 等体积法求点到平面的距离】 所谓等体积法，就是将所求点到面的距离对应的线段视为一个三棱锥的高，再通过转换三棱锥的顶点和底面，利用其体积不变求出相对应的点到平面的距离. 1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在长方体中，，，则点到平面的距离等于（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】，， 则， ， 设点到平面的距离为， 则，解得. 2．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，，则到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，交于点，连接，则为的中点. 因为平面，平面， 所以. 所以， 所以. 所以， 所以的面积为. 因为平面，， 所以. 设到平面的距离为， 由，得. 3．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图，在四面体OABC中，，，，，，，为BC的中点，则点到平面OMA的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点到平面OMA的距离为. ，，，平面； 平面，，即是直角三角形； ，，，； 为的中点，. . ，，，平面； 为的中点，平面，点到平面的距离为； ，，，. ，，即，解得. 即点到平面OMA的距离为. 4.（2026·山东泰安·三模）如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，． (1)证明：； (2)求D到平面MOB的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）连接PO，BD，如图一所示， ，，∵平面平面ABCD， 平面平面，平面，平面ABCD， 平面ABCD，， 又平面PAD，平面PAD， 又平面PAD，. （2）由（1）得,又∵O为AD的中点,， ,是正三角形，,. 连接MD，设点D到平面MOB的距离为h， ， ，M到平面ABCD的距离为P到平面ABCD距离的， 即，，， ，∴点D到平面MOB的距离为. 5.（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析;(2) 【解析】（1）如图，连接，与交于点F，连接BF， 因为四边形是正方形，， 所以，， 因为四边形是正方形，，所以. 因为，所以， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为在四棱台中，两底面均为正方形， 所以，所以， 所以， 所以， 又， 设点到平面的距离为h， 由等体积法得，即，解得， 所以点到平面的距离为. 【题型4 等距转化法求点到平面的距离】 寻找两平面垂直，再由一个平面内某点向另一个平面的交线作垂线，则所得垂线段的长度即为该点到另一个平面的距离. 1．（2025·河南·二模）在三棱锥P-ABC中，底面ABC为正三角形，平面ABC，，，若P，A，B，C四点都在球O的表面上，则球心O到平面PBC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设底面中心为D，取BC的中点E，连接AE，则A，D，E三点共线，连接PE，过点D作底面的垂线， 取棱PA的中点Q，在平面PAE中，过Q作PA的垂线，则与的交点即为球心O， 在正中，，，得， 又，则，， ，由余弦定理得， 则，过O作PE的垂线，垂足为G，由，， ，PA，平面，得平面，又平面PBC， 于是平面平面，又平面平面，平面， 因此平面PBC，在中，， 所以球心O到平面PBC的距离为. 故选：B 2.（25-26高一下·浙江·期中）如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的射影在上.若三棱锥的外接球表面积为，则到平面的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】连接，交于，交于点，连接，，设正方形的边长为， 因为为正方形，所以沿对角线折叠的过程中， 点（即点）在底面上的射影一直在直线上， 又点在平面上的射影在直线上，所以点即为点在平面上的射影， 即平面， 则即为点到平面的距离. 因为平面，所以. 正方形中，，即， 所以为三棱锥外接球的球心，则三棱锥外接球的半径， 又三棱锥的外接球表面积为，则，解得， 所以. 因为为的中点，为的中点，所以为的重心， 则. 在中，. 所以点到平面的距离为. 3．如图,长方体中，底面是边长为2的正方形，高为4，E为AA1的中点，求： ⑴点A1到截面AB1D1的距离； ⑵点E到截面AB1D1的距离.A B C D A1 B1 C1 D1 O1 H · E 【答案】(1) ;(2) 【解析】 ⑴如图所示，设A1C1∩B1D1=O1 ∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1， ∴B1D⊥平面AA1O1 故平面AA1O1⊥平面AB1D1，其交线为AO1， 在面AA1O1内过A1作A1H⊥AO1于H，则易知A1H长即是点A1到平面AB1D1的距离， 在Rt△A1O1A中，A1O1=， AO1=，由A1O1·A1A=A1H·AO1得，A1H=. 故点A1到截面AB1D1的距离为 ⑵∵E为AA1的中点，∴A1到平面AB1D1的距离是E到平面AB1D1的距离的2倍， ∴E到平面AB1D1的距离为. 【题型5 等距转化法求点到平面的距离】 当点到平面的垂线不易作出时，可寻找过该点且与平面平行的直线，将所求距离转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算. 1．在三棱柱中，是棱长为的正四面体，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分别取、的中点、，连接、、、，如下图所示： 由题意可知，因为四面体是棱长为的正四面体， 则是边长为的等边三角形，则，故， 同理可得，， 因为且，所以，四边形为平行四边形，则且， 因为、分别为、的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，所以，且， 又因为且，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则，且、、、四点共面， 因为，，，、平面， 所以，平面， 过点在平面内作，垂足为点， 因为平面，所以，， 又因为，，、平面，则平面， 在中，，，， 由余弦定理可得， 所以，， 因此，点到平面的距离为. 因为，平面，平面，所以，平面， 所以，点到平面的距离等于. 故选：C. 2．（多选）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方体的棱长为1，且M，N分别为，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．平面 B．与所成角为45° C．三棱锥的体积为 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】对A选项，如图，连接，则为中点，    又为的中点，所以， 又平面平面， 平面，故A选项正确； 对B选项，由A可知，为与所成角或其补角， 由正方体性质可知，，故B选项正确； 对C选项，三棱锥的体积为 ，故C选项错误； 对D选项，设点到平面的距离为，则， ，，故D选项正确. 3.（25-26高一下·河南鹤壁·阶段检测）如图，正方体的棱长为．截面将正方体分成两部分，其体积分别为，且． (1)求以及； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)，， (2) 【解析】（1）截面将正方体分为两个几何体，其中较小部分是三棱锥， 其中底面是腰长为的等腰直角三角形，其面积． 三棱锥的高为．所以其体积. 又正方体的体积，所以. 所以． （2）三棱锥与三棱锥是同一个几何体． 在中，，其面积． 因为，即，所以， 解得，即点到平面的距离为． 【题型6 转化法求直线到平面的距离】 一般利用转化法求直线到平面的距离，即将所求距离转化为直线上的某点到平面的距离. 1．（25-26高二上·山东潍坊·期中）正四棱柱的底面边长为2，点E，F分别为，的中点，且已知与BF所成角的大小为60°，则直线与平面BCF之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 取为中点，连接不妨令相交于， 由于点E为的中点，故， 即四边形为平行四边形，故，故与BF所成角的大小与与所成角的大小相等，即， 不妨设，故， 由平面，平面，故，点为中点， 故，又，故为等边三角形，即， 解得，即， 连接，作于， 由于，平面BCF，平面BCF，故 平面BCF， 则直线与平面BCF之间的距离即为点与平面BCF之间的距离， 由平面，平面，故，又平面BCF， 故平面BCF，即为点与平面BCF之间的距离， ， 故，即直线与平面BCF之间的距离为. 故选：C 2．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）已知在中，斜边平面，，，分别与平面成和的角，已知，则到平面的距离为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解析】作于点，于点，则由，得， 且就是BC到平面α的距离，设， 连接、，则，，∴，， 在中，，， ∴，∴，即到平面的距离为. 3．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）已知正方体的棱长为4，则直线到平面的距离为___________． 【答案】2 【解析】连接与交点为，因为是正方形，则， 又平面，平面，则， 又平面，则平面， 因为平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为. 故答案为：. 4．（25-26高一下·吉林·期末）如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【解析】（1）在直三棱柱中，连接，交于点N，连接，如图： 则N为的中点，而M为的中点，则，又平面，平面， 所以平面． （2）连接，由，得，又平面，平面， 则，又平面，因此平面， 又平面，则，又，则是等腰直角三角形， ，，， ，设点A到平面的距离为d， 由，得，解得， 由平面，得直线到平面的距离即为点A到平面的距离， 所以直线到平面的距离为． 【题型7 转化法求两平行平面间的距离】 两平行平面间的距离一般转化为求其中一个平面上某点到另一个平面的距离. 1．（25-26高一下·贵州贵阳·期末）正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】连接，正方体中，平面，平面，则， 正方形中，有， 平面，，所以平面， 平面，则有， 同理有，平面，， 所以平面，同理有平面， 正方体棱长为，则，， 设点到平面的距离为，由，    有，解得， 即点到平面的距离为2，同理点到平面的距离为2， ， 则平面到平面的距离为. 故选：B. 2．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知球的半径为5，若用两个平行的平面截该球所得的截面的面积分别为9π和25π，则这两个平行平面之间的距离为________． 【答案】4 【解析】依题意，截面圆面积为的圆半径为5，此截面过球心， 截面圆面积为的圆半径为3，球心到此截面距离， 所以这两个平行平面之间的距离即为球心到半径为3的截面圆所在平面距离4. 3．（2026·福建龙岩·二模）棱长均为的四面体的顶点分别在四个互相平行的平面上．若相邻两平行平面的距离都为，则的值为______． 【答案】/ 【解析】在正方体中作出正四面体， 作其中过，，三个顶点的互相平行的平面，如图: 由于相邻两平行平面间距离都相等，不妨求平面与平面间的距离， 其中，，，为正方体棱上的中点， 过作于，则即为两平行平面间的距离， 因为， 所以，所以， 即相邻平行平面间的距离为. 4．（25-26高一下·广东揭阳·期中）如图在直三棱柱中，，，，E 是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面平面， 又，平面平面，平面， 平面， 又平面， ， ， 在和中，， ，即， 又，平面 平面． （2）解：由题意知， 在中，， 又，， 平面，平面， 平面， 、分别为、的中点， ，又， ， 平面，平面， 平面， 平面，平面，， 平面平面． 平面，平面平面， 平面， 为平行平面与之间的距离， ， 即平面与之间的距离为． 【题型8 展平法破解距离的最值问题】 将立体图形的曲面、多面体表面沿母线或棱剪开，展开为同一平面。依据 “平面内两点之间线段最短”，连接两点得到线段，此线段长即为空间最短距离。求解时先确定展开方式，画出展开图，再结合几何边长、角度，用勾股定理或余弦定理计算线段长度. 1. （25-26高一上·甘肃定西·开学考试）如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程为（   ）（取3） A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定 【答案】A 【解析】 通过圆柱侧面展开图，可知最短路径为侧面展开图中的直角三角形的斜边， 即 故选：A. 2．（2026·山西晋中·模拟预测）如图，已知圆锥的母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点的最短距离为，则该圆锥的底面半径为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图 一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点的最短距离为，则 由,所以，则 设底面半径为，扇形半径为，则.所以. 故选：A. 3．（25-26高二下·安徽·期末）已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，高为1，E为CD的中点．动点M在该棱锥的表面运动，满足．则动点M的轨迹的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 分别取PD、AD的中点F、G，连结EF，FG，GE, 连接AC,交BD于O   ,则 因为正四棱锥P-ABCD，所以平面 因此平面EFG，因为，所以动点M的轨迹为， 其中，， 故选：C 4．（多选）（24-25高三下·广东·开学考试）如图，圆锥SO底面圆的圆心为O，AB是圆O的一条直径，SA与底面所成角的正弦值为，，P是母线SA的中点，C是母线SB上一动点，则下列说法正确的是（   ）    A．圆锥SO的母线长为12 B．圆锥SO的表面积为 C．一只蚂蚁沿圆锥SO的侧面上的曲线从点A爬到点P处，在蚂蚁所爬的最短路径中，这只蚂蚁离圆锥SO的顶点S的最短距离是 D．在圆锥SO内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是 【答案】BCD 【解析】    如图1，圆锥的轴截面为等腰三角形，则. 因为与底面所成角的正弦值为，所以， 所以，解得，故错误； 如图2，在圆锥的侧面展开图中，， 则圆锥的侧面积为， 所以圆锥的表面积为，故B正确； 如图2，过点作，垂足为. 在中，， 由余弦定理可得， 则，即，解得，故C正确； 如图1，设圆锥内切球的球心为，过点作，垂足分别为， 由题意可知，则，所以. 因为，所以，所以，解得. 设该正方体棱长的最大值为， 则，解得， 所以该正方体的体积的最大值是，故D正确. 故选：BCD. 5．（25-26高一上·上海·期末）如图，是底面半径为的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为，若，弧，则沿圆柱侧面从到的最短距离是_________.    【答案】 【解析】画出侧面展开图，如下，已知，则，弧， 侧面从到的最短距离是.根据勾股定理知道. 故答案为：.    1．（25-26高一下·云南文山·阶段检测）已知A，B，C三点在球O的球面上，且，若球O上的动点D到点A，B，C所在平面的距离的最大值为，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，故为直角三角形，斜边为其外接圆直径， 由勾股定理得， 因此外接圆半径. 设球心到平面的距离为，根据球的截面性质，有， 球上动点到平面的最大距离为，由题意得，即， 将、代入截面性质公式得， 展开整理得，解得. 则球的体积. 2．（24-25高二·上海·课堂例题）在棱长为1的正方体中，点A到直线的距离为，点到平面的距离为，到平面的距离为，平面到平面的距离为．其中最长距离是（    ） A．a； B．b； C．c； D．d． 【答案】A 【解析】连接交于，连接，由正方体的性质可知，   是的中点，所以，又可求得， 所以点到直线的距离为， 如图，连接交于点，    因为四边形是正方形，所以， 在正方体中，平面，故， 又，所以平面，故平面， 易得平面， 所以为点到平面的距离，在正方形中，可得； 如图，在棱长为1的正方体中，取的中点，连接， 则，且，又平面， 平面，所以，而，    所以平面，易知平面， 则到平面的距即为直线到平面的距离， 所以直线到平面的距离为. 由正方体的性质可得到平面的距离为. 综上，. 故选：A. 3．（2026·北京·三模）某建筑物的部分建筑结构可以抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，且，顶点P到底面的距离为6，则点B到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图所示，作中点为，连接， 因为，所以，又因为是等腰直角三角形，且，所以， 因为，，是公共边，所以， 所以 , 所以，，面，面，所以面. 所以为点P到底面的距离，即. 在中，根据勾股定理，. 因为，，，面，面，所以面， 所以为点到面的距离， 在等腰直角三角形中，. 故选：C. 4．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的射影在上.若三棱锥的外接球表面积为，则到平面的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】连接，交于，交于点，连接，，设正方形的边长为， 因为为正方形，所以沿对角线折叠的过程中， 点（即点）在底面上的射影一直在直线上， 又点在平面上的射影在直线上，所以点即为点在平面上的射影， 即平面， 则即为点到平面的距离. 因为平面，所以. 正方形中，，即， 所以为三棱锥外接球的球心，则三棱锥外接球的半径， 又三棱锥的外接球表面积为，则，解得， 所以. 因为为的中点，为的中点，所以为的重心， 则. 在中，. 所以点到平面的距离为. 5．（多选）（25-26高一下·山东淄博·期中）如图，将棱长为2的正方体挖去一部分，得到几何体，，交于点，则下列说法正确的是（    ） A．几何体的体积为 B．，是异面直线 C． D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】由题意可知原正方体棱长为，故平面，平面， 因此，且； 底面是边长为的正方形，对角线，二者交于点， 故是正方形的中心，. A：将几何体拆分为两个三棱锥、的组合： ， ，同理， 几何体总容积，故A正确. B：平面，平面，平面且，所以是异面直线，故B正确. C：平面，平面， ，则在中， 同理可得，且， 所以，故C错误. D：设点到平面的距离为. ， 是边长为的等边三角形， . 由等体积法可得， ， ， 代入得，解得，故D正确. 6．（多选）（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（    ）    A．异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于 C．点C到平面的距离为 D．线段长度的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用正方体的性质，结合线面垂直的判定证面，进而确定直线与平面所成的角、C到平面的距离，由，异面直线和所成角即为与所成角求大小，过作于，再过作于，利用线面垂直及勾股定理求的最小值. 【解析】因为，故异面直线和所成角即为与所成角， 而为等边三角形，故，故A正确；    因为面，面，故，又， 由，面，故面， 而面，故直线与平面所成的角，故B错误； 而到平面的距离为，故C正确； 过作于，再过作于， 面面，面面，面，故面， 而面，则，又，面， 所以面，易知即为异面直线，上两点的距离， 令，则，， 所以， 当时，，故D正确. 7．（25-26高一下·天津·期中）已知直二面角，点，，为垂足，点，，为垂足，若，，则到平面的距离等于_____． 【答案】/ 【解析】直二面角，棱为， 因为，，，， 所以，，，，， ，， ，， ， ， 所以， 因为， ，所以平面， 即是三棱锥的高，且， ，故， 在Rt中，， ， 设点到平面的距离为， ，则，解得 ， 即. 8．（25-26高一下·北京·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，，为的中点，是棱上的中点，则异面直线与所成角的正弦值为______，点到平面的距离为______．    【答案】； 【解析】 在三棱锥中，因为，， 所以为等腰直角三角形，且. 因为为的中点，所以. 又， 所以点在平面上的射影为的外心，即点， 所以平面. 在中，. 对于异面直线与所成角： 因为分别为的中点， 所以，且. 所以（或其补角）即为异面直线与所成的角. 因为平面，平面， 所以. 在中，. 所以. 即异面直线与所成角的正弦值为. 对于点到平面的距离： 取的中点，连接. 因为分别为的中点，所以. 又，所以. 因为，为中点， 所以. 又，平面， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面，且交线为. 在平面内，过点作于点，则平面. 线段的长度即为点到平面的距离. 在中，，， . 由等面积法可得， 即. 因为为的中点，点在平面上， 所以点到平面的距离为点到平面距离的倍， 即.    9．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，直三棱柱的侧棱长为2，，， ，分别为的中点，则到平面的距离为___________． 【答案】 【解析】连接，，，则，，， 因为是直三棱柱，所以平面，则，又因为， 所以平面，所以在三棱锥中，点到平面的距离为， ，，， 则，， 的面积为，三棱锥的体积为． 设点到平面的距离为，在中，， 的面积为，由， 得，得，即点到平面的距离为． 10．（2026高一·全国·专题练习）某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为______. 【答案】 【解析】如图，设AD与BC的中点分别为M，N，连接EM，MN，NF， 因为侧面是等腰直角三角形，所以， 又N为中点，所以，则， 因为平面，平面侧面，平面，则， 又底面是正方形，所以，则， 因为M，N分别为AD与BC的中点，所以，故四点共面， 又平面，则平面， 因为平面，所以平面与底面垂直， 作，垂足为G，则FG的长度就是EF与MN的距离，即EF与平面ABCD的距离， 由已知，可得，所以， 则EF到平面ABCD的距离为． 11.（2026·河南·高一下联考）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面间的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）在正六棱柱中， 因为底面为正六边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，所以平面平面. （2）平面与平面间的距离等价于点到平面的距离，设为. 连接，则四面体的体积. 因为， ，， 所以，从而， 所以， 所以，即平面与平面间的距离为.    12.（25-26高一下·北京·期中）如图所示，在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且. (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)是棱的中点，证明：平面 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【解析】（1）设与的交点为，则是的中点， 因为.所以. 因为菱形，所以. 又 ,平面，所以平面. 又平面，所以. （2）在菱形中，因为. 所以菱形的边长为，且， 所以， 在中，. 所以， 即由（1）知平面. 因为平面所以又所以平面 所以. 设点到平面的距离为 . 因为 所以即. 故点到平面的距离为. （3）证明:取的中点，连接，则 因为平面. 平面，所以平面 由,知是的中点, 因为是的中点，所以 因为平面，平面AEC， 所以 平面 又，平面 所以平面平面， 又平面 所以 平面 13.（25-26高一下·广东清远·期中）如图，在三棱柱中，，．点E，F分别为棱，的中点. (1)记三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，求； (2)若，且三棱柱是直棱柱. （i）求点E到平面ABF的距离； （ii）求一只蚂蚁沿三棱柱表面从点B爬行到点E的最短路程. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）（ⅱ） 【解析】（1）因为，点，分别为棱，中点， 所以，，所以， 所以，,所以， 所以， 所以． （2）（ⅰ）如图1，因为三棱柱是直棱柱，所以， 因为，所以三棱柱的体积， 由（1）知三棱锥的体积为， 在中，， ，， 所以，的面积， 设点到平面的距离为，则，即， 所以． （ⅱ）沿三棱柱表面从点到点有三种路径： （1）经过平面与平面，如图2沿棱翻转平面，使得平面与平面在同一平面内，此时最短路程为． （2）经过平面与平面，如图3沿棱翻转平面，使得平面与平面在同一平面内，此时最短路程为． （3）经过平面与平面，如图4沿棱翻转平面，使得平面与平面在同一平面内，此时最短路程为． 因为， 所以蚂蚁沿三棱柱表面从点爬行到点的最短路程为． 1．（25-26高三下·北京·阶段检测）某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【解析】设点到平面的距离为， 根据正方体的性质可知：点到平面的距离为， 因为，所以， 由正方体可得， 所以， 解得，即点到平面的距离为， 又因为平面与平面平行，直绳索的长度为米， 所以点到平面的距离为． 2．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，不妨记正方体为，，， 故四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点， 所以，同理， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面， 设对角线分别交平面和平面于点，， 因为平面，平面， 所以， 连接，因为分别为的中点， 故，又，平面，， 所以平面，又平面， 所以，同理， 又，，平面， 所以平面， 又平面平面， 所以平面， 即为平面与平面的距离， 则， 由正方体棱长为得， 由题意得，为等边三角形， 故， 根据， 得， 解得， 根据对称性知， 所以， 则平面与平面的距离为． 故选：D 3．（25-26高一下·北京东城·阶段检测）金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用．如图1所示，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点，，，处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（点处），如图2所示，设，则到平面的距离为____________． 【答案】 【解析】取的中点，连接，过点作⊥于点， 则⊥平面，其中， ，则， 故，由勾股定理得， 故， 显然，点到平面，平面，平面和平面的距离均相等，设为， 其中， 故， 故. 4．（2026高一·全国·专题练习）如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是____. 【答案】 【解析】如图，不妨记正方体为，，， 故四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点， 所以，同理， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面， 设对角线分别交平面和平面于点，， 因为平面，平面， 所以， 连接，因为分别为的中点， 故，又，平面，， 所以平面，又平面， 所以，同理， 又，，平面， 所以平面， 又平面平面， 所以平面， 即为平面与平面的距离， 则， 由正方体棱长为得， 由题意得，为等边三角形且边长为1， 故， 根据， 得， 解得， 根据对称性知， 所以， 则平面与平面的距离为． 5．（25-26高一下·河北邯郸·期末）“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形组成的多面体.某广场的石凳就是由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成的阿基米德多面体，它可以看成一个正方体截去八个一样的四面体得到，称之为截半立方体.若图中截半立方体的棱长，则异面直线AD和FP所成的角为____________，直线EB到平面PGQ的距离为____________. 【答案】 / 【解析】依题意，，则是异面直线AD和FP所成的角或其补角， 在中，，因此； 将截半立方体还原成正方体，由截半立方体的结构特征知，平面平面， 则直线EB到平面PGQ的距离等于平面与平面的距离， 而三棱锥都是正三棱锥，它们的高所在直线与正方体的一条体对角线重合， 设三棱锥的高等于，而侧棱长为，由， 得，即，解得， 而，所以所求距离. 6．（25-26高一下·山东·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，．    (1)求证：平面； (2)当时，求点到平面的距离； (3)当时，求二面角正切值的取值范围． 【答案】(1)见解析；(2)(3) 【解析】（1）由，，，得，则. 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面. 因为平面，所以.又因为，所以. 又因为，平面，所以平面. （2）在四边形中，，平面，平面， 则平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 如图，在平面内过点作于点. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 在中，，，， 则，所以， 所以点到平面的距离为. （3）如图，在平面内，过点作于点；在平面内，作于点，连接. 由(1)得，平面，又平面，所以平面平面. 又因为平面平面，所以平面. 又因为平面平面，所以. 又因为平面，所以平面. 又因为平面，所以. 则即为二面角的平面角. 设. 由(1)得，则. 在中，由，得. 在中，由，得； 在中， 所以. 由，得，则 所以二面角的正切值的取值范围为.    1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $