暑假作业15 几何法破解空间角问题（10大巩固提升练+4大能力培优练+4大创新题型练）-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练（人教A版2019)

限时练习：100min 完成时间： 月 日 天气： 作业15 拓展专题5 几何法破解空间角问题 【知识点1 三种空间角】 1.异面直线所成的角（或夹角） (1)定义：已知两条异面直线经过空间任意一点作直线,我们把与所成的锐角（或直角）叫作异面直线所成的角，也叫作异面直线的夹角. (2)范围： 2.直线与平面所成角（或夹角） (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角，也叫作直线与平面的夹角,当直线与平面平行或在平面内时，规定此时直线与平面所成的角为0. (2)范围： 3.二面角与两平面的夹角 (1)二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，则两射线所成的角为二面角的平面角. (2)两平面的夹角的定义：两个平面相交所成的锐二面角或直二面角叫作两平面的夹角，当两平面平行或重合时，规定它们的夹角为0. (2)范围：二面角的范围为，两平面的夹角范围为. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：直接平移法求异面直线夹角（重点）】 ⭐【知识讲解】 直接平移法求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点（如线段的中点或端点），平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． 1．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是弧的中点，设是弧上的一点，且，则与所成角的大小为（   ）    A． B． C． D． 2.如图所示，在长方体中，，，点E，F，G分别是，，的中点，则异面直线与所成的角是 . 【题型二：特殊点平移法求异面直线夹角（重点）】 ⭐【知识讲解】 当异面直线依附于某几何体，且直接过异面直线上的点平移直线有困难时，利用该几何体中的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点. 3.如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4. 在四面体ABCD中，，E，F分别是AD，BC的中点，若 则异面直线AC与BD的夹角为 . 【题型三：补形法求异面直线夹角（重点）】 ⭐【知识讲解】 即通过补形构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.若平移后所得直线落在几何体的外部，则常沿着这条新直线将几何体补出适当的部分，以便构造三角形求角，此策略即为补形. 5.平面过直三棱柱的顶点，平面平面，平面平面，且，，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 6.正方体中，M是的中点，则与所成角的余弦值为 ． 【题型四：定义法求线面角（重点）】 ⭐【知识讲解】 利用线面角的定义求线面角的步骤可归纳如下： （1）作垂直：作平面的垂线 （2）证明：连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）计算：利用余弦定理等求角度。 7.在三棱柱中，，，且，则直线与平面所成的角的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 8.已知正三棱柱的各条棱长都是2，则直线与平面所成角的正切值为 . 【题型五：三角余弦公式求线面角（重点）】 ⭐【知识讲解】O O 三角余弦公式： 如图,,点C在AC上，=∠OAC，=∠OAB，=∠BAC， 则有. 其中=∠OAB即为直线OA与平面所成的角. O C B A A 9.如图，在正方体中，与平面所成的角为 . 10．已知四面体，若，，则直线与平面所成角为 ． 【题型六：等体积法求线面角（重点）】 ⭐【知识讲解】O O 在利用线面角的定义求线面角的大小时，有时斜线上的点到平面的距离不易求得，此时可利用等体积法先求出这段距离，再利用线面角的定义求角. 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长. 11.如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 12．如图所示，在三棱锥中，，，是的中点，且底面，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【题型七：定义法求二面角（两平面夹角）（重点）】 ⭐【知识讲解】 定义法求二面角大小的一般步骤 （1）作：找出这个平面角； （2）证：证明这个角是二面角的平面角； （3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-AC-B1的正切值为（   ） A． B． C． D． 14．如图，在的二面角的棱上有两点，点分别在内，且，，则的长度为 ．    【题型八：三垂线法求二面角（两平面夹角）（重点）】 ⭐【知识讲解】 1.三垂线定理及逆定理 ⑴定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. ⑵逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直. 2.利用三垂线定理求二面角： 三垂线法是求二面角的常见方法,依据是三垂线定理或逆定理,利用它求解的关键是作出平面的垂线，当平面是水平平面时，容易找到面的垂线，而当平面是非水平状态时，面的垂线的寻找有一定的难度，因此对线面垂直关系的不同位置，应多注意观察，加强练习. 15．已知三棱锥满足，且其体积为，若点（正投影在内部）到的距离相等，则二面角的正弦值为 . 16.如图，在空间四边形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角为直二面角，则二面角的正切值为 . 【题型九：投影面积法求二面角（两平面夹角）（重点）】 ⭐【知识讲解】 如图△ABC在平面α上的投影为△A1BC，则平面α与平面ABC的夹角余弦值, 即 即 将从边之比到面积之比，从一维到二维，多角度求出两三角形面积，最后求解 17．如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为 . 18．如图，△ABC是正三角形，AA1、BB1、CC1互相平行且相等，且AA1⊥平面ABC，AB=AA1，E为BB1的中点，则平面A1EC和平面A1B1C1所成的锐二面角的大小为 . C A B C1 B1 A1 E G 【题型十：垂面法求二面角（两平面夹角）（重点）】 ⭐【知识讲解】 如图，若平面α存在垂线AB，且β平面存在垂线AC,则平面α与平面β的夹角等于直线AC与AB的夹角，此时平面恰好为二面角棱的垂面，故此法称为垂面法. 垂面法将二面角转换成线线角，计算量较小. 19. 如果二面角的平面角是锐角，点到的距离分别为，求二面角的大小 【题型一：几种空间角的综合（高频）】 1.已知圆锥的顶点为为底面圆心，母线互相垂直且的面积为2，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（ ） A． B． C． D． 2.（多选）如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，测得从D，C到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为，．又测得的长为10m，的长为，则（   ） A．水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为 B．水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为 C．直线与水库底面所成角的正弦值为 D．直线与水库底面所成角的正弦值为 【题型二：由空间角的大小求参（重点）】 3．已知二面角的大小为，且与平面所成线面角为，若的面积为，则的面积的取值范围为 . 4．如图所示，在矩形中，，E为边上的点，现将沿翻折至，使得点在平面上的射影在上，且直线与平面所成的角为，则线段的长为 . 【题型三：空间角与空间位置关系的综合（高频）】 5．如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 6．如图，在三棱锥中，为正三角形，E是的中点，.    (1)求证：； (2)若，，二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【题型四：空间角的最值（或范围）问题（难点）】 7.已知正四面体A-BCD的棱长为2，在平面BCD内有一动直线a，求直线a与直线DA所成角的正弦值最小为 ． 8．如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则二面角的正切值的最小值为 . 9．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，动点在棱上移动，连接． (1)证明：平面平面； (2)若点为棱的中点，平面，平面． （i）与所成的最小角为，求； （ii）设平面平面，，与所成角的最小值为，当最小时，求的值． 【题型一：数学文化题（高频）】 1．安徽徽州古城与四川阆中古城､山西平遥古城､云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体.已知该正方体中，点分别是棱的中点，过三点的平面与平面的交线为，则直线与直线所成角为（    ） A． B． C． D． 2．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形，底面ABCD为矩形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为 ，则该五面体的体积为（    ） A．312 B．304 C．192 D．184 【题型二：知识交汇题（难点）】 3．如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，此时A，B之间的距离为，则（    ） A． B． C． D． 4．十二水硫酸铝钾是一种无机物，又称明矾，是一种含有结晶水的硫酸钾和硫酸铝的复盐.我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到明矾晶体的结构，即为一个正八面体（如图）.假设该正八面体的所有棱长均为2，则二面角的余弦为（    ）    A． B． C． D． 【题型三：开放探究题（重点）】 5．如图，在三棱锥中，已知，平面平面．若的边上有一点，使得与平面所成角为，则可能为 ．（写出一个符合题意的结果即可） 【题型四：新定义题（难点）】 6.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与相邻的顶点，且平面，，…平面和平面为多面体的所有以为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面，，三棱锥在顶点处的离散曲率为． ①求直线与直线所成角的余弦值； ②点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业15 拓展专题5 几何法破解空间角问题 【知识点1 三种空间角】 1.异面直线所成的角（或夹角） (1)定义：已知两条异面直线经过空间任意一点作直线,我们把与所成的锐角（或直角）叫作异面直线所成的角，也叫作异面直线的夹角. (2)范围： 2.直线与平面所成角（或夹角） (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角，也叫作直线与平面的夹角,当直线与平面平行或在平面内时，规定此时直线与平面所成的角为0. (2)范围： 3.二面角与两平面的夹角 (1)二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，则两射线所成的角为二面角的平面角. (2)两平面的夹角的定义：两个平面相交所成的锐二面角或直二面角叫作两平面的夹角，当两平面平行或重合时，规定它们的夹角为0. (2)范围：二面角的范围为，两平面的夹角范围为. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：直接平移法求异面直线夹角（重点）】 ⭐【知识讲解】 直接平移法求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点（如线段的中点或端点），平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． 1．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是弧的中点，设是弧上的一点，且，则与所成角的大小为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取为弧的中点，连接，如下图所示：    由圆柱性质可得平面， 又平面，所以， 又因为，且，且平面， 可得平面，又平面， 所以，即， 易知，所以； 显然，所以与所成的角的即为与所成的角； 易知，所以. 故选：C 2.如图所示，在长方体中，，，点E，F，G分别是，，的中点，则异面直线与所成的角是 . 【答案】 【解析】连接，，，点E，F，G分别是，，的中点， ，， ，四边形为平行四边形， 则，故或其补角即为与所成的角， 易得，， ，所以，所以. 【题型二：特殊点平移法求异面直线夹角（重点）】 ⭐【知识讲解】 当异面直线依附于某几何体，且直接过异面直线上的点平移直线有困难时，利用该几何体中的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点. 3.如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中条件连接，取的中点，连接,，作出异面直线所成的角，利用余弦定理求解即可. 【解析】连接，取的中点，连接,， 由题意知，，则异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 4. 在四面体ABCD中，，E，F分别是AD，BC的中点，若 则异面直线AC与BD的夹角为 . 【答案】 【解析】 设为中点，又E，F分别是AD，BC的中点，所以，， 故就是则异面直线AC与BD的夹角或其补角， ∵AC=BD=4，∴，又， ，故异面直线AC与BD的夹角为. 【易错警示】注意本例中所求到的相交直线所成角为钝角，但异面直线所成角的大小不超过，故结果应取相交直线所成的钝角的补角. 【题型三：补形法求异面直线夹角（重点）】 ⭐【知识讲解】 即通过补形构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.若平移后所得直线落在几何体的外部，则常沿着这条新直线将几何体补出适当的部分，以便构造三角形求角，此策略即为补形. 5.平面过直三棱柱的顶点，平面平面，平面平面，且，，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直三棱柱向上补一个直三棱柱，证得平面平面，得到平面即为平面，得出交线即为直线，结合为等边三角形，即可求解. 【解析】如图所示，将直三棱柱向上补一个全等的直三棱柱， 则，， 因为平面，平面，且平面，平面， 所以平面，且平面， 又因为，且平面， 所以平面平面，且平面，故平面即为平面， 所以交线即为直线， 因为，则与所成角为， 设，则，，可得， 所以为等边三角形，所以，所以 即与所成角的正弦值为. 故选：A.    6.正方体中，M是的中点，则与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】在正方体右侧作出一个全等的正方体， 连接，如图， 易知，所以四边形是平行四边形，则， 所以是与所成角的平面角或补角， 不妨设正方体的棱长为， 则在正方体中，， 在中，， 在中，， 所以在中，， 所以与所成角的余弦值为. 【题型四：定义法求线面角（重点）】 ⭐【知识讲解】 利用线面角的定义求线面角的步骤可归纳如下： （1）作垂直：作平面的垂线 （2）证明：连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）计算：利用余弦定理等求角度。 7.在三棱柱中，，，且，则直线与平面所成的角的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A 【解析】∵，，∴， ∵，，，平面， ∴平面， ∴就是与平面所成的角，即与平面所成的角是， ∵棱柱中，∴与平面所成的角的大小为， 故选：A． 8.已知正三棱柱的各条棱长都是2，则直线与平面所成角的正切值为 . 【答案】 【分析】取的中点，连接，可证为直线与平面所成角，根据解直角三角形可求其正切值. 【解析】取的中点，连接，因为为等边三角形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 因为正三棱柱的各条棱长都是2， 所以， 所以， 所以直线与平面所成角的正切值为， 【题型五：三角余弦公式求线面角（重点）】 ⭐【知识讲解】O O 三角余弦公式： 如图,,点C在AC上，=∠OAC，=∠OAB，=∠BAC， 则有. 其中=∠OAB即为直线OA与平面所成的角. O C B A A 9.如图，在正方体中，与平面所成的角为 . 【答案】。 【解析】方法一:连结与交于，连结， ∵，，∴平面， ∴是与平面所成的角， 在中，，∴． 即与平面所成的角为。 方法二：由法一得是与平面所成的角， 又∵，， ∴，∴． 即与平面所成的角为。 10．已知四面体，若，，则直线与平面所成角为 ． 【答案】 【分析】证明为的角平分线且为直线与平面所成的角，根据三角余弦定理求出即可求解. 【解析】由得直线在平面上的投影为的角平分线且为直线与平面所成的角，因为平面平面，所以由三余弦定理得，故直线与平面所成角为． 【题型六：等体积法求线面角（重点）】 ⭐【知识讲解】O O 在利用线面角的定义求线面角的大小时，有时斜线上的点到平面的距离不易求得，此时可利用等体积法先求出这段距离，再利用线面角的定义求角. 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长. 11.如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用等体积法求到平面的距离，结合的长，即可求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】由题设，且到平面的距离为. 又，，故到上高为，所以. 设到平面的距离为，由得：，解得， 故直线与平面所成角的正弦值为. 12．如图所示，在三棱锥中，，，是的中点，且底面，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 【解析】解法一：如图所示，设是的中点，连接， 则，故与平面所成的角相等， 设为的中点，连接，则， 因为，所以， 因为平面，平面， 所以， 又，，平面，且， 所以平面，又平面 所以平面平面， 因为平面平面， 所以点在平面上的射影， 过点作于点， 因为，平面平面，平面， 所以平面，则即为与平面所成的角． 设，则，由此可得，，则， 由平面，平面，所以， 在中，， 则由等面积法得，， 故，即直线与平面所成角的正弦值为． 解法二：如图所示，过点作平面，垂足为，连接， 则为与平面所成的角． 设，则，则， ，，， 因为，所以， 由解法一得，， 由可得，代入数据得， 故． 【题型七：定义法求二面角（两平面夹角）（重点）】 ⭐【知识讲解】 定义法求二面角大小的一般步骤 （1）作：找出这个平面角； （2）证：证明这个角是二面角的平面角； （3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-AC-B1的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题连接AB1，B1C，AC，取AC的中点O，连接B1O，BO，可得即为所求二面角，设出正方体棱长后，在Rt△B1OB中，表示出各边长即可求解. 【解析】   如图，连接AB1，B1C，AC，取AC的中点O，连接B1O，BO， 由AB＝BC，得BO⊥AC， 由AB1＝B1C，得B1O⊥AC， 故∠B1OB即为二面角B-AC-B1的平面角， 不妨设正方体的棱长为1，则在△ABC中，BO＝AC＝， 又B1B＝1，在Rt△B1OB中，tan ∠B1OB＝＝． 故选：B． 14．如图，在的二面角的棱上有两点，点分别在内，且，，则的长度为 ．    【答案】 【分析】作,根据二面角的定义可得，即可利用余弦定理求解，进而由勾股定理求解. 【解析】过点作直线的垂线段，垂足为点，以为邻边作平行四边形，连接，如图，    由， 又，则就是二面角的平面角, 平面, 所以平面， 所以，在中，解：， 在中利用余弦定理得：， 解得：， 由于平面，平面，故， ，故， 在中，即：， 整理得：． 【题型八：三垂线法求二面角（两平面夹角）（重点）】 ⭐【知识讲解】 1.三垂线定理及逆定理 ⑴定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. ⑵逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直. 2.利用三垂线定理求二面角： 三垂线法是求二面角的常见方法,依据是三垂线定理或逆定理,利用它求解的关键是作出平面的垂线，当平面是水平平面时，容易找到面的垂线，而当平面是非水平状态时，面的垂线的寻找有一定的难度，因此对线面垂直关系的不同位置，应多注意观察，加强练习. 15．已知三棱锥满足，且其体积为，若点（正投影在内部）到的距离相等，则二面角的正弦值为 . 【答案】 【分析】设在底面上投影为，过作，垂足为D，连接，则是二面角的平面角，由体积求得棱锥的高，再结合底面内切圆半径，即可求点到底面的距离，进而求得侧面上的高即可求解. 【解析】因为，所以是以为斜边的直角三角形. 由三棱锥体积公式得三棱锥高， 由点到的距离相等得出点在底面上投影到各边距离也相等， 所以是的内心，则到各边距离为内切圆半径， 过作，垂足为D，连接，则是二面角的平面角， 因为底面为直角三角形，所以内切圆的半径为. 则三棱锥侧面上的高为， 则. 故二面角的正弦值为. 16.如图，在空间四边形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角为直二面角，则二面角的正切值为 . 【答案】 【解析】过作于 ∵二面角为直二面角 ∴面 取中点，为中点，连接,则HF//BE。 ∵是正三角形，∴。 ∴.由三垂线定理,得. ∴为二面角的平面角 令，则. ∴, ∴在中, 即二面角的正切值为 【题型九：投影面积法求二面角（两平面夹角）（重点）】 ⭐【知识讲解】 如图△ABC在平面α上的投影为△A1BC，则平面α与平面ABC的夹角余弦值, 即 即 将从边之比到面积之比，从一维到二维，多角度求出两三角形面积，最后求解 17．如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为 . 【答案】 【分析】根据题意以及面面垂直的性质定理，可作出在平面内的射影，再利用摄影面积法求出二面角的余弦值，再根据所求角与二面角互补即可求得结果. 【详解】过 A作的延长线于E， 连结 DE， ∵平面平面，平面平面， ∴ 平面 ∴ E点即为点A在平面内的射影， ∴ 为在平面内的射影，                                                                        设，则， ∴由余弦定理可得，∴， ∴ ， 又，∴ ， 设二面角为，∴ . 而二面角与互补， ∴二面角 的余弦值为. 18．如图，△ABC是正三角形，AA1、BB1、CC1互相平行且相等，且AA1⊥平面ABC，AB=AA1，E为BB1的中点，则平面A1EC和平面A1B1C1所成的锐二面角的大小为 . C A B C1 B1 A1 E G 【答案】45º 【解析】解法1（射影面积法）：∵AA1⊥平面A1B1C1，BB1⊥平面A1B1C1，CC1⊥平面A1B1C1， ∴△A1B1C1是△A1EC在平面A1B1C1内射影.设二面角大小为，则，设A1B1=，则，∵A1C=，A1E=EC=，∴A1C边上的高EG= ∴，∴=，∴=45º. ∴平面A1EC和平面A1B1C1所成的锐二面角的大小45º. ∵A1C=，A1E=EC=，∴A1C边上的高EG= ∴，∴=，∴=45º.C A B C1 B1 A1 E F ∴平面A1EC和平面A1B1C1所成的锐二面角的大小45º. 解法二（补棱）：如图,延长CE、C1 B1相交于点F，连结A1F, ∵E为BB1的中点， ∴EB1是△FCC1.的中位线.∴B1C1= FB1. 又△A1B1 C1是正三角形，∴A1B1= B1C1 =FB1= C1F. ∴C1 A1⊥A1F（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角）. 又C C1⊥平面A1B1C1,由三垂定理可知, C A1⊥A1F. ∴∠CA1 C1是所求二面角的平面角. 又A1B1=C C1，故∠CA1 C1=,即平面A1EC和平面A1B1C1所成的锐二面角的大小为. 【方法探究】本题所求二面角在图中并未画出它的棱，像这种几何体中没有给出棱的二面角叫做无棱二面角,这类问题的解决策略主要有二：一利用面积射影公式通过计算得出二面角的大小，.此时要注意：若二面角大于90度，则的补角的才是二面角的大小；二是添加辅助线或补形，作出二面角的棱，再用其他方法求解. 【题型十：垂面法求二面角（两平面夹角）（重点）】 ⭐【知识讲解】 如图，若平面α存在垂线AB，且β平面存在垂线AC,则平面α与平面β的夹角等于直线AC与AB的夹角，此时平面恰好为二面角棱的垂面，故此法称为垂面法. 垂面法将二面角转换成线线角，计算量较小. 19. 如果二面角的平面角是锐角，点到的距离分别为，求二面角的大小 【答案】或 【解析】 如图图1是点在二面角的内部时，图2是点在二面角外部时. ∵，∴.作，则面.同理，面. 而面面,∴面与面应重合 即在同一平面内，则是二面角的平面角 在中，, ∴. 在中，, ∴. 故（图1）或（图2） 即二面角的大小为或 【方法探究】（1）作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角，这是本题得到二面角平面角的方法，即所谓垂面法.(2) 本题中点可能在二面角内部，也可能在外部，应分类讨论，区别处理. 【题型一：几种空间角的综合（高频）】 1.已知圆锥的顶点为为底面圆心，母线互相垂直且的面积为2，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，再根据题意求出的长度，由二面角的定义可得二面角的平面角为，代入计算，即可得到结果. 【解析】取的中点，连接， 因为，为的中点，则，由垂径定理可得， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， ，则，，， 因平面，则为直线SA与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 所以，， 因为，故，即二面角的大小为. 故选：C 2.（多选）如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，测得从D，C到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为，．又测得的长为10m，的长为，则（   ） A．水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为 B．水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为 C．直线与水库底面所成角的正弦值为 D．直线与水库底面所成角的正弦值为 【答案】BC 【解析】如图，作且，连接，又，则是矩形， ，又，所以是所求二面角的平面角． ，则，又，，平面， 所以平面，而平面，所以， ，所以，，，所以，故A错误，B正确， 为等腰三角形，故面积为, , 设点到水库底面的距离为，则,故， 故直线与水库底面所成角的正弦值为,故C正确，D错误， 故选：BC 【题型二：由空间角的大小求参（重点）】 3．已知二面角的大小为，且与平面所成线面角为，若的面积为，则的面积的取值范围为 . 【答案】 【解析】 如图，过点作于点，作平面于点,连接, 根据题意，与平面所成线面角为， 平面，平面 又平面，平面，且, 平面，平面，. 二面角所成的平面角是. 设，则. 在中，，则， 在中，，则 所以点在以点为圆心，半径为的圆上. 设点到的距离为，因为，则， 所以，得. 4．如图所示，在矩形中，，E为边上的点，现将沿翻折至，使得点在平面上的射影在上，且直线与平面所成的角为，则线段的长为 . 【答案】 【分析】根据题意，过作于H，连接，结合线面角的定义可得，然后由勾股定理列出方程，代入计算，即可得到结果. 【解析】 如图所示，过作于H，连接，由题意，得平面. 因为直线与平面所成的角为，所以. 又因为，所以，， 设，则. 在四边形中，可得， 所以，所以. 故答案为： 【题型三：空间角与空间位置关系的综合（高频）】 5．如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解；(2) 【分析】（1）由题，可得，根据面面垂直的判性质定理可证；（2）由（1）知，是直线与平面所成角，运算求解. 【解析】（1）如图，连接，因为为的中点，是等边三角形， 所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）由（1），平面，则是直线与平面所成角， 又，且，， ， 因为平面，平面，所以， 所以为直角三角形，为直角， 在中，，，则， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 6．如图，在三棱锥中，为正三角形，E是的中点，.    (1)求证：； (2)若，，二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）由三角形全等得到，由三线合一得到⊥，⊥，从而得到线面垂直，线线垂直； （2）由（1）得到为二面角的平面角，即，作出辅助线，由（1）知，⊥，证明出⊥平面，并求出，求出，由锥体体积公式得到答案. 【解析】（1）为正三角形，为中点，故⊥， 因为，，，所以≌， 故，又为中点，故⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以； （2）由（1）知，⊥，⊥， 故为二面角的平面角，即， 因为，，所以， 由勾股定理得， 过点作⊥于点， 由（1）知，⊥平面，而平面， 所以⊥， 因为平面，， 所以⊥平面， 其中， 即三棱锥的高为，    由勾股定理得， 故， 三棱锥的体积为. 【题型四：空间角的最值（或范围）问题（难点）】 7.已知正四面体A-BCD的棱长为2，在平面BCD内有一动直线a，求直线a与直线DA所成角的正弦值最小为 ． 【答案】 【分析】设正四面体的顶点A在平面BCD上的射影为O，则O是正三角形BCD的中心.在正三角形BCD中，根据正三角形中心的性质，可求得当直线a与DO平行时为D与正三角形BCD中心O的连线，直线a与直线DA所成角最小.此时就是直线a与直线DA所成的角或其补角，进而通过计算可求得结果 【解析】设正四面体的顶点A在平面BCD上的射影为O，则O是正三角形BCD的中心. 因为正三角形BCD的边长为，则. 当直线a与DO平行时为D与正三角形BCD中心O的连线，直线a与直线DA所成角最小. 此时就是直线a与直线DA所成的角或其补角， 在直角三角形ABO中，，， 由勾股定理可得 在直角三角形ADO中，，， 则直线a与直线DA所成角的正弦值最小为 8．如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则二面角的正切值的最小值为 . 【答案】 【分析】过点P作,则O点为AB的中点，再过作于，利用线面 垂直的性质与判定确定为二面角的平面角，结合中位线的性质及三角 形三边关系确定最小值即可. 【解析】 过点P作,则O点为AB的中点，且平面平面， 平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 过作于，连接， 因为平面，， 所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，,， 因为，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 此时取得最小值， 故二面角的正弦值的最小值为. 9．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，动点在棱上移动，连接． (1)证明：平面平面； (2)若点为棱的中点，平面，平面． （i）与所成的最小角为，求； （ii）设平面平面，，与所成角的最小值为，当最小时，求的值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）作出辅助线，得到⊥，由平面，得到，从而得到⊥平面，又平面，证明出面面垂直； （2）（i）作出辅助线，得到，故⊥平面，故当在直线上时，与所成的角最小，即，求出各边长，利用求出答案； （ii）设，分，和三种情况，画出图形，证明线面垂直，得到三种情况下的最小值，比较后得到时，最小值为，并求出，得到结论. 【解析】（1）连接， 因为底面是边长为2的正方形，所以⊥， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面，所以⊥平面， 又平面， 所以平面平面； （2）（i）设，则为中点，连接， 因为点为棱的中点， 所以， 因为平面，所以⊥平面， 又平面，故当在直线上时，与所成的角最小， 即， 因为，所以， 因为底面是边长为2的正方形，所以， 故，由勾股定理得， 所以； （ii）设，若，即为中点，此时， 平面平面，显然此时， 取中点，连接，则，⊥， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 又，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，即， ，故， 与所成角的最小值为，即与所成角的最小值为， 由于与平面上的直线的夹角最小， 故当与点重合时，，此时与所成角最小，最小值为， 其中，故； 若时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，则， 过点作⊥于点，连接， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， ，故， 与所成角的最小值为，即与所成角的最小值为， 故当，此时与所成角最小，最小值为， 其中， 由于，故，故； 若时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，则， 过点作⊥于点，连接， 同理可证⊥，， 与所成角的最小值为，即与所成角的最小值为， 故当，此时与所成角最小，最小值为， 其中， 当时，为等腰直角三角形，⊥， 此时重合，取得最大值，最大值为， 故取得最小值，最小值为， 由于，故当时，满足要求， 此时，过点作，交于点，则， 即，故， 又，故，故， 因为点为棱的中点，所以 其中，故，即，解得， 综上，. 【题型一：数学文化题（高频）】 1．安徽徽州古城与四川阆中古城､山西平遥古城､云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体.已知该正方体中，点分别是棱的中点，过三点的平面与平面的交线为，则直线与直线所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图所示，在平面中，连接与交于，则， 在平面中，连接与交于，则， 则为平面与平面的交线，且， 而在等边中与所成的角为， 故与直线所成角. 故选： 2．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形，底面ABCD为矩形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为 ，则该五面体的体积为（    ） A．312 B．304 C．192 D．184 【答案】D 【分析】先根据线面角的定义求得，从而依次求，，，，再利用三棱柱体积公式和四棱锥体积公式即可得解． 【解析】 如图，过作平面，垂足为，过分别作，，垂足分别为，，连接，， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，， 所以平面，因为平面，所以， 同理，， 则可知等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为和， 所以． 又，故四边形是矩形， 所以由得，所以，所以， 即，所以， 所以该五面体的体积为 故选：D. 【题型二：知识交汇题（难点）】 3．如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，此时A，B之间的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正弦型函数图象性质列式求解. 【解析】如图，函数的周期，则， ， 所以折成直二面角后，，解得， 因此，由，得， 而，且0在函数的单调递减区间内，所以. 故选：D 4．十二水硫酸铝钾是一种无机物，又称明矾，是一种含有结晶水的硫酸钾和硫酸铝的复盐.我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到明矾晶体的结构，即为一个正八面体（如图）.假设该正八面体的所有棱长均为2，则二面角的余弦为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用定义作出二面角的平面角，在中利用余弦定理即可求解. 【解析】如图，    连接AC，BD交于点O，连接EF，易知EF过点O，取的中点，连接，， 根据正八面体的几何特征，，， 又平面，平面，平面平面， 所以为二面角的平面角. 易知平面，AC在面ABCD内，则， 所以是直角三角形，又，，所以，所以. 在中，，同理， 在中，， 故选：C. 【题型三：开放探究题（重点）】 5．如图，在三棱锥中，已知，平面平面．若的边上有一点，使得与平面所成角为，则可能为 ．（写出一个符合题意的结果即可） 【答案】（答案不唯一，填或或均可） 【分析】根据题意，证得平面，得到，进而证得平面，得到平面平面，设，作出图象，过点作平面，得到，求得的值，分当在边上和在边上，两种情况，分别求得的取值，即可得到答案. 【详解】因为，所以， 又因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 设，则， 如图①所示，设为的中点，则平面，且，要使得与平面所成角为，则，此时． ①当在边上时，或， 即或， 则或； ②当在边上时，如图②所示， 在中，由余弦定理得，解得， 则， 由，所以若点在上，则， 故不可能存在点在上，使得． 综上可得，的可能取值为或或． 故答案为：（答案不唯一，填或或均可） 【题型四：新定义题（难点）】 6.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与相邻的顶点，且平面，，…平面和平面为多面体的所有以为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面，，三棱锥在顶点处的离散曲率为． ①求直线与直线所成角的余弦值； ②点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度． 【答案】(1)2；(2)①；② 【分析】（1）根据所给的定义，表示，再相加，即可求解； （2）①将三棱锥补成正方体，即可求解异面直线所成的角；②首先根据垂直关系，构造线面角，再设，，，再利用余弦定理求， 再由余弦值，转化为正切值，即可求解. 【解析】（1）根据离散曲率的定义得， ，， ， 所以 （2）①因为平面，平面， 所以，且，，平面, 所以平面，平面, 所以， 所以， 所以，所以， 如图，将三棱锥补成正方体， 因为，连结，所以异面直线与所成的角为或其补角， 而是等边三角形，所以，， 所以直线与直线所成角的余弦值为； 过点作交于，连结， 因为平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 依题意可得，，，， 所以,， 设，，， 在中，， 又，所以， 所以， 所以， 解得：或（舍） 故. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$