暑假作业12 空间点线面间的位置关系，空间直线、平面平行（12大巩固提升练+4大能力培优练+2大创新提型练）-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练（人教A版2019)

限时练习：100min 完成时间： 月 日 天气： 作业12 空间点线面间的位置关系，空间直线、平面的平行 【知识点1 四个基本事实】 1．四个基本事实 (1)基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内． (2)基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 拓展：公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． (3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【知识点2 空间点、直线、平面的位置关系】 1．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). ②范围：(0°，90°]． 2．空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 (1)空间中直线与平面的位置关系位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线不在平面内 直线在平面内 a⊂α 无数个 直线与平面平行 a∥α 0个 直线与平面相交 直线与平面斜交 a∩α＝A 1个 直线与平面垂直 a⊥α 1个 (2)空间中平面与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面平行 α∥β 0个 两平面相交 α∩β＝l 无数个 3.等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 【知识点3 空间直线、平面平行】 1．直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒a∥b 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ⇒a∥b 1.唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 2.平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β． (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b． (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：对平面的基本性质的理解（易错）】 ⭐【知识讲解】 这类问题往往以概念辨析题的形式出现，若符合基本事实的条件，则命题为真，否则为假，有时也可举例加以判断. 1.下列说法正确的是（       ） A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．平面和平面有不同在一条直线上的三个公共点 2.下列命题是真命题的是（       ） A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 B．若四点不共面，则其中任意三点不共线 C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分 【题型二：共点、共线、共面问题（重点）】 ⭐【知识讲解】 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证两平面重合． (2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上． (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 3.在图示正方体中，O为BD中点，直线平面，下列说法正确的是（    ）． A．A，C，，四点共面 B．，M，O三点共线 C．平面 D．与BD异面 4．如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 5．如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 【题型三：直线与直线位置关系的判断（易错）】 ⭐【知识讲解】 1．判断空间中两条直线位置关系的诀窍 (1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线． (2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系． 2．判定两条直线是异面直线的方法 (1)定义法：证明两条直线既不平行又不相交． (2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)． 　　　 6.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为(　　) A．4　　　　　　　 B．5 C．6 D．7 7.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　) A．BM＝EN，且直线BM、EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM＝EN，且直线BM、EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 【题型四：异面直线所成的角问题（高频）】 ⭐【知识讲解】 求异面直线所成的角，一般步骤如下： （1）作,根据定义，用平移法作出异面直线所成的角; （2）证，证明所作出的角就是要求的角（或其补角），可由作法直接得出; （3）计算，求角，常利用解三角形的知识求解. 上述步骤可用“一作，二证，三计算”来概括. 8.在三棱锥A­BCD中，AD=BC，且AD与BC所成的角为60°，若E，F分别是AB，CD的中点，则直线EF与所成的角为（ ） A．30° B．60° C．90° D．30°或60° 9.在直三棱柱中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 10.已知三棱锥满足，. (1)证明：直线与直线是异面直线； (2)若为的中点，为的中点，求异面直线与所成角的余弦值. 【题型五：直线与平面位置关系判断（易错）】 ⭐【知识讲解】 直线与平面位置关系的判断方法： (1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法． (2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点. 11.下列命题中，正确命题的个数是(　　) ①如果a，b是两条平行直线，那么a平行于经过b的任何一个平面； ②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行； ③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b； ④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α； ⑤如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α. A．0 B．1 C．2 D．3 12．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为m，n，则的值为（    ）    A．7 B．8 C．9 D．10 【题型六：平面与平面位置关系的判断（易错）】 ⭐【知识讲解】 1．平面与平面的位置关系的判断方法 (1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点． (2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点． 2．常见的平面和平面平行的模型 (1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行； (2)长方体的六个面中，三组相对面平行. 　 　 13.在四棱台中，平面与平面的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．不确定 D．异面 14.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是(　　) A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能确定 【题型七：基本事实4与等角定理的应用（重点）】 ⭐【知识讲解】 基本事实4表明了平行的传递性，也可以作为判断两条直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法. 等角定理主要用来判断或证明两角相等. 15．在梯形中，，，分别为和的中点，，与相交于．将平面沿翻折起来，使到的位置，，分别为和的中点，求证：    (1)四边形为平行四边形； (2)． 16．如图，在正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点．求证： (1)； (2)． 【题型八：与线、面平行相关命题的判断（易错）】 ⭐【知识讲解】 与线、面平行相关命题的判定 判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含有选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项． 17.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　) A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面 18.（多选）已知是不同的直线，是不同的平面，则下列命题中错误的是（       ） A．若是异面直线，，，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【题型九：线面平行的判定（重点）】 ⭐【知识讲解】 证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点). (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α). (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β). (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β). 19．如图，在正方体中，分别为棱上分别靠近的三等分点，为棱的中点. (1)设平面平面平面，证明：三点共线； (2)证明：平面. 20．如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点E为棱的中点. (1)求证：平面； (2)若M为上的动点，N为线段的中点，试判断直线与平面的位置关系，并给出证明. 【题型十：面面平行的判定（重点）】 ⭐【知识讲解】 证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义． (2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”． (4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化． 21.如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 22.如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证： (1)BE∥平面DMF； (2)平面BDE∥平面MNG. 【题型十一：线面平行性质定理的应用（重点）】 ⭐【知识讲解】 应用线面平行的性质定理的关键是如何确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线． 23.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH. 24．如图，正方体中，分别是的中点． (1)求证：四点共面； (2)设平面与平面交于直线，求证：． 【题型十二：面面平行性质定理的应用（重点）】 ⭐【知识讲解】 应用面面平行性质定理的基本步骤 25.已知平面平面，点是平面外一点（如图所示），且直线分别与相交于点，若，则 ．      26.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且，G在CC1上且平面AEF平面BD1G，则___________ 【题型一：平面分割空间问题（易错）】 ⭐【知识讲解】 平面可以划分空间，一个平面把空间分成两部分，当用两个或两个以上平面划分空间时，需根据平面的位置来判断所得空间是几部分. 1．三个平面可将空间分成部分，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．三棱柱各面所在平面将空间分成不同部分的个数为（    ） A．18 B．21 C．24 D．27 【题型二：平行关系与体积的综合问题（重点）】 ⭐【知识讲解】 对于平行关系与体积的综合问题，可采用各个击破的策略，即分别研究平行关系、几何体的体积，其中若该几何体为三棱锥，则往往考虑利用等积法求其体积. 3．正三棱柱的底面正三角形的边长为2，D为的中点，． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 4.如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，，、分别是棱、上的点，且，. (1)证明：平面平面； (2)记多面体的体积为，三棱锥的体积为，求的值. 【题型三：平行关系的综合应用问题（重点）】 ⭐【知识讲解】 空间中平行关系的综合应用问题往往利用转化思想反复转化求解，其中空间中各种平行关系相互转化关系的示意图如下： 5．如图，在长方体中，若分别是棱的中点，则下列结论一定成立的是（    ） A．四边形是矩形 B．四边形是正方形 C． D．平面平面 6．如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点. (1)求证：平面； (2)已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于， （i）求证：； （ii）求证：平面. 【题型四：异面直线所成的角与其他知识的交汇（高频）】 ⭐【知识讲解】 异面直线所在的角常与几何体的面、体积综合，有时也与空间位置关系的判定综合，这类问题一般仍用各个击破的策略求解. 7．如图，正六棱柱的底面边长为5，点分别为线段的中点，若异面直线与所成角的余弦值是，则此正六棱柱的体积为（    ） A． B．或 C． D．或 8．在四棱锥中，底面为平行四边形，为底面中心，，分别为，的中点，为等腰直角三角形，且. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若，分为，的中点，点在线段上，且.求证：平面平面. 【题型一：数学文化题（高频）】 1．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑ABCD中，平面BCD，且，点E，F分别为线段与线段的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．我国古代《九章算术》里记载了一个求“羡除”体积的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪.小明仿制“羡除”裁剪出如图所示的纸片，在等腰梯形中，，，在等腰梯形中，.将等腰梯形沿折起，使平面平面，则五面体中异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 3．我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面． (1)证明：三棱锥为鳖臑； (2)若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为． ①证明：直线平面； ②判断与的位置关系，并证明你的结论． 【题型二：与平行相关的探索性问题（难点）】 ⭐【知识讲解】 在平行关系问题中常见的探索性问题主要有两类：一类是探求点的位置使线面平行，另一类是在某些确定的条件下判断线面是否平行，前一种是条件开放题，后一种是结论开放题. 4．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，交于点，点是棱上的一点，且平面． (1)求证：点是的中点； (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由． 5．如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N、K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面.    (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)在棱CD上是否存在点H，使得平面平面PBC？若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在.请说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：100min 完成时间： 月 日 天气： 作业12 空间点线面间的位置关系，空间直线、平面的平行 【知识点1 四个基本事实】 1．四个基本事实 (1)基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内． (2)基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 拓展：公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． (3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【知识点2 空间点、直线、平面的位置关系】 1．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). ②范围：(0°，90°]． 2．空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 (1)空间中直线与平面的位置关系位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线不在平面内 直线在平面内 a⊂α 无数个 直线与平面平行 a∥α 0个 直线与平面相交 直线与平面斜交 a∩α＝A 1个 直线与平面垂直 a⊥α 1个 (2)空间中平面与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面平行 α∥β 0个 两平面相交 α∩β＝l 无数个 3.等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 【知识点3 空间直线、平面平行】 1．直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒a∥b 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ⇒a∥b 1.唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 2.平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β． (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b． (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：对平面的基本性质的理解（易错）】 ⭐【知识讲解】 这类问题往往以概念辨析题的形式出现，若符合基本事实的条件，则命题为真，否则为假，有时也可举例加以判断. 1.下列说法正确的是（       ） A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．平面和平面有不同在一条直线上的三个公共点 【答案】C 【解析】不在同一直线上的三个点，确定一个平面，所以A错误. 四边形可能是空间四边形，不一定是平面图形，所以B错误. 梯形有一组对边平行，所以是平面图形，所以C正确. 当时，两个平面没有公共点,D错误. 故选：C. 2.下列命题是真命题的是（       ） A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 B．若四点不共面，则其中任意三点不共线 C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分 【答案】B 【解析】对于A, 如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面可能相交或重合，A错误； 对于B， 若四点不共面，则其中任意三点不共线，B正确； 对于C， 空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，如三棱锥,相交于同一点的三条直线不在同一平面内，C错误； 对于D， 三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，D错误. 故选:D. 【题型二：共点、共线、共面问题（重点）】 ⭐【知识讲解】 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证两平面重合． (2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上． (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 3.在图示正方体中，O为BD中点，直线平面，下列说法正确的是（    ）． A．A，C，，四点共面 B．，M，O三点共线 C．平面 D．与BD异面 【答案】ABD 【解析】由正方体性质，，所以A，C，，四点共面，A正确； 直线交平面于点，平面，直线，又平面，平面， 为的中点，平面，底面为正方形，所以为的中点， 平面，且平面，又平面，且平面， 面与面相交，则，，在交线上，即三点共线，故选项正确； 平面平面，平面， 但，所以平面，C错误； 平面，面，， 所以与BD为异面直线，D正确. 故选：ABD 4．如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 【答案】(1)证明过程见解析；(2)证明过程见解析 【解析】（1）因为、分别是、的中点， 所以， 又因为、分别在、上，且． 所以，于是有， 所以、、、四点共面； （2）∵EG与HF交于点P，∴P，EG⊂平面ABC， ∴P平面ABC， 同理P平面DAC. 又∵平面平面， ∴PAC，∴P、A、C三点共线． 5．如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，利用平行的传递性证明，进而可得四点共线； （2）延长，设它们交于一点，由已知可得，则，同理可得，则S和Q是同一个点，所以三条直线交于一点. 【解析】（1） 如图，取的中点分别为S,T，连接，则, 因为四边形和四边形均为正方形，，且，， 所以四边形均为平行四边形，即，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以B，D，E，G四点共面. （2）    延长，设它们交于一点S， 因为，且， 所以，则， 同理，延长，设它们交于一点Q， 因为四边形和四边形均为正方形，， 则，又， 所以，则， 因此S和Q是同一个点， 所以三条直线交于一点. 【题型三：直线与直线位置关系的判断（易错）】 ⭐【知识讲解】 1．判断空间中两条直线位置关系的诀窍 (1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线． (2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系． 2．判定两条直线是异面直线的方法 (1)定义法：证明两条直线既不平行又不相交． (2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)． 　　　 6.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为(　　) A．4　　　　　　　 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与直线BA1异面的直线有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共6条， 故选：C. 7.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　) A．BM＝EN，且直线BM、EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM＝EN，且直线BM、EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 【答案】B 【解析】如图所示，作EO⊥CD于O，连接ON，过M作MF⊥OD于F. 连接BF，∵平面CDE⊥平面ABCD，EO⊥CD，EO⊂平面CDE，∴EO⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD， ∴△MFB与△EON均为直角三角形．设正方形边长为2，易知EO＝，ON＝1，EN＝2， MF＝，BF＝， ∴BM＝. ∴BM≠EN.连接BD，BE，∵点N是正方形ABCD的中点，∴点N在BD上，且BN＝DN. 又∵M为ED的中点， ∴BM，EN为△DBE的中线， ∴BM，EN必相交． 故选：B. 【题型四：异面直线所成的角问题（高频）】 ⭐【知识讲解】 求异面直线所成的角，一般步骤如下： （1）作,根据定义，用平移法作出异面直线所成的角; （2）证，证明所作出的角就是要求的角（或其补角），可由作法直接得出; （3）计算，求角，常利用解三角形的知识求解. 上述步骤可用“一作，二证，三计算”来概括. 8.在三棱锥A­BCD中，AD=BC，且AD与BC所成的角为60°，若E，F分别是AB，CD的中点，则直线EF与所成的角为（ ） A．30° B．60° C．90° D．30°或60° 【答案】D 【解析】如图，取的中点，连接， 易知，，且，， 故，且是异面直线与所成角或其补角， 所以或， 所以异面直线与所成角为或其补角， 当时，；当时，， 所以直线与所成角的大小为或 故选：D 9.在直三棱柱中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，连接，取的中点，连接， 因为，所以（或其补角）为异面直线与所成的角. 因为， 所以， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C.    10.已知三棱锥满足，. (1)证明：直线与直线是异面直线； (2)若为的中点，为的中点，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）根据异面直线的定义，结合点平面，点平面，即可判断； （2）取的中点，连接，，根据平行关系可证明异面直线与所成角为（或其补角），结合余弦定理可得解. 【解析】（1）因为直线平面，点平面， 点，点平面，所以直线与直线是异面直线． （2）如图：取的中点，连接，， 因为为的中点，为的中点， 所以，， 所以异面直线与所成角（或其补角）， 因为，所以，， 在中，，则， 所以，即， 在中由余弦定理得， 因为异面直线所成角范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为. 【题型五：直线与平面位置关系判断（易错）】 ⭐【知识讲解】 直线与平面位置关系的判断方法： (1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法． (2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点. 11.下列命题中，正确命题的个数是(　　) ①如果a，b是两条平行直线，那么a平行于经过b的任何一个平面； ②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行； ③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b； ④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α； ⑤如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面BCC′B′，A′D′∥平面BCC′B′，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即④正确；⑤显然正确， 故选：C. 12．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为m，n，则的值为（    ）    A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【解析】由正四面体性质知与正方体的六个面都是不平行，因此， 易知正四面体中与垂直（证明如下），故， 因此与正方体的左右两个面平行，不相交，但与另外四个面都相交，， 所以， 故选：D． 【题型六：平面与平面位置关系的判断（易错）】 ⭐【知识讲解】 1．平面与平面的位置关系的判断方法 (1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点． (2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点． 2．常见的平面和平面平行的模型 (1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行； (2)长方体的六个面中，三组相对面平行. 　 　 13.在四棱台中，平面与平面的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．不确定 D．异面 【答案】A 【解析】 如图所示，由棱台的定义可知，平面与平面一定相交. 故选：A. 14.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是(　　) A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能确定 【答案】C 【解析】如图所示，a⊂α，b⊂β，a∥b. 由图形可知，这两个平面可能相交，也可能平行． 故选：C. 【题型七：基本事实4与等角定理的应用（重点）】 ⭐【知识讲解】 基本事实4表明了平行的传递性，也可以作为判断两条直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法. 等角定理主要用来判断或证明两角相等. 15．在梯形中，，，分别为和的中点，，与相交于．将平面沿翻折起来，使到的位置，，分别为和的中点，求证：    (1)四边形为平行四边形； (2)． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）因为在梯形中，，，分别为，的中点， 所以且， 又，，所以． 因为，分别为，的中点， 所以且， 所以且，所以四边形为平行四边形． （2）折叠前，且，， 折叠后，， 所以与的对应边平行且方向相同， 所以． 16．如图，在正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明过程见解析；(2)证明过程见解析 【分析】（1）证明出四边形是平行四边形，从而证明出线线平行；（2）证明出，结合第一问中的，利用等角定理得到答案. 【解析】（1）因为正方体中，F，G分别是棱，的中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以 （2）因为正方体中，E，G分别是棱，的中点， 所以， 所以四边形是平行四边形 所以， 由（1）知： 由图形可知：均为锐角， 所以. 【题型八：与线、面平行相关命题的判断（易错）】 ⭐【知识讲解】 与线、面平行相关命题的判定 判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含有选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项． 17.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　) A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面 【答案】B 【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是α∥β的充分条件，由面面平行性质定理知，若α∥β，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是α∥β的必要条件，故选：B. 18.（多选）已知是不同的直线，是不同的平面，则下列命题中错误的是（       ） A．若是异面直线，，，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【解析】对于A，过作平面与平面交于直线，如图，因为是异面直线，所以相交，又，所以，由，得， 又，是内两相交直线，所以，A正确； 对于B,若，则与可能相交，B错误； 对于C，中只有一条直线与平行，这两个平面可能平行也可能相交；C错误； 对于D，，，则或，D错误. 故选:BCD 【题型九：线面平行的判定（重点）】 ⭐【知识讲解】 证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点). (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α). (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β). (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β). 19．如图，在正方体中，分别为棱上分别靠近的三等分点，为棱的中点. (1)设平面平面平面，证明：三点共线； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）根据平面的性质可得点在平面与平面的交线上，同理可得点、也在平面与平面的交线上，即可得证； （2）通过证明，得到，即可得证. 【解析】（1）因为平面，所以， 又平面，所以平面， 又因为平面， 所以点在平面与平面的交线上， 同理可得点、也在平面与平面的交线上， 因为平面与平面不重合且不平行， 所以平面与平面的交线唯一， 所以三点共线； （2）因为、分别是棱、上分别靠近、的三等分点，为棱的中点， 所以， 所以，所以， 又，所以， 所以，又平面，平面， 所以平面. 【技巧感悟】利用线面平行的判定定理证明线面平行，关键是在平面内找与已知直线平行的直线，在具体的题目中，可以通过联想三角形中位线、平行四边形对边、梯形两底边、平行线分线段成比例、平行公理等来完成. 20．如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点E为棱的中点. (1)求证：平面； (2)若M为上的动点，N为线段的中点，试判断直线与平面的位置关系，并给出证明. 【答案】(1)证明见解析；(2)平面，证明见解析 【分析】（1）取N为线段的中点，连接，根据已知可得出.进而根据线面平行以及面面平行的判定定理得出平面平面.即可根据面面平行的性质定理，得出证明； （2）根据已知可得出平面，根据（1）结合面面平行的性质定理即可得出证明. 【解析】（1）如图，取N为线段的中点，连接 因为N为线段的中点， 所以. 又， 所以，四边形为平行四边形，. 因为平面，平面， 所以有平面. 又点E为棱的中点， 所以有. 因为平面，平面， 所以有平面. 又，平面，平面， 所以平面平面. 又平面， 所以有平面. （2）平面 由（1）知，当N为线段的中点时，有平面平面. 因为M为上的动点，平面， 所以，平面， 所以，平面. 【题型十：面面平行的判定（重点）】 ⭐【知识讲解】 证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义． (2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”． (4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化． 21.如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 【答案】见解析 【证明】(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点， ∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC， ∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四点共面． (2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点， ∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G綊EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG. 【解后反思】本例的证明应用了三种平行关系之间的转化 其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化． 22.如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证： (1)BE∥平面DMF； (2)平面BDE∥平面MNG. 【答案】见解析 【证明】(1)如图所示，设DF与GN交于点O， 连接AE，则AE必过点O，连接MO， 则MO为△ABE的中位线， 所以BE∥MO. 因为BE⊄平面DMF， MO⊂平面DMF， 所以BE∥平面DMF. (2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点， 所以DE∥GN. 因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG， 所以DE∥平面MNG. 因为M为AB的中点， 所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN. 因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG， 所以BD∥平面MNG. 因为DE∩BD＝D，BD，DE⊂平面BDE， 所以平面BDE∥平面MNG. 【题型十一：线面平行性质定理的应用（重点）】 ⭐【知识讲解】 应用线面平行的性质定理的关键是如何确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线． 23.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH. 【答案】见解析 【证明】如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是AC的中点， 又M是PC的中点，∴AP∥MO. 又MO⊂平面BMD，AP⊄平面BMD， ∴AP∥平面BMD. ∵平面PAHG∩平面BMD＝GH， 且AP⊂平面PAHG，∴AP∥GH. 【技巧点拨】要证线线平行，可把它们转化为线面平行．即在应用性质定理时，一般遵循从“高维”到“低维”的转化，即从“线面平行”到“线线平行”； 而解决线面平行的判定时其顺序恰好相反． 24．如图，正方体中，分别是的中点． (1)求证：四点共面； (2)设平面与平面交于直线，求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到，再证明出四边形为平行四边形，得到，从而得到线线平行，得到结论； （2）由面面平行得到线线平行； 【解析】（1）连接， 因为E，F分别是的中点， 所以， 因为，且， 所以四边形为平行四边形，故， 所以， 故四点共面； （2）因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以. 【题型十二：面面平行性质定理的应用（重点）】 ⭐【知识讲解】 应用面面平行性质定理的基本步骤 25.已知平面平面，点是平面外一点（如图所示），且直线分别与相交于点，若，则 ．      【答案】9 【解析】因为平面平面，根据面面平行的性质定理，可得：， 所以，，又， 所以， 因此， 又，所以. 26.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且，G在CC1上且平面AEF平面BD1G，则___________ 【答案】 【解析】∵平面AEF平面BD1G，且平面AEF∩平面BB1D1D=EF，平面BD1G∩平面BB1D1D=BD1，∴EFBD1，∴ 易得平面ADD1A1平面BCC1B1，又BG⊂平面BCC1B1，∴BG平面ADD1A1， 又∵平面AEF平面BD1G，BG⊂平面BD1G，∴BG平面AEF， ∵平面AEF∩平面ADD1A1=AF， ∴BGAF，∴BG､AF可确定平面ABGF， 又知平面ABB1A1平面CDD1C1， 平面ABGF∩平面ABB1A1=AB，平面ABGF∩平面CDD1C1=FG， ∴ABFG，∴CDFG. ∴. 【题型一：平面分割空间问题（易错）】 ⭐【知识讲解】 平面可以划分空间，一个平面把空间分成两部分，当用两个或两个以上平面划分空间时，需根据平面的位置来判断所得空间是几部分. 1．三个平面可将空间分成部分，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】由于两个平面最多将空间分成4个部分，故三个平面最多可将空间分成8个部分，如下图示， 故选：C 2．三棱柱各面所在平面将空间分成不同部分的个数为（    ） A．18 B．21 C．24 D．27 【答案】B 【解析】三棱柱的三个侧面将空间分成7部分，三棱柱的两个底面将空间分成3部分． 故三棱柱各面所在平面将空间分成不同部分的个数为． 故选：B． 【题型二：平行关系与体积的综合问题（重点）】 ⭐【知识讲解】 对于平行关系与体积的综合问题，可采用各个击破的策略，即分别研究平行关系、几何体的体积，其中若该几何体为三棱锥，则往往考虑利用等积法求其体积. 3．正三棱柱的底面正三角形的边长为2，D为的中点，． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析;(2) 【解析】（1）证明：连接，设，连接， ∵是正三棱柱的侧面， ∴为矩形， ∴是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又平面，平面， ∴平面. （2）因为在正三棱柱中，底面正三角形的边长为2， ，侧面为矩形， 所以三棱锥的体积. 4.如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，，、分别是棱、上的点，且，. (1)证明：平面平面； (2)记多面体的体积为，三棱锥的体积为，求的值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）证明出平面，平面，结合面面平行的判定定理可证得结论成立； （2）设四棱锥的底面积为，高为，求出四棱锥的体积，以及三棱锥的体积，可得多面体的体积，即可得出的值. 【解析】（1）因为且，所以， 因为，所以，故四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面， 因为，，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，、平面，所以平面平面; （2）设四棱锥的底面积为，高为，则四棱锥的体积为， 由（1）可知，则点到平面的距离为，， 从而三棱锥的体积为， 所以多面体的体积为，故. 【题型三：平行关系的综合应用问题（重点）】 ⭐【知识讲解】 空间中平行关系的综合应用问题往往利用转化思想反复转化求解，其中空间中各种平行关系相互转化关系的示意图如下： 5．如图，在长方体中，若分别是棱的中点，则下列结论一定成立的是（    ） A．四边形是矩形 B．四边形是正方形 C． D．平面平面 【答案】A 【解析】在长方形中，因为点，分别为，的中点， 所以，. 在长方体中，有平面，又， 所以平面，又平面，所以. 在长方形中，同理可得，. 所以，，又，所以四边形是矩形. 故选项A正确，选项B错误. 若，则由知，， 又点，分别为，的中点，所以， 所以.由图知和为相交直线，矛盾.故假设不成立，故选项C错误. 由图知，和为相交直线，所以平面与平面不会平行，故选项D错误. 故选：A. 6．如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点. (1)求证：平面； (2)已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于， （i）求证：； （ii）求证：平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可得出结论； （2）（i）根据线面平行的性质定理证明即可； （ii）利用面面平行的判定定理可证明平面平面，再由其性质可得结论. 【解析】（1）因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）（i）连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以. 又因为平面，平面，所以平面. 又因为平面，平面平面， 所以. （ii）连接，如下图： 易知，显然平面，平面，所以平面； 同理可得，即平面； 又，所以平面平面， 又因为平面， 所以平面. 【题型四：异面直线所成的角与其他知识的交汇（高频）】 ⭐【知识讲解】 异面直线所在的角常与几何体的面、体积综合，有时也与空间位置关系的判定综合，这类问题一般仍用各个击破的策略求解. 7．如图，正六棱柱的底面边长为5，点分别为线段的中点，若异面直线与所成角的余弦值是，则此正六棱柱的体积为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】在正六棱柱中，连接，则， （或其补角）为异面直线与所成的角，设此正六棱柱的高为， 在中，，， 则，即，解得或， 此正六棱柱的体积，所以或. 故选：D 8．在四棱锥中，底面为平行四边形，为底面中心，，分别为，的中点，为等腰直角三角形，且. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若，分为，的中点，点在线段上，且.求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析 【分析】（1）连接，则为中点，可得，根据线面平行的判定定理可证； （2）通过转化得异面直线与所成角即为与夹角，由余弦定理求解即可； （3）连接，由面面平行的性质定理及平行线的性质即可得到结果. 【解析】（1）连接，则为中点，又点为中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）由（1）得，异面直线与所成角即为与夹角， 在等腰直角三角形中，设， 则，，， 在中，由余弦定理，可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （3）连接，如图所示，因为，分为，的中点，所以， 因为为的中点，所以， 因为点在线段上，且，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理，可得平面， 又，，平面， 所以平面平面. 【题型一：数学文化题（高频）】 1．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑ABCD中，平面BCD，且，点E，F分别为线段与线段的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点为，连接， 点E为线段的中点，则，故为异面直线EF与BD所成角或其补角； 由题意知为直角三角形，且，则为直角，即， 又平面BCD，且平面BCD，故， 平面，故平面， 而F为线段的中点。故，故平面， 平面，故， 设，则， 又，同理， 故为正三角形，则， 则异面直线EF与BD所成角的余弦值为， 故选：A 2．我国古代《九章算术》里记载了一个求“羡除”体积的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪.小明仿制“羡除”裁剪出如图所示的纸片，在等腰梯形中，，，在等腰梯形中，.将等腰梯形沿折起，使平面平面，则五面体中异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作的垂线，垂足为，连接，，根据已知得出四边形为菱形，即可得出，再根据面面垂直的性质证明，即可根据线面垂直的判定得出平面，即可根据线面垂直的性质得出，即可得出答案. 【解析】过点作的垂线，垂足为，连接，， 四边形为等腰梯形， , 四边形为等腰梯形， , , 四边形为菱形， ， ，平面平面，平面平面，平面ABEF， 平面， 平面， , 平面，平面，, 平面， 平面， ， 异面直线与所成角的大小为. 故选：D. 3．我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面． (1)证明：三棱锥为鳖臑； (2)若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为． ①证明：直线平面； ②判断与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析；②平行，证明见解析. 【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理即可求解； （2）①利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解； ②利用①的结论及线面平行的性质定理即可求解. 【解析】（1）∵， ∴为直角三角形， ∵平面，且平面，平面，平面， ∴，，， ∴和为直角三角形， ∵，平面，平面， ∴平面， 又∵平面， ∴， ∴为直角三角形， ∴三棱锥为鳖曘. （2）① 连接，∵点分别为的中点， ∴， 且平面，平面， 所以直线平面， ②平行， 证明：平面，平面，平面平面=， 所以. 【题型二：与平行相关的探索性问题（难点）】 ⭐【知识讲解】 在平行关系问题中常见的探索性问题主要有两类：一类是探求点的位置使线面平行，另一类是在某些确定的条件下判断线面是否平行，前一种是条件开放题，后一种是结论开放题. 4．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，交于点，点是棱上的一点，且平面． (1)求证：点是的中点； (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)点为棱BC的中点时，平面平面， 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证得，再根据四边形是平行四边形得点是的中点，从而得结论； （2）若平面平面，根据面面平行的性质定理，得线面平面，再由线面平行的性质定理得，从而可确定点在棱上的位置. 【解析】（1）因为平面，平面平面， 又平面，所以， 因为四边形是平行四边形， 所以点是的中点，则点是的中点； （2）当点为棱BC的中点时，平面平面，理由如下： 若平面平面，由于平面， 所以平面， 又平面平面， 则，又点是的中点，所以点是的中点， 故点为棱BC的中点时，平面平面，则. 5．如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N、K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面.    (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)在棱CD上是否存在点H，使得平面平面PBC？若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在.请说明理由. 【答案】(1),证明见解析；(2)证明见解析 (3)H为中点时，证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明即可. （2）证明四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理证明即可. （3）利用线线平行可证平面， 平面，进而由面面平行的判定定理证明即可. 【解析】（1）.证明如下： 依题意，，平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. （2）取中点连接，在中， 在中，，则，即四边形为平行四边形， 因此，平面，平面， 所以平面.    （3）当为中点时，平面平面 证明如下： 取的中点为，连接， 在中，，平面，平面， 则平面，同理可证，平面， 又平面，， 所以平面平面.    1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$