精品解析：2023年云南省初中学业水平考试模拟数学试卷（三）

2023初中学业水平考试模拟卷（三） 一、单选题 1. 人体的正常体温大约为36.5℃，如果体温高于36.5℃，那么高出的部分记为正；如果体温低于36.5℃，那么低于的部分记为负．那么37.3℃应记为（　　） A. －0.8℃ B. ＋0.8℃ C. －37.3℃ D. ＋37.3℃ 2. 据北京晚报报道，截止至2021年3月14日9：30时，北京市累计有3340000人完成了新冠疫苗第二针的接种．将3340000用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某几何体的三视图，则这个几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，AB∥CD，∠2＝36°，∠3＝80°，则∠1的度数为( ) A. 54° B. 34° C. 46° D. 44° 5. 下列运算正确的有（ ） A. B. C. 5ab-b=4 D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 代数式是分式 B. 分式是最简分式 C. 分式有意义 D. 分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 7. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 规律探究题：如图是由一些火柴棒摆成的图案：按照这种方式摆下去，摆第2023个图案用几根火柴棒（ ） A. 8093 B. 8095 C. 8092 D. 8091 9. 随着初中学业水平考试的临近，我校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理， 绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列四个结论不正确的是（ ） A. 共有500名学生参加模拟测试 B. 从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 C. 第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多 D. 第4月测试成绩“优秀”的学生人数达到100人 10. 如果，那么代数式的值是（ ） A. －5 B. 5 C. 3 D. －3 11. 师徒两人共同加工同种零件，师傅的工作效率是徒弟的1.4倍，师傅加工1400个零件比徒弟加工800个零件多用4小时，求师徒每小时各加工多少个零件？若设徒弟每小时加工x个零件，则根据题意，列出的方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 12. 如图，，M，N分别是射线上的动点，平分，，则的周长的最小值为（　　） A. 9 B. C. 6 D. 27 二、填空题 13. 在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则______（填“>”“=”或“<”）. 14. 因式分解___________． 15. 如图，在中，D，E分别为的中点，点F在线段 上，且．若，则的长为 __________________． 16. 如图，是的直径，C是上一点，，，则扇形（阴影部分）的面积为___． 三、解答题 17. 计算：． 18. 如图，，，．求证：． 19. 为了进一步加强中小学国防教育，教育部研究制定了《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织七、八年级全体学生参加了国防知识竞赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，80-89分为良好，60~79分为及格，59分及以下为不及格．学校随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息． a．抽取七年级20名学生的成绩如下： 65 87 57 96 79 67 89 97 77 100 83 69 89 94 58 97 69 78 81 88 b．抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： c．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图如下： d．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 方差 七年级 81 m 167.9 八年级 82 81 108.3 请根据以上信息，回答下列问题： （1）补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图，写出表中m的值； （2）该校目前七年级有学生300人，八年级有学生200人，估计两个年级此次测试成绩达到优秀的学生各有多少人？ （3）你认为哪个年级的学生成绩较好，并说明理由． 20. 兔年春节，云南的整体旅游订单量、机票预订量、酒店预订量较去年均呈现显著增长，旅游订单交易额及旅游人次均排在全国前列，云南全省文化和旅游系统抓住机遇，因地制宜备足旅游“年货”，让八方游客领略绿色云南的魅力．小丽及其父母在春节期间去昆明游玩，因时间紧张，所以她们打算在滇池、翠湖公园、昆明世博园、云南省博物馆四个景区中随机抽取两个作为这次旅游的打卡地． （1）记滇池为A，翠湖公园为B，昆明世博园为C，云南省博物馆为D，用列表法或画树状图法（选其中一种）表示她们旅游所有可能出现的结果总数； （2）小丽更倾向于去云南省博物馆，若P表示所抽取的景区中有一个是云南省博物馆的概率，求P的值． 21. 如图，是的直径，C是上一点，于点D，过点C作的切线，交的延长线于点E，连接． （1）求证：与相切； （2）延长交的延长线于点F．若，，求的半径长． 22. 外出时佩戴口罩可以有效防控流感病毒，某药店用4000元购进若干包医用外科口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批同种口罩，第二批购进的包数比第一批多，每包口罩的进价比第一批每包的进价多元，请解答下列问题： （1）求购进的第一批医用口罩有多少包？ （2）政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持不变，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？ 23. 综合与实践 小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点 为 的中点，求 的取值范围． 小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长 到 ，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决 请回答： （1）小明证明用到的判定定理是：________；（填入你选择的选项字母） A． B． C． D． （2） 的取值范围是________． 小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在正方形中， 为边的中点，、 分别为 ， 边上的点，若，，，求的长． 24. 已知抛物线经过点，，与轴交点的横坐标是，二次函数的最小值为． （1）求抛物线的解析式； （2）求的值； （3）当时，关于的二次函数的值恒大于0，关于的分式方程有非负整数解，求整数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023初中学业水平考试模拟卷（三） 一、单选题 1. 人体的正常体温大约为36.5℃，如果体温高于36.5℃，那么高出的部分记为正；如果体温低于36.5℃，那么低于的部分记为负．那么37.3℃应记为（　　） A. －0.8℃ B. ＋0.8℃ C. －37.3℃ D. ＋37.3℃ 【答案】B 【解析】 【分析】根据正数和负数的概念，用37.3℃减去36.5℃，计算即可． 【详解】解：依题意得：37.3℃−36.5℃=0.8℃， 则37.3℃比36.5℃高0.8℃，所以记为正数，+0.8℃， 故选：B． 【点睛】本题考查正数和负数的基本概念，有理数减法，属于基础题． 2. 据北京晚报报道，截止至2021年3月14日9：30时，北京市累计有3340000人完成了新冠疫苗第二针的接种．将3340000用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】将3340000用科学记数法表示为3.34×106． 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 如图是某几何体的三视图，则这个几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图可得此几何体为圆锥，那么侧面积=底面周长×母线长÷2，从而得出答案． 【详解】根据三视图可得：这个几何体为圆锥， ∵直径为，圆锥母线长为， ∴侧面积； 故选：C． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 4. 如图，AB∥CD，∠2＝36°，∠3＝80°，则∠1的度数为( ) A. 54° B. 34° C. 46° D. 44° 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的性质和三角形的外角的性质解决问题即可． 【详解】解：如图，∵AB∥CD， ∴∠1=∠4， ∵∠3=∠4+∠2，∠2=36°，∠3=80°， ∴∠4=44°， ∴∠1=44°， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识． 5. 下列运算正确的有（ ） A. B. C. 5ab-b=4 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B错误； C．不是同类项，不能合并，故C错误． D．，正确． 故选D． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 代数式是分式 B. 分式是最简分式 C. 分式有意义 D. 分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的定义，最简分式的定义，分式有意义的条件，分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：代数式中，分母不含有未知数，不是分式，故A不符合题意； 分式是最简分式，故B符合题意； 当，即时，分式无意义，故C不符合题意； ，故D错误，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查分式的定义，最简分式的定义，分式有意义的条件，分式的基本性质．熟练掌握上述知识点是解题关键． 7. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．根据多边形的内角和公式及外角的特征计算． 【详解】解：多边形的外角和是，根据题意得： 解得． 故选C． 8. 规律探究题：如图是由一些火柴棒摆成的图案：按照这种方式摆下去，摆第2023个图案用几根火柴棒（ ） A. 8093 B. 8095 C. 8092 D. 8091 【答案】A 【解析】 【分析】观察图形的变化即可得第1个图形火柴棒的个数；摆第2个图案要用的火柴棒；摆第3个图案要用的火柴棒；即可得第n个图形的火柴棒个数，从而可求解． 【详解】观察图形的变化可知： 摆第1个图案要用火柴棒的根数为：5； 摆第2个图案要用火柴棒的根数为：； 摆第3个图案要用火柴棒的根数为：； … 则摆第n个图案要用火柴棒的根数为：； 故第2023个图案要用火柴棒的根数为： 故选：A 【点睛】本题主要考查规律型：图形的变化类，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，解题的关键是利用规律解决问题． 9. 随着初中学业水平考试的临近，我校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理， 绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列四个结论不正确的是（ ） A. 共有500名学生参加模拟测试 B. 从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 C. 第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多 D. 第4月测试成绩“优秀”的学生人数达到100人 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和折线统计图，根据条形统计图和折线统计图逐项判断即可求解，看懂统计图是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴共有名学生参加模拟测试，该选项结论正确，不符合题意； 、由折线统计图可知，从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长，该选项结论正确，不符合题意； 、由折线统计图可得，第3月增长的“优秀”人数为人，第4月增长的“优秀”人数为人， ∵， ∴第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多，该选项结论正确，不符合题意； 、∵， ∴第4月测试成绩“优秀”的学生人数没有达到100人，该选项结论错误，符合题意； 故选：． 10. 如果，那么代数式的值是（ ） A. －5 B. 5 C. 3 D. －3 【答案】B 【解析】 【分析】根据，可得，再将所求代数式去括号化简后，将整体代入即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查了已知式子的值求解代数式的值以及完全平方公式的知识，掌握将将整体代入计算，是解答本题的关键． 11. 师徒两人共同加工同种零件，师傅的工作效率是徒弟的1.4倍，师傅加工1400个零件比徒弟加工800个零件多用4小时，求师徒每小时各加工多少个零件？若设徒弟每小时加工x个零件，则根据题意，列出的方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】未知量是工作效率，有工作总量，一定是根据时间来列等量关系的．关键描述语是：“师傅加工1400个零件比徒弟加工800个零件多用4小时”；等量关系为：师傅加工1400个零件所用的时间徒弟加工800个零件所用的时间=4． 【详解】解：徒弟每小时加工x个零件，则师傅每小时加工1.4x个零件， 根据题意列方程为：， 故选：B． 【点睛】题中一般有三个量，已知一个量，求一个量，一定是根据另一个量来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． 12. 如图，，M，N分别是射线上的动点，平分，，则的周长的最小值为（　　） A. 9 B. C. 6 D. 27 【答案】A 【解析】 【分析】作P点关于射线的对称点C点，作P点关于射线的对称点D点，连接，与射线的交点 即为M点、N点，连接，此时的周长最小，证明是等边三角形即可求解． 【详解】解：作P点关于射线的对称点C点，作P点关于射线的对称点D点，连接，与射线的 交点即为M点、N点，连接，此时的周长最小， ∵C点、P点关于射线对称， ∴射线垂直平分， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定及性质，利用对称将的周长最小值转化为两点间线段最短是关键与难点． 二、填空题 13. 在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则______（填“>”“=”或“<”）. 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，k>0，在每个象限内，y随x的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵k>0， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ， ∴>． 故答案为：>． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键． 14. 因式分解___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次因式分解． 【详解】解： 15. 如图，在中，D，E分别为的中点，点F在线段 上，且．若，则的长为 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．熟练掌握中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 由D，E分别为的中点，可得，由，D为的中点，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵D，E分别为的中点， ∴， ∵，D为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，是的直径，C是上一点，，，则扇形（阴影部分）的面积为___． 【答案】 【解析】 【分析】直接由圆周角定理得出的度数，再利用扇形面积求法得出答案． 【详解】∵， ∴， ∴扇形（阴影部分）的面积为： ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，扇形面积求法，正确记忆扇形面积公式是解题关键． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先化简各式，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟练掌握负整数指数幂，零指数幂的法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 18. 如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟知全等三角形的判定方法是解决此题的关键．根据得出，然后根据“”证出，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． 19. 为了进一步加强中小学国防教育，教育部研究制定了《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织七、八年级全体学生参加了国防知识竞赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，80-89分为良好，60~79分为及格，59分及以下为不及格．学校随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息． a．抽取七年级20名学生的成绩如下： 65 87 57 96 79 67 89 97 77 100 83 69 89 94 58 97 69 78 81 88 b．抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： c．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图如下： d．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 方差 七年级 81 m 167.9 八年级 82 81 108.3 请根据以上信息，回答下列问题： （1）补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图，写出表中m的值； （2）该校目前七年级有学生300人，八年级有学生200人，估计两个年级此次测试成绩达到优秀的学生各有多少人？ （3）你认为哪个年级的学生成绩较好，并说明理由． 【答案】（1） 补全图形如下： 82 （2）七年级成绩达到优秀的学生有75人，八年级成绩达到优秀的学生有60人； （3）八年级的学生成绩较好， 理由如下： 从平均数方面看，八年级的平均成绩比七年级更高；从方差方面看，八年级的方差较小，成绩相对更稳定． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得七年级成绩位于的有4人；七年级成绩位于第10位和第11位的是81和83，即可求解； （2）先求出八年级成绩优秀的所占的百分比，再分别用300，200乘以各自的百分比，即可求解； （3）从平均数、方差方面分析，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：七年级成绩位于的有4人， 七年级成绩位于第10位和第11位的是81和83， ∴七年级成绩的中位数； 【小问2详解】 解：根据题意得：八年级成绩良好的所占的百分比为 ∴八年级成绩优秀的所占的百分比为， ∴八年级成绩达到优秀的学生有人， 七年级成绩达到优秀的学生有人； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，求中位数，利用平均数和方程做决策，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键． 20. 兔年春节，云南的整体旅游订单量、机票预订量、酒店预订量较去年均呈现显著增长，旅游订单交易额及旅游人次均排在全国前列，云南全省文化和旅游系统抓住机遇，因地制宜备足旅游“年货”，让八方游客领略绿色云南的魅力．小丽及其父母在春节期间去昆明游玩，因时间紧张，所以她们打算在滇池、翠湖公园、昆明世博园、云南省博物馆四个景区中随机抽取两个作为这次旅游的打卡地． （1）记滇池为A，翠湖公园为B，昆明世博园为C，云南省博物馆为D，用列表法或画树状图法（选其中一种）表示她们旅游所有可能出现的结果总数； （2）小丽更倾向于去云南省博物馆，若P表示所抽取的景区中有一个是云南省博物馆的概率，求P的值． 【答案】（1）树状图见解析，一共12种，分别为： （2） 【解析】 【分析】（1）画树状图即可得出所有等可能出现的结果数． （2）由树状图可得出所有等可能的结果数和所抽取的景区中有一个是云南省博物馆的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，分别为：． 【小问2详解】 解：由（1）的树状图可知，共有12种等可能的结果， 其中所抽取的景区中有一个是云南省博物馆的结果有：，共6种， ∴． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 21. 如图，是的直径，C是上一点，于点D，过点C作的切线，交的延长线于点E，连接． （1）求证：与相切； （2）延长交的延长线于点F．若，，求的半径长． 【答案】（1）见详解 （2）3 【解析】 【分析】（1），垂径定理得，得到，，为的切线，即与相切； （2）由（1）得，为的切线，即得，因为，所以，，然后列出等式即可． 【小问1详解】 证明：∵为的切线， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∵ ∴， ∴， 与相切； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∵， ∴，， ∵， ∴在，设，则， ，， ∵，，， ∴在，，， ∵为的切线， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵在中， ， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理和相似三角形性质等内容． 22. 外出时佩戴口罩可以有效防控流感病毒，某药店用4000元购进若干包医用外科口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批同种口罩，第二批购进的包数比第一批多，每包口罩的进价比第一批每包的进价多元，请解答下列问题： （1）求购进的第一批医用口罩有多少包？ （2）政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持不变，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？ 【答案】（1）2000包 （2）3元 【解析】 【分析】（1）设第一批每包的进价为x元，则第二批每包的进价为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，得第一批购进2000包，进价为2元，第二批购进3000包，进价为元设药店销售该口罩每包的售价是y元．根据题意，得，解不等式即可． 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握解方程，解不等式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设第一批每包的进价为x元，则第二批每包的进价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， ∴， 答：购进的第一批医用口罩有2000包． 【小问2详解】 解：根据题意，得第一批购进2000包，进价为2元，第二批购进3000包，进价为元， 设药店销售该口罩每包的售价是y元． 根据题意，得， 解得． 答：药店销售该口罩每包的最高售价是3元． 23. 综合与实践 小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点 为 的中点，求 的取值范围． 小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长 到 ，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决 请回答： （1）小明证明用到的判定定理是：________；（填入你选择的选项字母） A． B． C． D． （2） 的取值范围是________． 小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在正方形 中， 为边的中点，、分别为 ， 边上的点，若，，，求的长． 【答案】（1）A （2）；． 【解析】 【分析】（1）延长 到 ，使，连接，根据对顶角相等，即可利用“”证明，得到答案； （2）根据全等三角形的性质，得到的长，再利用三角形的三边关系即可得到答案； 延长交 的延长线于点H，先利用“”证明，得到，，进而得到的长，再证明垂直平分 ，根据垂直平分线的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，延长 到 ，使，连接， 点 为 的中点， ， 在和中， ， ， 故答案为：A； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 解决问题：如图，延长交 的延长线于点H， 四边形 是正方形， ， 为边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正方形的性质，垂直平分线的性质，利用“倍长中线法”作辅助线构造全等三角形是解题关键． 24. 已知抛物线经过点，，与轴交点的横坐标是，二次函数的最小值为． （1）求抛物线的解析式； （2）求的值； （3）当时，关于的二次函数的值恒大于0，关于的分式方程有非负整数解，求整数的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用经过的点 和的横坐标求出对称轴，根据顶点式公式的即可求出的值，再通过顶点式公式的即可求出值，从而知道抛物线解析式． （2）先将与轴的交点代入抛物线解析式推出和，将所求的式子通过整体思想转化与刚推出的两个式子相关的即可求出值． （3）将值代入，利用因式分解判断，结合的取值范围求出的第一个取值范围，再利用分式方程化简求出用表示的值，根据的非负整数解判断的另一个取值范围，确定的取值范围后结合是3的倍数，确定的整数值． 【小问1详解】 解： 抛物线经过点，， 对称轴为，， ， ．　 二次函数的最小值为， ， ， ． 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解： 抛物线与轴交点的横坐标是， ， ，． 【小问3详解】 解：， ， ，， ， ， ，即， ， ． ， ， ， ． ， 是非负整数解， ，且是3的倍数， ， ， ， 为整数， 是3的倍数， ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、解析式求解、代数式降次求值及分式方程整数解问题，解题的重点在于如何运用对称轴和最值，巧妙利用整体化思想达到降次以及分式方程增根的判断和参数范围的求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $