2025-2026学年人教版七年级数学下册期末综合复习解答压轴题专题提升训练

**基本信息** 以“问题链+方法串”整合六章核心内容，通过分层设问与跨模块迁移，系统培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相交线与平行线|5题（含3问递进）|作辅助线转化角、设而不解|从平行性质推导到角平分线综合应用| |实数|4题|规律归纳、立方根估算|从算术平方根运算到代数规律探究| |平面直角坐标系|3题|坐标平移、面积转化|从点坐标到动态几何关系推导| |二元一次方程组|3题|方程建模、方案优化|从基础求解到实际问题应用| |不等式与不等式组|3题|绝对值几何意义、关联方程|从不等式求解到含参问题推理| |数据描述|2题|统计图表分析|从数据收集到信息解读应用|

2025-2026学年人教版七年级数学下册期末综合复习解答压轴题专题提升训练（附答案） 一、相交线与平行线 1．如图1，，；    (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，，，若，求证：． 2．（1）【问题解决】如图1，已知，，，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含的式子表示）． 3．如图1，已知，，点E在上，点G，F在上，点H在之间，连接． (1)求证：； (2)如图2，平分交于点K，，平分， ． ①当时，求的度数； ②如图3，平分交于点M，若，求的值． 4．在几何问题中，当求几个角之间的等量关系时，可以设未知数，通过“设而不解”的方法，以它们为中间量，结合三角形的性质和已知条件，构建所求角之间的等量关系：当需要求出某个角的具体度数时，我们可以通过设未知数的方式，根据问题中的等量关系列方程，并将方程进行求解，最后得到所求角的度数． 已知点在射线上，点、为射线上的两个动点，满足，，平分． (1)如图1，当点在点左侧时，我们可以设，，作交于，请你运用含有和的代数式表示； (2)如图2，当点G在点F右侧时，请你运用“设而不解”的方法来证明问题的结论是否、和之间的等量关系并说明理由； (3)如图3，当点在点左侧时，点为延长线上一点，平分，交于点，平分，交于点，连接，若，，请你运用所学的方法，直接写出的度数． 5．如图1，，E、F分别在、上，，平分． (1)求证：； (2)如图2，M是直线上一点，过M、E的两条射线交于N点，，，探究与的数量关系，并予以证明； (3)如图3，P点是线段上一点，Q点在线段上，，，请直接写出、、之间的关系式 ． 二、实数 6．对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 7．观察下列式子：①；②；③；④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若__________，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的值； (4)若与的值互为相反数，且，求a的值． 8．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： (1)已知是一个整数的立方，求； ①由，，可以确定是________位数； ②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是________； ③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是________；由此求得________ (2)已知592704也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值． 9．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设+···+，求不超过m的最大整数是多少？ 三、平面直角坐标系 10．在平面直角坐标系中，已知点，将线段向右平移个单位长度得到线段，点为线段上一动点，连接． (1)证明：； (2)过点作直线，在直线上取点． ①当，且点恰好运动到与原点重合，点在点下方，此时三角形的面积为14，求点的坐标； ②若，探索与的数量关系． 11．如图1，在平面直角坐标系中，已知三角形，点A的坐标是，点B的坐标是，点C在x轴的负半轴上，且． (1)写出点C的坐标（_______，_______）； (2)点在轴上，且三角形的面积是三角形面积的，写出点的坐标； (3)如图把点往上平移个单位得到点，画射线，连接，点在射线上运动（不与点、重合），写出点的坐标；并探究，，之间的数量关系． 12．综合与实践 基本图形 如图1，在平面直角坐标系中，轴于点B，点满足，平移线段使点A与原点O重合，点B的对应点为点C． (1)______，______，点C的坐标为______． 拓展延伸： (2)如图2，D是的中点，过点D作轴，直线l与y轴交于点E，F是线段上一点，连接，．若三角形的面积为15，求三角形的面积； (3)如图3，以为边作，交线段于点M，N是线段上一动点（不含端点），连接交于点P．当点N在线段上运动时，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 四、二元一次方程组 13．在平面直角坐标系中，，，且满足 (1)若没有平方根，判断点位于第几象限，并说明理由； (2)若为直线上一点，且的最小值为3，求点的坐标； (3)已知坐标系内有两点，，为线段上一点，将点平移至点．若点在线段上，记的最小值为，最大值为，当时，请判断是否为定值？若是，求出该定值，若不是，试讨论的取值范围． 14．目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元． (1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价． (2)该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将6000ml的散装免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中，两种空瓶均需装，且每瓶均装满，通过计算列出所需两种空瓶数量的购买方案． (3)已知该校在校师生共1970人，平均每人每天需使用10ml的免洗手消毒液．若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费5000元，且两种都必须购买，则这批消毒液最多可使用多少天？ 15．某市《生活垃圾管理条例》正式出台，其中规定生活垃圾分为可回收物、有害垃圾、湿垃圾、干垃圾四类．某校由六、七两个年级共17名同学组成了“垃圾分类宣传”志愿者小队，他们对本校每天的生活垃圾收集情况进行调查统计后发现： ①由于宣传到位，学校现在每天生活垃圾的重量比原来每天400千克下降了； ②其中可回收物重量和干垃圾重量之和占现在每天生活垃圾重量的，可回收物中废纸占； ③由于部分同学对干垃圾的认识还不够清楚，因此，发现干垃圾中还有的废纸； ④可回收物中的废纸与干垃圾中的废纸合在一起共重82千克． 根据上述信息回答下面的问题： (1)学校现在每天的可回收物和干垃圾各为多少千克？ (2)回收1吨废纸，大约可以少砍17棵大树，“垃圾分类宣传”志愿者小队中的部分成员计划每天放学后开展将干垃圾中的废纸清理出来的活动，已知六年级平均每个学生5分钟可清理干垃圾3千克，七年级平均每个学生5分钟可清理干垃圾5千克，问如何分配人员参与活动，恰好5分钟可以将学校1天的所有干垃圾清理完毕？（两个年级均要有学生参加） 五、不等式与不等式组 16．请阅读求绝对值不等式和的解的过程． 对于绝对值不等式，从图1的数轴上看：大于而小于的数的绝对值小于，所以的解为； 对于绝对值不等式，从图2的数轴上看：小于或大于的数的绝对值大于，所以的解为或． （1）求绝对值不等式的解 （2）已知绝对值不等式的解为，求的值 （3）已知关于，的二元一次方程组的解满足，其中是负整数，求的值． 17．如图，A，B，C，D四点在数轴上，点A表示的数为20，点B表示的数为16，，． (1)点A与点B的距离是_________，点C与点D的距离是_________，点D在数轴上表示的数是_________． (2)线段以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时，线段AB以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，运动时间为t秒， ①若线段AB沿数轴负方向运动，当t满足_________时，点A，B同时在线段上； ②若线段AB沿数轴正方向运动，当t满足_________时，点A，B．同时在线段上． (3)一条4个单位长度的大毛毛虫的头从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，9秒后，一条2个单位长度的小毛毛虫的头从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴负方向运动到点C时，立即调头改变方向保持原速度沿着数轴正方向运动．设大毛毛虫运动的时间为t秒． ①当两条毛毛虫头和头相遇时，求t的值； ②当两条毛毛虫尾和尾相遇时，直接写出t的值． 18．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围 六、数据的收集、整理与描述 19．某校举行全体学生“禁毒知识竞赛”活动，每位学生完成道选择题．现随机抽取了部分学生的答对题数，绘制成如下不完整的图表． 组别 正确题数x 人数 A 20 10 B 15 C 25 D m E n 根据以上信息完成下列问题： (1)统计表中的______，______，并补全图1； (2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是______； (3)已知该校共有名学生，如果答对题数不小于个定为优秀，请你估计该校本次“禁毒知识竞赛”优秀的学生人数． 20．小张家准备购买一台电脑，小张将收集到的该地区和其它品牌电脑销售情况的有关数据统计如下：       根据上述三个统计图，请解答： (1)6至11月三种品牌电脑销售总量最少的电脑品牌是___________，11月份B品牌电脑的销售量是___________； (2)11月份，电脑销售量最多的品牌比其它品牌多卖多少台？ (3)若小张打算购买C品牌电脑，那他的理由是什么？请写出你的猜测（写出一条猜测即可） 参考答案 1．（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴    （3）证明：如图所示，过点G作， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．    2．解：（1）如图1，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴． ，而， ∴， ， （2）， 理由：如图2，过点作， ∵，， ∴， ， ， ， ∵， ， ； （3）如图3，过点作． ∵，， ∴， ，， 又的平分线和的平分线交于点， ，， 由（2）得，， ∵， ， ． 3．（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①如图，过点作， ∴． 由题意可知：， 故可设，则． ∴，，． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴，解得：， ∴，． ∵， ∴， ∴． ②如图，过点作． 由题意可设，则． ∵，平分， ∴，． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴，即． 由（1）可知， ∴， ∴， 即，解得：， ∴． 4．（1）解：过点作交于， 设，， ∵， ∴， ，， ， ； （2）证明：过点作 交于点， 由①得， ， ，， ， ； （3）解：设，则，则，，， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 5．（1）证明：设射线交于P点，如图， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 设射线交于X点，过N作，过M作，如图， 设， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． （3）解：过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，； ∵，， ∴，， ∴， 即， 上式代入中，得 、、之间的关系为：， 故答案为：． 6．（1）解：、， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）解： ． 7．（1）解：（答案不唯一）； （2）解：当时，则，反之也成立； （3）解：∵与的值互为相反数， 则， 解得． （4）解：与的值互为相反数， ， ， ， ， ， ． 8．解：（1） ， ， 是两位数； 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， 的个位数字是； ， 的十位数字是， ； （2）， ， 是两位数， 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， 的个位数字是，划去后三位，得到数， ， 十位数的数是， ． 9．（1）解： （2）+···+， ， ， ， ∴不超过m的最大整数是2025． 10．（1）证明：如图所示，过点P作， 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，设直线交x轴于点K， ∵， ∴，； ∵，点P与原点重合， ∴，即轴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图3-1所示，当点Q在点D上方时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3-2所示，当点Q在点D下方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 11．（1）解：∵点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴的负半轴， ∴． （2）解：∵点B的坐标是，， ∴ ∵点在轴上， ∴设点， ∴， ∵三角形的面积是三角形面积的， ∴ 解得：． ∴点或． （3）解：点往上平移个单位得到点， ∴点， 当点在射线上（、）不重合，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 当点在的上方，设于交于， ∵ ∴， ∵ ∴． 12．（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵轴于点B， ∴，， ∴平移线段使点A与原点O重合，点B的对应点为点C． ∴. （2）解：由（1）可知点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． D是的中点， 点D的坐标为， 直线l上的点的纵坐标均为，点E的坐标为， ，，， ， 设点F的坐标为，，， ，． ， ，解得， ； （3）解：的值不发生变化，理由如下： 如图，过点C作，过点P作． 线段是由线段平移得到的， ， ， ， ， ． ， ． ，， ， ． ， ， ， ， 当点N在线段上运动时，的值不变，其值为3． 13．（1）解：∵没有平方根， ∴， ∴， ∴点在第二象限． （2）∵ ∴ ∴． ∵， ∴轴． ∵点在直线上，且的最小值为3， ∴当时，最小， 此时点在轴上，， ∴或， 即点的坐标是或． （3）解：． 证明如下：由（2）得，， ，，且， ∴轴，轴， ∴． 点在点左侧，点在点左侧． ∵点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，且点在线段上，点在线段上， ∴， ∵，或， ∴，或， ∴， ∴， ∴． 14．（1）解：设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元． 依题意得： 解得： 答：甲种免洗手消毒液的单价为18元，乙种免洗手消毒液的单价25元． （2）解：设购买a个最大容量300ml的空瓶， b个最大容量500ml的两种空瓶． 依题意得： ∴ 又∵a、b均为正整数 ∴ ∴共有3种购买方案 方案1：购买15个最大容量300ml的空瓶， 3个最大容量500ml的两种空瓶． 方案2：购买10个最大容量300ml的空瓶， 6个最大容量500ml的两种空瓶． 方案3：购买:5个最大容量300ml的空瓶， 9个最大容量500ml的两种空瓶． （3）解：设购买m瓶甲种免洗手消毒液，购买的这些消毒液可使用w天，则购买乙种免洗手消毒液． 依题意得： ∵ ∴w随m的增大而减小 又∵m，均为正整数 ∴当时，w取得最大值，最大值= 答：这批消毒液最多可使用5天． 15．解：（1）设学校现在每天的可回收物为千克，干垃圾为千克， 根据题意得 解得 答：学校现在每天的可回收物为100千克，干垃圾为60千克． （2）设六年级有名学生参与活动，七年级有名学生参与活动，依题意有，即． 为正整数， 或或 六、七两个年级组成的“垃圾分类宣传”志愿者小队只有17名同学， 不合题意，舍去． 答：六年级有10名学生参与活动，七年级有6名学生参与活动；或六年级有5名学生参与活动，七年级有9名学生参与活动． 16．解：（1）根据绝对值的定义得：或， 解得或； （2）， ， 解得， 解集为， ， 解得， 则； （3）两个方程相加，得：， ， ， ， ， 解得， 又是负整数， 或或． 17．解：（1）∵点A表示的数为20，点B表示的数为16， ∴， ∵， ∴ 又 ∴ ∴． 又 ∴点D在数轴上表示的数为： 故答案为：4；12； （2）根据题意得，要使A，B同时在线段上，则有： ① 解得， 帮答案为： ② 解得， 故答案为： （3）①9秒后，4个单位长度的大毛毛虫头在处，尾在处，则小毛毛虫从B到C需用时：，此时大毛毛虫在处，则有： 解得， ∴； ②小毛毛虫即从C点调头时，小毛毛虫的尾在O处，大毛毛虫尾在处，要使尾与尾相遇，则， 解得： ∴ 综上，t的值为：20或18 18．解：（1）①，解得； ②，解得； ③，解得； 解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵在范围内， ∴不等式组“关联方程”是①②； 故答案为：①②； （2）解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴在范围内 ∴， 解得； （3）解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵此时不等式组有4个整数解， ∴， 解得 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴在范围内 ∴， 解得， 综上所述，． 19． （1）解：根据题意，抽取学生总人数为：， ∴， ∴， 故答案为：；． （2）解：根据题意可得“C组”所对应的圆心角的度数是， 故答案为：． （3）解：根据题意可得名学生中优秀的人数有：（人）， ∴名学生中，优秀的学生人数为：（人）． 20．（1）解：由条形图，可知三种品牌电脑销售总量最少的电脑品牌是A； 由扇形图可知，11月份A品牌占比，11月份B品牌占比，11月份C品牌占比， 结合折线图中数据可知，11月份A品牌销售270台，B品牌销售234台，C品牌销售275台； （2）解：由（1）可知，11月份共销售（台）， 由扇形图可知，11月份其它品牌共销售， ∴其它品牌共销售（台）， （台）， ∴11月份，电脑销售量最多的品牌比其它品牌多卖54台； （3）解：理由：C品牌的销量从6月到11月一直十分稳定，且销量较高（答案不唯一）． 学科网（北京）股份有限公司 $