精品解析：2022年贵州省贵阳市南明区第一实验中学中考一模数学试卷

贵阳市南明区第一实验中学2021-2022学年度第二学期中考第一次模拟 数学试卷 注意事项∶ 1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号清楚地填写在答题卡规定的位置上． 2．答题时，卷I必须用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标好；必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，在卷子上作答无效． 3．本试题卷共26题，满分150 分，考试时间 150 分钟． 4．考试结束后，试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：(每个小题4分，10个小题共40分) 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 2021 D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF与∠ABC平分线的交点，E是△ABC的两外角平分线的交点，若∠BOC=130°，则∠D的度数为 （ ） A. 25° B. 30° C. 40° D. 50° 4. 下列事件中，属于必然事件的是（　　） A. 打开电视，正在播广告 B. 分式方程有增根 C. 没有水分，种子发芽 D. 矩形的对角线相等 5. 某几何体的三视图及相关数据如图所示，则该几何体的侧面积是（ ） A. 4π B. 60π C. 15π D. 8π 6. 已知关于 的方程的一个解为，则它的另一个解是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 7. 如图6，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径 、均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和点D、F，则图中阴影部分面积是（　　） A. B. C. D. 条件不足，无法求解 8. 如图，在 中， ，，点 在 上，，以 为半径的 与 相切于点 ，交 于点 ，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 9. 已知点在第一象限，且，点在 轴上，当为直角三角形时，点 的坐标为（ ） A. ，或 B. ，或 C. ，或 D. ，或 10. 如图，点E在正方形 的边 上，将 绕点A顺时针旋转 到 的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与 交于点G，若，，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 二、填空题：(每个小题3分，10个小题共30分) 11. 人民网哈尔滨1月10日电，1月10日在黑龙江省政府新闻办举办的“重振雄风再出发－－龙江这一年”系列主题新闻发布会上表示，全省实现旅游收入2683.8亿元，将2683.8亿用科学记数法表示为_________． 12. 因式分解：﹣x2﹣4y2+4xy＝_____． 13. 某初级中学坚持开展阳光体育活动，七年级至九年级每学期均进行体育技能测试．其中A班甲，乙两位同学6个学期的投篮技能测试成绩（投篮命中个数）折线图如图所示．为参加学校举行的毕业篮球友谊赛，A班需从甲，乙两位同学中选1人进入班球队，从两人成绩的稳定性考虑，请你决策A班应该选择的同学是_________． 14. 如图，菱形 的对角线 ， 相交于点O，点E是边 的中点，若，则 的长为_______． 15. 不等式组的解集是______． 16. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是，以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为．若点恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数的解析式为________． 17. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×矢+矢2）．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径 ⊥弦 时， 平分 ）可以求解．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为_____平方米． 18. 如图，小梅把一顶底面半径为的圆锥形小丑纸帽沿一条母线剪开并展平，得到一个圆心角为的扇形纸片，那么扇形纸片的半径为___________． 19. 如图，点A、B在反比函数的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接 、，则的面积是__________． 20. 如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）． 三、解答题：(6个小题，共80分) 21. 计算、化简求值： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，从中选出合适的 的整数值代入求值． 22. 某中学开设的体育选修课有篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球，学生可以根据自己的爱好选修其中1门.某班班主任对全班同学的选课情况进行了调查统计，制成了两幅不完整的统计图(图(1)和图(2))： (1)请你求出该班的总人数，并补全条形图(注：在所补小矩形上方标出人数)； (2)在该班团支部4人中，有1人选修排球，2人选修羽毛球，1人选修乒乓球.如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，那么选出的两人中恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球的概率是多少？ 23. 如图，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，点O在CD上，作⊙O，使⊙O与AD相切于点B，⊙O与CD交于点E，过点D作DF∥AC，交AO的延长线于点F，且∠OAB＝∠F． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若OC＝3，DE＝2，求tan∠F的值． 24. 为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某实验中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的． （1）求篮球、足球的单价分别为多少元？ （2）学校计划购买篮球、足球共80个，如果购买足球m个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式； （3）在（2）的条件下学校计划总费用不多于7200元，并且要求篮球数量不能低于15个，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？ 25. 如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF． 【问题解决】 （1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 26. 如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x＋a（a＜0）与y轴交于点A，与x轴交于E、F两点（点E在点F的右侧），顶点为M．直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，与直线AM交于点D． （1）求抛物线的对称轴； （2）在y轴右侧的抛物线上存在点P，使得以P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求a的值； （3）如图②，过抛物线顶点M作MN⊥x轴于N，连接ME，点Q为抛物线上任意一点，过点Q作QG⊥x轴于G，连接QE．当a＝﹣5时，是否存在点Q，使得以Q、E、G为顶点的三角形与△MNE相似（不含全等）？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市南明区第一实验中学2021-2022学年度第二学期中考第一次模拟 数学试卷 注意事项∶ 1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号清楚地填写在答题卡规定的位置上． 2．答题时，卷I必须用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标好；必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，在卷子上作答无效． 3．本试题卷共26题，满分150 分，考试时间 150 分钟． 4．考试结束后，试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：(每个小题4分，10个小题共40分) 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 2021 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是求一个数的相反数．根据相反数的代数意义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可解答． 【详解】的相反数是． 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则对A进行判断；根据同底数幂的除法法则对B进行判断；根据幂的乘方与积的乘方对C进行判断；根据完全平方公式对D进行判断． 【详解】解：A、，原计算错误，所以该选项不符合题意； B、，原计算错误，所以该选项不符合题意； C、，正确，所以该选项符合题意； D、，原计算错误，所以该选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式和整式的运算法则是解决问题的关键． 3. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF与∠ABC平分线的交点，E是△ABC的两外角平分线的交点，若∠BOC=130°，则∠D的度数为 （ ） A. 25° B. 30° C. 40° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和平角定义可得∠OCD＝∠ACO＋∠ACD＝90°，根据外角的性质可得，继而即可求解． 【详解】解：∵平分， 平分 的外角， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选择C． 【点睛】本题考查角平分线的定义，平角定义，三角形的外角性质，解题的关键是根据角平分线定义和平角定义可得∠OCD＝90°，根据外角的性质求得． 4. 下列事件中，属于必然事件的是（　　） A. 打开电视，正在播广告 B. 分式方程有增根 C. 没有水分，种子发芽 D. 矩形的对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件的分类逐项分析即可． 【详解】A.打开电视，正在播广告是随机事件，故不符合题意； B.分式方程有增根是随机事件，故不符合题意； C.没有水分，种子发芽是不可能事件，故不符合题意； D.矩形的对角线相等是必然事件，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，矩形的性质，以及随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 5. 某几何体的三视图及相关数据如图所示，则该几何体的侧面积是（ ） A. 4π B. 60π C. 15π D. 8π 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体的三视图得这个几何体是圆锥，再根据圆锥的侧面是扇形即可求解． 【详解】解：由三视图可知，该几何体是圆锥． 圆锥的高，底面直径为 ，因此底面半径． 根据勾股定理，圆锥的母线长​． 圆锥侧面积公式为，代入数据得：， 对应选项A． 6. 已知关于 的方程的一个解为，则它的另一个解是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把代入计算的n，运用根与系数关系定理计算另一个根． 【详解】设方程的另一个根为， 把代入，得， 解得， ∴变形为， ∴， 解得， 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根即使得方程左右两边相等的未知数的值，根与系数关系定理，熟练掌握方程的根，灵活运用根与系数关系定理是解题的关键． 7. 如图6，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径 、均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和点D、F，则图中阴影部分面积是（　　） A. B. C. D. 条件不足，无法求解 【答案】B 【解析】 【分析】观察图形在y轴两边阴影部分面积，将y轴左边的阴影对称到右边得到一个半圆的阴影，就是所求的图中阴影面积． 【详解】解：∵半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径 、均和x轴垂直， ∴半圆A和半圆B关于y轴对称， ∵两条抛物线的顶点是原点O， ∴两条抛物线的对称轴是y轴， ∴y轴左右两边的花瓣形关于y轴对称，其面积相等， ∴阴影面积等于半圆的面积，半圆的半径， 则． 8. 如图，在 中， ，，点 在 上，，以 为半径的 与 相切于点 ，交 于点 ，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，可得，，从而得，，进而即可求解． 【详解】解：连接，， ∵ 与 相切于点 ， 是 的直径， ∴，， ∵ ， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴． 9. 已知点在第一象限，且，点在 轴上，当为直角三角形时，点 的坐标为（ ） A. ，或 B. ，或 C. ，或 D. ，或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可分当时和当时，然后根据题意进行分类求解即可． 【详解】解：由题意得： 当时，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，过点M作MB⊥x轴于点B，如图所示： ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴当时，则；当时，则， ∴或； 故选C． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及平面直角坐标系点的坐标，熟练掌握相似三角形的性质与判定及平面直角坐标系点的坐标是解题的关键． 10. 如图，点E在正方形 的边 上，将 绕点A顺时针旋转 到 的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与 交于点G，若，，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，旋转得到，三线合一得到垂直平分，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵正方形 ， ∴，， ∵将 绕点A顺时针旋转 到 的位置， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， 设，则：，， 在中，， ∴， 解得：， ∴，故B选项正确． 二、填空题：(每个小题3分，10个小题共30分) 11. 人民网哈尔滨1月10日电，1月10日在黑龙江省政府新闻办举办的“重振雄风再出发－－龙江这一年”系列主题新闻发布会上表示，全省实现旅游收入2683.8亿元，将2683.8亿用科学记数法表示为_________． 【答案】2.683×1011 ． 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数． 【详解】解：2683.8亿＝268380000000＝2.683×1011， 故答案为：2.683×1011. 【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．表示时关键要确定a的值以及n的值． 12. 因式分解：﹣x2﹣4y2+4xy＝_____． 【答案】﹣（x﹣2y）2 【解析】 【分析】先提取公因式﹣1，再套用公式完全平方公式进行二次因式分解． 【详解】﹣x2﹣4y2+4xy， ＝﹣（x2+4y2﹣4xy）， ＝﹣（x﹣2y）2． 【点睛】本题考查利用完全平方公式分解因式，先提取﹣1是利用公式的关键． 13. 某初级中学坚持开展阳光体育活动，七年级至九年级每学期均进行体育技能测试．其中A班甲，乙两位同学6个学期的投篮技能测试成绩（投篮命中个数）折线图如图所示．为参加学校举行的毕业篮球友谊赛，A班需从甲，乙两位同学中选1人进入班球队，从两人成绩的稳定性考虑，请你决策A班应该选择的同学是_________． 【答案】乙 【解析】 【分析】根据折线统计图观察出甲的波动程度大，得出乙的成绩更稳定，即可求解． 【详解】解：由折线统计图可以看出，虚线代表的同学甲的成绩，波动性更大， 所以乙同学的成绩更为稳定． 故答案为：乙 【点睛】本题考查了根据数据的波动进行决策，数据的波动性越小，越稳定，根据图形提取信息是解题关键，此题也可以分别计算甲乙的方差，进行比较． 14. 如图，菱形 的对角线 ， 相交于点O，点E是边 的中点，若，则 的长为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】先根据菱形的性质可得 ，再根据三角形中位线定理即可得． 【详解】解： 四边形 是菱形， ， 点 是边 的中点， 是 的中位线， ． 15. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分即可得答案． 【详解】 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集是， 故答案为： 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，正确得出两个不等式的解集是解题关键． 16. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是，以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为．若点恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点A′的坐标．利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式． 【详解】∵以原点O为位似中心，将线段OA放大为原来的2倍，得到OA'，A（-2，1）， ∴点A的对应点A′的坐标是：（-4，2）或（4，-2）． 设反比例函数的解析式为()， ∴， ∴反比例函数的解析式为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了位似变换、坐标与图形的性质以及待定系数法求反比例函数的解析式，正确把握位似图形的性质是解题关键． 17. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×矢+矢2）．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径 ⊥弦 时， 平分 ）可以求解．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为_____平方米． 【答案】10 【解析】 【分析】根据垂径定理得到，由勾股定理得到，求得，根据弧田面积（弦×矢+矢2）即可得到结论． 【详解】解：∵弦米，半径弦 ， ∴， ∴， ∴， ∴弧田面积（弦×矢+矢2）， 故答案为10 【点睛】此题考查垂径定理的应用，关键是根据垂径定理和扇形面积解答． 18. 如图，小梅把一顶底面半径为的圆锥形小丑纸帽沿一条母线剪开并展平，得到一个圆心角为的扇形纸片，那么扇形纸片的半径为___________． 【答案】30 【解析】 【分析】先求出圆锥底面周长，再根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面周长=2π×10=20π（cm）， ∴，即：r=30， 故答案是：30． 【点睛】本题主要考查弧长公式，圆锥底面周长，掌握圆锥底面周长等于圆锥侧面展开图的弧长，是解题的关键． 19. 如图，点A、B在反比函数的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接 、，则的面积是__________． 【答案】9 【解析】 【分析】设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，AC与OB的交点为点E，证得S四边形EBDC=S△AOE即可得S△AOB=S四边形ABDC，根据梯形的面积公式求解即可． 【详解】如图，设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，AC与OB的交点为点E， ∵A、B的纵坐标分别是3和6， 代入函数关系式可得横坐标分别为4,2； ∴A（4,3），B（2,6）； ∴AC=4，BD=2，CD=3 由反比例函数的几何意义可得S△BOD=S△AOC， ∴S四边形EBDC=S△AOE， ∴S△AOB=S四边形ABDC= ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了反比例函数中三角形面积的求解，要能够熟练掌握反比例函数的性质和几何意义；双曲线上任意一点向x轴或y轴引垂线，则该点、垂足、原点组成的三角形的面积相等，都是． 20. 如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）． 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质对各项进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴a＜0，c＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴﹣=1，即b=﹣2a＞0 ∴abc＜0，故①错误； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0）， ∴根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴a﹣b+c=0，故②正确； 根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故③错误； 由得， 根据图象，抛物线与直线y=﹣1有交点， ∴有实数根，故④正确， 综上，正确的为②④， 故答案为：②④． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解答的关键． 三、解答题：(6个小题，共80分) 21. 计算、化简求值： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，从中选出合适的 的整数值代入求值． 【答案】（1） （2）；当 时，原式 【解析】 【分析】（1）先计算负整数指数幂、零指数幂、特殊三角函数值、二次根式化简，再计算乘法，然后计算加减运算即可； （2）先利用分式的加减乘除进行化简，再从中选出合适的 的整数值，考虑分母不为零的情况，代入求值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴ 的整数值可取， ， ， ， ∵，，， ∴，，， ∴ ， 此时，原式． 22. 某中学开设的体育选修课有篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球，学生可以根据自己的爱好选修其中1门.某班班主任对全班同学的选课情况进行了调查统计，制成了两幅不完整的统计图(图(1)和图(2))： (1)请你求出该班的总人数，并补全条形图(注：在所补小矩形上方标出人数)； (2)在该班团支部4人中，有1人选修排球，2人选修羽毛球，1人选修乒乓球.如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，那么选出的两人中恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球的概率是多少？ 【答案】(1) 50，补全图形见解析；(2)恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球的概率为. 【解析】 【分析】（1）由排球有12人，占24%，即可求得该班的总人数，继而求得足球的人数，即可补全条形统计图； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的2人恰好1人选修排球，1人选修羽毛球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】(1)该班的总人数为12÷24%＝50(人)， 足球科目人数为50×14%＝7(人)， 补全图形如下： (2)设排球为A，羽毛球为B，乒乓球为C.画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中有1人选修排球、1人选修羽毛球的占4种， 所以恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球的概率＝， 【点睛】此题考查扇形统计图，列表法与树状图法，看懂图中数据是解题关键 23. 如图，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，点O在CD上，作⊙O，使⊙O与AD相切于点B，⊙O与CD交于点E，过点D作DF∥AC，交AO的延长线于点F，且∠OAB＝∠F． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若OC＝3，DE＝2，求tan∠F的值． 【答案】（1）见详解；（2）． 【解析】 【分析】（1）由题意，先证明OA是∠BAC的角平分线，然后得到BO=CO，即可得到结论成立； （2）由题意，先求出BD=4，OD=5，然后利用勾股定理求出，，结合直角三角形ODF，即可求出tan∠F的值． 【详解】解：（1）∵DF∥AC， ∴∠CAO=∠F， ∵∠OAB＝∠F， ∴∠CAO=∠OAB， ∴OA是∠BAC的角平分线， ∵AD是⊙O的切线， ∴∠ABO=∠ACO=90°， ∴BO=CO， 又∵AC⊥OC， ∴AC是⊙O的切线； （2）由题意， ∵OC＝3，DE＝2， ∴OD=5，OB=3，CD=8， ∴， 由切线长定理，则AB=AC， 设， 在直角三角形ACD中，由勾股定理，则 ， 即， 解得：， ∴，， ∵∠OAB＝∠F， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，以及三角函数，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出所需的长度，从而进行解题． 24. 为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某实验中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的． （1）求篮球、足球的单价分别为多少元？ （2）学校计划购买篮球、足球共80个，如果购买足球m个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式； （3）在（2）的条件下学校计划总费用不多于7200元，并且要求篮球数量不能低于15个，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？ 【答案】（1）篮球每个100元，足球每个80元；（2）w=-20m+8000；（3）当篮球购买15个，足球购买65个时，费用最少，最少为6700元 【解析】 【分析】（1）设篮球的单价为x元/个，则足球的单价为x元/个，根据用800元购买篮球的个数比购买足球的个数少2个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）购买m个足球，则购买（80-m）个篮球，根据总费用=单价×购买数量列出函数关系式； （3）总费用不多于7200元，并且要求篮球数量不能低于15个，列出不等式组，求出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）设篮球每个x元，足球每个元，由题意得： 解得：x=100， 经检验：x=100是原方程的解且符合题意， 则足球的单价为：×100＝80（元）， 答：篮球每个100元，足球每个80元； （2）由题意得，w=80m+100（80-m）=-20m+8000， 即w与m的函数关系式为w=-20m+8000； （3）由题意可得：， 解得，40≤m≤65， 由（2）得：w=-20m+8000， ∵-20＜0 ∴w随m的增大而减小 ∴当m=65时，w取得最小值，此时w=6700元，80-m=15， 答：当篮球购买15个，足球购买65个时，费用最少，最少为6700元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 25. 如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF． 【问题解决】 （1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）FC＝CD+CE，见解析 【解析】 【分析】（1）在CD上截取CH＝CE，易证△CEH是等边三角形，得出EH＝EC＝CH，证明△DEH≌△FEC（SAS），得出DH＝CF，即可得出结论； （2）过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE． 【详解】（1）证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ECH＝60°， ∴△CEH是等边三角形， ∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝FE，∠DEF＝60°， ∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°， ∴∠DEH＝∠FEC， 在△DEH和△FEC中， ， ∴△DEH≌△FEC（SAS）， ∴DH＝CF， ∴CD＝CH+DH＝CE+CF， ∴CE+CF＝CD； （2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， 过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示： ∵GD∥AB， ∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°， ∴∠GDC＝∠DGC＝60°， ∴△GCD为等边三角形， ∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°， ∵△EDF为等边三角形， ∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°， ∴∠EDG＝∠FDC， 在△EGD和△FCD中， ， ∴△EGD≌△FCD（SAS）， ∴EG＝FC， ∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等边三角形是解题的关键． 26. 如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x＋a（a＜0）与y轴交于点A，与x轴交于E、F两点（点E在点F的右侧），顶点为M．直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，与直线AM交于点D． （1）求抛物线的对称轴； （2）在y轴右侧的抛物线上存在点P，使得以P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求a的值； （3）如图②，过抛物线顶点M作MN⊥x轴于N，连接ME，点Q为抛物线上任意一点，过点Q作QG⊥x轴于G，连接QE．当a＝﹣5时，是否存在点Q，使得以Q、E、G为顶点的三角形与△MNE相似（不含全等）？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线x＝2；（2）；（3）存在，点Q的坐标为（﹣4，27）或（，）或（，）． 【解析】 【分析】（1）y＝x2﹣4x＋a＝（x﹣2）2＋a﹣4，即可求解； （2）求出直线AM的解析式为y＝﹣2x＋a，联立方程组可解得点D的坐标（a，－a）；AC是以P、A、C、D为顶点的平行四边形的对角线，则点P与点D关于原点对称，即P（a，－a），将点P（﹣a，a）代入抛物线y＝x2﹣4x＋a，即可求解； （3）分、两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵y＝x2﹣4x＋a＝（x﹣2）2＋a﹣4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2； （2）由y＝（x﹣2）2＋a﹣4得：A（0，a），M（2，a﹣4）， 由y＝x﹣a 得C（0，﹣a）， 设直线AM的解析式为y＝kx＋a， 将M（2，a﹣4）代入y＝kx＋a中，得2k＋a＝a﹣4， 解得k＝﹣2， 直线AM的解析式为y＝﹣2x＋a， 联立方程组得，解得 ， ∴D（a，－a）， ∵a＜0， ∴点D在第二象限， 又点A与点C关于原点对称， ∴AC是以P、A、C、D为顶点的平行四边形的对角线，则点P与点D关于原点对称， 即P（－a，a）， 将点P（﹣a，a）代入抛物线y＝x2﹣4x＋a，解得a＝或a＝0（舍去）， ∴a＝； （3）存在， 理由如下：当a＝﹣5时，y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，此时M（2，﹣9）， 令y＝0，即（x﹣2）2﹣9＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5， ∴点F（﹣1，0）E（5，0）， ∴EN＝FN＝3 MN＝9， 设点Q（m，m2﹣4m﹣5），则G（m，0）， ∴EG＝|m﹣5|QG＝|m2﹣4m﹣5|， 又△QEG与△MNE都是直角三角形，且∠MNE＝∠QGE＝90°， 如图所示，需分两种情况进行讨论： i）当时，即＝， 解得m＝2或m＝﹣4或m＝5（舍去）； 当m＝2时点Q与点M重合，不符合题意，舍去， 当m＝﹣4时，此时Q坐标为点Q1（﹣4，27）； ii）当时，即＝，， 解得m＝或m＝－或m＝5（舍去）， 当m＝时，Q坐标为点Q2（，）， 当m＝－，Q坐标为点Q3（－，）， 综上所述，点Q的坐标为（﹣4，27）或（，）或（，）． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，平行四边形的性质和判断，相似三角形的判断和性质，综合性强，能力要求高，注意“分类讨论”、“数形结合”数学思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $