第21章 21.2.2 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质-课时4 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（沪科版·新教材）

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，通过复习顶点式转化、平移规律等基础，过渡到综合性质应用，搭建从基础到提升的学习支架，帮助学生系统掌握知识点。 其亮点在于通过一题多解、微专题（如函数值比较的代数法、对称法）和核心素养题，培养学生推理能力与创新意识。例如用距离法分析函数值大小，提升数学思维，学生能掌握多样解题技巧，教师可利用分层练习优化教学。

数 学 九年级上册 HK 1 2 3 第21章 二次函数与反比例函数 21.2 二次函数的图象和性质 4 21.2.2 二次函数 的图象和性质 课时4 二次函数 的图象和性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 把 化为顶点式 1.【2025安徽亳州质检】将二次函数化成 的形 式为( ) A A. B. C. D. 【解析】 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 2.【2025江苏南通质检】把二次函数化为 的 形式，则 ___. 4 【解析】， ，故答案为4. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 知识点2 二次函数 的图象和性质 3.【2026安徽六安质检】关于抛物线 ，下列说法正确的是( ) D A.开口向上 B.对称轴是直线 C.与轴的交点坐标是 D.顶点坐标是 【解析】， 该抛物线开口向下，对称轴为直 线，顶点坐标为，故A，B选项错误，D选项正确.令，则 ， 抛物线与轴的交点坐标为 ，故C选项错误.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 4.【2026安徽阜阳期末】关于的二次函数 的图象 可能是( ) C A. B. C. D. 【解析】当时，.因为，所以， 二次函数图象 与轴的交点在 轴正半轴，故选项D错误； ， 二次函数图象的对称轴为直线 ，所以选项A错误；当时，，而选项B中的 值始终大于0， 因此选项B错误，选项C正确.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 5.【2025安徽合肥包河区期末】当时，函数的值记为 ，已知函数 ，若，且，则 的值为( ) B A.6 B.8 C.10 D.12 【解析】，且， 抛物线对称轴为直线 ， ， .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 6.【2026安徽池州校级质检】定义：关于的函数与 （其中）互为交换函数.如与 互为交换函数.如果 函数的图象的顶点与它的交换函数图象的顶点关于 轴对称，那么 ____. 【解析】由题意得，函数的交换函数为. 函数 的图象的顶点与它的交换函数图象的顶点关于轴对称， 两顶点的 横坐标相同，，解得或2（不合题意，舍去）.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.已知二次函数，当时，随 的增大而增大，则 的取值范围是_______. 【解析】二次函数 的图象的开口向上，对称轴是直线 ，且当时，随的增大而增大，， .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 8.【2026浙江温州质检】已知二次函数的图象经过点 ， . （1）求， 的值及这个图象的顶点坐标. 【解】把，代入中，得 解得 的值为2，的值为3， 二次函数的表达式为 ， 二次函数图象的顶点坐标为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 （2）若点在该二次函数图象上，且到轴的距离小于2，求 的取值范围. 【解】由（1）得二次函数的表达式为，把 代入表达式， 得，把 代入表达式，得 .点在该二次函数图象上，且到 轴的距离小于 2，.又二次函数图象顶点坐标为， . 思路分析 分别把和代入计算函数值，根据点到 轴的 距离小于2，并结合顶点坐标为，即可求出 的取值范围. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 知识点3 二次函数 图象的平移 9.抛物线 经过平移后，不可能得到抛物线( ) D A. B. C. D. 【解析】抛物线 经过平移后，开口方向不变，开口大小也不 变，抛物线经过平移后，不可能得到抛物线 . 故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 10.【2025安徽安庆校级质检】若抛物线 经变换后得到抛物线 ，则这个变换可以是( ) B A.向右平移1个单位 B.向左平移1个单位 C.向右平移5个单位 D.向左平移5个单位 【解析】抛物线， 顶点 坐标是. 抛物线 ， 顶点坐标是 .点向左平移1个单位后得到点， 将抛物线 向左平移1个单位后得到抛物线 .故 选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 11.将抛物线 向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后， 得到的新抛物线的函数表达式是________________. 【解析】将抛物线 向上平移1个单位长度，再向左 平移3个单位长度后所得新抛物线的函数表达式为 ，即 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 提升 1.［中］已知为任意实数，随着的变化，抛物线 的 顶点随之运动，则顶点运动时经过的路径与两条坐标轴围成图形的面积是( ) A A.1 B. C.2 D. 【解析】 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 2.［中］已知二次函数，当 时，此函数最大值与最小值 的差( ) D A.与，都有关 B.与无关，但与 有关 C.与，都无关 D.与有关，但与 无关 【解析】二次函数， 该抛物线开口向上，对 称轴为.当时，当时，二次函数有最小值，为，当 时，二次函数有最大值，为，函数最大值与最小值的差为 .当 时，当时，二次函数有最大值，为，当 时，二次函数有最 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 小值，为，函数最大值与最小值的差为.当 时， 当时，函数有最大值，为，当 时，函数有最小值，为 ，函数最大值与最小值的差为.当时，当 时， 函数有最大值，为，当时，函数有最小值，为， 函数最大值与最 小值的差为.综上所述，此函数最大值与最小值的差与有关，但与 无关.故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 一题多解 设当时，二次函数取得最大值，为，当 时，二次函数取得最小值， 为，， 此函 数最大值与最小值的差与有关，但与 无关.故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 3.【2025安徽安庆质检，中】已知抛物线 ， 抛物线，把，合起来的图形记为 ，把横、 纵坐标都是整数的点称为“整点”，则 上“整点”的个数是_______. 3 030 【解析】 ， ，在上， 为奇数的点是 “整点”，则上有1 011个“整点”；在上，为整数的点是“整点”，则 上有2 019个“整点”，上“整点”的个数是 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 4. 【2026安徽合肥校级质检，中】如图是由抛物线 的一部分及其关于直线 的对称图形组成的爱心图 案，点，是图案与对称轴的两个交点，点，，， 是图案 与坐标轴的交点，且点的坐标为 . （1） ____； 【解析】由题意可知，点和点关于直线对称，.点 在抛物 线上，，解得，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 （2）若点是该图案上一个动点且在直线上方，是关于直线 的对称 点，连接，则 的最大值为_ ____. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 【解析】由（1）得.联立得解得或 ，.由题意设 ，则易得 ， . ，，当时， 有最大值 ，的最大值为，故答案为 . 技巧点拨 平面直角坐标系中，点关于直线对称的点的坐标为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 5.【2026安徽合肥校级质检，中】若二次函数的二次项系数为1，则此二次函数可 表示为，我们称为此函数的特征数，如函数 的特征数是 . （1）若一个函数的特征数为 ，求此函数图象的顶点坐标. 【解】一个函数的特征数为， 此函数的表达式为 ，此函数图象的顶点坐标为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 （2）探究下列问题： ①若一个函数的特征数为 ，将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向 上平移3个单位长度，求平移后的图象对应的函数的特征数； 【解】一个函数的特征数为， 此函数的表达式为 ， 平移后的图象对应的函数表达式为 ，平移后的图象对应的函数的特征数为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 ②若一个函数的特征数为 ，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到 的图象对应的函数的特征数为 ？ 【解】一个函数的特征数为， 此函数的表达式为 .若一个函数的特征数为 ，则此函数的表达式为 ，特征数为 的函数 的图象向左平移3个单位长度，向下平移9个单位长度，才能使得到的图象对应的函 数的特征数为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 刷素养 走向重高 6.核心素养 推理能力 【2026安徽安庆质检，较难】抛物线 的顶 点坐标的纵坐标与抛物线 的顶点坐标的纵坐标之和为4. （1）求 的值； 【解】 ， ，抛物线 的顶点坐标为 ，抛物线的顶点坐标为 .由题意得 ，解得 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 （2）已知为抛物线上一点， 为抛物线 上一点. ①若仅存在一个正数，使得，求 的最大值； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 【解】由（1）知，抛物线. 为抛物线 上一点，.，即 ， ，即.仅存在一个正数 ，使得 ，关于的一元二次方程 有两个相等的正数根， ，即，或.当 时，，，此种情况不符合题意，舍去；当 时，，，符合题意，， .由 题意可得，，.， 当 时， 有最大值，最大值为9. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 ②若，且当时，总有，求 的取值范围. 【解】，且为抛物线 上一点， . ， ，， . ，，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 微专题1 二次函数中函数值大小比较的方法 1.代数法 【2025浙江杭州期中，中】已知三点，， 在抛物线 上，则，， 的大小关系是( ) A A. B. C. D.无法比较 【解析】点，，都在抛物线 上， ，，， . 故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 34 2.对称法 【2025吉林长春校级期中，中】已知点，， 均在二次函数的图象上，则，， 的大小关系为( ) D A. B. C. D. 【解析】二次函数图象的对称轴为直线，则点 关 于直线的对称点为.，抛物线 开口向下， 当时，随的增大而增大.， .故选D. 关键点拨 求出抛物线的对称轴，根据抛物线上点的对称性以及函数增减性进行比较即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 35 3.距离法 【2025福建漳州期末，较难】已知点，， 都在二 次函数的图象上，若， ， ，则下列关于，， 三者的大小关 系的判断，一定正确的是( ) B A.可能最大，不可能最小 B. 可能最大，也可能最小 C.可能最大，不可能最小 D. 不可能最大，可能最小 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 36 【解析】图象的对称轴为直线 . ，，，， 点 到对称轴的距离最大，点到对称轴的距离最小.当 时，抛物线 开口向上，；当时，抛物线开口向下， .综 上，和可能最大，也可能最小， 不可能最大，也不可能最小.故选B. 思路分析 求出函数图象的对称轴，分和 两种情况，根据已知三点到对称轴的距 离大小，结合开口方向分析即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 37 4.中点法 【2025北京东城区调研，中】在平面直角坐标系中， ， 是抛物线 上任意两点，设抛物线的对称轴为直线 . （1）若对于，，有，求 的值； 【解】对于，有，抛物线的对称轴为直线 . 抛物线的对称轴为直线， . （2）若对于，，都有，求 的取值范围. 【解】，，，.又 ， ，点到对称轴的距离更小，则点与 的中点在对称轴的 右侧，，即 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 38 微专题2 二次函数范围问题 1.定轴定范围 【2025陕西西安质检，中】在下列取值范围内求二次函数 的最值. 【解】，抛物线对称轴为直线.当 时，随的增大而增大，当时，随 的增大而减小. （1）全体实数. 【解】在全体实数范围内，当时，函数有最小值 ，没有最大值. （2） . 【解】在的范围内，当时，函数有最小值；当 时， 函数有最大值5. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 39 （3） . 【解】在的范围内，当时，函数有最小值；当 时，函 数有最大值0. （4） . 【解】在的范围内，当时，函数有最小值0；当 时，函数有最 大值12. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 40 2.定轴动范围 【2026安徽合肥校级质检，中】已知二次函数 . （1）当时，有最大值4，求 的值； 【解】， 抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为.当时，有最大值4，当时， 有最 大值4，即，解得或.由题意得 ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 41 （2）当时，有最小值，求 的值. 【解】由（1）可知，抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶 点坐标为.又当时，有最小值，或 .当 ，即时，时，有最小值， ，解 得（舍去）或.当时，时，有最小值 ， ，解得或（舍去）.综上， 的值为 或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 42 3.动轴定范围 【2025江苏苏州期末，中】当时，二次函数 的最大值是，最小值是，若，则 的值是_________. 或 【解析】，抛物线对称轴为直线 ，抛物线开 口向上.①若，即，则当时，，当时， . ，，解得（舍去）.②若 ，即 ，则当时，，当时， . ，，解得或（舍去）.③若 ， 即，则当时，，当或时， ，此 时，不合题意.④若 ，即 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 43 ，则当时，，当时，. ， ，解得或（舍去）.⑤若，即 ，则当 时，，当时，.， ， 解得（舍去）.综上可知，的值是或，故答案为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 4.动轴动范围 【2025安徽芜湖期中，中】已知抛物线 （为常数），当时，与其对应的函数值 的最小值为9，求此时 的抛物线表达式. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 45 【解】，抛物线对称轴是直线 ， 抛物线开口向上. ①当，即时，当时，， ，解 得（负值已舍去），此时的抛物线表达式为 . ②当，即时，当时，， ， 解得 （都不符合题意，舍去）. ③当，即时，当时， ， ，解得（舍去）或 ，此时的 抛物线表达式为.综上，此时的抛物线表达式为 或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 46 关键点拨 注意分三种情况：①当，即时；②当 ，即 时；③当，即 时，根据二次函数的增减性列方 程即可得出 的值，从而可得结论. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 47 $