第21章 全章综合训练-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（沪科版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册“二次函数与反比例函数”核心内容，涵盖图象性质、与方程关系、实际应用等考点，通过“刷中考”“刷章测”衔接真题与综合训练，以对比一次函数等旧知为支架，构建从基础到应用的知识脉络。 其亮点在于精选2025年各地中考真题，结合铅球运动、销售利润等实例，培养学生用数学眼光观察现实问题，通过详细推导过程（如二次函数配方求最值）发展推理思维，以函数表达式、方程建模强化数学语言表达。学生能提升解题与应用能力，教师可依托系统资源高效开展教学。

数 学 九年级上册 HK 1 2 3 第21章 二次函数与反比例函数 4 全章综合训练 5 刷中考 刷章测 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 中考 考点1 二次函数的图象与性质 1.【2025江苏南通中考】在平面直角坐标系 中，五个点的坐标分别为 ，，，，.若抛物线 经过上述五个点中的三个点，则满足题意的 的值不可能为( ) C A. B. C. D. 思路分析 根据已知点的坐标特征和抛物线的对称性得点， 同时在抛物线上或同时不在抛 物线上，然后分情况讨论，即可判断. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 【解析】 抛物线， 抛物线开口向上，对称轴为直线 ，，且， 点， 同时在抛物线上或同时不在抛 物线上.当抛物线过点，，时，把， 代入，得 解得；当抛物线过点，，时，把， 代入，得 解得;当抛物线过点，， 时，把 ，代入，得 解得;当抛物线过点 ， 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 ，时，把代入，得，，把 代入，得 ，解得，把代入，得，解得，， ， 三点不能同时在抛物线上.综上，的值可能为，，，不可能为 ，故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.【2025广东广州中考】若抛物线 的顶点在直线 上，则 的值为_______. 1或 【解析】 ， 抛物线的顶点坐标为 .把 代入，得 ，整理得 ，解得，，的值为1或，故答案为1或 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 3.【2025江苏盐城中考】已知二次函数，当自变量 满足 时， 的取值范围是____________. 【解析】， 抛物线开口向上，对称轴为直线 当时，，当时，， 当 时，的取值范围是，故答案为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 4.【2025安徽中考】已知抛物线经过点 ． （1）求该抛物线的对称轴； 【解】由题意得,,即,所以 , 故该抛物线的对称轴是直线 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 （2）点和分别在抛物线和 上 （， 与原点都不重合）． （i）若，且，比较与 的大小； 【解】由题意知,抛物线的表达式为.因为 ,所以 . 因为抛物线过原点,且点与原点不重合,所以，所以 , 故 . 思路分析 根据题意得出抛物线的表达式，利用 及作差法即可比 较与 的大小. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 （ii）当时，若是一个与无关的定值，求与 的值． 【解】由题意知,,.因为,所以 . 因为两条抛物线均过原点,且,与原点都不重合,所以, ，故 ,即，所以 .依题意知, 是与无关的定值.不妨将和分别代入 ,可得 ,解得 . 经检验,当时,是一个与 无关的定值,符合题意， 所以, . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 考点2 二次函数与一元二次方程的关系 5.【2025安徽中考】已知二次函数 的图象如图所示，则( ) C A. B. C. D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】 抛物线开口向上， 抛物线对称轴在轴右侧， ， 抛物线与轴交于负半轴，， ，故A选项错误.由题图 易知，，，故B选项错误. 抛物线过点 ， ，， .由题 图易知，， ，故C选项正确.由图象可知，当 时，， ，故D选项错误.故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 6.【2025湖北武汉中考】已知二次函数 为常数，且 .下列五个结论： ①该函数图象经过点 ； ②若，则当时，随 的增大而减小； ③该函数图象与 轴有两个不同的公共点； ④若，则关于的方程 有一个根大于0且小于1； ⑤若，则关于的方程 的正数根只有一个. 其中正确的是__________（填写序号）. ①②④⑤ 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 【解析】把代入 ，得 ，故该函数图象经过点 ，故①正确. 当 时，该二次函数图象开口向下，对称轴为直线 ， 当时，随的增大而减小， 当 时，随 的增大而减小，故②正确. ， 该函数图象与 轴有两个不同的公共点或 只有一个公共点，故③错误.由①可知关于的方程 有一个 根为，设另一个根为，，.当时，有 ， 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 即关于的方程 有一个根大于0且小于1，故④正确. 当 时，对称轴为直线， 易得关于 的方程 有两个非正数解，将在 轴下方的 图象沿轴翻折可得函数的图象，如图.令 ，则直线 与 的图象共有四个不同交点，其中只有一个交点横 坐标为正，即关于的方程 的正数根只有一个，故⑤正确. 故答案为①②④⑤. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 考点3 二次函数的应用 7.【2025江苏连云港中考】如图，小亮同学掷铅球时，铅 球沿抛物线运行，其中 是铅球离初始 位置的水平距离， 是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离 地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为___ . 8 【解析】由题意得，.将代入 ，得 ，解得，.令 ，得 ，解得，（舍去），，为 ， 故答案为8. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 8.【2025四川内江中考】2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》 刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品.已知购进A 款200个，B款300个，需花费14 000元；购进A款100个，B款200个，需花费8 000元. （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ 【解】设A款“哪吒”纪念品每个进价为元，B款“哪吒”纪念品每个进价为 元. 由题意得 解得 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 21 （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12 000元的资金购进A、B两 款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ 【解】设需要购进B款纪念品个，则需要购进A款纪念品 个.由题意 得，，解得， 的最小值为200. 答：至少需要购进B款纪念品200个. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 22 （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加 1元，销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价元， 表示该商家销 售A款纪念品的利润（单位：元），求关于的函数表达式，并求出 的最大值. 【解】由题意得，，， 当时， 最大，最大值为4 500. 思路分析 根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为 个， 据此列出关于的函数表达式，再利用二次函数的性质即可求出 的最大值. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 考点4 反比例函数的图象与性质 9.【2025山东德州中考】在平面直角坐标系中，函数 的图象是( ) C A. B. C. D. 【解析】当时，,， 此时图象分布在第四象限.当 时，,， 此时图象分布在第三象限.故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 24 10.【2025山东枣庄中考】如图，在平面直角坐标系中，， 两点 在坐标轴上，四边形是面积为4的正方形.若函数 的图象经过点，则满足的 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 【解析】 四边形是面积为4的正方形， 设点的坐标为 ， ，， 点的坐标为 函数的图象经过点 ， 满足的的取值范围为 ，故选A. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25 11.【2025贵州中考】如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点，过反比例函数图象上点作 轴垂线， 垂足为点，交的图象于点，点 的横坐标为1.有以下结论： ①线段 的长为8； ②点的坐标为 ； ③当 时，一次函数的值小于反比例函数的值. 其中结论正确的个数是( ) C A.0 B.1 C.2 D.3 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 思路分析 求出，两点的坐标进而求出的长，判断结论①；联立两个表达式，求出 点 坐标，判断结论②；利用图象判断结论③. 【解析】 点的横坐标为1，点在的图象上， 过反比例 函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点， , ,故①正确.联立两表达式得解得或（舍去）, 点 的坐标为，故②正确.由图象可知，当 时，一次函数的值大于反比例函 数的值，故③错误.故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 12.【2025北京中考】如图，在平面直角坐标系中，， 分别 是横、纵轴正半轴上的动点，四边形 是矩形，函数 的图象与边交于点，与边交于点 （， 不重合）.给出下面四个结论： 与的面积一定相等； ②与 的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④ 可能是等边三角形. 上述结论中，所有正确结论的序号是( ) B A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 28 【解析】设点坐标为.由矩形的性质和反比例函数中 的几何 意义可知，， ， ，故①正确.如图，过点作轴，交于 ， 连接点坐标为,点坐标为，点坐标为 ， 直线的表达式为，点坐标为，轴， 易得四边形 为矩形，.若，则 , 或，重合. 点在上，不可能平行于, ， ，不可能重合，故和不可能相等,故②错误., ， 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 29 ， ， .,，， 为动 点，故可取,，依次代入可得, ， . ， 为钝角三角形，故③错误.由题意可知，若 为等边三角形，则，,即 ， 解得或（舍去）.当时，， ，解得 或（不合题意,舍去）， ，故存在当 时， 为等边三角形，故④正确.故选B. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.【2025山东潍坊中考】如图（1），点是函数 图象上任 意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点 ，矩形 的周长，当时， 有最小值4；如图（2），点是函数 图象上任意一点，同样 作矩形，它的周长，同理得的最小值为 ；…；点 是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形 ， 它的周长为，则 的最小值为_____. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 31 图（1） 图（2） 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 关键点拨 根据题意，得出规律是解题关键. 【解析】由题意得，当时，有最小值 ； ，当时，有最小值；，当 时， 有最小值；…；，当时，有最小值 ，故答案为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 33 考点5 反比例函数的应用 14. 跨学科综合 【2025江苏连云港中考】某气球内充满了一定质量的气体， 在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积 的反比例函数. 当时，.则当时，________ . 16 000 思路分析 利用待定系数法求出与之间的函数关系式，当时，求出对应 的值即可. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 34 【解析】设与之间的函数关系式为为常数，且.将 ， 代入，得，解得，与 之间的函数关系式为 ， 当时， 故答案为16 000. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 35 章测 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.下列函数在第一象限中，的值随着 的值的增大而减小的是( ) B A. B. C. D. 【解析】A选项，是二次函数，图象开口向上， 轴是对称轴，在第一 象限中，的值随着的值增大而增大，不符合题意；B选项， 是反比例函数， 图象分布在第一、三象限，在第一象限中，的值随着 的值增大而减小，符合题 意；C选项，是一次函数，，在第一象限中，的值随着 的值 增大而增大，不符合题意；D选项， 是反比例函数，图象分布在第二、四象 限，不符合题意.故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 36 2.【2026安徽合肥校级期中】已知二次函数 图象的对称轴 为轴，将此函数图象向下平移3个单位，若点为二次函数图象在 部 分上任意一点，为坐标原点，连接，则 长度的最小值是( ) C A. B.2 C. D. 关键点拨 求得在范围内点的坐标为或时， 的长度最小是解 题的关键. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 37 【解析】 二次函数图象的对称轴为 轴， ，， ，将此函数图象向下平移3个单位，得到抛 物线， 抛物线开口向上，有最小值， 在范围内 的 最大值为， 点坐标为或时， 的长度最小，最小值为 .故选C. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 38 3.【2025安徽合肥庐江校级模拟】已知关于的函数 的图象与坐标轴共有两个不同的交点，则实数 可能的值有( ) A A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【解析】 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 39 4.【2025安徽马鞍山质检】已知二次函数 ，若对于任意实 数，都满足，则 的值是( ) D A. B. C. D. 【解析】当时，，将 代入 ，得 ，化简得 ，即 , .故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 40 5.【2025安徽阜阳校级期中】若实数满足，则下列对 值的 估计正确的是( ) A A. B. C. D. 思路分析 将原方程变形为,则方程的解是函数与函数 的图 象的交点的横坐标，然后作出函数图象，再根据两个函数的增减性确定交点的横 坐标的取值范围. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 41 【解析】， ， ， 方程的解是函数 与函数 的图象的交点的横坐标.如图，当 时，函 数的值随值的增大而减小，函数 的值随值的增大而增大.当 时， ，， 交点横坐标大于 ;当 时，，， 交点横坐 标小于， .故选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 42 6.【2026安徽安庆校级期末】若双曲线的表达式为 ，则阴影面积为2的是 ( ) B A. B. C. D. 关键点拨 掌握反比例函数中比例系数 的几何意义是解题的关键. 【解析】A选项，阴影面积为4，故不符合题意；B选项，阴影面积为 ，故 符合题意；C选项，阴影面积为 ，故不符合题意；D选项，阴影面积为 ，故不符合题意.故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 43 7.如图，直线,都与直线垂直，垂足分别为, ， ，正方形的边长为，对角线在直线 上， 且点位于点处，将正方形沿向右平移，直到点 与点重合为止，记点平移的距离为，正方形 位 于直线,之间部分（阴影部分）的面积为，则关于 的函数图象大致为( ) B A. B. C. D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 44 【解析】正方形对角线.①当 时，如图（1）.设平移后的 正方形交直线于点，，则，为等腰直角三角形，故 ， 则 ，其图象为开口向上的抛物线的一部分. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 45 图（1） 图（2） ②当时，如图（2）.设平移后的正方形交直线于点，,交直线 于点 ，，则，均为等腰直角三角形，则 ， 该函数图象为开口向下的抛物线的一部分. ③当时，同理可得 ，该函数图 象为开口向上的抛物线的一部分.故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.【2026安徽安庆校级质检】在平面直角坐标系中，将横、纵坐标和为18的点称 为“乾坤点”,例如:， 都是“乾坤点”.若某函数图象上存 在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”.下列说法正确的是( ) D A. 是“乾坤点” B.函数 的图象上存在2个“乾坤点” C.函数 是“乾坤函数” D.若“乾坤函数”（， 为常数）图象上有且只有1个“乾坤 点”，则“乾坤点”的坐标为 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 47 【解析】A选项，， 不是“乾坤 点”，故选项A错误选项， 函数 的图象上存在“乾坤点”， ，解得， 该图象上的“乾坤点”为， 函数 的图象上存在1个“乾坤点”，故选项B错误 选项，若函数 是“乾坤函数”，则 ，即 ，， 方程无实数根， 函数的图象上不存在“乾坤点”， 函数 不是“乾坤函 数”，故选项C错误选项，是“乾坤函数”， ，化简 得 该“乾坤函数”图象上有且只有1个“乾坤点”， 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 48 有两个相等的实数根， ， ， 方程为，解得， ， “乾坤点”的坐标为 ，故选项D正确，故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 9.【2026安徽合肥蜀山区校级质检】一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形 喷水装置，喷头 向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下， 水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 ， 则水流喷出的最大高度是___ . 【解析】 水流喷出的高度与水平距离 之间的关系式是 ， 抛物线的顶点坐标为， 水流喷出 的最大高度是，故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 50 10.【2025江苏南京质检】如图，某药剂在空气中的浓度 与时间 之间先满足正比例函数的关系，再满 足反比例函数的关系，且当时，有最大值，最大值为 , 则当时， 的值是_______. 8或18 【解析】设正比例函数的表达式为，则，解得， 正比例 函数的表达式为.设反比例函数的表达式为，则 ，解得 ， 反比例函数的表达式为.当时，把代入 ， 得，解得.当时，把代入，得 ，解得 .综上，当时， 的值是8或18.故答案为8或18. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 51 11.已知抛物线与轴交于点，（点在轴正半轴上），且 . （1）此抛物线的顶点坐标为________； 【解析】令，则，解得或 点在 轴正半轴上， ，，，， 抛物线的表达式为 ， 抛物线的顶点坐标为 ，故答 案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 52 （2）若点为抛物线上一动点，作 轴，交一次函数 的图象于点，当时，的长度随 的增大而增大， 则 的取值范围是______. 关键点拨 分和两种情况，分别求出不同情况下的长度与 的关系式是解 题的关键. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 53 【解析】由（1）得.一次函数图象过点时， ， 解得.此时一次函数与二次函数的图象的另一个交点为.由 ， 得.当 时，如图（1），此时 ， 上述函数图象 的对称轴为直线. 当时，的长度随 的增大而增 大，，解得.当 时，如图（2），此时 ，当 时，易知不符合题意；当 时，此时该函数图象的对称轴 为直线. 当时，的长度随 的增大而增大， ，，不符合题意，舍去，故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 54 图（1） 图（2） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 55 三、解答题（本大题共3小题，共45分） 12.如图，反比例函数的图象与直线 相 交于点，过直线上点作轴于点 ，交反比例函数图 象于点，且 ． （1）求 的值. 【解】，轴，，， ， .将点坐标代入反比例函数表达式得 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 56 （2）在轴上确定一点，使点到，两点距离之和 最小，求点 的坐标． 【解】，.如图，作点关于 轴的对称点 ，连接交轴于点，此时 最小， .设直线 的表达式为 ，则解得故 的表达式为 . 当时，，故点的坐标为 ． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 57 关键点拨 本题第（2）问为“将军饮马”模型. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 58 13.【2026安徽六安校级质检】已知抛物线 的顶点纵坐标比抛物线 的顶点纵坐标小8. （1）求 的值. 【解】抛物线的对称轴为直线，把 代入 ，得， 函数 顶点的纵坐 标为.抛物线的对称轴为直线，把 代入 ，得， 抛物线顶点的纵坐标为 ， ， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 59 （2）点在抛物线上，点 在抛物线 上. 【解】 点在抛物线上， 在 抛物线上， ， ， . ①若，求 的最小值； 【解】将代入 ，得 .， 当时，取最小值，为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 60 ②若，且，，求 的值. 【解】，， ， ，或，， ， ， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 61 图（1） 14.【2025安徽六安金安区校级调研】如图（1），抛物线 经过，两点，与轴交于点， 为第四象限内抛物线上一点，连接， . （1）求抛物线的函数表达式； 【解】 抛物线经过， 两点， 将点，的坐标代入,得解得 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 62 （2）设四边形的面积为，求 的最大值； 【解】如图，过点作轴于点.令 ，则 ，， .设点 ， ， . ，，， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 63 ，, 当时， 有最大值，最大值为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （3）如图（2），过点作轴于点，连接，，与轴交于点 .当 时，求直线的函数表达式及点 的坐标. 图（2） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 65 【解】轴，轴， ， ，， ， .设，则， ， ，，.设直线的表达式为，把， 代入,得解得.令 ， 解得，， 点的横坐标为.把代入 ,得 ， 点的坐标为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 66 思路分析 由题意得,结合得到，则 ，设 ，则，解方程即可求出 点的坐标，再利用待定系数法求 出直线的表达式，进而即可求出点 的坐标. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 67 $