第21章 21.4 二次函数的应用-课时2 拱形建筑问题-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（沪科版·新教材）

该初中数学课件聚焦二次函数的应用之拱形建筑问题，通过桥拱、隧道等实际场景导入，衔接二次函数表达式知识，以建立坐标系、待定系数法求解析式、代入计算高度或距离为学习支架，帮助学生掌握解题脉络。 其亮点在于题型分类（基础、提升）结合真题模拟，通过拱桥高度计算、隧道货车通行等实例，培养学生的几何直观（数学眼光）、推理能力（数学思维）和模型观念（数学语言）。采用问题驱动与技巧总结（如坐标系建立原则），助力学生提升实际应用能力，教师可借助WPS编辑和超链接跳转功能优化教学。

数 学 九年级上册 HK 1 2 3 第21章 二次函数与反比例函数 4 21.4 二次函数的应用 课时2 拱形建筑问题 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 利用二次函数解决建筑（拱桥）问题 1.【2026安徽合肥蜀山区校级期中】如图，一桥拱呈抛物线形，桥的最大高度 是8米，跨度是16米，在上距离 处6米的地方，桥的高度是___米. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 【解析】 建立平面直角坐标系，如图所示.由题意可得，点的坐标为，点 的坐标为 ，设抛物线的表达式为，代入点 ，得 ，解得， 抛物线的表达式为 .令 ，则， 点的横坐标为10，将代入 ， 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 得，即在上距离处6米的地方，桥的高度是 米， 故答案为 . 思路分析 先建立合适的平面直角坐标系，然后求出抛物线的表达式，再将 代入表达 式求出相应的 的值即可. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2.有一座抛物线形拱桥，正常水位时 宽20米，水 位上升3米就达到警戒线 ，这时水面宽度为10米. （1）在如图的坐标系中（1米为1个单位长度），求 抛物线的表达式. 【解】由题可设抛物线表达式为.设，则.把， 的坐 标分别代入，得解得 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 （2）水位到警戒线后，再过多少小时能到拱桥顶？（水位以每小时0.2米的速度上升） 【解】由（1）知， 拱桥顶到的距离为1米.（时）， 再 过5小时能到拱桥顶. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11 知识点2 利用二次函数解决建筑（隧道）问题 3.【2025安徽六安金安区校级调研】如图是某抛物线形的 隧道示意图，已知此抛物线的函数表达式为 ， 为增加照明度，在该抛物线上距地面米的点， 处要 安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离 是_____米. （用含根号的式子表示） 【解析】把代入，得，解得 ， ，（米）.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 4.有一辆宽为 的货车（如图（1）），要通过一条抛物线形隧道 （如图（2））．为确保车辆安全通行，规定货车车顶左右两侧离隧道内壁的垂直 高度至少为．已知隧道的跨度为，拱高为 ． 图（1） 图（2） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 （1）若隧道为单车道，货车高为 ，该货车能否安全通行？为什么？ 【解】货车能安全通行．理由如下：建立如图所示平面直角坐标系. 设抛物线的函数表达式为.将代入得 ，解得 ， 抛物线表达式为,当 时， ， 该货车能够安全通行． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 （2）若隧道为双车道，且两车道之间有 的隔离带，通过计算说明该货车能 够通行的最大安全高度． 【解】时，， 货车能够通行的最大安 全高度为 ． 技巧总结 同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系 能简化求解过程.因此，建立平面直角坐标系时，以方便求解为原则. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 知识点3 其他拱形建筑问题 5.【2026安徽安庆模拟】某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一 个如图（1）所示的抛物线形拱门入口.要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之” “星”（分别记作点，，，）四个大字，要求与地面平行，且 ， 抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，， ，如 图（2）所示，则点到 的距离为( ) B 图（1） 图（2） A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 【解析】 . 建立如图所示的平面直角坐标系.由题意可得点的坐标为，点 的坐标为 ，点的坐标为.设抛物线表达式为，将 代入，得，解得， .易 得点的横坐标为2， 点的纵坐标为， 点 到 的距离为 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 17 提升 1.【2026安徽合肥质检，中】一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面为抛物线形， 大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体 上（墙体足够高），其横截面 有2根支架，，相关数据如图（1）所示，其中 . 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 1 2 18 （1）在图（1）中以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，点 为 抛物线顶点，求抛物线的表达式； 【解】由题意可得，，.设抛物线表达式为 ，把 代入，得，解得， 抛物线的表达式为 . 思路分析 由题意得，， ，再把函数表达式设为顶点式，接着利用待定系数法求 解即可. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 19 （2）为增加棚内空间，拟将图（1）中棚顶向上调整，如图（2），此时 米， ，求调整后的抛物线表达式（建立平面直角坐标系的方式与（1） 相同）； 【解】，，， ， ，，， . 设调整后的抛物线表达式为，将，， 代入， 得 . 刷提升 返回目录 1 2 1 2 20 （3）大棚变化前后最大高度差是多少？ 【解】设大棚变化前后的高度差为 米.由题意得， ., 当 时，有最大值，最大值为.故大棚变化前后最大高度差是 米. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 21 2.【2026安徽亳州质检，较难】【项目式学习】 根据以下素材，完成任务. 如何设计游乐园的抛物线形拱桥 素材1 如图（1），某游乐园计划在水面 上方搭建一座 抛物线形拱桥， ，桥拱最高处距离水面 .在实际搭建时，需在拱桥下方安置两个桥墩进 行支撑，为了美观，要求两个桥墩露出水面的高度 相等，即 图（1） 刷提升 返回目录 1 2 1 2 22 如何设计游乐园的抛物线形拱桥 素材2 如图（2），要在上方设计一个面积为 的 矩形广告牌，要求矩形广告牌的一边落在 上，即点，在 上，矩形广告牌长、宽均为整 数，且矩形广告牌关于拱桥的对称轴对称 续表 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 1 2 以的中点为原点，水面所在直线为轴，过中点且垂直于的直线为 轴 建立平面直角坐标系，解决下列问题： （1）求抛物线的函数表达式. 【解】由题意可得拱桥最高点的坐标为 ，故设抛物线表达式为 ，，,.将 代入，得,解得, 抛物线的函数表达式为 . 刷提升 返回目录 1 2 1 2 24 （2）若两个桥墩露出水面的高度为 . ①求它们的距离（不考虑桥墩的宽度）； 【解】令，则，解得，， 两个桥墩之 间的距离是 刷提升 返回目录 1 2 1 2 25 ②拟定广告牌的设计方案，并求出矩形广告牌左上方顶点的坐标. 【解】 矩形广告牌的面积为，且长、宽均为整数， 矩形广告牌 有下列6种设计方案（前面的数字代表矩形广告牌落在 上的长度，即 的长度）；；；；； 拱 桥的最高点到的距离为， 方案①②③不符合题意. ， 方案⑥不符合题意.对于方案④：当 时， ,此时矩形广告牌 的最上边距离水面的高度为 ， 方案④符合题意，此时矩形广告牌 左上方 刷提升 返回目录 1 2 1 2 26 顶点的坐标是.对于方案⑤：当时， ，此时 矩形广告牌的最上边距离水面的高度为， 方 案⑤符合题意，此时矩形广告牌左上方顶点的坐标是 .综上所述，方 案一：矩形广告牌的长为，宽为，左上方顶点的坐标是 ；方案 二：矩形广告牌的长为，宽为，左上方顶点的坐标是 . 刷提升 返回目录 1 2 1 2 易错警示 注意分情况讨论：矩形广告牌 有下列6种设计方案（前面的数字代表矩形广告 牌落在上的长度，即的长度）；； ； ；； .将6种方案逐一分析，进行取舍. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 28 $