浙江省杭州市2025-2026学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

2025学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学学科参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 y 2 3 5 6 个 C B c A D D B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.BD 10.ABC 11.ACD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12.2 13. 14.2W5 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(1)因为f)=9sin(4x+孕， 所以f)的最小正周期为 --7分 (2》当x∈0，那时，s+经≤票则sim(x+)e[-盟： 所以f)∈[-， ----13分 1.(1)因为PD2+CD2=PC,所以PD⊥CD, 又平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,PDC平面PCD, 所以PD⊥平面ABCD. 所以PD⊥BC ----5分 z (2)因为AC=PC,所以AD⊥CD,如图建系直角坐标系， 所以D0,0,0),A0,2,0),B(2,2,0),C(4,0,0),P0,0,2) (i)因为cB=(-2,2,0),C0=(-4,0,20, 则直线BC的一个单位方向向量为。=(-号，号，0)， 点Q到直线Bc的距离d=cQ2-(cde}=3,解得1=号 ----10分 (ii)已知平面PAD的一个法向量为m=(1,0,0), 设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z), 由nc币0.，取=a,1,2》. n.CB=0 所以os<m,心=看 ----15分 17.(1)设P:)则y6=1+号 所以PB-Vo-P+万=(。-)+(w∈R). 即当=封，PBm四 ---5分 (2)设：x=m+1与C:--1联立，有4-m2-2-5=0, 由△=80-16m2>0,得m∈(-√5，V5), 设M,0.,以.则n十功==子克<0， -5 得m∈(-2,2)， 呢+好是+号=2m+片+片=， ----10分 y2 (①当号+号=0时，m=0,直线1的方程为x=1: ----13分 (ii)因为直线OM,ON存在斜率，所以m≠±1， 故m∈(-2，-1)U(-1,1)U(1,2), 所以号me(-台，-)u(-号影u(g,), 哈+的取值范围(-，-)u(-,3)u(层， ，-15分 18.(1)由题知f()=co x2 又f⑩=0，f(回=-是 所以切线方程为y=-x-四，即y=-x+1. .-4分 (2）令p6)=9=司 则 p(π-x)=nr-2=s血x m-xr为=p(), 所以曲线y=四关于直线x=亚对称： -8分 π-x (3)(i)先求b的最小值 由愿知<b,令p()=时 由于y=()关于直线x=对称，故只需考虑x∈(0，)即可. 则p()）=二2+s+-msnx,令u()=(-x2+w)cosx+(2x-Dsix, x2(π-x)2 则μ(x)=(x2-x+2)sinx, 由4)=0，得x=层-2.=+厚-2 ()在(0，x)上单调递增，在(x1,)上单调递减， (=0,4(0)=0, 所以当x∈(0，)，μ(y)>0,p)>0,)单调递增， 所以()≤p(月=寺即b的最小值为 -----13分 (ii)再求a的最大值， 由题意，x∈(0，m,ax(π-x)<sinx恒成立，令g(x)=ax(m-x)-sinx,x∈ [0,, 因为g(0)=0,所以g(0)≤0，即a-1≤0，即a≤ 下面证明a=时，g(x)=二x(m-x)-six<0恒成立， 易知y=g(x)关于x=对称，故考虑x∈(0，)即可， g=1-2刘-cosx:g()=-是+sinx: 9)=-是+simx=0在0，引必有一解x, 且g(x)在(0，x)递减，在(x1,递增 又g(o)=9(月=0，所以g()≤0，从而g)≤g(0)=0. 即sinx≥x(r-刘，xeo,: 所以a的最大值为号 -17分 19.（1)恰好得2分为第一次取到黄球，或者第一次与第二次均取到红球， 故恰好得2分的概率为+×品 --4分 (2)在取球过程中不得到分只有一种可能：得n一1分后取到黄球得2分， 因此1-w-1,≥2，而p1=是且pn-=-(0n-1-)p1-身=-品 故p=+(-, ----10分 (3)由题知因为X~B(2,),所以E(X)=2 由Y=0,1,0,3,0,2n-1,0. 得m=1c.(份'（目”+3-c.(目月-++2m-)-c路目）目 =[C2n32m1+3C2n32m3+…+(2n-1)C28-13] 因为kC吃n=2nC吃n,所以E()=(C8n-132n-1+C3n-132m-3+…+C然=73)， 又(3+1)2m-1=C9n-132m-1+C5n-132m-2+C号n-132m-3+…+C2231+C130, (3-1)2m-1=C9n-132m-1-Cn-132m-2+C3n-132m-3-…+C331-C330, 所以C吲-132咖1+C经-132n-3+…+c2路-331=2- 2 故0的=器产=(+)： 2 所以器=+c( -17分2025学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测 数学试题卷 考生须知： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，请核对考生条码信息，确认无误后，将条码贴在答题卡上的“条码粘贴处”，并将自 己的学校、姓名、试场号、座位号填写在答题卡相应的位置上。 3.回答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择題时，用黑色水笔将答案写在答题卡相应的答题 区内。答案写在试题卷上一律无效。 4.考试结束，将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.已知i为虚数单位，则复数3(1-i)在复平面内对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.下列样本数据散点图中，变量x和变量y的样本相关系数分别为r1,r2,r3,则( y 3 2 2 1 0 0 1 - -2 -2 -2 34二支024元 34 024 相关系数r1 相关系数r2 相关系数r3 A.r1<r2<r3 B.T3<r2<r1 C.r2<r3<r1 D.r3<r1<r2 3.已知函数f(x)=3z+x3,则“x1=x2”是“f(x1)=f(x2)”的( A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.以A(1,1),B(2,一2)为直径的圆的方程是( ) A.x2+y2-3x+y=0 8+-3x-y-景-0 5 C.x2+y2+3x+y=0 D2+y-3z+y-号=0 5.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的顶点都在球O上，若∠ABC=90°，AA1=5,AB=3,BC=4, 则球O的表面积为(·) A.169π B.120π C.100π D.50π 6.已知x=3是函数f(x)=x(x-a)2的极小值点，则( A.f(x)-f(-x)=0 B.f(1+x)-f(1-x)=0 C.f(2+x)-f(2-x)=2 D.f(2+x)+f(2-x)=4 7.设x1,x2是函数f(x)=3sinx+4cosx-2的两个不同的零点.若x1一x2≠k(k∈Z),则tan (x1+x2)=(） A-9 B. c号 D.-4 8.从如图所示的4×4方格表中随机选4个方格，要求每行和每列均恰 0 0 0 0 有一个方格被选中，则事件“选中方格中的4个数之和为一1”的概 0 0 率为() B含 0 0 0 c立 D话 (第8题) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知事件A,B的对立事件分别记为A,B,若P(AB)=合，P(A)=,P(B)=子，则() A.事件A与B互斥 B,P(B)=日 CPA+B)-哥 D.P(AIB)=克 10.已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为S.,且an+上=2S.,则( ) an A.a1=1 B.S%+S2+2=2S%+1 C.an >an+l D.S,S+2=2 S+1 11.在区块链中，常用椭圆曲线进行加密.已知椭圆曲线T:y2=x3-x十1，则( ) A曲线T关于x轴对称 B.曲线T与x轴有两个交点 C曲线T上点P(z,)(z>0)到r轴的最小距离不小于写 D.曲线T上点P到原点的最小距离为√6⑥ 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 12.《莱茵德纸草书》记载：把30个面包分给5个人，使得每人所得面包个数成等差数列，且 较大的三份之和是较小的两份之和的4倍，则最小的一份为 13.如图，在圆锥PO中，AB,CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E 是母线PB的中点.已知平面CDE与圆锥侧面的交线是抛物线的一 部分，设该抛物线的焦点为F.若PA=AB=2,则|EF|= 14.已知空间向量a,b,c满足a·c=b·c=2,|a|=|b|=1,lc|=6, <a,b>=120°，则Vx,y∈R,lc-xm-b|的最小值为 (第13题图) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知空间向量a=(cos2x,克，0)，b=(sin2z,cos4z,1),设函数f(x)-a·b, (1)求f(x)的最小正周期； (2)当x∈[0，]时，求f(x)的值域 16.(15分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD,AB∥CD,AB=AD=PD=2, PC=2√5，CD=4. (1)证明：PD⊥BC; (2)若AC=PC, (i)设D范=λD巾(？>0)，点Q到直线BC的距离为3，求λ的值； (ii)求平面PAD与平面PBC的夹角的余弦值， B (第16题图) 17.(15分) 已知双曲线I:y-苦=1，过点B(1,0)的直线1与r的上、下两支分别交于点M,N (1)若点P是T上的动点，求PB|的最小值； (2)设O为坐标原点，直线OM,ON的斜率分别为k1,k2, ①若名，+场=0，求直线1的方程： (①求名+号的取值范国 18.(17分) 已知函数f(x)=sinr x (1)求曲线y=f(x)在点M(π，0)处的切线方程； (2)证明：曲线y=是轴对称图形； π一父 (3)若Hx∈(0，)，a(π-x)≤f(x)≤b(π-x)恒成立，求a的最大值和b的最小值. 19.(17分) 口袋中装有形状、大小完全相同的4只小球，其中红球1只、黄球3只.现从口袋中有放 回地取球，每次取出1球，取到红球得1分，取到黄球得2分， (1)在取球过程中，记事件“恰好得n分”的概率为pn(n=1,2,3,…), (i)求2； (i)求pn; (2)若共取球2n次(n∈N"),X表示2n次取球中取到红球的次数，记 X,X为奇数， Y- 0,X为偶数 求证：贸<是