浙江宁波市2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试题

绝密★启用前 宁波市2025学年第二学期期末考试 高二数学试题卷 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题 卡上。将条形码横贴在答题卡“贴条形码区”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标 号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试题卷上的答案无效。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和 涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁，不要折叠、不要弄破。 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.复数1在复平面内对应的点位于 1+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若集合A={-2,-1,0,1,2,B={x|x=3k-1,k∈Z公，则A∩B= A.{-2,1} B.{-1 C.{-1,2} D.{-1,0,1} 3.已知a,b∈R,则“a+b<0”是“a<0且b<0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.从{，，，这五个数中随机取两个数，则其中一个是另一个两倍的概率为 2'4'81632 A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7 5.平面向量e(1,0),e2 13 2’2 则e+2e与-3+e,的夹角为 A.45 B.60° C.120° D.135° 数学试题第1页共4页 6.若tanatan B-√2tana+√2tanB+l=0,则tan(2a-2B)的值为 A.2 B.2 C.22 D.4 7.某生物种群数量N与时间1之间的关系可以由函数N=f(t) 刻画， 1+ K-No e-m N。 其中常数N,(N。>O)表示该种群数量的初始值，常数K(K>2N)表示该种群环境容纳量， 常数r(r>0)表示内禀增长率，则 A存在6>0，使得画数0在区同0)的图象是中心对称图形，且/侣)令 B存在(>0，使得函数f0在区间06)的图象是中心对称图形，且/传今 C.存在。>0，使得函数f(t)在区间(0，)的图象是中心对称图形， D.不存在。>0，使得函数f()在区间(0，)的图象是中心对称图形 8.中国茶文化源远流长，茶壶造型千姿百态.比如起源于巴蜀茶馆的长嘴壶（图1），其 细长的壶嘴能隔座注水，既美观又具实用之妙.如图2，一个长嘴壶，壶身视为圆柱，壶 嘴视为直线且不计容积，壶底直径16厘米，壶身高12厘米，壶嘴长40厘米，与壶身夹角 为60度，壶嘴最低点连接壶底.若将壶身向壶嘴方向转15度时，刚好可以使壶中的水倒出， 则将茶壶水平放置时壶中的水面高度为 60 D 16 A (第8题图1) (第8题图2) A.48-24V5 B.64-32√5 C.36√5-54 D.40√5-60 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设直线m,,1是三条不同的直线，平面α，B是两个不同的平面，则下列四个命题中正确 的有 A.若m/m,n⊥a,则m⊥a B.若ml/a,nlB,mln,则allB C.若m⊥n,m⊥l,nca,1ca,则m⊥aD.若m⊥a,n⊥B,m⊥n,则a⊥B 数学试题第2页共4页 10.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)为偶函数，且f(x+2)=-f(x),则 A.函数f(x)为偶函数 B.函数f(x)为周期函数 C.函数f(x)的图象关于直线x=1对称 D.函数f(x)在[0,2026]内至少有1013个零点 11.已知点E,F分别是平面四边形ABCD边AD,BC的中点，且AB=√2，EF=1, CD=5,则 A.AB+DC=2EF B.AB.DC=_1 2 C.C-BD-AD-- D.AC"+BD"=4B"+BC"+CD"+Da" 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2x-1,x≥0 12.函数f(x)= ,则f(f0)=▲ 3x2,x<0 13.A,B是两个相互独立的随机事件，且P(4)=0.6,P(B)=0.5,则P(AUB)=▲一 14.若对任意的pC0牙，函数f)=mox+oo>≥0)在区间[上单调递增， π 则正实数o的取值范围是▲一· 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)某市1000名学生在某次数学竞赛中的成绩的频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中a的值： ◆频率组距 (2)估计这次数学竞赛成绩的中位数和平均数： 6a (精确到0.1) 3 2a (3)估计这次数学竞赛中63分以上的人数， 5060708090100成绩（分） (第15题图) 数学试题第3页共4页 16.(15分)在△BC中，角4BC所对的边分别为a,b.c,满足，。=+-C 2b-a b2+c2-a2 (1)求C; (2)若a=8,c=7,求△ABC的面积 P 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=1, BC=2,∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD,AD⊥CD. (1)求证：PB⊥AC; (2)若PA=√3，且二面角A-PC-D的大小为45°， (i)求直线PB与平面ABCD所成角的大小： (i)求AD的长 (第17题图) 18.(17分)己知定义在R上的函数f(x)=log(9-a3x+3)(a∈R) (1)若f()=1+2log2,求证：f(x)>x对任意x∈R成立： (2)给定函数y=g(x),若x满足方程g(x)=x,则称x,是y=g(x)的一个“不动点”. 若函数f(x)在[-l,上仅有一个“不动点”，求a的取值范围.。 19.（17分)已知函数/)-mrt 2*-sin0 aosx+a+a≠0，aeR).&6)=2=+os0eR). (1)求证：f(0)≤2： (2)若对任意00引， 存在x∈[0，刂，使得g()≥b,求实数b的最大值： (3)记f(x)的最大值为M,最小值为m.解关于0的不等式：g(O)≤M·m. 数学试题第4页共4页 宁波市2025学年第二学期期末考试 高二数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B C C A B 二、选择题： 本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AD ABD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.3 13.0.8 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解析：(1)由题意得(2a+3a+7a+6a+2a×10=1,解得a=0.005;-----3分 (2)由(1)得成绩落在[50,60)的频率为0.1，落在[60,70)的频率为0.15， 落在[70,80)的频率为0.35，落在[80,90)的频率为0.3，落在[90,100)的频率为0.1， 则中位数为70+10×05-01-015≈771， 0.35 平均数为55×0.1+65×0.15+75×0.35+85×0.3+95×0.1=76.5；----------8分 (3)设p为63分以上的频率，n为63分以上的人数， 则p=70-63x0,.15+0.35+0.3+0.1=0.855,n=1000p=855, 10 故63分以上的人数估计为855人. -13分 数学答案第1页共5页 16.解析：(1)由余弦定理，得a2+b2-c2=2 abcosC,b2+c2-a2=2 bccos A, 从m6。号-流- ..2bcosC=ccos A+acosC 2sin BcosC sinC cos A+sin AcosC=sin(A+C)=sin B snB>0..C-又ce@动，所以C 3 6分 (2)由余弦定理，得c2=a2+b2-2 abcos C, :a=8c=7,C=胥六-8勋+15=0，解得6=3或6=5， 当b=3时，absinC=65:当6=5时，SabsinC=105. 综上，△ABC的面积为6√5或105 -15分 17.解析：(1)因为PA⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,所以PA⊥AC, 又因为AB=1,BC=2,B=60°，所以AC⊥AB, 又PAOAB=A,故AC⊥平面ABCD,故PB⊥AC: 4分 (2)(i)因为PA⊥平面ABCD, 由线面角的定义知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成角的平面角. 又因为an∠PBA=4-5,故线面所成角的大小为60°： -9分 AB (i)因为AD⊥CD,AP⊥CD,AP AD=A,所以CD⊥平面PAD. 过A作垂线AH⊥PD,垂足为H, 又AH⊥CD,PDOCD=D,所以AH⊥平面PCD. 过A作垂线AM⊥PC,垂足为M, M 由三垂线定理的逆定理知：∠AMH为二面角A-PC-D的平面角， H 22 D 故sin∠AMH=AH-V巨 Ak- AM 2 B 因为A=6 ,所以=5 ,解得AD=1. -15分 数学答案第2页共5页 18.解析：(1)由f()=1+2log,2,得1og,(9-9a+3)=log,12, 从而a=0,此时f(x)=log(9+3)满足条件 f(x)-x=log,(9+3)-x=log,3 3*+3 ≥2， -25>1,-x=g3+}e1-0 故f(x)>x对任意x∈R成立； --7分 2)由了)的定义域为R,得9-a3严+3>0恒成立，即a<+,恒成 3 设函数f(x)在[-1，上的“不动点”为m,则f(m)=m, 即e-03+刃m:整理得=护+子-1，me训 令r=1,me则[3 则0=1+？-1在G上单调递减。[5.习]上单调选增。 又h5)=3,A=25-1. 所以若=如与0的图象在[号习]上仅有一个交点，则3<知s曾或知-25-1， 又a<25 所以1<a<2 或a25 3 综上，实数a的取值范围是 -9 -17分 19.解折：(1D因为f0-2=。1-2=-a+s0,所以f0)≤2.-3分 a2+a+1a2+a+1 2》设1=2，则1e2小，且g创={m9 =h(0. +cos0 t 数学答案第3页共5页 注意到h(的分子和分母恒大于等于0，且当1=2时，h()的分子最大，分母最小， 所以g(x)x=h(2)= 2-sine 1 +cos0 由题设，只需对任意( 有 2-sin0≥b成立. 1 +cos0 令T= 2-sin0 1 显然T>0,且sim0+Tc0s0=2子 2+cos日 即7(0+)-2子共中m0=I00引 2、7 由sin(0+p ≤1， 解得7≥4+2正，或T≤4-2店（舍去）. 1+T 3 3 当0+p=号时，可取等号成立所以，T=4+2 3 故6s4+2 ,即实数6的最大值为4+2厅 -9分 3 3》设/-4-y,则smtG+1es+忙+g asinx-aycosx=(a2+1)(y-1), 即Va1+y2)sin(x+p)=(a2+y-),其中ano=-y. 由lsin(x+o= (a2+1y- 匠(1+y丙 ≤1，得(a+)(-≤a㎡(+） 即(a+a+1)y2-2(a2+1)y+(a+a2+≤0，所以Mm=1. 由g0-m01,得sn0+am0200这里显然有am0-1.即6sm0引}0. 则6+e+2,ke,即0[+2a子+2akez。 数学答案第4页共5页 故原不等式的解集为 --17分 数学答案第5页共5页