08-第二章 一元二次方程-4 一元二次方程的应用-课时1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（北师大版·新教材）

这是一份初中数学九年级上册北师大版的课件资料，聚焦一元二次方程的应用，包含刷基础、刷提升、刷素养模块，涵盖几何图形、数字、动态等问题，配有各地期末及质检真题、详细解析和思路分析，适合期末复习使用。 资料特色突出，注重核心素养培养，通过全运会胜场数、建党纪念日月历表等实际情境题目，引导学生用数学眼光观察现实世界，动态问题中通过运动变化分析培养推理能力，解析步骤清晰助力学生掌握模型思想，能帮助学生提升解题能力，为教师教学提供丰富实例和思路支持。九年级学生面临升学考试，需重点关注中考考点，该资料通过真题演练和分层训练，帮助学生巩固基础、提升能力，适应升学要求。

数 学 九年级上册 BS 1 2 3 第二章 一元二次方程 4 4 一元二次方程的应用 课时1 一元二次方程在实际问题中的应用（1） 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 几何图形问题 1.【2025黑龙江齐齐哈尔校级期末】从一张正方形铁皮上截去 宽的一个长方 形（长方形的长与正方形铁皮的边长相等），余下部分的面积是 ，则原来 的正方形铁皮的面积是( ) D A. B. C. D. 【解析】设原来正方形铁皮的边长为，则余下部分为长、宽 的 长方形.根据题意，得，解得或 （不合题意，舍去）， .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 （第2题图） 2.【2025山东青岛质检】如图，把长、宽 的矩形 纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分）， 将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形 的边长为 （纸板的厚度忽略不计），若折成的长方体盒子 的表面积是，则 的值是___. 5 【解析】依题意，得，整理得 ， 解得，（不合题意，舍去）， 的值是5.故答案为5. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 知识点2 数字问题 3. 第十五届全运会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门三地 共同举办，为迎接此次全运会，某校组织校园足球联赛，某球队在联赛中胜场数 是一个两位数.已知这个两位数的个位数字与十位数字之和为5，且这个两位数比 它个位数字的平方小2，则该球队的胜场数为( ) A A.14 B.23 C.32 D.41 【解析】设该球队的胜场数的十位数字为，则个位数字为 .由题意得 ，整理得，解得， （不符合题意，舍去）， ，即该球队的胜场数为14.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 4.【2026河南南阳质检】2026年7月1日是建党105周年纪念日，在该月月历表上可 以用一个方框圈出4个数（如图所示），若方框圈出的4个数中，最小的数与最大 的数的乘积为84，则该方框圈出的最小的数为___. 6 （第4题图） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 思路分析 【解析】设该方框圈出的最小数为，则最大数为.依题意，得 ， 整理得，解得， （不合题意，舍去），故答案为6. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 思路分析 题目所给月历表中，圈出的4个数中最大数与最小数的差始终是8，设最小数为 , 则最大数为 ,列方程求解即可. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 知识点3 动态问题 5.如图，中， ，，，点从点 出发 向终点以每秒1个单位长度的速度移动，点从点出发向终点 以每 秒2个单位长度的速度移动，， 两点同时出发，一点先到达终点时 ，两点同时停止移动，则当 的面积等于4时，经过的时间为 ( ) A A.1秒 B.2秒 C.4秒 D.1秒或4秒 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 【解析】设经过秒时，的面积等于4.由题意得， ，则 ，，整理得 ， 解得，（不合题意，舍去），即经过1秒时， 的面积等于4.故 选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 6.【2026江苏无锡期中】如图，将边长为 的正方形 沿其对角线剪开，再把沿着 方向平移， 得到 ，若两个三角形重叠部分（阴影部分）的 面积为，则它移动的距离 等于( ) B A. B. C. D. 【解析】如图，设交于.由题意知 ， , 由平移可得 , 是等腰直角三角形. 设，则， .由平移可知阴影部 分是平行四边形，，，即 . 故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 7.【2026上海静安区期中】如图，是一条东西方向的道路， 是一条南北方向的 道路，这两条道路相交于点.小明和小丽分别从十字路口 点处同时出发，小丽 沿着以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着 以5千米/时的速度由南向北前 进，有一棵百年古树位于图中点处，古树与， 的距离分别为3千米和2千米.问 离开路口后经过多长时间，两人与这棵古树的距离恰好相等？ 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 【解】设两人离开路口的时间为时.如图，将小明看成点，小丽看成点 ，连接 ，，千米， 千米. 当两人与这棵古树的距离恰好相等时，， . 过点作于点,于点，千米，千米 . 在中，，即 . 在中，，即 ， ，解得（舍去），， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 答：离开路口后经过 小时，两人与这棵古树的距离恰好相等. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 提升 1.【2025山东青岛期末，中】如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形 和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段 的长度为 ，则这块地砖的面积为( ) B A.50 B.40 C.30 D.20 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 【解析】如图，连接小正方形的两条对角线，设与交于点 . 根据题意易知，点为正方形，正方形 的中心， ，即 ， ， .设正方形的边长为 ,则 ,，解得 . ，或. ， ， .故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 2.［中］如图，将图（1）的正方形纸片剪成四块，再用这四块小纸片进行拼接， 恰好拼成一个如图（2）无缝隙、不重叠的矩形，则 _ ____. 【解析】题图（1）的面积为 ，题图（2）的面积为 ，， ， ，.， ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 3.［中］如图，在长方形中，，，点从点 出发沿边 向终点以的速度运动，点从点出发沿边向终点以 的速度 运动.如果，分别从，同时出发，当点运动到点 时，两点同时停止运动. 设运动时间为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 （1）当为何值时，的长度等于 ？ 【解】从点出发沿边向终点以的速度运动， . ， . 点从点出发沿边向终点以的速度运动， . 由题意得，解得， . 当或2时，的长度等于 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 （2）是否存在的值，使得五边形的面积等于 ？若存在，请求出此 时 的值；若不存在，请说明理由. 【解】存在. 长方形的面积是，五边形 的面积等于 ，的面积为， ，解得 （不合题意，舍去），.即当时，五边形 的面积等于 . 思路分析 根据题意可得 的面积，再根据三角形的面积公式代入相应线段的 长即可得到方程，再解方程即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 4.【2026福建厦门质检，中】如图，小岛在码头 的正东方 向80海里处.已知当轮船甲从码头 出发以40海里/时的速度向 正南方向航行时，同时轮船乙从小岛 出发以50海里/时的速 度向码头 航行. （1）两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为50海里？ 【解】设两艘轮船出发 小时后，两艘轮船之间的直线距离为50海里，则轮船甲与 码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为 海里.根据题意可得 ，解得， . 答：两艘轮船出发1小时或 小时后，两艘轮船之间的直线距离为50海里. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 （2）若轮船甲给正南方向的小岛运送物资，当轮船甲到达小岛 后，发现运送 物资不足，立即给轮船乙发送补充物资的指令.行驶到 处的轮船乙接到指令后， 立即改变方向，沿方向前往小岛 进行物资补充（轮船乙的航行速度不变）.若 两艘轮船在上午7时出发，轮船乙在上午9时到达小岛 ，试通过计算说明轮船甲何 时向轮船乙发出需要补充物资的指令.（轮船甲到达小岛 到发送指令之间的时间 和指令传输的时间均忽略不计） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 【解】设轮船甲出发 小时后向轮船乙发出需要补充物资的指令，则 海里， 海里， 海里. 在中，由勾股定理，得 ，即 ，整理得，解得 , （不符合题意，舍去）， （时）. 答：轮船甲在上午8时向轮船乙发出需要补充物资的指令. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 刷素养 走向重高 5.核心素养 几何直观 ［较难］如图，四边形 是证明勾股 定理时用到的一个图形，，，是和 的边长， 易知，这时我们把关于的形如 的一 元二次方程称为“勾系一元二次方程”. 请解决下列问题： （1）写出一个“勾系一元二次方程”； 【解】当，，时，“勾系一元二次方程”为 . （答案不唯一） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 28 （2）求证：关于的“勾系一元二次方程” 必有实数根； 【证明】根据题意，得 . ，，即 ， “勾系一元二次方程” 必有实数根. （3）若是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 的周长是，求 的面积. 【解】当时，有，即 ， 即 ， ，，， . ，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 29 $