05-第二章 一元二次方程-2 一元二次方程的解法-课时3 用公式法求解一元二次方程-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（北师大版·新教材）

这是初中数学九年级上册北师大版的必刷题课件，围绕一元二次方程的公式法解法，设置求根公式、解方程步骤、根的判别式等知识点，通过刷基础、提升、素养分层设计，配套中考真题和易错警示，构建系统学习支架。 资料融合核心素养，以几何与方程结合题（如长方形中DF长对应方程正根）培养几何直观，用分类讨论（如直角三角形边长）提升推理能力，情境化“喜鹊数”问题发展创新意识。教师可编辑课件、超链接跳转，助力学生夯实基础、提升解题能力，为中考备考提供支持。九年级学生面临升学考试，需重点掌握一元二次方程等核心知识，本资料通过分层训练和素养拓展，帮助学生巩固基础、提升应试技巧，培养数学思维。

数 学 九年级上册 BS 1 2 3 第二章 一元二次方程 4 2 一元二次方程的解法 课时3 用公式法求解一元二次方程 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 一元二次方程的求根公式 1.【2025湖南娄底期末】在用求根公式 求一元二次方程的根时，小 珺正确地代入了，，的值得到 ，则她求解的一元二次方 程是( ) A A. B. C. D. 【解析】由题意得，，， 她求解的一元二次方程是 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 易错警示 注意各项的系数要带着前面的符号. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 2.【2026安徽合肥质检】若是一元二次方程 的 根，则 的值为___. 2 【解析】由条件可知，，， ，故答 案为2. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 知识点2 用公式法解一元二次方程 3.【2025甘肃陇南质检】方程 的一个根是( ) D A. B. C. D. 【解析】，，， ，则 ，， .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.利用公式法可得一元二次方程的两解为，，且，则 的值为( ) D A. B. C. D. 【解析】中，，， ， ，. 一元二次方 程的两解为，，且，的值为 .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 刷有所得 用公式法解一元二次方程的一般步骤：①把方程化成一般形式，进而确定，， 的值（注意符号）；②求出的值（若 ，则方程无实数根）；③ 在的前提下，把，， 的值代入公式进行计算，求出方程的根 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 5.解方程: （1） ； 【解】，，， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ，， . （2） . 【解】整理，得，，， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 知识点3 根的判别 6.【2026广东广州期中】关于的方程 根的情况为( ) A A.有两个相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 【解析】由题意知， ，所以方程有两个相等的实数根.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 7.已知关于的方程 有两个实数根，则 的化简结果是( ) A A. B.1 C. D. 【解析】 关于的方程有两个实数根， 判别式 ，整理得， ， ，， .故 选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 8. 开放性试题 已知关于的方程 有两个不相等的实数根， 写出一个满足条件的实数 的值为_ ________________. （答案不唯一） 【解析】 方程有两个不相等的实数根， ，且，解得且 .故答案 为 （答案不唯一）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 刷有所得 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 9.已知关于的一元二次方程 . 【解】原方程整理得 ， （1）当 为何值时，方程有两个不相等的实数根？ 【解】当时，方程有两个不相等的实数根，即，解得 . （2）当 为何值时，方程有两个相等的实数根？ 【解】当时，方程有两个相等的实数根，即，解得 . （3）当 为何值时，方程无实数根？ 【解】当时，方程没有实数根，即，解得 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 提升 1.［中］小刚在解关于的方程 时，将其抄成了 ，得到一个解是 ，则原方程的根的情况是( ) B A.不存在实数根 B.有两个实数根 C.有一个根是 D.不确定 【解析】把代入得， .把 代入方程 得 ， 方程 有两个实数根.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 思路分析 一元二次方程中的看错问题 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 2. 【2026浙江杭州期末，中】如图，在长方形 中， 以点为圆心，为半径作弧交于点，以点为圆心， 为半径作弧交于点.设， ，则方程 的一个正根等于( ) A A.的长 B.的长 C.的长 D. 的长 【解析】解方程得 ，所以方程的正根为 .因为在中， ， ，所以 .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 3.【2026安徽六安调研，较难】对于一元二次方程 ，下列 说法： ①若，则 ； ②若方程有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相 等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有 成立； ④若是一元二次方程的一个根，则 . 其中所有正确结论的序号是( ) B A.①② B.①②④ C.②③④ D.①③ 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 【解析】①若，则是方程 的一个根，由一元 二次方程的实数根与判别式的关系可知，故①正确； 方程 有两个不相等的实根，， ，则方程 的判别式， 方程 必有两个不 相等的实根，故②正确；是方程 的一个根， ，，当 时，等式成立，但 不一定成立，故③不正确；④若 是一元二次方程 的一个根，则由求根公式可得 或 ，或 ， ，故④正确.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 4.［中］如图，点在数轴的负半轴，点在数轴的正半轴，且点 对应的数是 ，点对应的数是，已知，则 的值为_ _____. 【解析】根据题意，得，整理，得 ， ，， ，则 ，，. 点 在数轴的负半轴， ，即，，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 5.【2025河南洛阳质检,中】已知关于的方程 . （1）求证：无论 取何值，此方程总有实数根； 【证明】当,即时，方程为，解得 ； 当，即 时，方程为一元二次方程， ，则此时方程有实数根. 无论 取何值，此方程总有实数根. 关键点拨 分和 两种情况讨论； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 （2）若此方程有两个整数根，求正整数 的值. 【解】 此方程有两个整数根，，解得 ， .，为整数，为正整数，或或 . 关键点拨 由题意得,解得，，再根据题意求出 的值即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 6.［中］已知关于的一元二次方程 . （1）若是方程的一个根，求 的值； 【解】是方程的一个根， ，整理得 ，或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 （2）以这个方程的两个实数根作为中，的长，当 时，是直角三角形，求此时 的值. 【解】， ， ， . ，的长是这个方程的两个实数根， ， ， ． ，是直角三角形， 当 为斜边时，有 ，解得（不符合题意，舍去）， ； 当为斜边时，有，解得 ． 综上所述， 的值为0或1. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 关键点拨 利用求根公式得到，，从而得出和 的长，在没有明确 斜边的情况下，分为斜边和 为斜边两种情况进行讨论． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 刷素养 走向重高 7.核心素养 运算能力 ［较难］对于任意一个三位数，如果 满足各个数位上的 数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4 倍，那么称这个数为“喜鹊数”.例如：，因为 ，所以169 是“喜鹊数”. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 （1）已知一个“喜鹊数”（， ， ，且，，为整数），请直接写出，， 所满足的关系式：________ _______；241______“喜鹊数”（填“是”或“不是”）. 不是 【解】是“喜鹊数”（，， ， 且,,为整数），，即 . ，，， 不是“喜鹊数”.故答案为 ,不是. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 （2）利用（1）中“喜鹊数”中的，， 构造两个一元二次方程 与，若是方程①的一个根， 是 方程②的一个根，求与 满足的关系式. 【解】是一元二次方程的一个根， 是一元二次方程 的一个根，， . 将两边同除以得， 将， 看成是一元二 次方程 的两个根. ， 方程有两个相等的实数根， ，即 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 （3）在（2）的条件下，若，请直接写出满足条件的所有 的值. 【解】满足条件的所有的值为121,242,363,， ， ，，， . ，，解得， 满足条件的所有 的值为121，242， 363，484. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 $