12-第一章 特殊平行四边形-全章综合训练-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（北师大版·新教材）
2026-07-13
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教辅
资源信息
| 学段 | 初中 |
|---|---|
| 学科 | 数学 |
| 教材版本 | 初中数学北师大版九年级上册 |
| 年级 | 九年级 |
| 章节 | 第一章 特殊平行四边形 |
| 类型 | 课件 |
| 知识点 | - |
| 使用场景 | 同步教学-期末 |
| 学年 | 2026-2027 |
| 地区（省份） | 全国 |
| 地区（市） | - |
| 地区（区县） | - |
| 文件格式 | PPTX |
| 文件大小 | 6.37 MB |
| 发布时间 | 2026-07-13 |
| 更新时间 | 2026-07-13 |
| 作者 | 众望益飞教育科技（北京）有限公司 |
| 品牌系列 | 初中必刷题&教材划重点·初中同步课件 |
| 审核时间 | 2026-06-23 |
| 下载链接 | https://m.zxxk.com/soft/58461554.html |
| 价格 | 4.00储值（1储值=1元） |
| 来源 | 学科网 |
摘要：
这是一份初中数学九年级上册的教学课件，聚焦特殊平行四边形章节，包含中考真题、章测题及知识点总结。课件支持WPS编辑，页面有超链接跳转，内容涵盖菱形、矩形、正方形的性质与判定，解析详细且附思路分析。
资料特色在于以中考真题为载体，通过作图分析、折叠问题等实例，培养学生几何直观与推理能力，如菱形判定思路图示帮助抽象概念。可编辑课件方便教师调整教学内容，超链接设计提升课堂效率，助力学生掌握重点考点，为九年级升学复习提供有效支持。
内容正文：
数 学
九年级上册 BS
1
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3
第一章 特殊平行四边形
4
全章综合训练
5
刷中考
刷章测
目 录
鼠标轻轻一点，内容立即呈现
6
中考
考点1 菱形的性质与判定
（第1题图）
1.【2025四川内江中考】按如下步骤作四边形 （1）
画；（2）以点 为圆心，1个单位长为半径画弧，分
别交，于点，；（3）分别以点和点 为圆心，1
个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接， ，
.若 ，则 的度数是( )
D
A. B. C. D.
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【解析】根据作图可得，则四边形 是菱形，
， ，
.故选D.
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关键点拨
根据作图得出，进而得出四边形 是菱形是解题的关键.
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（第2题图）
2.【2025河南中考】如图，在菱形中， ,
,点在边上，连接,将沿折叠，若点
落在延长线上的点处，则 的长为( )
D
A.2 B. C. D.
【解析】由折叠的性质知， 点 ，
，，共线， .在中， ，
.由勾股定理得.又 四边形 是菱形，
,，，， ,
.故选D.
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（第3题图）
3.【2025福建中考】如图，菱形 的对角线相交
于点，过点且与边，分别相交于点 ，
．若,，则与 的面积之
和为___．
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【解析】在菱形中， ，
，， .又
，， ，
．故答案为1．
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4.【2025黑龙江绥化中考】如图，在菱形中，，对角线 ，
点是边的中点，点是对角线上的一个动点，连接，.则
的最小值是_____.
（第4题图）
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【解析】如图，连接交于，作点关于直线 的对称点
，连接交于，则，点是 的中点，
， 此时 取得最小值，
为的长. 四边形是菱形， ，
,，， 根据勾股定理，得
， 点是 的中点，
，.在中， ,
的最小值为.故答案为 .
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5.【2025贵州中考】如图，在中，为对角线 上的中点，
连接，且，垂足为.延长至，使 ，连接
，，且交于点 .
（1）求证： 是菱形；
【证明】为对角线上的中点，且，垂直平分， .
四边形是平行四边形， 是菱形.
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（2）若,，求 的面积.
【解】如图，,， .设
, .
， ， ， ,
, .
， .
，为等边三角形， .
四边形是菱形，,， ,
， .
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，， ，
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刷有所得 菱形判定的思路图示
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考点2 矩形的性质与判定
6.【2025四川泸州中考】矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A
A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角相等
【解析】选项A， 矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等， 该性质矩
形具有而菱形不具有，故选项A符合题意；选项B， 矩形和菱形的对角线都互相
平分， 该性质矩形和菱形都具有，故选项B不符合题意；选项C， 菱形的对角
线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直， 该性质菱形具有而矩形不具有，
故选项C不符合题意；选项D， 矩形和菱形的对角都相等， 该性质矩形和菱形
都具有，故选项D不符合题意.故选A.
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（第7题图）
7.【2025辽宁中考】如图，在矩形中，点在边 上，
，连接，若，，则 的长为( )
D
A.1 B.5 C. D.
【解析】在矩形中，， ，
，， 在 中，由勾股定理得
，，， ，
在中，由勾股定理得 .故选D.
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（第8题图）
8.【2025河北中考】如图,将矩形沿对角线折叠，点 落
在处，交于点.将沿折叠，点落在 内
的 处，下列结论一定正确的是( )
D
A. B.
C. D.
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【解析】 四边形是矩形，， , 将矩形
沿对角线折叠，点落在处，, ,
在中， ，即
, ，故A不正确. 将沿折叠，点 落在
内的处，.又, ,
，故B不正确.由折叠得 ，
， 故C不正确，D正确.故选D.
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思路分析
根据矩形的性质可得， ，则 ，进而根据折叠的性质
推出 ， ，再进一步判断即可得出答案.
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9.【2025四川内江中考】如图，在矩形中， ,
，点，分别是边，上的动点，连接， ，点
为的中点，点为的中点，连接，则 的最大值是
___.
5
【解析】如图，连接, 在矩形中， ,
， ， ，
点为的中点，点为的中点，
是的中位线，， 当点, 重
合时， 取得最大值5，故答案为5.
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思路分析
连接，.由勾股定理可求的长，由三角形中位线定理可得 ，当
有最大值时，有最大值，即当点，重合时， 取得最大值10，即可求解.
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10.【2025北京中考】如图，在中，，分别为，
的中点，，垂足为，点在的延长线上， .
（1）求证：四边形 是矩形；
【证明】，分别为，的中点，是 的中位
线， .
， 四边形 是平行四边形.
又， ， 平行四边形 是矩形.
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（2）若 ，，，求和 的长.
【解】， .
，是等腰直角三角形， .
， .
由（1）可知，是的中位线，四边形是矩形， ，
， ， ，
.
为的中点， .
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考点3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（第11题图）
11.【2025甘肃兰州中考】如图，四边形 是矩形，对角线
，相交于点，点，分别在边，上，连接 交对
角线于点.若为的中点， ，则
( )
C
A. B. C. D.
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【解析】 四边形是矩形，， ，
，为的中点， ，
， ，
.故选C.
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（第12题图）
12.【2025江苏淮安中考】如图，在 中，对角线
，交于点，，点，分别为， 的中
点，连接，，若，则 ___.
4
【解析】， 点为 的中点，
， 四边形 为平行四边
形，.又 点为的中点， . 故答案为4.
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考点4 正方形的性质与判定
13.【2025四川自贡中考】如图，在平面直角坐标系 中，
正方形的边长为5，边在轴上， .若将正方
形绕点逆时针旋转 ，得到正方形.则点
的坐标为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 正方形的边长为5，边在轴上，将正方形绕点 逆时针
旋转 ，得到正方形，，在
轴上，，，， .故选A.
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14. 开放性试题 【2025四川乐山中考】如图，在中，对角线 与
相交于点.小乐同学欲添加两个条件使得四边形 是正方形，现有三个条
件可供选择：；； .则正确的组合是
_________________（只需填一种组合即可）.
（或①③）
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【解析】当选择①②时, 四边形是平行四边形，， 四边形
是菱形.， 四边形是正方形.当选择①③时, 四边形
是平行四边形，， 四边形是菱形. ， 四边
形是正方形.当选择②③时，由于四边形是平行四边形，若 或
，均只能得到四边形 是矩形，不能证明其为正方形，故不符合
题意. 正确的组合是①②或①③，故答案为 （或①③）.
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15.【2025北京中考】如图，在正方形中，点在边上， ，垂足
为.若， ，则 的面积为__.
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【解析】如图,过点作，，垂足分别为， ，
连接，则 四边形 为正方形，
，， ，
， ，
关键点拨
和 同底等高，面积相等.
，， ， ,
， ， ，
，，故答案为 .
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16.【2025浙江中考】【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板
上剪下机翼状纸板（阴影部分）,点在对角线 上.
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【数学理解】
（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出 的证明过程.
【证明】 四边形是正方形，是其对角线， ,
.
在和中，
.
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（2）若裁剪过程中满足,求“机翼角” 的度数.
【解】 四边形是正方形，是其对角线， , .
, ,
.
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章测
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.【2026辽宁朝阳期中】菱形的周长为，那么菱形 的边长是
( )
B
A. B. C. D.
【解析】根据菱形的性质可知，菱形的四条边相等， 菱形 的边长为
.故选B.
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2.【2024四川泸州中考】已知四边形 是平行四边形，下列条件中，不能判定
为矩形的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 四边形是平行四边形， 当 时，平行四边形 是
矩形，故选项A不符合题意. 四边形是平行四边形， ，
.当时， ， 平行四边形 为矩
形，故选项B不符合题意. 四边形是平行四边形， 当 时，平行四
边形是矩形，故选项C不符合题意. 四边形是平行四边形， 当
时，平行四边形 是菱形，故选项D符合题意.故选D.
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（第3题图）
3.【2025陕西中考】如图，在 中，
， ，为 边上的中线，
，则图中与 互余的角共有( )
C
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【解析】在中， ,为 中
点,， ,
, ,
, 的余角为 , 题图中
与互余的角是, ,, ，共有4个.故选C.
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关键点拨
由直角三角形斜边上的中线的性质推出 ，再利用余角的概念进行判
断即可.
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（第4题图）
4.如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点 在
上，过点作，垂足为点，若， ，
，则 的长为( )
B
A.3 B. C. D.
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【解析】 四边形是正方形， ，
， ，
， .在
和 中，
，
， 是等腰直角三角形，
，故选B.
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（第5题图）
5.【2026广东佛山期中】如图，把矩形和矩形 拼成
“”形图案（其中点，， 在一条直线上），若两个矩形大
小、形状完全相同，， ，则 ( )
B
A. B. C. D.6
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【解析】 矩形和矩形大小、形状完全相同， ，
， ，和都是直角三角形.在 中，
， ，， .在 和
中，， ，
， ， 是等
腰直角三角形， 由勾股定理得 .故选B.
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（第6题图）
6.【2026河南平顶山质检】四边形不具有稳定性.当四条边长
都确定的四边形的内角大小发生变化时，其形状也随之改变.
如图，改变正方形的内角，使正方形 变为菱形
，如果 ，那么菱形 与正方形
的面积之比是( )
A
A. B. C. D.1
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46
（第6题图）
【解析】过点作于 ，如图所示，则
四边形是正方形， 正方形 的面积
，， ，
， ，
， 易得 四边形 是菱形，
， 菱形 的面积
， 菱形与正方形 的面积之
比为 .故选A.
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（第7题图）
7.【2026河北邯郸期中】如图，在矩形中， ，
，为中点，为上的动点，且，连接 ，
，则 的最小值为( )
D
A. B.12 C. D.15
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（第7题图）
【解析】如图，连接，作点关于直线的对称点 ，连接
， 四边形 是矩形，
，
，
， 四边形 是矩形，
.由对称的性质得 ，
， 点在的延长线上. 点为的中点， ，
， ，
当点在线段上时，取得最小值，最小值为线段 的长, 即
.故选D.
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8.如图，在平行四边形中，， ，， 是对角线
上的动点，且，，分别是边，边 上的动点.下列说法：①存
在无数个平行四边形；②存在无数个矩形；③存在无数个菱形 ；
④存在无数个正方形 .其中正确的个数是( )
C
（第8题图）
A.1 B.2 C.3 D.4
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【解析】如图，连接，，，，， ，且令
，，相交于点 四边形 是平行四边形，
，，， 只要
，那么四边形就是平行四边形. 点，是上的动点， 存在无
数个平行四边形，故①正确.只要，，那么四边形
就是矩形. 点，是上的动点， 存在无数个矩形 ，故②正确.只要
，，那么四边形就是菱形. 点，是上的动点， 存
在无数个菱形，故③正确.只要，， ，那么四边
形 就是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故④错误.故选C．
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关键点拨
根据对角线的情况进行判断，和 的长度都有无数种情况，所以它们有无数
种情况互相平分，无数种情况相等且互相平分，无数种情况互相垂直平分，对角
线互相垂直平分且相等的情况只有一种.
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二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9.【2025山西太原质检】如图，矩形 为一个正在倒水的水杯
截面图，若杯内水面刚好经过点，且 ，则
水杯底面与水平面夹角 的大小为____.
【解析】延长交于点，如图所示. ，
， 四边形 为矩形，
， ，
.故答案为 .
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（第10题图）
10.【2026广东揭阳质检】如图，在中， ，
点在线段上，过点作于点，于点 ，使
得四边形为正方形，此时， ，则阴影
部分的面积为___ .
6
【解析】在正方形中，， .如图，将
绕点顺时针旋转 得到，则在 的延长线上，
，， .由旋转得
故答案为6.
, ， 阴影部分的面积为 .
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（第11题图）
11.如图，在矩形中，，为的中点，连接 ，
为中点，连接，，若为直角，则 的长为___.
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【解析】如图，连接，过点作于，并延长 ，交
于点 四边形是矩形， ，
，， ，
， ， 四边形是矩形.
为的中点，，， ，
，为的中点， ，
，， ，故答案为4.
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12.如图，平行四边形中，,， ， ，
点，分别以，为起点，以的速度沿，边运动，连接， .
设点，运动的时间为，作于，于，当
__________时，四边形 为正方形.
4.5或1.5
（第12题图）
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（第12题图）
【解析】如图所示， 四边形 是平行四边形，
，.在 中，
， ， 是等腰直角三角形，
，.， ，
， 四边形为矩形， 当时，四边形 为正方形.由
题意得，且， 易得
，
. ，
，解得或. 故当或1.5时，四边形 为正方
形.故答案为4.5或1.5.
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思路分析
先证明四边形为矩形，则当时，四边形 为正方形.根据
列出方程 ，解方程即可.
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13.【2025辽宁中考】如图，在菱形中，对角线与相交于点 ，
，，点在线段上，，点在线段上， ，连接
，点为的中点，连接，则 的长为_____.
（第13题图）
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（第13题图）
【解析】在菱形中，对角线与相交于点 ，
，，， ，
， .如图，取
的中点，连接 点为的中点，点为 的中
点，是的中位线，， ，
，
， 在 中，由勾股定理得
，故答案为 .
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14.【2025湖北宜昌期末】如图，已知正方形的顶点,在直线 上，
点在第一象限，若正方形的面积是34，则点 的坐标为_______.
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【解析】 正方形的面积是34， ,
，
.
点在直线上， 设 ，
，，.过点作 轴于点
，过点作轴于点，延长，交的延长线于点，如图， 四边形
是矩形， ， ,
， ，
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.又，， ，
，，.设 ，
， ，
，, ， 点在第二象限， .故
答案为 .
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三、解答题（本大题共5小题，共30分）
15.【2026江西南昌期末】如图，在平行四边形 中，
于点，延长至点，使，连接， ，
与交于点 .
（1）求证：四边形 为矩形；
【证明】 四边形是平行四边形，， .
，， .
， 四边形是平行四边形.， ， 四边
形 是矩形.
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（2）若，，，求证： .
【解】由（1）知四边形是矩形， .
，， ，
是直角三角形，且 ， .
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16.【2026湖北武汉期末】如图，正方形的边长为，点， 分别是边
，上的点，，连接，交于点，过点作 的垂线分别交
，于点， .
图（1）
图（2）
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（1）如图（1），求证：四边形 为平行四边形.
【证明】 四边形 是正方形，
， ， .
在和中，
， .
， .
在中， ， ，
.又， 四边形 为平行四边形.
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思路分析证明，得到，进而得出 ，
又由得到，再结合 即可证得结论；
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（2）如图（2），连接，若，求 的长.
【解】 四边形是正方形，且边长为， .
，， .
在中，由勾股定理得 .
由三角形的面积公式得 ，
.
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在中，由勾股定理得 ，
.
，， ，
.
又， 易知是 的中位线，
.
在中，由勾股定理得 .
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思路分析推出，，，由勾股定理即可求出
的长.
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17. 【2026河北秦皇岛期末】如图，在 中，
，，，，，分别为，， 上的
点，四边形 为菱形.
（1）请用尺规作图画出点，， （不写作法，保留作图痕迹）；
【解】如图，点，， 即为所作.
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（2）求菱形 的边长.
【解】如图，过作于点.由（1）作图可得 平分
,.在中， ，
， ，根据勾股定理得
，
，， .设
菱形的边长为，则 .
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在中，由勾股定理得， ，解得
， 菱形的边长为 .
思路分析 由（1）作图及角平分线的性质可得，再由等面积法可求出
的长，最后利用勾股定理列方程求解即可.
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18.【2026安徽安庆质检】如图，已知正方形中，为 延长线上一点，且
，连接， .
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（1）如图（1），若，分别为，的中点，交于，连接交 于
点.
①求证： ；
【证明】 四边形是正方形，，， ，
.
，，， .
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②求证： .
图（1）
【解】延长至，使，连接 ，如图（1）所
示,则， 四边形 是正方形，
，， .
在和中，
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， .
，，为的中点.又为的中点，为 的中
位线，， .
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（2）如图（2），过作于点，连接，求 的值.
图（2）
【解】过点作交于 ，如图（2）所示,则
，
， ，
， 由同等的余角相等可得 ，
.
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在和中，
，，， 是等腰直角三角形，
结合勾股定理易得， .
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19.【2025江西抚州期中】【特例感知】
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（1）①在正方形中，设其边长为，则对角线，和 的数量关系为
_____；
【解析】如图（1）， 四边形是正方形， ，
， ， ，
，.故答案为 .
图（1）
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②在菱形中，设其边长为，则对角线，和 的数量关系为
_____；
【解析】如图（2）， 四边形是菱形，， ，
，， ， ，
，.故答案为 .
图（2）
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③在矩形中，设，，则对角线，和， 的数量关系为
__________.
【解析】如图（3）， 四边形是矩形，， ，
， ， ，
，.故答案为 .
图（3）
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【规律探究】
（2）如图（1），在中，设，，猜想对角线，和，
的数量关系，并证明你的猜想.
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图（4）
【解】猜想： .证明：如图（4），分别
过点，作于，交延长线于 ，
四边形 是平行四边形，
，，.在和
中，， ，
.设，，则， .在
中， ；在
中， ，
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， ，
.
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【知识应用】
（3）如图（2），在四边形中，，，， ，
，点为的中点，求 的长.
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图（5）
【解】如图（5），连接，延长至点，使 ，连接
， .
点为的中点，， 四边形 是平行四边形，
由（2）的结论可得 ，
，， .
关键点拨
解题的关键是利用勾股定理证明平方关系.
，， ，
,（负值已舍去）， .
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