专题01 菱形、矩形、正方形的性质和判定12大题型60题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材北师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01菱形、矩形、正方形的性质与判定 题型图谱导航总览 题型1利用菱形的性质求解（重点） 基础固本强基 题型2利用矩形的性质求解（重点） 题型3利用正方形的性质求解（重点） 题型4菱形中的作图问题（含无刻度作图）（难点） 提升·进阶突破 题型5矩形中的作图问题（含无刻度作图）（难点） 题型6正方形中的作图问题（含无刻度作图（难点） 题型7菱形的性质与判定多结论问题（难点） 题型8矩形的性质与判定多结论问题（难点） 题型9正方形的性质与判定多结论问题（难点） 拔高·压轴破难 题型10菱形的性质与判定综合问题（难点） 题型11矩形的性质与判定综合问题（难点） 题型12正方形的性质与判定综合问题（难点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1利用菱形的性质求解（共5小题） 1/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【模型】菱形四边相等、对角线互相垂直平分，借此构造直角三角形求解。 【步骤】先标菱形边角与对角线，利用四边相等和对角线垂直平分，找直角三角形，用勾股定理或方程 求解。 【易错】菱形对角线互相垂直平分但不一定相等；勿与矩形、正方形性质混淆；求边长时用对角线 一半 构造直角三角形。 1. (25-26九年级上陕西咸阳期中)如图，在菱形ABCD中，过点C作CE L BC交对角线BD于点B,已 知∠ABC=50°，则∠BEC的度数为」 B D 2.(25-26八年级下·北京延庆期中)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是AB的中点 若OE=3,则菱形ABCD的周长是」 3.(25-26八年级下·贵州黔东南期中)如图，把菱形ABCD沿直线AF折叠，使点B落在BC边上的点E 处，连接DE.若∠BAF=20°，则∠DAE的度数为 4.(25-26八年级下江苏徐州期中)如图，两条宽为2m的长方形纸条叠放得到四边形ABCD,若 ∠ABC=45°，则这个四边形的面积为 2/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26八年级下·上海普陀期中)如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O点，AC=24,BD=10, 点P是边AB上的一个动点，则DP的最小值为一· D B 题型2利用矩形的性质求解（共5小题） 【模型】矩形四角为直角、对边平行且相等、对角线相等且互相平分。 【步骤】先标矩形边角与对角线，利用直角和对边相等找直角三角形，再用勾股定理或全等列方程求 解。 【易错】矩形对角线相等且互相平分，但不一定垂直；勿与菱形性质混淆；用对角线一半时注意对应关 系，别漏直角条件。 6.(25-26八年级下江苏常州期中)如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O,DE平分∠ADC分别 交AC,BC于点F,E,若∠BDE=1S°，则∠CFE的度数为一 D B E 7.(25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔期中)如图，在矩形ABCD中，连接AC,分别以点A,C为圆心， 大于2AC长为半径作弧，两弧交于点M,N,作直线MN分别交AD,BC于点F,E,连接AE,CF,若 3/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DAE=48°，则∠EFC的大小为一· MX 8.(25-26八年级下山东泰安期中)如图，在矩形ABCD中，M为AD上一点，且BM⊥CM,点P,O 分别为BM,CM的中点，连接AP,PODO.若AP=4,D0=3,则四边形APOD的周长为 D B 9.(24-25九年级上四川成都期中)如图，将含有30°的直角三角尺CAB(∠C=60°)直角顶点A放到 矩形DEFH的边DE上，若LEAB=15°，则∠FG的度数是 C G B 10.(25-26九年级下·河南安阳期中)如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上异于A,C的一个动点， 过点P作PM⊥AD于点M,点N为点A关于PM的对称点，连接PN,NC,若AB=3,BC=4,当 △CPN为直角三角形时，AM的长为— M D 4/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型3利用正方形的性质求解（共5小题） 【模型】正方形四边相等、四角为直角、对角线相等且互相垂直平分。 【步骤】先标正方形边角与对角线，利用直角和四边相等，找等腰直角三角形，用勾股定理或全等列方 程求解。 【易错】正方形对角线相等且互相垂直平分，兼具矩形菱形性质：勿与一般矩形菱形混淆；用对角线时 注意半对角线构造等腰直角三角形。 11. (25-26八年级下山西长治期末)如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD 的延长线上，且BE=DF,连接EF交边AD于点G.过点A作AW⊥EF,垂足为点M,交边CD于点N 若BE=5,CN=8,则线段DN的长为 M B E 12.(25-26八年级下·重庆开州期末)如图，在正方形ABCD中，点E是AC上一点，连接ED,过点C 作奶 的垂线交对角线BD于点M,垂足为F,若CE=CD=22,则∠MDF= SACDM 13.(25-26九年级上·重庆·期中)如图，已知正方形ABCD的边长为6，P是BC中点，点F在BD上且满 足AF⊥PF,延长AF分别交CD于点M,交BC的延长线于点E,则FP的长为一：EM的长为 5/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M 14.(25-26八年级下·天津滨海新区期末)如图，在正方形ABCD中，E是边CB延长线上一点，连接 DE,点F是 DE的中点，过点F作PMD交4B于点M,若MF=5,M=1 M (1)线段AM的长为 (2)若CD=4,线段BE的长为. 15.(25-26八年级下陕西西安期末)如图，P是正方形ABCD内一点，连接AP,BP,CP,AC.若 △APB是等边三角形，则∠ACP的度数为」 D B 提升进阶突破 题型4菱形中的作图问题（含无刻度作图）（共5小题) 【模型】利用菱形四边相等、对角线垂直平分等性质，借助格点或尺规确定关键点作图。 【步骤】先分析菱形二知边角与对角线，确定作图目标：利用四边相等或对角线垂真平分找关键点：连 6/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线成图并验证。 【易错】无刻度作图须用格点或全等确定等长；菱形对角线垂直平分但不相等：勿把一般平行四边形当 菱形，作图后要验证菱形条件。 16. (2026广东中考真题)如图，AB=BC,AE∥BC,连接AC】 -E (1)尺规作图：在AE上作点D,连接BD,使得BD平分∠ABC.(保留作图痕迹，不写作法.) (2)连接CD,求证：四边形ABCD是菱形 17.(25-26八年级下·贵州遵义·期中)如图，在菱形ABCD中，E是边AD的中点，连接CE. B (1)在边BC上确定一点H,使得AH∥CE(尺规作图，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，若菱形ABCD的边长为6，∠B=135°，求四边形AHCE的面积. 18.(24-25八年级下江西南昌·期中)如图，正五边形ABCDE，请仅有无刻度直尺按下列要求画图. (保留作图痕迹) 图1 图2 (1)在图1中，画一个以AB为边的菱形： (2)在图2中，画一个以AB为对角线的菱形. 19.(25-26八年级下·江苏宿迁·期末)如图，在ABCD中，点E为线段AB的中点. 7/25 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (I)连接AC,请只用不带刻度的直尺过E点作EF∥BC,与AC交于点F,不写作法，保留作图痕迹. (2)若AB=2EF,证明：口ABCD是菱形， 20.(25-26九年级上·河南郑州期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O (I)尺规作图：过点A作AE⊥BC于点E,延长BC到点F,使CF=BE,连接DF(保留作图痕迹，不写 作法)： (2)求证：四边形AEFD是矩形： (3)连接OE,若AD=8,EC=3,求OE的长度. 题型5矩形中的作图问题（含无刻度作图）（共5小题) 【模型】利用矩形对边平行相等、四角为直角、对角线相等且互相平分等性质作图。 【步骤】先分析矩形已知边角与对角线，确定作图目标，利用直角或对角线互相平分找关键点，连线成 图并验证。 【易错】无刻度作图须用格点或全等确定等长与直角：矩形对角线相等但不垂直；勿与菱形性质混淆， 作图后要验证矩形条件。 21 (25-26九年级上河南平顶山期中)如图，在矩形ABCD中，AB=12,AD=5,把这个矩形纸片折 叠一次，使点B和点D重合. B 8/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()请用直尺和圆规作出这条折痕（不写作法，保留作图痕迹）： (2)这条折痕交AB于点E,交CD于点F,直接写出EF的长. 22.(25-26八年级下·福建泉州期末)如图，四边形ABCD是平行四边形. D (I)求作菱形AECF,使得点E在边AD上，点F在边BC上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕 迹) (2)在(1)的条件下，若FC2-BF2=CD2,求证：四边形ABCD为矩形. 23.(24-25九年级下·江苏盐城期中)如图将矩形纸片ABCD折叠，使得点D落在AB边上的点M处，折 痕经过点C,与边AD交于点N B (1)用无刻度的直尺和圆规作图：求作点N,M(作图时，不写作法，保留作图痕迹，作好后请用黑色水笔 描黑)： (2)若AB=10,AD=6,求AN的长， 24.(25-26八年级下·上海青浦期末)将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上的点B处，折痕与 AD边交于点E,与BC边交于点F,点A落在点A处 B B 图1 图2 (I)如图1，请在图中作出示意图（其中折痕EF请用直尺和圆规作出，并保留作图痕迹）； (2)在图1中，连接BE,求证：BE=BF: (3)设AB=2,BC=5(如图2)，当点B与点D重合时，求AE的长. 9/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25.(25-26八年级下·江西新余期末)如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，F为边BC的中点，请仅 用无刻度直尺按下列要求完成作图.（保留作图痕迹） 图1 图2 (1)在图1中，作一个以AC为腰的等腰三角形 (2)在图2中，作点E,使四边形ACDE为平行四边形. 题型6正方形中的作图问题（含无刻度作图）（共5小题) 【模型】利用正方形四边相等、四角直角、对角线垂直平分且相等等性质作图 【步骤】先分析正方形已知边角与对角线，确定作图目标，利用直角、等边或对角线垂直平分找关键 点，连线成图并验证。 【易错】无刻度作图须借格点或全等定等长与直角；正方形对角线垂直平分且相等；勿与矩形菱形混 淆，作图后验证正方形条件。 26. (25-26八年级下·江苏徐州期末)已知：在正方形ABCD中，E为边AB上的定点，F,G,H分别在 边BC,CD,DA上.用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图.（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） E E B C C 图1 图2 图3 (I)用两种不同的方法，分别在图1、图2中作正方形EFGH; 10/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)在图3中，作矩形EFGH,并使其满足EF≠FG 27.(2025·江西新余·三模)如图，在正六边形ABCDEF的右侧作正方形BCGH,连接AC.请你仅用无 刻度的直尺完成以下作图. D D 图1 图2 (I)在图1中，在正方形BCGH的内部取点M,使点M与点D关于直线AC对称： (2)在图2中，在正方形BCGH的内部取点P,使AP=AC 28.(25-26八年级下·吉林长春·期末)如图①，四边形ABCD是边长为6的正方形.点P是边AD上不与 点A、D重合的动点，连接BP,作点A关于BP的对称点M,连接AM并延长交边CD于点O,连接DM、 BM. D D B B 图① 图② (1)线段BM的长为 (2)求证：△BAP≌△ADQ, (3)当B、M、D三点共线时，请你在图②中用无刻度的直尺和圆规作出点M和点P.不写作法，保留作 图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑.结合所画的图求∠MCB的度数： (④)当△ADM为等腰三角形时，直接写出线段AP的长. 29.(25-26八年级下·北京期末)如图，在6×6网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点. 线段AB的端点都在格点上.按下列要求作图，使所画图形的顶点均在网格内，且在格点上 11/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B B B 图1 图2 图3 (I)如图1，画一个以AB为边的正方形： (2)如图2，画一个以AB为边，且面积为8的菱形 (3)如图3，画一个以AB为对角线，且面积为7的平行四边形 30.(24-25八年级下·江苏扬州期中)用无刻度的直尺和圆规完成下列作图： D A B B 图1 图2 (I)如图，ABCD中，AD>AB,在边AD上求作一点P,使得PC+PD=AD:(保留作图痕迹，不写作 法) (2)如图，正方形ABCD,请在边AD上求作一点2，使得∠CB犯=60°.（保留作图痕迹，并简要写出作 法) 拔高·压轴破难 题型7菱形的性质与判定多结论问题（共5小题） 【模型】以菱形性质与判定为条件，对多个结论逐一判断真假并说明理由。 【步骤】先明确己知是菱形还是需判定，再逐条分析每个结论，依据性质或判定定理判断真假，选出正 确结论 12/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【易错】性质与判定勿混用，己知菱形用性质，需证菱形用判定；对角线垂直平分但不相等，勿与矩形 正方形混淆，逐条验证。 31. (25-26八年级下·广东广州：期中)如图，已知菱形ABCD的边长为4，对角线AC、BD相交于点O, 点M,N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC=∠MAN=60°，AM,AN分别与BD交于点E,F,连 接MN、OM.以下结论正确的是 ①AM=AN:eCM+CW-4:③当w装小时，Smm:区当ZDN-1时，则 EF2+DF2=BE2 A D 32.(24-25九年级上·黑龙江哈尔滨期末)如图，在菱形纸片ABCD中，∠ABC=60°，E是CD边的中点， 将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线AE上的点G处，折痕为AF，FG与CD交于点H,有 如下结论：D∠CH=30,®4E=BDE,®△CFH的周长等于MB的长， S菱m=4S,上述 结论中，所有正确结论的序号是 33.(2026吉林长春·中考真题)如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC.将△ABC沿CA方向平移CA 长度得到△EFA,连接BF,BE,BE交AF于点M,给出下面四个结论：①四边形BCEF的面积是9： ②CBE=90P:③)BC+BW=AC:④若BEC=159,则4C=2N3,上述结论中，正确结论的序号 有 13/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B M A 34. (25-26八年级下北京东城期末)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=4,E是AB的中点.点 F是线段BD上的动点，记线段EF的长为a,有以下三个结论： E ①若F是线段BD的中点，则a=2: ②“的取值范围是 sa≤2W7 ③若在菱形ABCD的内部存在点G,使得EG=EF,且∠GEF=90°，则a的取值范围是I≤a<2. 其中所有正确结论的序号是 35.(25-26八年级下·山东泰安期中)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O,E为 CD延长线上的一点，且CD=DE,连接BE分别交AC、AD于点F、G,连接OG,则下列结论中一定 成立的是 (把所有正确结论的序号都填在横线上) 00G=4B 2 ②△ABG≌aDCO: ③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形. 夕 题型8矩形的性质与判定多结论问题（共5小题） 14/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【模型】以矩形性质与判定为条件，对多个结论逐一判断真假并说明理由。 【步骤】先明确已知是矩形还是需判定，再逐条分析每个结论，依据性质或判定定理判断真假，选出正 确结论。 【易错】性质与判定勿混用，己知矩形用性质，需证矩形用判定；对角线相等但不垂直，勿与菱形正 形混淆，逐条验证。 36 (25-26八年级下山东济宁期末)如图，对矩形纸片ABCD进行如下操作： M (I)对折矩形纸片，使AD与BC重合，折痕与边AB和CD分别交于点E,F,把纸片展平： (2)再次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B,折痕交边AD于点M,交EF于点 P,再把纸片展平： (3)连接AN,AP,BN,MN 下列结论正确的是 ①∠ABM=30:②N是等边三角形：BEP-B,④AAB≌△MNM:⑤四边形APNM是菱形.。 37.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期末)如图，矩形纸片ABCD中，AB=4,对折矩形纸片ABCD,使 AD与BC重合，折痕为MN,展平后，再过点C折叠，使点D落在MN上的点E处，折痕为CF,再次展 平，若CF交MN于点G,连接EC,EF.有下列结论：①∠BCE=30°；②点G为FC中点；③线段EG 的长为3，④若P、P分别为线段C、BC上的动点（不包括端点），则P阳 3 PE+PO 的最小值是 .其 2W3 中，正确结论的序号是 15/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E M 由折叠可知， 垂直平分， B MN CD CE=CD ∴CW= CD 2 -14B-2,CE-CD-AB-4 2 .ED=EC=CD 38.(25-26八年级下·福建福州期中)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点D在线段BC上， 过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,点G,H分别是EF,BC的中点，若AB=4,则下列结论正确的 是 一（写出所有正确结论的序号） ()DG-EF: ②EF的最小值是2√2：③ADEF的面积始终保持不变： ④当D点不与H点重合时，△DGH是等腰三角形. G B D 39.(25-26八年级下·北京密云期末)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点M,N分别是边 AB、BC上的动点（点M不与A,B重合），MN=AB.P是五边形AMNCD内一点，且满足PM=PN, ∠MPN=90°.给出下列四个结论： ①∠BMP与∠BNP一定互补： ②点P到AD,DC两边的距离一定不相等： 3v2 ③点「到MB的距离的最大值 ④当M是AB中点时，点N恰好是BC中点. 其中所有正确结论的序号是 16/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 40.(25-26八年级下·吉林长春期末)如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交 CD于点F,将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上点M处，延长BC、EF交于点N,有下列四个结 论：①MF=CF,②BF⊥EN;③△BEN是等边三角形；④EB:EM=3:L.其中正确结论的序号是 M B 题型9正方形的性质与判定多结论问题（共5小题） 【模型】以正方形性质与判定为条件，对多个结论逐一判断真假并说明理由。 【步骤】先明确己知是正方形还是需判定，再逐条分析每个结论，依据性质或判定定理判断真假，选出 正确结论。 【易错】性质与判定勿混用，已知正方形用性质，需证正方形用判定：对角线垂直平分且相等，勿与矩 形菱形混淆，逐条验证。 41. (25-26八年级下·青海西宁期末)如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是 BC边上的动点（点M不与B,C重合），过点C作CN⊥DM交AB于点N,连接OM,ON,MN.下 1 列结论：①△CNB≌△DMC;②△OMN是等腰直角三角形；③边aNav=4SE方C;④ 17/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MB2+CM2=20M2 其中所有正确结论的序号是 M 42.(25-26八年级下·吉林长春期末)如图，四边形ADCN是正方形，延长CN至点B,使BN=CN,连 结AB.CE平分∠ACB交AB于点E,交AN于点M.在BC上截取BF=AM,连结AF交CE于点G.给 出下面四个结论：①AB=AC;②CM=AF;③CE⊥AF;④AM=EM,上述结论中，所有正确结论的 序号是 M 43.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期末)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，连接 AE,BFAE⊥BF 于点N过点B作BF的平行线交正方形的外 ∠DCH CG FG 的平分线于点G,连接， AF.有如下结论：①BF=AE;②∠EAF=4S°；③四边形BEGF是平行四边形：④若点E为BC中点， 点P为直线 G上的一个动点，连接F,PD,则PF+D 最小值是V5AB .上述结论中，所有正确结论 的序号是」 G 18/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 44.(25-26八年级下吉林长春·期末)如图，在正方形纸片ABCD中，点P是边BC上一点，连结AP, 将正方形沿AP折叠，点B落在点E处，延长PE交CD于点O,连结AQ、CE,给出以下结论：① △AEO≌△ADO PO=BP+DQ△PEC,△OEC BP=C ② :③ 与 的面积相等；④若 P,连结BE,则 ∠BEC=90°.上述结论中，正确结论的序号有一 D 0 E 45.(25-26八年级下·吉林长春·期末)如图，点E是正方形ABCD内部一点，连结BE、CE,过点C作 CF⊥CE 交B 的延长线于点F,连结DF、DE,且CE=CF=2,DB=45 .给出下列四个结论：① △CBE≌△CDF,②BF1DF:③四边形9 v2 的面积为4：④点D到C的距离为 DECF .上述结论中， 正确结论的序号有」 B 题型10菱形的性质与判定综合问题（共5小题） 【模型】菱形性质与判定综合，先判菱形再用性质，或先定性质再证判定。 【步骤】先分析已知条件，选择判定定理证菱形，再用菱形性质得边角对角线关系，结合勾股或全等求 解。 【易错】判定与性质勿倒用，己知菱形用性质，证菱形用判定；对角线垂直平分但不相等，勿与矩形正 方形混淆：.注意边角对应。 19/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 46.(2026云南中考真题)如图，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点O,AD=BC, ∠ABC+∠BAD=18O°，BD平分∠ABC. B (I)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若∠BAD=2∠ABC,求∠ACB的度数. 47.(25-26八年级下北京西城期中)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，连接BD,E为 BD中点，过点B作AC的平行线，交AE的延长线于点F,连接CF. 刀 B (L)求证：四边形CDBF是菱形： (②)若BC=BF,BE=1,求AF的长. 48.(25-26八年级下·湖北恩施期中)如图，在平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的平分线，EF∥AD, 交DC于点F B (I)求证：四边形AEFD是菱形： (2)如果∠A=60°，AD=6,求菱形AEFD的面积. 49.(25-26八年级下·福建莆田期中)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,E是CD上一点， BE交AC于F,连接DF. 20/25 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (I)证明：∠BAC=∠DAC (2)若AB‖CD,试证明四边形ABCD是菱形： EF (3)若ABICD,∠EFD=∠BCD=60°，求CD· 50.(25-26八年级下·辽宁鞍山期中)己知点P是口ABCD内一点，连接PA,PC, 图1 图2 图3 (I)当点P在对角线BD上. ①如图1，若口ABCD的面积为12，△PAD的面积为4，求△PBC的面积； ②如图2，若PA=PC,BD=6,∠BAD=120°，求平行四边形ABCD的周长： (2)如图3，对角线AC与BD相交于点O,点P不在对角线上，连接PB,PD,PB与AC交于点E,PC 与BD交于点F.求证： SAAPE +SADPE SABEO +SACFO 题型11矩形的性质与判定综合问题（共5小题) 【模型】矩形性质与判定综合，先判矩形再用性质，或先定性质再证判定。 【步骤】先分析已知条件，选择判定定理证矩形，再用矩形性质得对边、直角、对角线关系，结合勾股 或全等求解。 【易错】判定与性质勿倒用，已知矩形用性质，证矩形用判定；对角线相等但不垂直，勿与菱形正方形啾 混淆，注意直角条件。 21/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 51.(25-26八年级下·江苏常州期中)如图，已知口ABCD,延长AB到E,使BE=AB,连接 BD,ED,CE,ED=AD D B (I)求证：四边形BECD是矩形： (2)连接AC,若AD=5,CD=3,求AC的长. 52.(25-26八年级下·广西钦州期中)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且DE∥AC, CEI∥BD D ()求证：四边形OCED是菱形： (2)若AB=4,∠A0D=120°，求四边形0CED的周长. 53.(25-26八年级下·山东临沂期中)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AD=12, D0=OB=5.AC=26,∠ADB=90° D (I)求BC的长和四边形ABCD的面积； (2)若点E是CD的中点，连接OE,过点C作CF⊥OE交OE的延长线于点F,求证：四边形OBCF是矩 形. 54.(25-26八年级下浙江杭州期中)如图，菱形ABCD,过点A,C分别作AF⊥CD,CE⊥AB,交CD」 22/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB的延长线于点F,E. 分 D E B (I)求证：四边形AECF为矩形. ②连接MC,BD交于点0，若FC=6,CB=25 求菱形ABCD 的周长 55.(25-26八年级下江苏南京期中)如图，在△ABC中，BD、CE分别是中线，相交于点O,F、G分 别是OB、OC的中点，连接DE、EF、FG、DG E (①)求证：四边形DEFG是平行四边形： (2)若AB=AC」 ①求证：四边形DEFG是矩形： ②若∠A=90°，AB=2,则EF的长度是 题型12正方形的性质与判定综合问题（共5小题） 【模型】正方形性质与判定综合，先判正方形再用性质，或先定性质再证判定。 【步骤】先分析已知条件，选择判定定理证正方形，再用正方形性质得边、角、对角线关系，结合勾股 或全等求解。 【易错】判定与性质勿倒用，己知正方形用性质，证正方形用判定；对角线垂直平分且相等，勿与矩形 菱形混淆，注意边角条件。 56.(25-26八年级下安徽滁州期末)如图，四边形ABCD为正方形，AB=3,E为对角线AC上一点， 连接DE,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG, 23/25 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)AC的长为 ∠ACB的度数为， (2)求证：矩形DEFG是正方形： (3)若 CG=2/2 DEFG ,求正方形 的边长。 57.(25-26八年级下安徽合肥期末)如图，点B,C,E在同一直线上，点C,G,D在同一直线上， 四边形ABCD和四边形CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H,使DH=BK=CE,连接AK, KF,FH,AH. (I)求证：AK=AH: (2)求证：四边形AKFH是正方形：· (3)若CE=2,正方形AKFH的面积为40，求AE的长. 58.(25-26八年级下·福建龙岩·期末)综合与实践 问题情境：如图，在正方形ABCD中，AB=8,动点E在AC上（不与A、C重合），连接DE,作 EF⊥DE,交射线BC于点F,以DE,EF为邻边作DEFG,连接CG. D E B B 备用图 (I)求证：DEFG是正方形. 解决问题 24/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若 AE=22 .CF ,求的长； (3)求DG的最小值， 59.(25-26八年级下·上海青浦期末)点E是边长为1的正方形ABCD内部一点，连接AE、BE、CE、 DE.AE=AB D D 图1 图2 备用图 (1)如图1，求∠BED的度数； (2)如图2，当CE⊥DE时，求△ADE的面积： (3)延长DE交边BC于点F,当△EFC是以EC为腰的等腰三角形时，求BF的长. 60.(25-26八年级下陕西榆林期末)【问题情境】 如图，己知四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一动点（不与点A,C重合），连接DE,过点E作 EF⊥DE、BC DE,EF DEFG CG ，交于点F,以 为邻边作矩形 ，连接、 D 【基础探究】 图1 图2 (1)如图1，求证：四边形DEFG是正方形： 【拓展迁移】 ABCD (2)如图2，已知正方形心的边长为 5+1，当ADE=30时，求CG的长 25/25专题01 菱形、矩形、正方形的性质与判定 基础·固本强基 题型1 利用菱形的性质求解（重点） 题型2 利用矩形的性质求解（重点） 题型3 利用正方形的性质求解（重点） 提升·进阶突破 题型4 菱形中的作图问题(含无刻度作图)（难点） 题型5 矩形中的作图问题(含无刻度作图)（难点） 题型6 正方形中的作图问题(含无刻度作图)（难点） 拔高·压轴破难 题型7 菱形的性质与判定多结论问题（难点） 题型8 矩形的性质与判定多结论问题（难点） 题型9 正方形的性质与判定多结论问题（难点） 题型10 菱形的性质与判定综合问题（难点） 题型11 矩形的性质与判定综合问题（难点） 题型12 正方形的性质与判定综合问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 利用菱形的性质求解（共5小题） 【模型】菱形四边相等、对角线互相垂直平分，借此构造直角三角形求解。 【步骤】先标菱形边角与对角线，利用四边相等和对角线垂直平分，找直角三角形，用勾股定理或方程求解。 【易错】菱形对角线互相垂直平分但不一定相等；勿与矩形、正方形性质混淆；求边长时用对角线一半构造直角三角形。 1．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在菱形中，过点C作交对角线于点E，已知，则的度数为________． 【答案】65 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角形的内角和定理等知识点，掌握菱形的对角线平分一组对角是解题的关键． 由菱形的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：65． 2．（25-26八年级下·北京延庆·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，点E是的中点．若，则菱形的周长是_______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理．熟练掌握菱形的性质，中位线是解题的关键．由题意可得是的中位线，则，根据菱形的周长为，计算求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， 点为对角线的中点． 又点是边的中点， 是的中位线． ． 菱形的周长为． 3．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）如图，把菱形沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】利用折叠的性质得出的度数和，结合点E在边上得出为等腰三角形，进而求出的度数，再利用菱形邻角互补求出，最后计算的度数． 【详解】解：∵菱形沿直线折叠，点B落在边上的点E处， ∴，． ∴， ∵点E在边上， ∴在中，， ∴ ， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，两条宽为的长方形纸条叠放得到四边形，若，则这个四边形的面积为__________． 【答案】/平方厘米 【分析】首先根据长方形对边平行判定四边形为平行四边形，再利用两条纸条宽度相等证明该平行四边形邻边相等，从而判定为菱形，最后在直角三角形中利用三角函数求出边长，利用底乘高计算面积，即可求解． 【详解】解：由题意可知，两条长方形纸条的对边分别平行 ， 四边形是平行四边形，过点作于点，作于点 由题意得，纸条宽度相等，即 平行四边形是菱形 在中，，， 四边形的面积为 ． 5．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，菱形的两条对角线相交于O点，，，点P是边上的一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得出，的长度，然后根据勾股定理求出，然后根据垂线段最短得到当时，有最小值，然后利用菱形面积求解． 【详解】解：在菱形中，， ， ∵点P是边上的一个动点， ∴当时，有最小值，如图， ， ∴ ∴， 的最小值为． 题型2 利用矩形的性质求解（共5小题） 【模型】矩形四角为直角、对边平行且相等、对角线相等且互相平分。 【步骤】先标矩形边角与对角线，利用直角和对边相等找直角三角形，再用勾股定理或全等列方程求解。 【易错】矩形对角线相等且互相平分，但不一定垂直；勿与菱形性质混淆；用对角线一半时注意对应关系，别漏直角条件。 6．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，在矩形中，相交于点O，平分分别交，于点F，E，若，则的度数为____． 【答案】/105度 【分析】先证明为等边三角形，得到，再根据三角形的内角和定理和对顶角相等，求出的度数即可. 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴. 7．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在矩形中，连接，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线分别交于点，连接若，则的大小为_____． 【答案】/66度 【分析】设与交于点，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，结合矩形的性质可得出四边形为菱形，再进一步可得答案． 【详解】解：设与交于点， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·山东泰安·期中）如图，在矩形中，M为上一点，且，点P，Q分别为的中点，连接．若，，则四边形的周长为________． 【答案】22 【分析】由矩形的性质可得，再利用直角三角形的性质以及三角形中位线的性质可得，，运用勾股定理可得，即，最后根据四边形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵点P，Q分别为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 9．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，将含有的直角三角尺（）直角顶点A放到矩形的边上，若，则的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等． 设与的交点为点，由角的和差可求得，根据矩形的性质得到，从而，根据三角形的内角和定理求得，再根据对顶角相等即可得． 【详解】解：设与的交点为点， ∵，， ∴， ∵在矩形中，， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（25-26九年级下·河南安阳·期中）如图，点为矩形的对角线上异于，的一个动点，过点作于点，点为点关于的对称点，连接，．若，，当为直角三角形时，的长为______． 【答案】或 【分析】根据矩形性质和勾股定理求出的长，由轴对称性质可得，，分和两种情况进行讨论，利用同角的余角相等证明，列出比例式求出的长，进而求出的长． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∴， ∵，点为点关于的对称点， ∴垂直平分， ∴，， ∴， 设，则， 当时，如图所示： ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴，此时点在的延长线上， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 题型3 利用正方形的性质求解（共5小题） 【模型】正方形四边相等、四角为直角、对角线相等且互相垂直平分。 【步骤】先标正方形边角与对角线，利用直角和四边相等，找等腰直角三角形，用勾股定理或全等列方程求解。 【易错】正方形对角线相等且互相垂直平分，兼具矩形菱形性质；勿与一般矩形菱形混淆；用对角线时注意半对角线构造等腰直角三角形。 11．（25-26八年级下·山西长治·期末）如图，在正方形中，点E是边上的一点，点F在边的延长线上，且，连接交边于点．过点作，垂足为点，交边于点．若，，则线段的长为_________． 【答案】 【分析】连接，，，先证明，得到，，进而证明为等腰直角三角形，利用等腰三角形三线合一性质及线段垂直平分线的性质得到，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，，， 四边形为正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 垂直平分， ， 设， ，， ， ， ， ， ， 在中， ， 即， 解得， ． 12．（25-26八年级下·重庆开州·期末）如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作的垂线交对角线于点，垂足为，若，则_______，_________． 【答案】 / 【分析】由正方形的性质可得，，，结合等腰三角形的性质与角的和差可得，由勾股定理可得，从而得出，证明，得出，进一步结合角平分线的性质即可得解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，过作于， ∵，， ∴， ∴. 13．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，已知正方形的边长为6，P是中点，点F在上且满足，延长分别交于点M，交的延长线于点E，则的长为_______；的长为_______． 【答案】 【分析】过点F作，垂足为G，于点H，根据正方形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质解答即可． 本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：过点F作，垂足为G，于点H， ∵正方形的边长为6， ∴，，， 又∵， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴； ∴， 设， ∵P是中点， ∴． ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， 延长交于点Q， 则，四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵正方形的边长为6， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵正方形的边长为6， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 14．（25-26八年级下·天津滨海新区·期末）如图，在正方形中，是边延长线上一点，连接，点是的中点，过点作交于点，若，． （1）线段的长为_______； （2）若，线段的长为_______． 【答案】 【分析】（1）由正方形的性质可得，由平行线的性质得出，最后由勾股定理计算即可得出结果； （2）由正方形的性质可得，，取的中点，连接，证明四边形为矩形，得出，求出，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， 取的中点，连接， ∵点是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 15．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，P是正方形内一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数为________．    【答案】/度 【分析】根据正方形的性质得到，，，根据等边三角形的性质得到，，从而证得，求出的度数，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，进而求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，． ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 提升·进阶突破 题型4 菱形中的作图问题(含无刻度作图)（共5小题） 【模型】利用菱形四边相等、对角线垂直平分等性质，借助格点或尺规确定关键点作图。 【步骤】先分析菱形已知边角与对角线，确定作图目标，利用四边相等或对角线垂直平分找关键点，连线成图并验证。 【易错】无刻度作图须用格点或全等确定等长；菱形对角线垂直平分但不相等；勿把一般平行四边形当菱形，作图后要验证菱形条件。 16．（2026·广东·中考真题）如图，，，连接． (1)尺规作图：在上作点，连接，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)如图，点即为所求； (2) 证明：∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵，即 ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）根据作角平分线的尺规作图方法作出的平分线与的交点即为点； （2）先根据平行线+角平分线证明，然后进行等量代换结合平行证明四边形是平行四边形，再由有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 17．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，在菱形中，是边的中点，连接． (1)在边上确定一点，使得（尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若菱形的边长为，，求四边形的面积． 【答案】(1)如图，点即为所求； (2) 【分析】（1）以点B为圆心，为半径画弧，交于点H即可； （2）过点A作交的延长线于点F，求出，然后证明是等腰直角三角形，得到，，求出，然后利用平行四边形的面积公式求解． 【详解】（1）解：∵在菱形中，是边的中点 ∴ 由作图得， ∴ ∵在菱形中， ∴四边形是平行四边形 ∴； （2）解：如图，过点A作交的延长线于点F ∵菱形的边长为 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 18．（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，正五边形，请仅有无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，画一个以为边的菱形； (2)在图2中，画一个以为对角线的菱形． 【答案】(1) 如图，是以为边的菱形，即为所求； (2) 如图，是以为对角线的菱形，即为所求． 【分析】本题考查正多边形的内角，菱形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）连接、交点为，此时根据正五边形的性质得到，，即可得到，，则四边形是菱形； （2）延长、交于点，连接、，此时根据正五边形的性质得到，，即可得到，则四边形是菱形； 【详解】（1）略 （2）略 19．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，点E为线段的中点． (1)连接，请只用不带刻度的直尺过E点作，与交于点F，不写作法，保留作图痕迹． (2)若，证明：是菱形． 【答案】(1) (2)证明：∵为的中位线， 是菱形． 【分析】（1）连接交于点F，连接即可； （2）根据中位线定理得到，进而可知，即可证明是菱形． 【详解】（1）解：作图略； 证明：根据平行四边形的性质可知F为中点， ∵点E为线段的中点， ∴为的中位线， ∴； （2）略． 20．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点． (1)尺规作图：过点作于点，延长到点，使，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：四边形是矩形； (3)连接，若，，求的长度． 【答案】(1) 所作图形如图所示． (2) 证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； (3) 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图，菱形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图，菱形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理是解题的关键； （1）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再以这两点为圆心，大于这两点之间距离的一半为半径画弧，进而问题可求解； （2）由题意易得且，则有，进而根据矩形的判定定理可进行求证； （3）由题意易得，则有，然后根据勾股定理及菱形的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：四边形是菱形，， ， ， ， 在中，， 在中，， 四边形是菱形， ， ． 题型5 矩形中的作图问题(含无刻度作图)（共5小题） 【模型】利用矩形对边平行相等、四角为直角、对角线相等且互相平分等性质作图。 【步骤】先分析矩形已知边角与对角线，确定作图目标，利用直角或对角线互相平分找关键点，连线成图并验证。 【易错】无刻度作图须用格点或全等确定等长与直角；矩形对角线相等但不垂直；勿与菱形性质混淆，作图后要验证矩形条件。 21．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）如图，在矩形中，，，把这个矩形纸片折叠一次，使点B和点D重合． (1)请用直尺和圆规作出这条折痕（不写作法，保留作图痕迹）； (2)这条折痕交于点，交于点，直接写出的长． 【答案】(1) 如图，连接，作的垂直平分线，交于，交于，交于点，即为折痕． (2) 【分析】本题是矩形的折叠问题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． （1）作的垂直平分线即可； （2）由垂直平分线的性质和矩形的性质，易推出，由全等三角形的性质可得，再利用求出即可解答． 【详解】（1）略 （2）矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合， 垂直平分， ，， 四边形为矩形， ，，， ，， 在和中，   ， ， ， 由作法可知：， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴． 22．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，四边形是平行四边形． (1)求作菱形，使得点在边上，点在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形为矩形． 【答案】(1)如图，菱形即为所求； (2)证明：在菱形中，， 在中，， 又， ， 即， 为直角三角形，且， ∴四边形为矩形． 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接、，则四边形即为所求； （2）根据勾股定理的逆定理判断为直角三角形，得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：设与交于点O，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵垂直平分， ∴， ∴四边形为菱形． （2）略 23．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）如图将矩形纸片折叠，使得点落在边上的点M处，折痕经过点C，与边交于点N． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：求作点N，M（作图时，不写作法，保留作图痕迹，作好后请用黑色水笔描黑）； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 解：如图，以点C为圆心，为半径画弧，交于点M，连接，作的角平分线，交于点N，点，即为所求． (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，尺规作图—作角平分线，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）以点C为圆心，为半径画弧，交于点M，连接，作的角平分线，交于点N，则M、N即为所求；； （2）连接，由折叠的性质可得，，在中，由勾股定理得，则，设，则．在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 四边形为矩形， ，，， 由折叠可得，，， 在中，由勾股定理得，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 的长为． 24．（25-26八年级下·上海青浦·期末）将矩形纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕与边交于点，与边交于点，点落在点处． (1)如图1，请在图中作出示意图（其中折痕请用直尺和圆规作出，并保留作图痕迹）； (2)在图1中，连接，求证：； (3)设，（如图2），当点与点重合时，求的长． 【答案】(1) (2)证明：连接，，如图所示： 根据折叠的性质可得，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． (3) 【分析】（1）按照题意画图即可． （2）根据折叠的性质可得，，，，结合矩形和平行线的性质证明，进而可证． （3）根据折叠的性质可得，，结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：按照题意画图，如图所示． （2）略 （3）解：当点与点重合时，如图所示： 根据折叠的性质可得，，， ∵，， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，即， 解得：， ． 25．（25-26八年级下·江西新余·期末）如图，在矩形中，是对角线，为边的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，作一个以为腰的等腰三角形． (2)在图2中，作点，使四边形为平行四边形． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，点E即为所求． 【分析】（1）连接并延长交延长线于点G，连接即可； （2）连接交于点I，连接交于点O，连接并延长交延长线于点E，连接即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形 ∴，， ∴， ∵为边的中点 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴垂直平分 ∴ ∴是以为腰的等腰三角形； （2）解：∵四边形是矩形 ∴点I为的中点， ∵为边的中点 ∴是的中位线 ∴， ∴，即 ∵四边形是矩形 ∴所在直线是矩形的对称轴 ∴ 同（1）可证 ∴ 又∵，即 ∴四边形为平行四边形． 题型6 正方形中的作图问题(含无刻度作图)（共5小题） 【模型】利用正方形四边相等、四角直角、对角线垂直平分且相等等性质作图。 【步骤】先分析正方形已知边角与对角线，确定作图目标，利用直角、等边或对角线垂直平分找关键点，连线成图并验证。 【易错】无刻度作图须借格点或全等定等长与直角；正方形对角线垂直平分且相等；勿与矩形菱形混淆，作图后验证正方形条件。 26．（25-26八年级下·江苏徐州·期末）已知：在正方形中，E为边上的定点，F，G，H分别在边，，上．用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)用两种不同的方法，分别在图1、图2中作正方形； (2)在图3中，作矩形，并使其满足． 【答案】(1)如图1． 作图说明：①在上截取，在上截取，在上截取， ②连接，，，则四边形为正方形． 如图2． 作图说明：①连接，交于点，连接并延长交于点， ②作交于点，交于点，连接，，，则四边形为正方形． (2)如图3． 作图说明：①在上截取，在上截取，在上截取， ②连接，，，则四边形为矩形． 【分析】（1）作法1：可证明，则，，可得四边形为正方形； 作法2：根据作法可得，同理可得四边形为正方形； （2）根据作法可得，，再通过，得到，则，同理可得，则四边形为矩形． 【详解】（1）略 （2）略 27．（2025·江西新余·三模）如图，在正六边形的右侧作正方形，连接．请你仅用无刻度的直尺完成以下作图． (1)在图1中，在正方形的内部取点，使点与点关于直线对称； (2)在图2中，在正方形的内部取点，使． 【答案】(1) 如图1，点即为所求； (2) 如图2，点即为所求． 【分析】本题考查基本作图，涉及正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、轴对称的性质等知识，正确作出图形是解答的关键． （1）延长交延长线于M，根据正六边形的性质得，，，进而可得，是等边三角形，则，即点与点关于直线对称； （2）连接交延长线于P，由正方形的性质得，进而利用三角形的内角和定理推导出，根据等角对等边可得． 【详解】（1）略 （2）略 28．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图①，四边形是边长为的正方形．点是边上不与点、重合的动点，连接，作点关于的对称点，连接并延长交边于点，连接、． (1)线段的长为________； (2)求证：； (3)当、、三点共线时，请你在图②中用无刻度的直尺和圆规作出点和点．不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑．结合所画的图求的度数； (4)当为等腰三角形时，直接写出线段的长． 【答案】(1)6 (2)证明：四边形是正方形， ，． 点与点关于对称， 垂直平分， ． ， ． ． (3)①作的平分线； ②过点作线段的垂线 ③截一条线段等于已知线段（或或） (4)或 【分析】（1）根据对称的性质可得； （2）根据正方形的性质可得，．根据对称的性质得出，进而根据证明； （3）作的平分线，过点作线段的垂线，截一条线段等于已知线段，作或或，进而根据正方形的性质以及三角形的内角和定理，即可求解． （4）分三种情况讨论，，，，根据正方形的性质，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵点是点关于的对称点， ∴； （2）略 （3）解：如图，连接 根据作图可得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ （4）解：如图，当时，过点作于点，延长交于点，连接， 则四边形是矩形 ∴， 在中，， ∴ 设， ∴， 在中， ∴ 解得： 即； 如图，当时，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∴， 设，则， 在中， ∴ 解得： 即； 当时，此时点与点重合，点与点重合，不符合题意，此情况不存在，舍去， 综上所述，当为等腰三角形时，或． 29．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在网格中，每个小正方形的边长都是，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在网格内，且在格点上． (1)如图，画一个以为边的正方形； (2)如图，画一个以为边，且面积为的菱形． (3)如图，画一个以为对角线，且面积为的平行四边形． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据勾股定理可得，，得四边形为菱形，再根据得到，即四边形为正方形； （2）根据勾股定理可得，再利用割补法可得菱形的面积为； （3）根据平行四边形的性质取格点，，连接即可，根据割补法可得平行四边形的面积为． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 30．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）用无刻度的直尺和圆规完成下列作图： (1)如图，中，，在边上求作一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图，正方形，请在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，并简要写出作法） 【答案】(1) 如图，点即为所求； ； (2) 如图，即所求； ； 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，作等边三角形，垂直平分线的性质等； （1）连接，作的垂直平分线交于，由垂直平分线的性质可得，可得； （2）如图，以为边在正方形内部作等边三角形，再延长交于即可； 【详解】（1）解：略； （2）解：略． 拔高·压轴破难 题型7 菱形的性质与判定多结论问题（共5小题） 【模型】以菱形性质与判定为条件，对多个结论逐一判断真假并说明理由。 【步骤】先明确已知是菱形还是需判定，再逐条分析每个结论，依据性质或判定定理判断真假，选出正确结论。 【易错】性质与判定勿混用，已知菱形用性质，需证菱形用判定；对角线垂直平分但不相等，勿与矩形正方形混淆，逐条验证。 31．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，已知菱形的边长为4，对角线、相交于点，点，分别是边、上的动点，，，分别与交于点，，连接、．以下结论正确的是______． ①；②；③当最小时，；④当时，则． 【答案】①②④ 【分析】可证明是等边三角形，得到，再证明是等边三角形，得到，则可证明，得到，据此可判断①②；证明是等边三角形，得到，则当时，有最小值，即此时有最小值，可证明，据此可判断③；证明是等腰直角三角形，得到，则可求出，过点E作于点H，可证明是等腰直角三角形，得到，可推出，，则，据此可判断④． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，即此时有最小值， ∴此时点M为的中点， ∴，， ∴， ∴点N为的中点， ∴， ∴， ∴，故③错误； 当时，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，，则， ∴，， ∴， 过点E作于点H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可证，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，故④正确； ∴正确的有①②④． 32．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为，与交于点H，有如下结论：①；②；③的周长等于的长；④，上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【分析】连接，得到是等边三角形，根据三线合一的性质得到，由折叠得，求出的度数即可判断①；利用30度角的性质求出，勾股定理求出，即可判断②；连接，连接，由等边对等角求出，得到，由等角对等边得出，即可判断③；过点F作于点M，先求出，由折叠得，，设，则，求出，再得到，则可求，，即可判断④． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴是等边三角形， ∵E是边的中点， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； 连接， 由折叠得，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长等于，故③正确； 过点F作于点M， ∵， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即，故④错误； 故答案为：①②③． 33．（2026·吉林长春·中考真题）如图，已知的面积为3，且．将沿方向平移长度得到，连接，，交于点，给出下面四个结论：①四边形的面积是9；②；③；④若，则．上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】 ①②④ 【分析】根据平移性质得出，，结合判定四边形为菱形；利用菱形性质、平行四边形判定及面积公式逐一判断各结论；对于结论④，利用等腰三角形性质及角直角三角形性质求解． 【详解】解：由平移的性质可知，，，，， ， ， 且， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． 对于①： 设边上的高为 四边形是菱形 四边形的面积 ，故①正确； 对于②：四边形是菱形， ， 且， 四边形是平行四边形， ， ， ，故②正确； 对于③：四边形是菱形， 为中点，， ． 四边形是平行四边形， ， ， 在中，， ， ，即 ，故③错误； 对于④：四边形是菱形， ， ， ，即， ． 过点作于点， ∵在中， ， ． ， ， ， ， ，故④正确 ， 综上所述，正确结论的序号有①②④． 34．（25-26八年级下·北京东城·期末）如图，在菱形中，是的中点．点是线段上的动点，记线段的长为．有以下三个结论： ①若是线段的中点，则； ②的取值范围是； ③若在菱形的内部存在点，使得，且，则的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是__________________________． 【答案】①②/②① 【分析】根据菱形性质及三角形中位线定理判断；利用垂线段最短及勾股定理求出的最小值和最大值判断②；通过特殊位置法，当与重合时验证是否符合条件判断③ 【详解】解：四边形是菱形， ， 是线段的中点，是的中点， 是的中位线， ，即，故①正确 四边形是菱形，， ∴， ，， 当时，取得最小值，如图 在中，，， ， 当点与点重合时，取得最大值，如图 过点作交的延长线于点， ，， ∴， ∴， ∴， 是的中点， ， ， 在中， ， ，故②正确， 连接，如图 ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ， 是的中点， ∴， ∴， 当时，取点与点重合此时为中点，在上，，在上取， ∴， 此时点G在菱形的内部，如图 可以取， 结论③中错误，故③错误， 综上所述，正确结论的序号是①②． 35．（25-26八年级下·山东泰安·期中）如图，在菱形中，，与交于点O，E为延长线上的一点，且，连接分别交、于点、，连接，则下列结论中一定成立的是________．（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①； ②； ③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识； 由证明，得出，证出是的中位线，得出，①正确；先证四边形是平行四边形，再证、是等边三角形，得，则四边形是菱形，③正确；由即可证明，则②正确． 【详解】证明：四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ∵， ， ， 是的中位线， ，故①正确； 连接， ∵，， 四边形是平行四边形， ， 、是等边三角形， ， ∴四边形是菱形，故③正确； ∵、是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， 综上，①②③都正确， 故答案为：①②③． 题型8 矩形的性质与判定多结论问题（共5小题） 【模型】以矩形性质与判定为条件，对多个结论逐一判断真假并说明理由。 【步骤】先明确已知是矩形还是需判定，再逐条分析每个结论，依据性质或判定定理判断真假，选出正确结论。 【易错】性质与判定勿混用，已知矩形用性质，需证矩形用判定；对角线相等但不垂直，勿与菱形正方形混淆，逐条验证。 36．（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，对矩形纸片进行如下操作： （1）对折矩形纸片，使与重合，折痕与边和分别交于点，，把纸片展平； （2）再次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，折痕交边于点，交于点，再把纸片展平； （3）连接，，，． 下列结论正确的是_________． ①；②是等边三角形；③；④；⑤四边形是菱形． 【答案】①②④⑤ 【分析】根据折叠的性质得到，，，，，，可证明是等边三角形，得到，根据30度角的性质得到，根据勾股定理求出，可知，根据垂直平分线的性质得到，可知，根据等边三角形的性质和矩形的性质求出，根据折叠的性质得到，可知，根据可证，得到，根据等边三角形的性质得到，可知，即可证明四边形是菱形． 【详解】解：∵对折矩形纸片，使与重合， ∴是的中垂线， ∴，，， ∵再次折叠纸片，使点落在上的点处， ∴，， 即， ∴是等边三角形，②正确； ∴，①正确； ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，即，③错误； ∵是的中垂线， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵矩形纸片， ∴， ∴， ∵再次折叠纸片，使点落在上的点处， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴，④正确； ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，⑤正确． 37．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，矩形纸片中，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后，再过点折叠，使点落在上的点处，折痕为，再次展平，若交于点，连接，．有下列结论：①；②点为中点；③线段的长为；④若、分别为线段、上的动点（不包括端点），则的最小值是．其中，正确结论的序号是_______． 【答案】①②④ 【分析】连接，根据折叠的性质得到，推出是等边三角形，，结合矩形的性质即可判断①；连接，求出，由折叠得，再求出，得到，即可判断②；利用勾股定理求出和的长，进而求出，判断③；利用轴对称性质将转化为，根据垂线段最短求出最小值，判断④． 【详解】解：①连接， 由折叠可知，垂直平分，， ，， ∴， ∴是等边三角形， ， 四边形是矩形， ， ， 故结论①正确； ②连接， ∵， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∴， ∴，即点为中点； 故结论②正确； ③在中，，， ， ∵，即， 解得， 同理：， ， 故结论③错误； ④连接，由折叠可知，点与点关于直线对称， ， ， 当、、三点共线，且时，的值最小， 最小值为点到的距离， ，， 是等边三角形， ∴ 点到的距离为， 的最小值是， 故结论④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 38．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，是等腰直角三角形，，点在线段上，过作于，于，点，分别是，的中点，若，则下列结论正确的是______（写出所有正确结论的序号） ①；    ②的最小值是；    ③的面积始终保持不变； ④当点不与点重合时，是等腰三角形． 【答案】①②④ 【分析】证明四边形是矩形，可得，可判断①；连接，根据矩形的性质可得当时，最小，此时点D与点H重合，即的最小值的长，可判断②；设，则，可得到的面积随x的变化而变化，可判断③；再由直角三角形的性质可判断④． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵点是的中点， ∴，故①正确； 如图，连接， ∵点G是的中点，四边形是矩形， ∴点G，D，A三点共线， ∵点H是的中点，是等腰直角三角形， ∴，且， ∵四边形是矩形， ∴， ∴当时，最小，此时点D与点H重合，即的最小值的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是，故②正确； ∵四边形是矩形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴的面积为， ∴的面积随x的变化而变化，故③错误； ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴当点不与点重合时，是等腰三角形，故④正确． 39．（25-26八年级下·北京密云·期末）如图，在矩形中，，，点，分别是边、上的动点（点不与，重合），．是五边形内一点，且满足，．给出下列四个结论： ①与一定互补； ②点到，两边的距离一定不相等； ③点到的距离的最大值为； ④当是中点时，点恰好是中点． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①②③ 【分析】根据四边形内角和定理判断①；过点作，的垂线，利用全等三角形证明点在的平分线上，进而计算点到，的距离判断②；利用垂线段最短及等腰直角三角形性质判断③；利用勾股定理计算的长判断④． 【详解】解：①在四边形中，，， ， 与一定互补，故①正确； 过点作于，于， 分别延长交于H，K 由题意可知，， ， 四边形为矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点到，的距离相等，设为， 点到的距离为，点到的距离为， ， 点到，两边的距离一定不相等，故②正确； ， ， 为等腰直角三角形，， ， ， 当时，取最大值， 此时 ，，符合题意，故③正确； 当是中点时，， 在中，， ，的中点为， ， 点不是中点，故④错误． 40．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，点是的中点，的平分线交于点，将沿折叠，点恰好落在上点处，延长、交于点，有下列四个结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确结论的序号是__________． 【答案】①②④ 【分析】根据折叠的性质可得，，结合角平分线的性质可得，从而判断①；通过证明和，得出，利用等腰三角形三线合一的性质判断②；根据边长数量关系推导，判断④；假设是等边三角形，推导角度矛盾，判断③ 【详解】解：四边形是矩形， ，， 由折叠的性质可得：，， 平分，， ．故①正确，符合题意 在和中， 在和中， 点是的中点 ．故④正确，符合题意 是等腰三角形 平分 ．故②正确，符合题意 若是等边三角形，则 这与矛盾 不是等边三角形．故③错误，不符合题意 综上所述，正确的结论是①②④ 题型9 正方形的性质与判定多结论问题（共5小题） 【模型】以正方形性质与判定为条件，对多个结论逐一判断真假并说明理由。 【步骤】先明确已知是正方形还是需判定，再逐条分析每个结论，依据性质或判定定理判断真假，选出正确结论。 【易错】性质与判定勿混用，已知正方形用性质，需证正方形用判定；对角线垂直平分且相等，勿与矩形菱形混淆，逐条验证。 41．（25-26八年级下·青海西宁·期末）如图，在正方形中，是对角线与的交点，是边上的动点（点不与，重合），过点作交于点，连接，，．下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①②③④ 【分析】证明，得到，进一步依据全等三角形的性质和正方形的性质逐一推导即可. 【详解】解：结论①：， 四边形是正方形， , ， ， ， 又， ， 在和中： ， 结论①正确； 结论②：是等腰直角三角形， 由，得， 正方形中，是对角线交点， ，， 在和中： ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，②正确； 结论③：； 由，得 ， ， 正方形对角线平分面积，， ，③正确； 结论④：； ∵ 是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴．故④正确； 综上，①②③④均正确，共4个． 42．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，四边形是正方形，延长至点，使，连结．平分交于点，交于点．在上截取，连结交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①②③ 【分析】根据正方形的性质和线段垂直平分线的性质可证，进而判断为等腰直角三角形；利用证明，可得及对应角相等，结合角平分线定义和三角形内角和定理可证；通过计算角度可得，从而判断是否成立，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形 是线段的垂直平分线 ，故①正确 在和中 ，故②正确 平分 在中， ，故③正确 是的外角 ， 不是等边三角形 ，故④错误 综上所述，正确的结论是①②③ 43．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在上，连接，于点N，过点E作的平行线交正方形的外角的平分线于点G，连接，．有如下结论：①；②；③四边形是平行四边形；④若点E为中点，点P为直线上的一个动点，连接，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①③ 【分析】即可判断①；在上取点，使，连接，然后证明，再结合平行四边形的判定定理证明四边形 是平行四边形，即可判断③；先证明，在上取点，使，连接、，则 ，那么 ，当、、三点在一条直线上时，等号成立，此时最小值为 的长，再由勾股定理求解最小值，即可判断④． 【详解】 四边形 是正方形 ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中 ， 故结论①正确； 在上取点，使，连接，如图2， 四边形 是正方形 ， ，， ∴，， ∴， 平分 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， 四边形是平行四边形，故结论③正确； ∵点E为中点，正方形中， ∴， ∵， ∴， ∴ 在上取点，使， 如图3，连接、， 平分， ∴点 、是 关于直线的对称点，连接， ∴， ∴ ，当、、三点在一条直线上时，等号成立，此时最小值为 的长， ∵正方形中，， ∴， 的最小值是 ，故结论④错误， 对于②，现有条件不足以证明，故②错误， ∴正确的有①③． 44．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在正方形纸片中，点是边上一点，连结，将正方形沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结、，给出以下结论：①；②；③与的面积相等；④若，连结，则．上述结论中，正确结论的序号有____． 【答案】①②④ 【分析】根据的证明方法可判断①，根据翻折的性质可得，由全等三角形的性质可得，由此可判断②；分别表示出与的面积，再由与的关系判断③；根据，且点为的中点，得到，得到角的关系，进而得到由此判断④． 【详解】解：在正方形中，，， 由翻折的性质可得，， ∴，， 在与中， ， ∴，故①正确； 由翻折的性质可得， 由①，可得， ∴，故②正确； 过点作于点，如图， ，， ∵与是否相等，由题干已知条件无法得知， ∴与的面积是否相等不确定，故③错误； 若，则点为的中点， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴，即， ∴，故④正确． 故上述结论中，正确结论的序号为①②④． 45．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，点是正方形内部一点，连结、，过点作，交的延长线于点，连结、，且，．给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积为；④点到的距离为．上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②③ 【分析】先利用正方形边与角相等、同角余角相等证；再借助全等对应角相等与三角形内角和证明；接着结合等腰直角三角形面积、勾股定理求出与面积，相加得到四边形面积；最后过点作，利用等腰直角三角形求出垂线段长度，判断结论④正误． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ，即， ， ， 在和中： ， ，①正确； ， ∴， 设与交于点， 在中，， ， ， ， 在中，， ，②正确； ，， 是等腰直角三角形， ，， 在等腰直角中，， 由共线，得， ， ， ，即是直角三角形， 在中，， ，即， ， ，③正确； 过作，交的延长线于，的长度即为点到的距离， ， ， 是等腰直角三角形，即, 在中，, 代入得， 解得,即点到的距离为，不是，④错误； 综上所述，正确的为①②③． 题型10 菱形的性质与判定综合问题（共5小题） 【模型】菱形性质与判定综合，先判菱形再用性质，或先定性质再证判定。 【步骤】先分析已知条件，选择判定定理证菱形，再用菱形性质得边角对角线关系，结合勾股或全等求解。 【易错】判定与性质勿倒用，已知菱形用性质，证菱形用判定；对角线垂直平分但不相等，勿与矩形正方形混淆，注意边角对应。 46．（2026·云南·中考真题）如图，在四边形中，，相交于点，，，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据，得到，进而得到四边形是平行四边形，根据平行线的性质，角平分线的定义，推出，进而得到，即可得证； （2）根据角的数量关系，和差关系求出的度数，再根据菱形的性质，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 47．（25-26八年级下·北京西城·期中）如图，在中，，D为中点，连接，E为中点，过点B作的平行线，交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，得到，结合D为中点，可证，即可结合证明结论； （2）过点D作于点G，过点F作，交的延长线于点H，先求出，，根据勾股定理可求得，再分别求出，，即可根据勾股定理求得答案． 【详解】（1）证明：， ，， 为中点， ， ， ， 为中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，D为中点， ， 四边形是菱形； （2）解：过点D作于点G，过点F作，交的延长线于点H， 为中点，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ． 48．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，在平行四边形中，是的平分线，，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，进而可得四边形是平行四边形，再结合已知条件证明即可； （2）连接交于点O，如图，利用菱形的性质结合勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵是的平分线， ∴ ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：连接交于点O，如图， 则，， ∴在直角三角形中，， ， ∴， ∴菱形的面积． 49．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，，是上一点，交于F，连接． (1)证明： (2)若，试证明四边形是菱形； (3)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据边边边证明两个三角形全等； （2）根据平行线的性质可知，进而根据等边对等角可知，再根据四条边相等可知为菱形； （3）证明，可知，进而可知是等腰三角形，设，根据所对的直角边等于斜边的一半可知，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， , ∴， ∴ （2）解：∵ ∴, ∵ ∴, ∴, ∴, ∴四边形是菱形 （3）解：由（2）可知四边形是菱形， ∵， ∴, 在和中， , ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴ , ∴, ∴， 设， ∴, ∴, 在等腰三角形中， ∴ ∴． 50．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）已知点是内一点，连接，． (1)当点在对角线上． ①如图1，若的面积为，的面积为，求的面积； ②如图2，若，，，求平行四边形的周长； (2)如图3，对角线与相交于点，点不在对角线上，连接，，与交于点，与交于点．求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】（1）①如图1，过点作于点，过点作于点，证明，得出，进而得出，根据，即可求解； ②如图2，连接交于点．证明是菱形．设，则．由勾股定理，得，得出，再根据菱形的性质，即可求解； （2）如图3，连接．根据等底同高，得，，得出，进而得出结论． 【详解】（1）解：①如图1，过点作于点，过点作于点． ∴． ∵四边形是平行四边形，，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，，， ∴． ∵，∴， ∴． ②如图2，连接交于点． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即． ∴是菱形． ∴，， ∴． 设，则． 由勾股定理，得， ∴，解得， ∴． ∴菱形的周长． （2）证明：如图3，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，， 根据等底同高，得，， ∴， ∴， ∴． 题型11 矩形的性质与判定综合问题（共5小题） 【模型】矩形性质与判定综合，先判矩形再用性质，或先定性质再证判定。 【步骤】先分析已知条件，选择判定定理证矩形，再用矩形性质得对边、直角、对角线关系，结合勾股或全等求解。 【易错】判定与性质勿倒用，已知矩形用性质，证矩形用判定；对角线相等但不垂直，勿与菱形正方形混淆，注意直角条件。 51．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，已知，延长到，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵，且， ∴， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）首先证明四边形为平行四边形，再根据等腰三角形“三线合一”的性质证明，即可证明结论； （2）结合平行四边形的性质以及矩形的性质，可得，，且，然后在和中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵四边形为平行四边形，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，， ∴在中，． 52．（25-26八年级下·广西钦州·期中）如图，矩形的对角线相交于点O，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，再根据矩形性质可得：，利用菱形的判定即可证得结论； （2）根据矩形的性质得到，可知是等边三角形，得到，进而得到，根据菱形的性质计算即可． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 矩形的对角线，相交于点， ，，， ， 四边形是菱形 （2）解：∵， ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由（1）知四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长． 53．（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，四边形的对角线，相交于点，，，，． (1)求的长和四边形的面积； (2)若点是的中点，连接，过点作交的延长线于点，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）先根据勾股定理求得的长，进而得出，结合得出四边形是平行四边形，进而根据平行四边形的性质求得面积，即可求解； （2）根据中位线的性质得出，进而证明，即可得出四边形是矩形． 【详解】（1）解：在中，， ， 又， 又， 四边形是平行四边形， ， ∵ ∴ （2）证明：在中，， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是矩形． 54．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，菱形，过点，分别作，交，的延长线于点，． (1)求证：四边形为矩形． (2)连接，交于点，若，求菱形的周长． 【答案】(1) 证明：四边形为菱形， ． ，， ，， ， ∴四边形是矩形． (2) 【分析】（1）根据有三个角是直角的四边形为矩形，进行证明即可； （2）设，（），则，再根据勾股定理得出，，列出方程，再解方程进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ． 设，（）， ∵四边形是矩形． ∴， 在中，， ∵ ∴ 解得： ∴菱形的周长是． 55．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，、分别是中线，相交于点O，F、G分别是、的中点，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若， ①求证：四边形是矩形； ②若，，则的长度是_____． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）利用三角形中位线定理可得出，，然后利用平行四边形的判定即可得证； （2）①证明，得出，，根据等角对等边得出，进而得出，根据平行四边形的性质可得出，最后根据矩形的判定即可得证； ②根据勾股定理求出，，根据平行四边形的性质和线段中点的定义可求出 ，然后在中根据勾股定理求解即可. 【详解】（1）证明：∵的中线，交于点O， ∴，， ∵点F，G分别是，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）①证明：∵、分别是中线， ∴，， 又， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形是矩形； ②解：∵，、分别是中线， ∴，， 又， ∴，， ∵四边形是平行四边形，F是的中点， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴. 题型12 正方形的性质与判定综合问题（共5小题） 【模型】正方形性质与判定综合，先判正方形再用性质，或先定性质再证判定。 【步骤】先分析已知条件，选择判定定理证正方形，再用正方形性质得边、角、对角线关系，结合勾股或全等求解。 【易错】判定与性质勿倒用，已知正方形用性质，证正方形用判定；对角线垂直平分且相等，勿与矩形菱形混淆，注意边角条件。 56．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)的长为__________，的度数为_______________； (2)求证：矩形是正方形； (3)若，求正方形的边长． 【答案】(1) (2)证明：①过点作于于点，如图1所示： 则四边形为矩形， ， ∴为等腰直角三角形， ， ∴矩形为正方形， ， ， ∵四边形为矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴矩形是正方形； (3) 【分析】（1）根据正方形性质得，在中由勾股定理可求出的长； （2）过点作于于点N，则四边形为正方形，再证明和全等，得出，进而即可得出结论； （3）连接，先证明和全等得，则，，由此可得的长； 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，， ∴， 在 中， 由勾股定理得：； （2）略 （3）解：连接，如图2所示： ∵四边形和四边形都是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在 中，由勾股定理得：， 在 中，由勾股定理得：， ， ， 即正方形的边长是． 57．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图，点，，在同一直线上，点，，在同一直线上，四边形和四边形均是正方形，点在上，延长到点，使，连接，，，． (1)求证：； (2)求证：四边形是正方形； (3)若，正方形的面积为40，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； (3)10 【分析】（1）由正方形的性质易得，，再由平角的定义得出，结合证得，最后利用全等三角形的性质即可证得结论； （2）由正方形的性质易得，，则，，由线段的和差关系并等量代换得出，进而证得，则，那么，结合直角三角形的性质及平角的性质求得，利用平行线的判定定理证得，结合所得结论先证得四边形是平行四边形，再证得它是矩形，最后证得它是正方形即可； （3）结合正方形的性质利用勾股定理可求解，，再利用勾股定理可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵四边形的面积为40， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 58．（25-26八年级下·福建龙岩·期末）综合与实践 问题情境：如图，在正方形中，，动点E在上（不与A、C重合），连接，作，交射线于点F，以，为邻边作，连接． (1)求证：是正方形． 解决问题 (2)若，求的长； (3)求的最小值． 【答案】(1)过作于点，过作于点， 正方形， ， ，且， 四边形为正方形， ， 四边形是平行四边形，且， ∴四边形是矩形， ， ， 又， 在和中， ， ， ， 平行四边形为正方形； (2)； (3)的最小值为． 【分析】（1）作出如图的辅助线，由，得到，即可求解； （2）证明是等腰直角三角形，求得，据此计算即可求解； （3）先求得，点在的角平分线上，当时，取得最小值，此时是等腰直角三角形，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：略 （2）解：过作于点，交于点，过作于点， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：矩形为正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ∴点在的角平分线上， 当时，取得最小值， 此时是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 59．（25-26八年级下·上海青浦·期末）点是边长为1的正方形内部一点，连接、、、，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，当时，求的面积； (3)延长交边于点，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由可知、是等腰三角形，由它们的内角和为，可得，从而解得的度数； （2）过点作于点，由及等腰三角形三线合一的性质可知，，，由勾股定理解得，可得与，即可得到的面积； （3）分情况讨论，①，②，通过解直角三角形，得到的长度，即可计算出的长度． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，点是正方形内部一点，， ∴，， ∴，， ∵、的内角和为， ∴，， ∴， ∴ ∴； （2）解：∵四边形是正方形，点是正方形内部一点，， ∴，， 如图，过点作于点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 令，则， 在中，，即， 解得，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：延长交边于点，是以为腰的等腰三角形， 当时，如下图所示，过点作于点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴ ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，且边长为1， ∴， 设， ∵ ∴ ∵，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴ 解得，（，故舍去）， ∴， ∴， 当时，如下图所示，过点作交于点M，交于点N，交于点P，交于点Q， ∵四边形是正方形， ∴，四边形及四边形都是矩形， ∵点在的延长线上， ∴， ∴， ∴ ∴点在的延长线上，即点、、共线， ∴点在正方形的对角线上， ∴，， 设，则， 在中，，即 解得，（，故舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴ 综上，或． 60．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）【问题情境】 如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一动点（不与点A，C重合），连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． 【基础探究】 (1)如图1，求证：四边形是正方形； 【拓展迁移】 (2)如图2，已知正方形的边长为，当时，求的长． 【答案】(1)证明：如图所示，过E作于点M，过E作于点N， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． (2) 【分析】（1）过E作于点M，过E作于点N，得到，推导出，四边形为正方形，得到，，进而推导出，得到，则四边形是正方形，即可解答； （2）作于点H，推导出，得到，，进而推导出是等腰直角三角形，设，得到，，根据勾股定理，求出，得到，求出，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于点H， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． $