07-第一章 特殊平行四边形-4 正方形的性质与判定-课时2 正方形的判定-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（北师大版·新教材）

这是一份初中数学九年级上册的课件，共40页，聚焦正方形的性质与判定及中点四边形内容。以“刷基础-刷提升-刷素养”为学习支架，包含知识点讲解、各地期中期末真题例题及详细解析，支持WPS编辑和页面超链接跳转。 资料特色在于融合核心素养，通过折叠证明正方形、中点四边形动态变化等例题，培养几何直观与推理能力，设置“含90°角的对角互补模型”归纳提升模型观念。分层练习助力学生用数学思维解决问题，为教师提供丰富教学资源，帮助九年级学生巩固中考重点。

数 学 九年级上册 BS 1 2 3 第一章 特殊平行四边形 4 4 正方形的性质与判定 课时2 正方形的判定 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 正方形的判定 1.【2025江苏南京期中】在四边形中， ，如果再添加 一个条件可证明四边形 是正方形，那么这个条件可以是( ) A A. B. C. D. 【解析】在四边形中， ， 四边形 是矩形.当 ，即一组邻边相等时，矩形 为正方形，故A符合题意.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 （第2题图） 2.如图，小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题， 从下列四个条件：， ， ， 中任选两个作为补充条件，使 为正方形.现有下列四种选法，你认为错误的是 ( ) A A.②③ B.①③ C.①② D.③④ 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 【解析】A选项， 四边形是平行四边形， 当 时，平行四 边形是矩形，而，这是矩形的性质，无法得出四边形 是正 方形，故此选项错误，符合题意； B选项， 四边形是平行四边形， 当 时，平行四边形是菱形，当时，菱形 是正方形， 故此选项正确，不合题意；C选项， 四边形是平行四边形， 当 时，平行四边形是菱形，当 时，菱形 是正 方形，故此选项正确，不合题意；D选项， 四边形是平行四边形， 当 时，平行四边形是矩形，当时，矩形 是正方形， 故此选项正确，不合题意.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 关键点拨 要证是正方形，可先证 是菱形，再证有一个角是直角或对角线相 等；或先证 是矩形，再证一组邻边相等或对角线互相垂直. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 （第3题图） 3.【2026河南郑州调研】如图，将矩形纸片折叠，使点 落 在上的点处，折痕为，若沿剪下，则四边形 是一 个正方形，其数学原理是______________________________. 有一组邻边相等的矩形是正方形 【解析】 将矩形纸片折叠，点落在上的点处， ，且易得 四边形为矩形， 四边形 为正方形.故其数学原理是有一组邻边相等的 矩形是正方形.故答案为有一组邻边相等的矩形是正方形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 4.【2026山东烟台期中】如图，四边形和四边形都是正方形，点 在 上，延长到点，使.求证：四边形 是正方形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 【证明】 四边形和四边形 都是正方形， ,， ， ， . 在和中， ，， . 同理可得，， 四边形 是正方形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 5.【2026贵州六盘水期末】如图，在矩形中， 的 平分线交于点，过点作于点，连接 . （1）求证：四边形 是正方形； 【证明】 四边形是矩形， ， ， ， 四边形 是矩形. 平分，，，， 四边形 是正方形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 （2）若，求 的度数. 【解】 四边形是正方形， ，易得 ，， ， ，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 6.【2026四川凉山州期中】如图，在中， 平分 ，平分的外角，过点作 于 ，于，连接交于点 . （1）求证： ； 【证明】平分，平分的外角 ， （2）当线段和满足什么条件时，四边形 为正方形？ 【解】 四边形是矩形， 当时，四边形 为正方形. ， 四边形是矩形， . ，，， ， 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 知识点2 中点四边形 7.如图，任意四边形中，点，，，分别是边，，， 的中点， 连接，，对于四边形 的形状，下列说法中错误的是( ) D A.若，则四边形 为菱形 B.若，则四边形 为矩形 C.若，且，则四边形 为正方形 D.若与互相平分，且，则四边形 是正方形 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 【解析】当，，，是四边形各边中点，且 时，存在 ，则四边形为菱形，故A选项不符合题意；当， ， ，是四边形各边中点，且 时，存在 ，则四边形 为矩形，故B选项不符 合题意；当，，，是四边形各边中点，且， 时，存 在， ，则四边形 为正方形，故C选项不符合题意；当，，，是四边形 各边中点， 且与互相平分，时，存在，则四边形 为 菱形，故D选项符合题意.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 关键点拨 根据三角形中位线定理可得， ，从而得到四边形 为平行四边形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 提升 （第1题图） 1.［中］将图（1）中两个三角形按图（2）所示的方式摆 放，其中四边形为矩形，连接， ，甲、乙两 人有如下结论： 甲：若四边形是边长为1的正方形，则四边形 必是正方形； 乙：若四边形为正方形，则四边形 必是边长 为1的正方形.下列判断正确的是( ) D A.甲正确，乙不正确 B.甲不正确，乙正确 C.甲、乙都不正确 D.甲、乙都正确 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 【解析】甲： 四边形是边长为1的正方形， ， ，，， ， ，，同理可得， 四边形 是菱形. 在和中， ， ， ， ，则四边形必是正方形， 甲正确.乙：若四边形 为 正方形，则 ，且 ， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 .在和 中， ，， ,同 理可得.又， . 又 四边形为矩形， 四边形必是边长为1的正方形， 乙正确.故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 思路分析 若四边形是边长为1的正方形，根据，求出和 的值，根据勾股定理求出的值，同理可求出 的值,即可判断甲是否正确.若四 边形为正方形，根据边的关系可以求出 ，即可判断乙是否正确. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 （第2题图） 2.【2025广东广州期中，中】如图，已知菱形 的边长 为2， ，进行如下操作：第一次，顺次连接菱 形各边的中点，得到四边形 ；第二次，顺 次连接四边形 各边的中点，得到四边形 ； ，如此反复操作下去，则第 次操作后，得 到四边形 的面积是( ) B A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 （第2题图） 【解析】连接，，如图. 点，分别是和 的中点，点，分别是和的中点，是 的中位线，是的中位线， ， ，，， ， ， 四边形是平行四边形.又 四边 形是菱形，,分别是,的中点，是 的中 位线，, ， ， 四边形 是 矩形. 四边形是菱形，， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 ，是等边三角形.又 ， .易得， 四边形的面积为 ；依次类推， 四边形的面积为；四边形 的面积为 ； ， 四边形的面积为 .故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 3.【2026广西南宁质检，中】如图，正方形 的边长为9， 为对角线上一点，连接，过点作，交射线 于点，点在的延长线上.以，为邻边作矩形 ， 连接 ，下列结论中不正确的是( ) B A.矩形是正方形 B. C.平分 D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 （第3题图） 【解析】如图，过点作于点，于点 ，则 四边形 是正方形， ， ， ， ， 四边形 是 矩形, 四边形是矩形， ， , , ，， 矩形 是正方形，故A正确. ， 矩形 是正方 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 形，.又，， ， ， ， ，，故D正确. ， ， ,平分 ，故C正确. , ,,，与 不一 定相等，与 不一定相等，故B不正确.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 4.【2025湖北武汉期末，较难】如图，点，分别是轴和 轴上的动点，且 ，取的中点，则所有满足条件的点 围成的封闭图形的面积为 ____. 18 （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 【解析】设点的坐标为是中点，在轴上， 在轴上，，， ， ， .如图，当 ，时，点运动的轨迹是线段 ，其中 ；当，时，点运动的轨迹是线段 ， 其中；当，时，点运动的轨迹是线段 ，其中 ；当，时，点运动的轨迹是线段 ，其中 ，， 四边形是正方形， 所 有满足条件的点围成的封闭图形是正方形， 这个封闭图形的面积为 .故答案为18. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 （第5题图） 5.［较难］如图，在四边形中， ， ，，是边上一点，且 ，则 的长度是_____. 3.4 添加辅助线 过作，交延长线于，延长至，使 ，连 接,先证四边形是正方形，再证 ，得 .设，在中利用勾股定理可求出 的长. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 【解析】如图，过作，交的延长线于 ，并延长 至，使，连接 ， ， 四边形为正方形， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ，，，.设 ，则 ， 中， ，，解得， .故答案为 3.4. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 刷素养 走向重高 6.核心素养 模型观念 ［较难］如图（1），在平面直角坐标系中，放置一个边长 为5的正方形，使得它的两个顶点和恰好落在轴正半轴和 轴正半轴上， 为正方形的中心，连接 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 （1）若点和点分别在轴和 轴的正半轴上滑动，求证：在这个运动过程中， 始终在第一象限的角平分线上. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 【证明】作轴于点，作轴于 点，如图（1）所示，则四边形 是矩形， ， . 四边形 是正方形， ， ， . 在和中， ， ， 四边形是正方形， 点在的平分线上， 始终在 第一象限的角平分线上. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 36 （2）如图（2），若点运动到，求此时 点的坐标. 【解】 点运动到， ， .作轴于点，作轴于 点，作 轴于点，如图（2）所示,则， ， 结合（1）知四边形 是正方形. 四边形是正方形，，， ， ， . 在和中， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 37 ，，.延长与 交于点 ，.又， ， ，，，是 的中位线， ， ，点的坐标为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 思路分析 点运动到，由勾股定理得出的长，作轴于 点，作 轴于点，作轴于点，则四边形是正方形， , 结合正方形的性质证出,从而得出， .延 长与交于点，证出,从而得出是 的中位线，进 而求出， 的长，即可得出结果. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 39 模型归纳 含 角的对角互补模型 基本模型 作垂线法 旋转法 已知:平分 结论: ， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 40 $