06-第一章 特殊平行四边形-4 正方形的性质与判定-课时1 正方形的性质-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（北师大版·新教材）

这是一份初中数学九年级上册的课件，聚焦正方形的性质与判定，包含刷基础、刷提升、刷易错、刷素养模块，结合中考真题与模拟题，提供详细解析和思路分析，适合期末复习，支持WPS编辑及超链接跳转。 资料以分层训练为特色，基础题巩固性质应用，提升题强化几何直观与推理能力，如构造辅助线证全等，易错点警示避免默认三点共线错误，素养题结合图形变换培养创新意识，助力学生掌握考点，为教师教学提供丰富资源。

数 学 九年级上册 BS 1 2 3 第一章 特殊平行四边形 4 4 正方形的性质与判定 课时1 正方形的性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点 正方形的性质 （第1题图） 1.【2026辽宁大连调研】如图，在正方形的对角线 上取一 点，使得，连接，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 【解析】 四边形为正方形， ， ， ， .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 （第2题图） 2.【2026河南南阳期末】如图，在正方形中，点在 边 上，连接，过点作于点，过点作于点 ， 若，，则 的长为( ) C A.4 B.5 C.6 D.11 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 【解析】 四边形是正方形，， ， ，， ， ，.在和 中， ，， ， ，， . 故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 （第3题图） 3.【2025山东青岛校级期中】如图，正方形 的边长为2，连接 ，，平分交于点，则 的长是( ) D A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 【解析】如图，过点作于点，设交于点 四边 形是正方形，，平分交 于点，, 正方形 的边长为2， ， 由勾股定理得 ，.在 和中， ， .， ， 为等腰直角三角形， ， .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 （第4题图） 4.【2025福建泉州质检】如图，在正方形中，对角线与 相交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点 ，连接 ，则 ______度. 22.5 【解析】 四边形是正方形，， ， ，，， ， .由作图可知 ， ， .故答案为22.5. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 思路分析 由正方形的性质得到 , ，由作图得到 ,从而得到 ,再根据角的和差即可求出 的度数. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 5.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点， 均在坐标轴上，则点 的坐标为_______. 【解析】如图，过作轴于的坐标是， 的坐标是 ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ，， ， ，的坐标是.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 6.【2025山西晋中质检】如图，四边形 是边长为1的正方 形，分别延长，至点，，使 ，连接 ，，， . （1）求证：四边形 是菱形； 【证明】如图，连接，交于点 四边形 是正方 形，，， ， ，即， 四边形 是平行四 边形.又， 四边形 是菱形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 （2）求四边形 的面积. 【解】 四边形是边长为1的正方形，， . ，， 四边形 的面积为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 刷易错 易错点 默认三点共线致错 7.已知正方形，点在边上，以为边作正方形 ， 如图所示，连接.求证： .王俊同学的证明过程 如下，他的证明过程正确吗？若不正确，请改正. 证明： 四边形和四边形都是正方形， ， , . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 【解】他的证明过程不正确.正确证明过程如下： 四边形和四边形 都 是正方形，，， ， ，， . 易错警示 从已知条件不能确定，，三点共线，即不能推出 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 提升 （第1题图） 1.［中］如图，正方形和正方形中，点在 上， ，，是的中点，那么 的长是( ) B A. B. C. D.2 添加辅助线 由 是中点，想到可以利用直角三角形斜边上中线的性质，然 后尝试作辅助线构造直角三角形.首先想到延长交于 得 到直角三角形，但是 与这个直角三角形没有关系，所以想 到连接两个正方形的对角线构造直角三角形，则 是所作直 角三角形的斜边上的中线. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 【解析】如图， 正方形和正方形中，点在 上，，，， ， .延长交于，连接， ，则 ， ， . 四边形和四边形 是正方形， ， .为的中点， .在 中，由勾股定理得， ， 故选B． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 （第2题图） 2.【2025北京西城区校级期中，中】如图，正方形 的边 长为2，为与点不重合的动点，以为一边作正方形 . 设，点，与点的距离分别为， ，则 的最小值为( ) C A. B.2 C. D.4 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 【解析】如图，连接,, 四边形 是正方形， ， 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， 点，，， 在同一条直 线上时，最小，即最小.连接，则 的最 小值为的长.在中，， 的最小值为 .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 3.【2025重庆沙坪坝区期末，中】如图，在正方形中，点，点 分别是对 角线，上的点，连接，，，若，且 ，则 的度数为____. （第3题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 【解析】设交于 四边形是正方形，， ， ，，， ， ， ， ， .在 和中， ， ，即 .故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 （第4题图） 4.［中］如图,三个边长相同的正方形叠放在一起，， 是 其中两个正方形的中心,阴影部分的面积和是2,则正方形的边长 为___. 2 识图解题 过正方形中心的直角形成的面积问题 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 【解析】连接，，如图. ， ， 四边形 是正方形， 易知， .在 和 中， ， ， 左侧阴影部分的面积是 . 同理可得右侧阴影 部分的面积也是， 阴影部分的面积和为 ， ， ，故答案为2. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 思路分析 连接，，根据正方形的性质易证 ，可得 ，可将每个阴影部分的面积转化成三角形的面积，根据三角形 的面积和正方形的面积的关系即可求解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 5.【2026山东枣庄质检，中】如图，正方形中，，与直线 所夹 的锐角为 ，延长交直线于点，作正方形，延长交直线 于 点，作正方形，延长交直线于点，作正方形， ， 按此规律操作下去，则线段 __________. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 【解析】 四边形是正方形， ， ，， ， ， 易得 四边形 为正方形， ，， ， .同理可得 ， , ,为非负整数， 线段 .故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 6.【2026辽宁大连质检，较难】如图，在正方形中，是对角线， 的 交点，点，分别是边，延长线上的点，连接，，， ，若 ，，则线段 的长为_________. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 【解析】 四边形为正方形，， ， ， ， ， ， ， ，， ， .在和 中， ，， ， ，为等腰直角三角形， ， .在中， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 ，，，易得， ，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 刷素养 走向重高 7.核心素养 几何直观 【2026河北保定期中，较难】在正方形中，为 边 上一点（点与点，不重合）， ，且交正方形外角的平分线 于点 ． 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 （1）如图（1），若为的中点，猜想与 的数量关系并证明； 【解】.证明如下：取的中点，连接 点、点分别为， 的中点，， . 四边形为正方形，， ， ，是等腰直角三角形， ， . ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 为正方形外角的平分线， ， ， . 在与中， , . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 （2）结论拓展：如图（2），连接，交于点，连接，猜想与 ， 之间存在的等量关系并证明； 图（1） 【解】.证明如下：如图（1），在上取一点 ， 使，连接，将绕点逆时针旋转 得到 . 同（1）可得 ， ， . 将绕点逆时针旋转 得到 ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 ，，， ， ， ，则 ， ， 三点共线. 在和 中， ， ，即 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 思路分析 在上取一点，使，连接，将绕点 逆时针旋转 得到，可证得，，三点共线，，从而可得出 与， 之间的等量关系． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 （3）连接，若正方形的边长为，求 的最小值． 图（2） 【解】 正方形的边长为， ， .如图（2），作点关于射线 的对称 点，连接，， . 由轴对称的性质得， ，易得 ， ， ， , ，，三点共线， . 当，，三点共线时，的值最小，最小值是的长，即 的最 小值为的长.， 的最小值为5． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 39 $