江苏南京市七校联合体2025-2026学年第二学期期末调研高二数学样题

**基本信息** 本试卷以南京文化景区（中山陵、夫子庙）和人脸识别门禁系统为情境，通过基础（集合、定义域）、能力（立体几何折叠）、创新（抽奖概率模型）的梯度设计，考查高二数学核心知识与数学眼光、思维、语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、函数定义域、充要条件|基础概念辨析，如集合包含关系判断| |多选|3/18|统计案例、函数性质、正态分布|选项分层，如独立性检验与相关系数辨析| |填空|3/15|排列组合、立体几何距离、条件概率|结合文化（景区选择）与科技（门禁系统）情境| |解答|5/77|二项式定理、函数值域、立体几何、概率分布|综合性强，如立体几何折叠问题考查空间想象，抽奖游戏模型考查逻辑推理|

2025-2026学年第二学期期末调研试题 高二数学 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．C 2．D 3．D 4.B 5.B 6.A 7. C 8. B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错得0分． 9.BD 10.BC 11. ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 735 13. 2 14． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本题满分13分) (1)由得 ..........................................2分 当时，不等式得解为或 .......................4分 ..............................................6分 (2) 由题意即对恒成立 .....................9分 即对恒成立 ....................................................11分 ，当且仅当时取等号 .......................................................13分 16. (本题满分15分) (1)根据二项式性质，二项式系数之和为，由题知，得.......2分 展开式的通项为： 常数项满足的指数为0，令，解得 ...............................4分 所以常数项为：. 由题意得，且，解得 ...............................................6分 （2）因为，展开式共11项 所以二项式系数最大项为=..............................10分（不写第几项的扣2分，不化简的扣1分） （3）第项对应，系数绝对值为； 第项对应，系数绝对值为..........................................12分 由题意得：， 整理得：.....................................................................................14分 解得（符合的范围）.........................................................15分 17. (本题满分15分) 【详解】（1）因为过点，把点代入得：， 解得或.……………………………………………………3分（少一个扣1分） （2），令， 因为，所以.…………………………………………………5分 于是得到，． 因为在单调递减，在单调递增，…………………………6分 ，，． 所以的最小值为2，的最大值为． 于是在上的值域为．………………………………………8分 （3）（） 令， 由（2）可知， 于是得到，对称轴为； 当时，在单调递增，在处取最小值， 所以;………………………………………………………………10分 当时，在单调递减，在单调递增， 在处取最小值，所以;……………………………12分 当时，在单调递减，在处取最小值． 所以．………………………………………………………………14分 综上，．………………………………………………15分 18. (本题满分17分) 解：（1）由菱形的边长为，且，可得和都是等边三角形，现将沿折起，可得，为等边三角形， 如图所示，取的中点，连接，，可得，， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以； …………………………4分 （2）（i）由（1）知平面，可得， 又由，，所以是二面角的平面角，即， 因为菱形的边长为，可得， 又因为三棱锥的体积为，可得， 解得，所以或， …………………………8分 （亦可用在平面上的投影为，落在上，计高为长度，，又因为三棱锥的体积为，可得，，解得，即，所以或） 因为平面，且平面，所以平面平面， 因为平面平面，所以点在平面的投影在直线上， 所以即为直线与平面所成角， 所以直线与平面所成角为或； …………………………10分 （ii）因为，，所以，且， 过点作平面的垂线为轴，，所在直线为轴，轴，…………11分 建立空间直角坐标系，可得，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，所以， ……………13分 设平面的法向量为，所以，………………15分 可得 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.………17分 几何法：通过等体积求出到平面的距离， ……………13分 的正弦值为， ……………15分 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.………17分 (酌情给分） 19.(本题满分17分) 【小问1详解】 法一：将n次摸到的小球的编号依次排列， 记为，且，即； 当时，；当时，；……，当时，， 共有种，故， .....3分 法二：由题意得的含义：摸球2次后停止，其反面为， 而的含义是前2次未能停止，即前两次小球编号依次增大，有种可能， 因此， ......3分 【小问2详解】 因为变量 则 .........7分 的概率分布： ..........8分 【小问3详解】 方法：共n个小球，则最多次必停止，且， 若，则说明前n次小球的编号依次增加，第次编号任意， 因此， ............9分 若，则类似（1）的讨论， 可得， 其中，的含义是前次未能停止， 即前次编号依次增加，共种可能，因此， ， ..........11分 ①若n为奇数，则 ， ...........14分 ②若n为偶数，则 ， ..............16分 综上所述，. .............17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末调研样题 高二数学 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 4.已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5.“”是“log3a＞log3b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6.若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A． B． C．15 D． 7. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点 分别为线段上的点，若，且 ，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 已知函数，定义域均为，函数为偶函数，函数是奇 函数，若，，则（ ） A. 1000 B. 2000 C. 3000 D. 4000 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错得0分． 9.下列结论中正确的是（   ） A．两个随机变量的线性相关程度越强，样本相关系数越接近1； B.利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关性越强； C．经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点； D．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为1。 10.下列选项中说法正确的是（     ） A．函数的单调增区间为 B．幂函数过点，则 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 11. 下列说法正确的是（ ） A.设随机变量，则 B.从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为，则 C.设随机变量服从正态分布，则 D.从集合中任取三个元素，且满足，定义随机变量，则的数学期望为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12.南京素以风景秀丽，人杰地灵著称，深受游客的喜爱。甲、乙两名游客从含中山陵和夫子庙的8个旅游景区中各选3个景区去游玩，则甲选了中山陵且乙未选夫子庙的选法共有_______种. 13.在棱长为2的正方体中，点分别为的中点，则点的距离为_______． 14．某学校安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“允许通行”或“禁止入内”两种判断．现对系统进行测试，结果如下：校内职工被判定为“禁止入内”的概率为，校外访客被判定为“允许通行”的概率为．已知进入该校的人员中，校外访客和校内职工的比为，经测试某人被判定为“允许通行”，则其是校内职工的概率为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本题满分13分) 已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 16.(本题满分15分) 已知的展开式中，二项式系数之和等于1024．常数项为， (1)求的值； (2)求二项式系数最大的项； (3)若第项的系数绝对值是第项的系数绝对值的5倍，求的值． 17.(本题满分15分) 已知函数的定义域为，且图象经过点． (1)求的值； (2)求的值域； (3)求的最小值． 18. (本题满分17分) 如图，菱形的边长为，.现将沿折起，得到四面体 ，设二面角等于. （1）求证：； （2）若三棱锥的体积为， （i）求直线与平面所成的角； （ii）当时，求锐二面角的余弦值. 19.(本题满分17分) 在某个抽奖游戏中,抽奖箱内装有个大小相同、质地均匀的小球,编号分别为.游戏规则如下:从箱子中随机取出一个小球,记录下编号后放回;再从箱子中随机取出一个小球,记录下编号后放回;重复这个过程,直到某次取到的小球的编号小于或等于上一次取到的小球的编号时停止. 游戏停止时,取球的总次数记作,表示"共有个小球,按规则取球次后游戏停止"的概率. (1)求； (2)求当时，随机变量的概率分布； (3)若小球的个数为,求游戏停止时取球次数为偶数的概率(用表示). 学科网（北京）股份有限公司 $