江苏南京市宁海中学2025-2026学年高二下学期6月期末测试数学试题

**基本信息** 高二年级期末数学试卷涵盖集合、复数、向量、概率、导数等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理及应用能力，如文艺部人员排列（解答题15）、导数零点分析（解答题17）等实例，体现数学思维与现实问题结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、向量等基础|注重概念辨析，如第7题球盒分配逻辑推理| |多选题|3/18|数列、三角、导数|选项分层，如第9题结合前n项和判断等差等比| |填空题|3/15|不等式最值、函数极值|强调转化思想，如第13题函数极值点求参数范围| |解答题|5/77|概率应用、导数综合、圆锥曲线|情境真实，如第15题文艺部排列与条件概率；综合度高，如第19题导数单调性与极值点取值范围|

高二年级期末测试 2026.6 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知集合，那么（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足（i为虚数单位），则为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 4．若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（   ） A． B． C．60 D．240 5．两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数的均值等于（     ） A． B． C． D． 6．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（   ） A．甲盒中黑球与丙盒中黑球一样多 B．甲盒中红球与丙盒中红球一样多 C．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 8．已知，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（   ） A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C． D． 10．已知，为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数的定义域为，其导函数为，且，则对任意的，，下列不等式中一定成立的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．若正实数，满足，则的最大值是______． 13．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是________． 14．已知函数（）．对，恒成立，实数的取值范围____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．某校学生文艺部有男生4人，女生2人 (1)若安排这6名同学站成一排照相，要求2名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ (2)若从中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动， ①求男生甲被选中的概率； ②在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 16．给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分) 已知，___________. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中所有的有理项. 17．设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值与最小值； (3)若函数在有三个不同的零点，求b的取值范围． 18．已知点，，点是直线外的一个动点，直线，的斜率之积为3，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知直线交于，两点，关于轴的对称点为，若直线和的斜率之商为，证明： 以下问题： （ⅰ）直线过定点； （ⅱ）为钝角三角形． 19．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若无零点，且有两个不同的极值点，． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）求的取值范围． 高二年级期末测试 2026.6 评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C A D C D BCD BCD 题号 11 答案 BCD 12． 13． 14． 15．(1)480 (2)， 【详解】（1）先将4名男生全排列，形成5个空，再从5个空中选出2个位置排列2名女生， 所以2名女生互不相邻得排法有种.（5分） （2）①设事件表示“男生甲被选中”，则.（2分） ②设事件表示“被选中的两人中必须一男一女”，事件表示“女生乙被选中”， 则，，（3分） 所以.（3分） 所以在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，女生乙被选中的概率为.（3分） 16． 【详解】（1）二项展开式的通项公式为： .（3分） 若选①，则由题得，（1分） ∴，即，（1分） 解得或(舍去)，∴.（2分） 若选②，则由题得，∴，（1分） 展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为，（1分） ，.（2分） （2）由（1）可得二项展开式的通项公式为： .（3分） 当即时得展开式中的有理项，（2分） 所以展开式中所有的有理项为: ，，.（3分） 17． 【详解】（1）函数求导得， 则， 曲线在点处的切线方程为： ，即．（3分） （2）令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 为极大值点，为极小值点，（3分） ， ， ， ， 综上可得，函数在区间上的最大值为，最小值为．（3分） （3）函数在有三个不同的零点， 等价于直线与有3个不同交点， 由（2）知，的极大值为，极小值，（3分） 作出大致图象如下： 由图象可知，要使直线与有3个不同交点， 则需满足：，解得．（3分） 18．(1)，；（3分） (2)（ⅰ）设，，，显然的斜率不为零，否则有，，直线，此时， 而直线和的斜率之商为2，故矛盾，故设直线， 由，得，（1分） 依题意，，且， 所以，且，，，（2分），， 因为直线和的斜率之商为2，所以，（1分） 因为点在上，所以，即， 所以，即，（1分） 即，化简可得，解得：，（1分） 此时恒成立，所以，过定点；（1分） （ⅱ）由（ⅰ）知，，，，当，即时， ，（3分） 所以点均在的右支，如图， 此时，（3分） 所以是钝角，是钝角三角形；（1分） 当时，即或，， 所以分别在的两支，不妨设在的右支，则，如图， 设，则，（3分） 所以，因为过点，所以,（3分） 所以是钝角，是钝角三角形.综上可知，是钝角三角形.（1分） 19．（1）由题意可得， 令，则．判别式．（2分） ①当，即时，恒成立， 即恒成立，在R上单调递增；（1分） ②当，即时，方程有2个实根， 且由求根公式可知该方程的解为， 由二次函数单调性知在区间和上单调递增， 在区间上单调递减． 综上，时，在R上单调递增；（1分） 时，在区间和上单调递增， 在区间上单调递减．（1分） （2）（ⅰ）令，即，（1分） 由于无零点，则直线与无交点，则；（1分） 又有两个不同的极值点,，由（1）知时满足题意，故a的取值范围为．（1分） （ⅱ）由（1）中方程有，．（1分） 不妨设，．（1分） 则 ，（2分） 设函数，，（1分） 且在上恒成立，故单调递增，（1分） 且（1分），．（1分） 故的取值范围为.（1分） 学科网（北京）股份有限公司 $