11.1空间几何体（专项训练）高一数学人教B版必修第四册

**基本信息** 本专项以“漏洞扫描-通法锤炼-能力强化”三阶训练体系为核心，系统构建空间几何体从概念认知到综合应用的完整知识网络，突出直观想象与逻辑推理的素养培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |斜二测画法|6题（含2综合作图）|直观图“三变三不变”法则，面积关系公式|从画法原理到图形转化，建立平面与空间图形的映射关系| |空间基本元素|5题（含符号表示）|位置关系判定三步骤|以点线面为基本单元，构建空间几何的描述体系| |结构特征|14题（含8辨析3计算）|多面体与旋转体分类判定法|从构成元素到组合体，形成几何体认知的层级结构| |面积与体积|15题（含4综合应用）|公式体系“三维六类”记忆法|从平面展开到空间度量，实现几何量计算的系统化|

11.1 空间几何体 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 空间几何体的斜二侧画法 考点一：空间几何体的直观图的概念 直观图是观察者在某一点观察一个空间几何体获得的图形；直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形。 考点二：斜二测画法 我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法。 （1）“斜”：在已知图形的平面内与轴垂直的线段，在直观图中均与轴承或； （2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度不变；平行于轴的长度变成原来的一半。 考点三：平面图形的直观图的画法 （1）建系：在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点。画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴交于点，且使（或），它们确定的平面表示水平面。 （2）平行不变：已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段。 （3）长度规则：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，长度为原来的一半。 考点四：立体图形的直观图的画法 （1）与平面图形的直观图画法相比多了一个轴，直观图中与之对应的是轴； （2）直观图中平面表示水平平面，平面和表示竖直平面； （3）已知图形中平行于轴（或在轴上）的线段，在其直观图中平行性和长度都不变； （4）成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线。 考点五：直观图与原图之间的“变”与“不变” “三变”：（1）坐标轴的夹角改变；（2）与轴平行的线段长度变为原来的一半；（3）图形改变。 “三不变”：（1）平行性不改变；（2）与轴和轴平行的线段长度不改变；（3）相对位置不改变。 考点六：直观图与原图多边形面积之间的关系 若一个多边形的面积为，它的直观图的面积为，则有，。 举个例子：以三角形为例，如图，设元三角形的底为，高为，则其面积为， 在直观图中，，， 在直观图中，。 题型一：斜二测画法 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤： 2.立体图形直观图的画法步骤： （1）画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个轴，直观图中与之对应的是轴； （2）画底面：平面表示水平平面，平面和表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图； （3）画侧棱：已知图形中平行于轴（或在轴上）的线段，在其直观图中平行性和长度都不变； （4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线。 3.由直观图还原为平面图的关键是找与轴、轴平行的直线或线段，且平行于轴的线段还原时长度不变，平行于轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可。 （1） 轴与轴的夹角为或； （2） 轴的长度变为原来的一半. 1．（25-26高一下·广西南宁·期中）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论错误的是（   ） A．平行四边形在直观图中仍是平行四边形 B．三角形在直观图中仍是三角形 C．菱形的直观图是菱形 D．梯形的直观图是梯形 【答案】C 【详解】对于A，根据斜二测画法知，直观图中平行关系不会改变，A正确； 对于B，三角形的三个顶点不共线，直观图中，三个顶点对应的点也必然不共线， 三角形的直观图依然是三角形，B正确； 对于C，如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点均在坐标轴上，中心在原点， 设，则菱形的边长均为，作出该菱形的直观图, 根据斜二测画法知, ，, 由余弦定理，， ,显然，即不是菱形，故C错误； 对于D，梯形的上、下底平行且长度不相等，在直观图中，两底仍然平行， 且长度不相等， 故一个梯形的直观图仍然是梯形，D正确. 2．（25-26高一下·浙江·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．平行的线段在直观图中仍然平行 C．相等的角在直观图中仍然相等 D．面积相等的三角形在直观图中其面积仍然相等 【答案】BD 【分析】根据斜二测法的规则对选项逐一判断即可. 【详解】首先分析斜二测画法的规则： 斜二测画法中，对于线段长度，轴方向线段长度不变，轴方向线段长度减半， 所以相等的线段在直观图中不一定相等，故A错误； 平行性不变，即平行的线段在直观图中仍然平行，故B正确； 原来垂直的线段，在直观图中不一定垂直，比如平面直角坐标系中垂直的轴和轴， 在斜二测画法中轴成45°（或135°）角，不再垂直， 相等的角在直观图中不一定相等，比如平面直角坐标系中90°的角， 在斜二测画法中可能变成45°或135°等，故C错误； 斜二测直观图面积是原图形面积的， 所以面积相等的三角形在直观图中其面积仍然相等，故D正确. 3．（25-26高一下·山东济宁·期中）（多选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的有（   ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．平行的线段在直观图中仍然平行 C．一个角的直观图仍是一个角 D．平行四边形的直观图是平行四边形 【答案】BCD 【分析】根据“平行性不变、平行于 y 轴的线段长度减半”，可逐一分析各选项. 【详解】A选项：斜二测画法中，平行于轴的线段长度会变为原来的一半，所以原本相等的线段，在直观图中长度可能不相等， A错误； B选项：斜二测画法的核心性质之一就是“平行性不变”，平行的线段在直观图中仍然保持平行，B正确； C选项：直观图中，原本的角会变成一个新的角（如直角会变成45°或135°），但依然是一个角，C正确； D选项：由于平行四边形的对边平行，而平行性在直观图中保持不变，因此平行四边形的直观图仍是平行四边形，D正确. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）用斜二测画法画出如图所示的正五边形的直观图． 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法的规则作图． 【详解】（1）在已知的正五边形中，取正五边形的中心O为坐标原点， 对称轴为y轴，过O与y轴垂直的直线为x轴．分别过点B，E作、 ，与x轴分别交于G，H．画对应的，，使． （2）以点为中点，在轴上取，分别过， 在轴的上方作，，并使，； 在轴上轴的上方，取，在轴的下方，取， 并以点为中点画，且． （3）连接，，，，所得的五边形就是正五边形 的直观图． 5．（25-26高一下·全国·课后作业）用斜二测画法画出正六棱锥的直观图． 【答案】 【分析】根据斜二测画法的步骤作图即可. 【详解】（1）画正六棱锥的底面的直观图． ①在正六边形中，取对角线所在直线为轴，取与垂直的对称轴为轴，两轴相交于点（如图（1）所示）． （2）画相应的轴和轴，两轴交于点，使． 以为及的中点，在轴上取， 在轴上取， 以点为中点画平行于轴，并且等于， 再以点为中点画平行于轴，并且等于． ③连接，则得到水平放置的正六边形的直观图． （3）在直观图中画六棱锥的顶点，连接，以所在直线为轴． 过作与轴对应的轴，在上取点，使． 连接，，，，，（如图（2）所示）． （4）擦去轴、轴、轴，将被遮挡住的线画为虚线， 便得到正六棱锥的直观图（如图（3）所示）． 6．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形． 【答案】作图见解析 【分析】根据斜二测画法的步骤和规则进行解答即可. 【详解】解：（1）在已知图形中画坐标系，使，在轴上，与重合，如图（1）； （2）画直角坐标系，在x轴上取，即，如图（2）所示； （3）在图（1）中过作轴，交轴于．在图（2）中，在x轴上取， 过D作轴，并使； （4）连接，，则即为原图形，如图（2）所示． 题型二：斜二测画法中的有关计算 由直观图还原为平面图形的关键是找与轴、轴平行的直线或线段，且平行于轴的线段还原时长度不变，平行于轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可。由此可得：直观图面积是原图形面积的倍。利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积。　 1．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）如图，是用斜二测画法画出的直观图，则（     ） A．是钝角三角形 B．的周长为 C．的面积为 D．的面积为 【答案】BC 【详解】作出如图所示，由图可得是等腰直角三角形，A错误； ，，所以的周长为，B正确； 的面积为，C正确；的面积为，D错误． 2．（25-26高一下·吉林长春·期中）如图，用斜二测画法画出的水平放置的直观图为，且，则（   ） A．8 B．4 C．6 D．3 【答案】C 【详解】斜二测画法中，轴与轴的夹角为，即， 已知，，则， 又因在轴上，则在中，. 3．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】A 【分析】根据斜二测画法中直观图与原平面图形的关系，先还原原平面图形，计算原平面图形的边长，即可计算面积. 【详解】由题可得，原平面图形为直角梯形，其中，，， 因为，，所以，所以， 所以. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）下图是底面边长为3cm、高为6.5cm的正六棱锥的直观图，请指出底面、对角面、侧面的真实形状,并画出相应的图形. 【答案】底面为边长为的正六边形， 对角面为等腰三角形，， 侧面为等腰三角形，， 【分析】根据正六棱锥的结构特点确定底面，对角面、侧面的真实形状，再作对应的图形. 【详解】由已知正六棱柱的底面为正六边形，边长为， 由已知为等腰三角形，，， 为等腰三角形，，. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，求． 【答案】 【分析】利用斜二测画法规则，可得到，，，最后利用余弦定理可求得边长. 【详解】由题意，在平面直角坐标系中，三角形是边长为的正三角形， 所以，边上的高为， 按“斜二测”画法如下图所示： 可得，， 在三角形中，， 由余弦定理得 . 考点02 构成空间几何体的基本元素 考点一：空间中的点、线、面 1、构成几何体的基本元素 （1）构成空间几何体的基本元素：点、线、面. （2）从运动的观点理解空间基本图形之间的关系：点动成线，线动成面，面动成体. 2、平面 （1）平面的概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的 （2）平面的特点：（1）平面是平的；（2）平面是没有厚度的；（3）平面是无限延展而没有边界的；（4）平面是由空间点、线组成的无限集合；（5）平面图形是空间图形的重要组成部分. （3）平面的画法： ①当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍； ②当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线. （4）平面的表示方法： ①一个希腊字母：如，，等； ②两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点； ③四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点. 考点二：空间中点、线、面的位置关系 1、点与直线、点与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 点在直线上 点不在直线上 点在平面上 点不在平面上 2、直线与直线的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 两直线平行 两直线异面 且不平行 两直线相交 3、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 4、两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 题型一：空间中点、线、面的位置关系 根据空间几何体的结构特征，进行判断. 1．（25-26高一下·上海·阶段检测）“平面上有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面上”用符号语言表述是（    ） A．若，，则 B．若 ，，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 【答案】C 【详解】平面上有一条直线，表述为，点在直线内表述为，点在平面内表述为； 故对应的符号语言为：若，，则，故C正确. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）在长方体的六个面中，与平面平行的面有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】先明确平面在长方体中的位置，再根据长方体相对面平行的性质，找出与它相对的面. 【详解】根据长方体的结构性质，长方体中相对的两个不同平面互相平行，共三组平行对面， 平面是长方体的一个侧面，仅它的对面与它平行， 余四个面都和平面相交（存在公共交线），不平行. 符合要求的面只有1个. 3．（24-25高一下·江苏·阶段检测）用符号表示“点不在直线上，在平面内”，正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据点、线、面位置关系的符号表示可得出结论. 【详解】用符号表示“点不在直线上，在平面内”为“，”. 故选：B. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）在长方体中，直线与平面的位置关系用符号表示为________． 【答案】平面 【详解】由长方体的性质可得直线与平面平行， 用符号可表示为平面. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）用符号表示下列点、线、面的关系． (1)点不在平面内． (2)直线与直线相交于点． (3)直线与平面相交于点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据点与平面，直线与直线，以及直线与平面的位置关系的表示方法，即可求解. 【详解】（1）解：根据点与平面的位置关系，点不在平面内，可表示为； （2）解：根据直线与直线的位置关系，直线与直线相交于点，可表示为； （3）解：根据直线与平面的位置关系，直线与平面相交于点，可表示为. 考点03 空间几何体的结构特征 考点一：空间几何体 1. 空间几何体的定义及分类 （1）定义：在我们的周围存在着各种各样的物体，他们都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。 （2）分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类。 2. 空间几何体 类别 多面体 旋转体 定义 由若干个平面多边形围成的几何体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体 图形 相关概念 面：围成多面体的各个多边形 棱：相邻两个面的公共边 顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线 考点二：棱柱的概念 特征 特征解析 定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 图形及记法 记作棱柱 结构特征 （1）有两个面(底面)互相平行且全等 （2）其余各面都是四边形 （3）相邻两个四边形的公共边都互相平行 相关概念 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 分类 按底面多边形的边数 可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等 按侧棱与底面的位置关系 可以把棱柱分为直棱柱和斜棱柱： 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱； 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱； 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱； 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱。 【注意】 （1）有两个面互相平行，并不代表只有两个面互相平行，如长方体有三组对面互相平行，其中任意一组对面都可以作为底面。 （2）棱柱的另外一种定义：一般地，由一个平面沿着某一方向平移形成的空间几何体叫做柱体，平移起止位置的两个面叫做柱体的底面，缩变形的边平移所形成的的面叫做柱体的侧面。 （3）各种棱柱之间的关系 ①棱柱的分类 棱柱 ②常见的几种四棱柱之间的转化关系 考点三：棱锥的概念 特征 特征解析 定义 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 图形及记法 如图可记作：棱锥 结构特征 （1）有一个面(底面)是多边形 （2）其余各面(侧面)都是有一个公共顶点的三角形 相关概念 底面(底)：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 分类 按底面多边形的边数 可以把棱锥分为三棱锥、四棱锥……等等 正棱锥 底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥。 【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。 棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。 考点四：棱台的结构特征 特征 特征解析 定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台。 图形及记法 如图可记作：棱台 结构特征 （1）上下底面互相平行，且是相似图形 （2）各侧棱延长线相交于一点 相关概念 上底面：平行于棱锥底面的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 分类 按底面多边形的边数 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 正棱台 由正棱锥截得的棱台 【注意】 （1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形； （2）侧面都是梯形； （3）各侧棱的延长线交于一点。 （4）棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来（以三棱柱、三棱锥、三棱台为例）。 考点五：圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体的结构特征 1. 圆柱的结构特征 定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体。 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 柱体：圆柱和棱柱统称为柱体 ■名师点拨 （1）圆柱有无数条母线，它们平行且相等； （2）平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图1所示； （3）过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图2所示； （4）过任意两条母线的截面是矩形，如图3所示。 2. 圆锥的结构特征 定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体。 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 锥体：圆锥和棱锥统称为锥体 ■名师点拨 （1）圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等，侧面由无数条母线组成； （2）平行于底面的截面都是圆，如图1所示； （3）过轴的截面是全等的等腰三角形，如图2所示； （4）过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图3所示； （5）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线； （6）直角三角形绕其任意一边所在的直线旋转一周所形成的几何体不一定是圆锥。 3. 圆台的结构特征 定义 第一种定义：用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。 第二种定义：以直角梯形垂直与底面的腰所在的的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。 图示及相关概念 轴：圆锥的轴 底面：圆锥的底面和截面 侧面：圆锥的侧面在底面和截面之间的部分 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分 台体：圆台和棱台统称为台体 ■名师点拨 （1）圆台有无数条母线，且长度相等，延长后相交于一点； （2）平行于底面的截面是圆，如图1所示； （3）过轴的截面是全等的等腰梯形，如图2所示； （4）过任意两条母线的截面是等腰梯形，如图3所示。 4. 球的结构特征 定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。 图示及相关概念 （1）球心：半圆的圆心叫做球的球心； （2）半径：连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径； （3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。 ■名师点拨 （1）球心和截面圆心的连线垂直于截面； （2）球心到截面的距离与球的半径及截面圆的半径有如下关系：。 5. 简单组合体 （1）概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体。 （2）两种构成形式 ①由简单几何体拼接而成； ②由简单几何体截去或挖去一部分而成。 题型一：空间几何体的结构特征 根据空间几何体的结构特征，进行判断. 1．（25-26高一下·河北沧州·期中）下列说法正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．各侧棱都与底面垂直的四棱柱是长方体 C．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．如果一个棱柱的所有面都是正方形，那么这个棱柱是正方体 【答案】D 【详解】对于A，底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥，A错误； 对于B，长方体是底面为矩形，且侧棱与底面垂直的四棱柱，B错误； 对于C，有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还需各侧棱延长后相交于一点，C错误； 对于D，如果一个棱柱的所有面都是正方形，说明上、下底面是正方形的四棱柱，各侧面都是正方形，则有各侧棱都垂直于底面，且所有棱长都相等，所以这个棱柱是正方体，D正确． 2．（25-26高一下·安徽宿州·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．正三棱锥就是正四面体 B．七面体可以有10个顶点，5条侧棱 C．圆锥的轴截面是圆锥所有过顶点的截面中面积最大的 D．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 【答案】B 【分析】根据空间几何体的结构特征，即可判断ABD,根据过圆锥顶点的截面图形特征和截面图的面积公式即可判断C. 【详解】对于A,如果正三棱锥侧棱与底面边长不相等，就不是正四面体，故A错误； 对于B, 七面体如五棱柱，有7个面，10个顶点，5条侧棱，B正确； 对于C, 过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长， 设该等腰三角形顶角为，则截面三角形面积为， 显然当，面积最大，故当圆锥的轴截面三角形顶角大于时， 圆锥的轴截面面积不一定是最大的，故C错误； 对于D, 如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，但此几何体不是棱柱，故D错误. 3．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）下列几何体中为棱柱的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】AB 【分析】本题考查空间几何体的结构特征，主要依据棱柱的定义进行判断。棱柱的定义是：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。 【详解】选项A：前后两个面是互相平行的三角形，其余各面（侧面）都是四边形（矩形），且侧棱互相平行，符合棱柱的定义，是三棱柱，故A正确； 选项B：上下两个面是互相平行的四边形，其余各面（侧面）都是四边形（平行四边形），且侧棱互相平行，符合棱柱的定义，是四棱柱，故B正确； 选项C：侧棱不互相平行（有的长有的短，且方向不同），不符合棱柱侧棱互相平行的特征，故C错误； 选项D：上下底面平行但不全等（大小不同），侧棱延长后交于一点，符合棱台的定义，是四棱台，不是棱柱，故D错误. 4．（25-26高一下·贵州贵阳·期中）下列命题中为真命题的是（   ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分是圆台 C．棱台的侧面都是等腰梯形 D．以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 【答案】A 【分析】根据圆柱、圆台、棱台的定义可判断B，C，D错误，A正确 【详解】对于A选项，圆柱的侧面展开图是一个矩形，正确； 对于B选项，用一个平行于底面的平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分是圆台，错误； 对于C选项,只有正棱台的侧面才是等腰梯形，错误； 对于D选项, 以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，错误. 5．（25-26高一下·重庆·期中）正方形绕对角线旋转一周所得到的几何体（   ） A．由两个圆锥构成 B．由一个圆锥和一个圆台构成 C．由圆台组成 D．由两个棱柱构成 【答案】A 【分析】根据题意，利用正方形的性质，以及旋转体的定义，即可求解. 【详解】如图所示，在正方形中，设对角线与交于点， 根据正方形的性质，可得，且， 即对角线将正方形分为两个全等的等腰直角三角形和， 根据旋转体的定义，将正方形绕旋转一周时： 1. 线段绕旋转形成以为顶点，为底面圆心，为底面半径的圆锥侧面； 2. 线段绕旋转形成以为顶点，为底面圆心，为底面半径的圆锥侧面； 3. 线段和旋转后形成的侧面与上述侧面重合， 综上可得，正方形绕对角线旋转一周所得到的几何体由两个圆锥构成. 6．（25-26高一下·陕西榆林·期中）如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】图中几何体为组合体，由圆锥和圆台组合而成，故可由直角三角形和直角梯形绕同一个轴旋转而成，故A正确，BD错误， C的图形绕轴旋转后得到的几何体上方为圆台，下方为圆锥，与题设不合，故C错误. 7．（25-26高一下·广东江门·期中）（多选）下列关于立体图形的说法错误的是（   ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 B．侧面都是矩形的四棱柱是长方体 C．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D．圆台的母线延长后一定交于同一点 【答案】ABC 【详解】对于A，棱锥的一个面是多边形，其余各面的三角形必须有公共顶点，若仅满足“一个面是多边形，其余各面是三角形”， 不一定是棱锥（例如两个同底的三棱锥拼接得到的几何体符合描述，但不是棱锥），A错误； 对于B，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，但直四棱柱的底面不一定是矩形，只有底面为矩形的直四棱柱才是长方体，B错误； 对于C，只有以直角三角形的直角边为轴旋转一周，得到的旋转体才是圆锥， 若绕斜边旋转一周，得到的是两个同底圆锥组成的组合体，不是圆锥，C错误； 对于D，圆台是平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的，因此所有母线延长后一定交于原圆锥的同一点，D正确. 8．（25-26高一下·新疆和田·期中）（多选）有下列命题，其中错误的命题为（   ） A．底面是正多边形的棱柱是正棱柱 B．所有棱长相等的棱柱一定是直棱柱 C．四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体 D．直角三角形绕其一条边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥 【答案】ABD 【分析】利用几何体的结构特征，几何体的定义，逐项判断选项的正误即可. 【详解】对于A，底面是正多边形，侧棱与底面垂直的棱柱是正棱柱，故A错误； 对于B，所有棱长相等的棱柱不一定是直棱柱，不满足直棱柱的定义，故B错误； 对于C，四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体，满足多面体的定义，故C正确； 对于D，直角三角形绕直角边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥，故D错误. 题型二：空间几何体的有关计算 　根据几何体的特征，进行计算. 1．（25-26高二上·北京怀柔·期中）如图，正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的侧棱长为__________. 【答案】2 【分析】侧棱垂直于底面，使用勾股定理即可. 【详解】 由正六边形的性质可知， 由正六棱柱的性质可知，侧棱垂直于底面，因此有平面, 又平面, 故 设侧棱长为,运用勾股定理，有, 计算得. 故答案为：. 2．（24-25高一下·北京·期中）在棱长为1的正方体中，点是正方体棱上一点且．则满足条件的点的个数为______． 【答案】 【分析】分两种情况分析点的存在情况：①点在正方体中与无公共点的棱上，以在棱上为例，设，则，由，列出方程，求得方程无解；②点在正方体中与有公共点的棱上，以在棱上为例，设，则，由，列出方程，得方程有一个解.利用正方体的对称性可知满足条件的点的个数. 【详解】分两种情况分析点的存在情况： ①若点在正方体中与无公共点的棱上， 设在正方体的棱上，设，则， ∵，∴，即， 两边平方，整理得，再平方得，方程无解， 所以棱上不存在满足条件的点.    同理，并结合正方体的对称性，知棱、、、、上也不存在满足条件的点. ②若点在正方体中与有公共点的棱上， 设在正方体的棱上，设，则， ∵，∴，即， 两边平方，整理得，解得.所以棱上存在一个满足条件的点. 同理，并结合正方体的对称性，知棱、、、、上也分别存在一个满足条件的点；    故满足条件的点共有6个. 故答案为：. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16，且其侧面梯形的高为，则该正四棱台的侧棱长为_______，高为____________. 【答案】 4 【分析】先由两底面周长之差求出上、下底面边长之差．在一个侧面等腰梯形中，侧棱、侧面梯形的高和半个底边差构成直角三角形，由勾股定理求侧棱长；再作过两底面中心和一组对应边中点的截面，利用侧面梯形的高、棱台的高和两底面边心距之差构成的直角三角形求棱台的高． 【详解】设正四棱台的下底面边长为 ，上底面边长为 ，其中 ． 由题意，得所以 先求侧棱长． 正四棱台的每个侧面都是等腰梯形． 如图，在一个侧面等腰梯形中，从上底边的一个端点向下底边作垂线，则垂足到同侧下底面顶点的距离为 设侧棱长为 ．侧面梯形的高为 ，由勾股定理，得 再求正四棱台的高． 设下、上底面的中心分别为 ，下、上底面一组对应边的中点分别为 ，正四棱台的高为 ． 过 作截面，则连接对应边中点的线段 就是侧面梯形的高，因此 又因为所以截面中水平方向的长度差为 由勾股定理，得 所以，该正四棱台的侧棱长为 ，高为 ． 4．（25-26高一下·全国·随堂练习）已知正四棱台的上底面边长为2，侧棱长为，高为1，则该正四棱台的下底面边长为___________． 【答案】4 【分析】根据几何图形，利用勾股定理求出下底面的边长. 【详解】设该正四棱台下底面的边长为，则， 解得. 故答案为：4. 5．（24-25高一下·上海奉贤·期中）如图1，西安航天基地揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑，可近似的视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型（如图2）、下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，则该模型的高为_________．       【答案】 【分析】连接，，由正四棱台的性质得和的长，过作，过作，得，，最后在直角三角形中，由勾股定理得到结果. 【详解】由为正四棱台，，，， 连接，得，， 过作，过作， 所以，， 在直角三角形中，， 所以正四棱台的高. 故答案为：. 题型三：空间几何体的截面问题 简单旋转体的轴截面及其应用 ①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量； ②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．　 1．（24-25高一下·广东惠州·阶段检测）下列说法中正确的是（    ） A．一个多面体至少有4个面 B．矩形旋转一周一定形成一个圆柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【答案】A 【分析】应用多面体的几何特征判断A，C，D，应用旋转体特征判断B. 【详解】多面体中面数最少为三棱锥，四个面，故A正确； 矩形绕其一条对角线旋转一周，所形成旋转体不是圆柱，故B错误； 正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面的投影落在底面正多边形的中心，故C错误； 用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，故D错误. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如果正四棱台两底面边长分别为3cm和5cm，则它的中截面（过侧棱中点）的截面面积是________． 【答案】 【详解】正四棱台中截面边长为，且为正方形，所以面积为． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为，则此棱锥的侧棱被分成的上、下两部分长度之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】截得截面与底面多边形相似，故边长比就是相似比为，所以侧棱上、下两部分长度之比为． 4．（25-26高一下·山东青岛·期中）（多选）用一个平面去截一个正三棱锥，得到的截面图形可能是（    ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．五边形 【答案】ABC 【分析】举出符合题意的截面图形的例子即可得. 【详解】对A：如下图：截面与三条侧棱相交，其中， 为线段上任意一点（不与端点重合）， 此时有，即截面是等腰三角形； 对B：如下图：截面中，、，且与不平行， 此时，且与不平行，即截面四边形是等腰梯形； 对C：如下图：截面中，， 此时、，截面四边形是平行四边形； 对D：由正三棱锥只有四个面，不可能交出五边形. 故A、B、C正确，D错误. 5．（25-26高一下·福建莆田·期中）（多选）下列关于空间几何体的论述，不正确的是（ ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．圆台的轴截面不可能为直角梯形 【答案】ABC 【详解】对于A，如图1利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件， 但该几何体不是棱柱，故A错误； 对于B，如图2该多面体有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形， 但该几何体不是棱台，故B错误； 对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，故C错误； 对于D，圆台的轴截面是指过圆台轴的平面截取几何体得到的截面，其形状为等腰梯形， 这是因为圆台是由圆锥被平行于底面的平面截得， 轴截面包含上下底面的直径和母线形成对称的等腰梯形， 故圆台的轴截面始终是等腰梯形，不可能为直角梯形，故D正确． 6．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，过B，E，F三点的平面记为，则截该正方体所得截面的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到截面图形，并求出面积 【详解】连接，，， 因为E，F分别是棱，的中点，所以， 又，故，，则四点共面， 故截该正方体所得截面为四边形， ，， ，四边形为等腰梯形， 过点分别作，交于点， 则，故， 故，所以截面面积为. 题型四：空间几何体的展开问题 多面体展开图问题的解题策略： （1）绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型。在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图。 （2）由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推，同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图。 1．（25-26高一下·四川绵阳·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．平行六面体的各个面都是平行四边形 B．圆柱的侧面展开图是一个正方形 C．将棱台的侧棱延长后必交于一点 D．将直角三角形绕其一边所在的直线旋转一周形成的旋转体是圆锥 【答案】AC 【分析】根据平行六面体、棱台、圆锥的概念判断ACD；根据圆柱展开图的特征判断B. 【详解】平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，各个面都是平行四边形，A正确； 圆柱的侧面展开图是一个矩形，只有当底面周长和高相等时才是正方形，B错误； 棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的几何体是棱台，因此延长棱台所有侧棱，它们会交于一点，C正确； 将直角三角形绕斜边所在直线旋转一周形成的几何体不是圆锥，是两个共底面的圆锥，D错误. 2．（25-26高一下·吉林长春·阶段检测）（多选）下列图形中是正四面体（各棱长都相等的三棱锥）的展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于AB：可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现AB可折成正四面体； 对于C：该展开图仅包含3个三角形，少于正四面体所需的4个面，无法围成正四面体，不符合要求. 对于D：折叠后会出现面重叠，无法围成封闭的正四面体，不符合要求； 3．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，正三棱锥的底边长为2，. 一只小虫从点出发，沿三个侧面爬行一周，回到点. 则爬行的路径最短为________. 【答案】 【分析】根据正三棱锥的侧面展开图求得正确答案. 【详解】正三棱锥的侧面展开图如下图所示， 因为为正三棱锥，所以， 依题意可知，所以三角形是等腰直角三角形， 在中，由余弦定理可得：， 所以，解得：， 所以. 所以最短路程为. 4．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，已知正方体中，，点P为线段上的动点，Q为平面内的动点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用几何法，结合平面展开图，可找到最小距离，通过计算即可得到答案. 【详解】 当，即可得平面，此时是最小距离， 然后把平面与平面展开成共面， 如第二个图：即可得过作的垂线，垂足为 此时，即此时取到最小值， 因为在正方体中，， 所以 ， 所以， 即的最小值是 考点04 空间几何体的面积与体积 考点一：多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和， 表面积是侧面积与底面面积之和． 1、棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图 （1）棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长； （2）棱锥的侧面展开图由若干个三角形组成； （3）棱台的侧面张开图由若干个梯形组成。 2、棱柱、棱锥、棱台的表面积 （1）棱柱的表面积：； （2）棱锥的表面积：； （3）棱台的表面积： 考点二：棱柱、棱锥、棱台的体积 1、棱柱的高和体积 （1）棱柱的高：两底面之间的距离，即从一个底面上任意一点，向另外一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面之间的交点）之间的距离，也就是垂线段的长。 （2）棱住的体积：棱柱的体积等于它的底面积和高的乘积，即. 2、棱锥的高和体积 （1）棱锥的高：棱锥的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线， 顶点到垂足（垂线与底面之间的交点）之间的距离，即垂线段的长。 （2）棱锥的体积：棱锥的体积等于它的底面积和高的乘积的，即 3、棱台的体积：V＝(S上＋S下＋)h 考点三：圆柱、圆锥、圆台的面积和体积 名称 图形 公式 圆柱 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 体积：V＝πr2l 圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πrl＋πr2 体积：V＝πr2h 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝πl(r＋r′) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 体积：V＝πh(r′2＋r′r＋r2) 考点四：球的面积和体积 1．球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2． 2．球的体积 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3． 题型一：空间几何体的面积问题 根据空间几何体的特征，确定各个侧面的形状，结合面积公式进行计算. 注意：计算面积问题时，需注意审题，是表面积还是侧面积. 1．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）如图，在正方形纸片上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，扇形的圆心为，圆与和扇形的弧均相切，若该扇形和圆恰好可作为某圆锥的侧面和底面（接缝处忽略不计），则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为． 设扇形的半径为，则有，解得，因此圆锥的母线长为． 如图，设圆的圆心为，作于于，易知四边形为正方形， 点在上，， 所以，所以． 2．（25-26高一下·天津蓟州·期中）已知三棱锥的所有棱长都是，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接将三棱锥看成一个正方体截得的，因而三棱锥的外接球即为正方体的外接球，从而可得所求表面积. 【详解】因为三棱锥的所有棱长都是，所以三棱锥可以看成由一个边长为的正方体截得的， 因此三棱锥的外接球即为正方体的外接球，所以外接球的直径， 故三棱锥的外接球的表面积为. 3．（25-26高一下·广东深圳·期中）半径为定值的球中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，圆柱的高和球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设球的半径为，圆柱的高为，底面半径为， 可得：， 圆柱的侧面积为：， 当且仅当时取等，此时圆柱的侧面积最大，所以， 所以，所以圆柱的高和球的半径之比为. 4．（25-26高一下·广东深圳·期中）半正多面体，亦称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，这样的半正多面体也称为二十四等边体.由棱长为2的正方体截得的二十四等边体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，正方体截得的二十四等边体边长为， 其中有个面为正方形，个面为正三角形， 其表面积为. 5．（2026·山东德州·三模）圆锥的底面直径和高均是，从圆锥的底面挖去一个圆柱，该圆柱的上底面为过中点作的平行于底面的截面，剩下几何体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出相应图形后，可得剩下几何体的表面积为圆锥侧面积、圆锥底面积、圆柱侧面积总和，分别计算各面积即可得. 【详解】由题意可画图如下： 底面直径​，故底面半径​​，高， 过的中点作平行于底面的截面，该截面半径为， 由相似三角形性质，有，所以， 以该截面为底面挖去一个圆柱，圆柱的高， 圆锥的母线长； 则； ； ； 故. 6．（25-26高一下·山东·期中）如图，已知正方形OABC的边长为2，是四分之一圆弧，现以OC所在直线为旋转轴旋转一周，则图中阴影部分得到的旋转体的表面积为____________. 【答案】 【分析】根据圆柱以及球的表面积求解即可. 【详解】线段绕OC所在直线为旋转轴旋转得到圆柱体，其上底面以及侧面的表面积为. 四分之一圆弧绕旋转得到半径为的半球面，半球面的表面积为. 故旋转体的表面积为. 7．（25-26高一下·河北保定·期中）如图，圆锥的母线长为1，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P处出发，绕圆锥面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的侧面积为_________．    【答案】/ 【详解】把圆锥侧面沿母线展开如图所示的扇形，则为小虫爬行的最短路径. 由题意可知，，， 则在等腰三角形中得，则，， 则弧长为， 设圆锥底面半径为，则，得， 则圆锥的侧面积为    8．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）若底面边长为，高为的正三棱柱所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为________. 【答案】 【分析】先确定球心在上下底面中心的连线的中点处，再由垂径定理可得球半径，进而可得球的表面积. 【详解】如图： 因为是边长为的正三角形，所以外接圆的直径， 因为正三棱柱所有顶点都在球的表面上，所以球心在上下底面中心连线的中点处，. 所以，球的表面积为. 题型二：空间几何体的体积问题 根据空间几何体的体积公式进行计算. 1．（25-26高一下·广东佛山·期中）某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】半球的半径为6，半球的体积为， 圆台的体积为， 故该瓷器的体积为. 2．（25-26高一下·黑龙江·期中）已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是（    ） A． B．6 C． D．3 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用圆锥体积公式，结合扇形弧长公式列式求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线为，依题意，解得， 所以这个圆锥的底面直径是. 3．（2026·全国二卷·高考真题）已知棱台的上下底面均为有一个角为的菱形，且上下底面的边长分别为2和3，若该棱台的高为，则该棱台的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出棱台的上底面面积和下底面面积，再根据棱台的体积公式求得该棱台的体积. 【详解】由题意，得棱台的上底面面积为， 下底面面积为， 所以该棱台的体积为. 4．（25-26高一下·北京平谷·期中）某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径1的半球.已知该胶囊的体积为，则它的表面积为__________. 【答案】 【分析】设中间圆柱部分的高为，利用体积公式求出，然后由球的表面积和圆柱的侧面积公式求解即可． 【详解】设中间圆柱部分的高为，则胶囊的体积，解得， 所以胶囊的表面积为. 5．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，M为PC上一点且=，则平面ABM截四棱锥所得的上、下两部分的体积之比为____. 【答案】/ 【分析】设四棱锥的总体积为，利用同高不同底的棱锥体积比等于对应底边长（底面积）的比，结合已知比例，分割几何体计算出平面上方（含顶点）部分的体积，即可求得上下两部分的体积之比. 【详解】设四棱锥P-ABCD的体积为V，在PD上取一点N，使，连接MN，AN，BD，BN， 如图.因为，所以且，又，所以， 则，所以A，B，M，N四点共面，即为截面. 又，其中， ，所以， 即截面截四棱锥所得的上半部分的体积为，则下半部分的体积为， 所以平面ABM截四棱锥所得的上、下两部分的体积之比为. 6．（25-26高一下·河北沧州·期中）已知四棱台的两底面均为长方形，且上下底面中心的连线与底面垂直，若，棱台的体积为，则该棱台的表面积是_______ 【答案】 【分析】根据给定条件，利用四棱台的结构特征及棱台的体积公式、表面积公式求解. 【详解】设棱台的上底面的面积为，下底面的面积为， 由棱台的上下底面相似且，得，，， 设棱台的高为，由，解得，    由上下底面中心的连线与底面垂直，得，且四棱台的四条侧棱长相等， 而，则侧棱， 因此等腰梯形的高为，， 等腰梯形的高为，， 所以该四棱台的表面积为. 7．（25-26高一下·福建南平·期中）（多选）已知正四棱台中，，则下述正确的是（    ） A．该四棱台的高为 B．该四棱台的体积为 C．该四棱台的表面积为 D．该四棱台外接球的表面积为 【答案】ACD 【分析】画出图形，连接交于点，连接交于点，连接，结合图形分析得出为四棱台的高，然后过点作交于，通过已知条件结合勾股定理计算即可得出选项A；根据台体的体积公式判断B，结合题意计算四棱台上下底面面积和侧面积即可得出选项C，分析可知该四棱台外接球的球心在直线上，结合球的旋转求外接球半径和表面积. 【详解】对于选项A：如图，连接交于点，连接交于点，连接， 则在正四棱台中有， 可得平面，故为四棱台的高， 由平面，所以， 过点作交于，所以， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 在正四棱台中，由， 所以，则， 则， 在直角三角形中，， 得到四棱台的高为，故A正确； 对于B，该四棱台的体积为，故B错误； 对于C，由题意得该四棱台的表面积拆分如下， ①正四棱台的上下两个正方形的面积： 设上下两个面的面积分别为，则， ②正四棱台的侧面积，在等腰梯形中，如图所示： 过分别作垂直于交于点， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 则， 所以等腰梯形的面积如下， 为， 所以正四棱台的侧面积为， 得到四棱台的表面积为，故C正确， 对于D，由题意可知该四棱台外接球的球心在直线上， 设球的半径为， 则，即，解得， 所以外接球的表面积为，故D正确. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.1 空间几何体 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 空间几何体的斜二侧画法 考点一：空间几何体的直观图的概念 直观图是观察者在某一点观察一个空间几何体获得的图形；直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形。 考点二：斜二测画法 我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法。 （1）“斜”：在已知图形的平面内与轴垂直的线段，在直观图中均与轴承或； （2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度不变；平行于轴的长度变成原来的一半。 考点三：平面图形的直观图的画法 （1）建系：在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点。画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴交于点，且使（或），它们确定的平面表示水平面。 （2）平行不变：已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段。 （3）长度规则：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，长度为原来的一半。 考点四：立体图形的直观图的画法 （1）与平面图形的直观图画法相比多了一个轴，直观图中与之对应的是轴； （2）直观图中平面表示水平平面，平面和表示竖直平面； （3）已知图形中平行于轴（或在轴上）的线段，在其直观图中平行性和长度都不变； （4）成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线。 考点五：直观图与原图之间的“变”与“不变” “三变”：（1）坐标轴的夹角改变；（2）与轴平行的线段长度变为原来的一半；（3）图形改变。 “三不变”：（1）平行性不改变；（2）与轴和轴平行的线段长度不改变；（3）相对位置不改变。 考点六：直观图与原图多边形面积之间的关系 若一个多边形的面积为，它的直观图的面积为，则有，。 举个例子：以三角形为例，如图，设元三角形的底为，高为，则其面积为， 在直观图中，，， 在直观图中，。 题型一：斜二测画法 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤： 2.立体图形直观图的画法步骤： （1）画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个轴，直观图中与之对应的是轴； （2）画底面：平面表示水平平面，平面和表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图； （3）画侧棱：已知图形中平行于轴（或在轴上）的线段，在其直观图中平行性和长度都不变； （4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线。 3.由直观图还原为平面图的关键是找与轴、轴平行的直线或线段，且平行于轴的线段还原时长度不变，平行于轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可。 （1） 轴与轴的夹角为或； （2） 轴的长度变为原来的一半. 1．（25-26高一下·广西南宁·期中）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论错误的是（   ） A．平行四边形在直观图中仍是平行四边形 B．三角形在直观图中仍是三角形 C．菱形的直观图是菱形 D．梯形的直观图是梯形 2．（25-26高一下·浙江·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．平行的线段在直观图中仍然平行 C．相等的角在直观图中仍然相等 D．面积相等的三角形在直观图中其面积仍然相等 3．（25-26高一下·山东济宁·期中）（多选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的有（   ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．平行的线段在直观图中仍然平行 C．一个角的直观图仍是一个角 D．平行四边形的直观图是平行四边形 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）用斜二测画法画出如图所示的正五边形的直观图． 5．（25-26高一下·全国·课后作业）用斜二测画法画出正六棱锥的直观图． 6．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形． 题型二：斜二测画法中的有关计算 由直观图还原为平面图形的关键是找与轴、轴平行的直线或线段，且平行于轴的线段还原时长度不变，平行于轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可。由此可得：直观图面积是原图形面积的倍。利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积。　 1．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）如图，是用斜二测画法画出的直观图，则（     ） A．是钝角三角形 B．的周长为 C．的面积为 D．的面积为 2．（25-26高一下·吉林长春·期中）如图，用斜二测画法画出的水平放置的直观图为，且，则（   ） A．8 B．4 C．6 D．3 3．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（    ） A． B．12 C． D．6 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）下图是底面边长为3cm、高为6.5cm的正六棱锥的直观图，请指出底面、对角面、侧面的真实形状,并画出相应的图形. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，求． 考点02 构成空间几何体的基本元素 考点一：空间中的点、线、面 1、构成几何体的基本元素 （1）构成空间几何体的基本元素：点、线、面. （2）从运动的观点理解空间基本图形之间的关系：点动成线，线动成面，面动成体. 2、平面 （1）平面的概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的 （2）平面的特点：（1）平面是平的；（2）平面是没有厚度的；（3）平面是无限延展而没有边界的；（4）平面是由空间点、线组成的无限集合；（5）平面图形是空间图形的重要组成部分. （3）平面的画法： ①当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍； ②当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线. （4）平面的表示方法： ①一个希腊字母：如，，等； ②两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点； ③四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点. 考点二：空间中点、线、面的位置关系 1、点与直线、点与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 点在直线上 点不在直线上 点在平面上 点不在平面上 2、直线与直线的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 两直线平行 两直线异面 且不平行 两直线相交 3、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 4、两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 题型一：空间中点、线、面的位置关系 根据空间几何体的结构特征，进行判断. 1．（25-26高一下·上海·阶段检测）“平面上有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面上”用符号语言表述是（    ） A．若，，则 B．若 ，，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 2．（25-26高一下·全国·课后作业）在长方体的六个面中，与平面平行的面有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25高一下·江苏·阶段检测）用符号表示“点不在直线上，在平面内”，正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）在长方体中，直线与平面的位置关系用符号表示为________． 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）用符号表示下列点、线、面的关系． (1)点不在平面内． (2)直线与直线相交于点． (3)直线与平面相交于点． 考点03 空间几何体的结构特征 考点一：空间几何体 1. 空间几何体的定义及分类 （1）定义：在我们的周围存在着各种各样的物体，他们都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。 （2）分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类。 2. 空间几何体 类别 多面体 旋转体 定义 由若干个平面多边形围成的几何体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体 图形 相关概念 面：围成多面体的各个多边形 棱：相邻两个面的公共边 顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线 考点二：棱柱的概念 特征 特征解析 定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 图形及记法 记作棱柱 结构特征 （1）有两个面(底面)互相平行且全等 （2）其余各面都是四边形 （3）相邻两个四边形的公共边都互相平行 相关概念 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 分类 按底面多边形的边数 可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等 按侧棱与底面的位置关系 可以把棱柱分为直棱柱和斜棱柱： 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱； 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱； 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱； 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱。 【注意】 （1）有两个面互相平行，并不代表只有两个面互相平行，如长方体有三组对面互相平行，其中任意一组对面都可以作为底面。 （2）棱柱的另外一种定义：一般地，由一个平面沿着某一方向平移形成的空间几何体叫做柱体，平移起止位置的两个面叫做柱体的底面，缩变形的边平移所形成的的面叫做柱体的侧面。 （3）各种棱柱之间的关系 ①棱柱的分类 棱柱 ②常见的几种四棱柱之间的转化关系 考点三：棱锥的概念 特征 特征解析 定义 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 图形及记法 如图可记作：棱锥 结构特征 （1）有一个面(底面)是多边形 （2）其余各面(侧面)都是有一个公共顶点的三角形 相关概念 底面(底)：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 分类 按底面多边形的边数 可以把棱锥分为三棱锥、四棱锥……等等 正棱锥 底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥。 【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。 棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。 考点四：棱台的结构特征 特征 特征解析 定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台。 图形及记法 如图可记作：棱台 结构特征 （1）上下底面互相平行，且是相似图形 （2）各侧棱延长线相交于一点 相关概念 上底面：平行于棱锥底面的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 分类 按底面多边形的边数 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 正棱台 由正棱锥截得的棱台 【注意】 （1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形； （2）侧面都是梯形； （3）各侧棱的延长线交于一点。 （4）棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来（以三棱柱、三棱锥、三棱台为例）。 考点五：圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体的结构特征 1. 圆柱的结构特征 定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体。 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 柱体：圆柱和棱柱统称为柱体 ■名师点拨 （1）圆柱有无数条母线，它们平行且相等； （2）平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图1所示； （3）过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图2所示； （4）过任意两条母线的截面是矩形，如图3所示。 2. 圆锥的结构特征 定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体。 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 锥体：圆锥和棱锥统称为锥体 ■名师点拨 （1）圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等，侧面由无数条母线组成； （2）平行于底面的截面都是圆，如图1所示； （3）过轴的截面是全等的等腰三角形，如图2所示； （4）过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图3所示； （5）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线； （6）直角三角形绕其任意一边所在的直线旋转一周所形成的几何体不一定是圆锥。 3. 圆台的结构特征 定义 第一种定义：用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。 第二种定义：以直角梯形垂直与底面的腰所在的的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。 图示及相关概念 轴：圆锥的轴 底面：圆锥的底面和截面 侧面：圆锥的侧面在底面和截面之间的部分 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分 台体：圆台和棱台统称为台体 ■名师点拨 （1）圆台有无数条母线，且长度相等，延长后相交于一点； （2）平行于底面的截面是圆，如图1所示； （3）过轴的截面是全等的等腰梯形，如图2所示； （4）过任意两条母线的截面是等腰梯形，如图3所示。 4. 球的结构特征 定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。 图示及相关概念 （1）球心：半圆的圆心叫做球的球心； （2）半径：连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径； （3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。 ■名师点拨 （1）球心和截面圆心的连线垂直于截面； （2）球心到截面的距离与球的半径及截面圆的半径有如下关系：。 5. 简单组合体 （1）概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体。 （2）两种构成形式 ①由简单几何体拼接而成； ②由简单几何体截去或挖去一部分而成。 题型一：空间几何体的结构特征 根据空间几何体的结构特征，进行判断. 1．（25-26高一下·河北沧州·期中）下列说法正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．各侧棱都与底面垂直的四棱柱是长方体 C．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．如果一个棱柱的所有面都是正方形，那么这个棱柱是正方体 2．（25-26高一下·安徽宿州·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．正三棱锥就是正四面体 B．七面体可以有10个顶点，5条侧棱 C．圆锥的轴截面是圆锥所有过顶点的截面中面积最大的 D．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 3．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）下列几何体中为棱柱的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（25-26高一下·贵州贵阳·期中）下列命题中为真命题的是（   ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分是圆台 C．棱台的侧面都是等腰梯形 D．以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 5．（25-26高一下·重庆·期中）正方形绕对角线旋转一周所得到的几何体（   ） A．由两个圆锥构成 B．由一个圆锥和一个圆台构成 C．由圆台组成 D．由两个棱柱构成 6．（25-26高一下·陕西榆林·期中）如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的．（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·广东江门·期中）（多选）下列关于立体图形的说法错误的是（   ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 B．侧面都是矩形的四棱柱是长方体 C．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D．圆台的母线延长后一定交于同一点 8．（25-26高一下·新疆和田·期中）（多选）有下列命题，其中错误的命题为（   ） A．底面是正多边形的棱柱是正棱柱 B．所有棱长相等的棱柱一定是直棱柱 C．四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体 D．直角三角形绕其一条边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥 题型二：空间几何体的有关计算 　根据几何体的特征，进行计算. 1．（25-26高二上·北京怀柔·期中）如图，正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的侧棱长为__________. 2．（24-25高一下·北京·期中）在棱长为1的正方体中，点是正方体棱上一点且．则满足条件的点的个数为______． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16，且其侧面梯形的高为，则该正四棱台的侧棱长为_______，高为____________. 4．（25-26高一下·全国·随堂练习）已知正四棱台的上底面边长为2，侧棱长为，高为1，则该正四棱台的下底面边长为___________． 5．（24-25高一下·上海奉贤·期中）如图1，西安航天基地揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑，可近似的视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型（如图2）、下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，则该模型的高为_________．       题型三：空间几何体的截面问题 简单旋转体的轴截面及其应用 ①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量； ②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．　 1．（24-25高一下·广东惠州·阶段检测）下列说法中正确的是（    ） A．一个多面体至少有4个面 B．矩形旋转一周一定形成一个圆柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如果正四棱台两底面边长分别为3cm和5cm，则它的中截面（过侧棱中点）的截面面积是________． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为，则此棱锥的侧棱被分成的上、下两部分长度之比为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·山东青岛·期中）（多选）用一个平面去截一个正三棱锥，得到的截面图形可能是（    ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．五边形 5．（25-26高一下·福建莆田·期中）（多选）下列关于空间几何体的论述，不正确的是（ ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．圆台的轴截面不可能为直角梯形 6．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，过B，E，F三点的平面记为，则截该正方体所得截面的面积为（     ） A． B． C． D． 题型四：空间几何体的展开问题 多面体展开图问题的解题策略： （1）绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型。在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图。 （2）由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推，同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图。 1．（25-26高一下·四川绵阳·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．平行六面体的各个面都是平行四边形 B．圆柱的侧面展开图是一个正方形 C．将棱台的侧棱延长后必交于一点 D．将直角三角形绕其一边所在的直线旋转一周形成的旋转体是圆锥 2．（25-26高一下·吉林长春·阶段检测）（多选）下列图形中是正四面体（各棱长都相等的三棱锥）的展开图的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，正三棱锥的底边长为2，. 一只小虫从点出发，沿三个侧面爬行一周，回到点. 则爬行的路径最短为________. 4．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，已知正方体中，，点P为线段上的动点，Q为平面内的动点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 考点04 空间几何体的面积与体积 考点一：多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和， 表面积是侧面积与底面面积之和． 1、棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图 （1）棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长； （2）棱锥的侧面展开图由若干个三角形组成； （3）棱台的侧面张开图由若干个梯形组成。 2、棱柱、棱锥、棱台的表面积 （1）棱柱的表面积：； （2）棱锥的表面积：； （3）棱台的表面积： 考点二：棱柱、棱锥、棱台的体积 1、棱柱的高和体积 （1）棱柱的高：两底面之间的距离，即从一个底面上任意一点，向另外一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面之间的交点）之间的距离，也就是垂线段的长。 （2）棱住的体积：棱柱的体积等于它的底面积和高的乘积，即. 2、棱锥的高和体积 （1）棱锥的高：棱锥的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线， 顶点到垂足（垂线与底面之间的交点）之间的距离，即垂线段的长。 （2）棱锥的体积：棱锥的体积等于它的底面积和高的乘积的，即 3、棱台的体积：V＝(S上＋S下＋)h 考点三：圆柱、圆锥、圆台的面积和体积 名称 图形 公式 圆柱 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 体积：V＝πr2l 圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πrl＋πr2 体积：V＝πr2h 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝πl(r＋r′) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 体积：V＝πh(r′2＋r′r＋r2) 考点四：球的面积和体积 1．球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2． 2．球的体积 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3． 题型一：空间几何体的面积问题 根据空间几何体的特征，确定各个侧面的形状，结合面积公式进行计算. 注意：计算面积问题时，需注意审题，是表面积还是侧面积. 1．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）如图，在正方形纸片上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，扇形的圆心为，圆与和扇形的弧均相切，若该扇形和圆恰好可作为某圆锥的侧面和底面（接缝处忽略不计），则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·天津蓟州·期中）已知三棱锥的所有棱长都是，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广东深圳·期中）半径为定值的球中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，圆柱的高和球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·广东深圳·期中）半正多面体，亦称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，这样的半正多面体也称为二十四等边体.由棱长为2的正方体截得的二十四等边体的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山东德州·三模）圆锥的底面直径和高均是，从圆锥的底面挖去一个圆柱，该圆柱的上底面为过中点作的平行于底面的截面，剩下几何体的表面积是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·山东·期中）如图，已知正方形OABC的边长为2，是四分之一圆弧，现以OC所在直线为旋转轴旋转一周，则图中阴影部分得到的旋转体的表面积为____________. 7．（25-26高一下·河北保定·期中）如图，圆锥的母线长为1，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P处出发，绕圆锥面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的侧面积为_________．    8．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）若底面边长为，高为的正三棱柱所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为________. 题型二：空间几何体的体积问题 根据空间几何体的体积公式进行计算. 1．（25-26高一下·广东佛山·期中）某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26高一下·黑龙江·期中）已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是（    ） A． B．6 C． D．3 3．（2026·全国二卷·高考真题）已知棱台的上下底面均为有一个角为的菱形，且上下底面的边长分别为2和3，若该棱台的高为，则该棱台的体积为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·北京平谷·期中）某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径1的半球.已知该胶囊的体积为，则它的表面积为__________. 5．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，M为PC上一点且=，则平面ABM截四棱锥所得的上、下两部分的体积之比为____. 6．（25-26高一下·河北沧州·期中）已知四棱台的两底面均为长方形，且上下底面中心的连线与底面垂直，若，棱台的体积为，则该棱台的表面积是_______ 7．（25-26高一下·福建南平·期中）（多选）已知正四棱台中，，则下述正确的是（    ） A．该四棱台的高为 B．该四棱台的体积为 C．该四棱台的表面积为 D．该四棱台外接球的表面积为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $