第十一章 立体几何初步（单元自测·基础卷）数学人教B版必修第四册

**基本信息** 本卷为人教B版必修第四册立体几何初步单元复习卷，以晋祠圣母殿、《九章算术》等文化素材创设情境，融合空间观念、推理能力等核心素养，覆盖线面关系、体积计算等基础与综合应用，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|异面直线所成角、面面垂直判定|如第1题正方体中异面直线角，基础巩固| |多选题|3/18|球与正方体表面积体积、线面平行|如第10题正方体中三点共线及线面角，能力提升| |填空题|3/15|斜二测画法、祖暅原理|如第13题用祖暅原理求半球体积，文化传承| |解答题|5/77|线面平行证明、体积表面积、二面角|如第18题四棱锥中面面垂直及异面直线角，创新应用|

2025-2026学年人教B版必修第四册数学单元自测 第十一章 立体几何初步·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B A B B C A 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．AD 10．ABC 11．AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．． 13．． 14．． 四、解答题（共5小题，共77分） 15．【详解】【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）因为是平面与平面的交线，由平面基本事实即可得E，O，F三点共线； （2）由线面平行的性质结合条件可得，易得为重心，则，进而可. 【详解】（1）（5分）因为平面，平面，所以平面. 同理平面，所以平面平面. 又因为平面，平面，所以. 即E，O，F三点共线. （2）（8分）若四边形为平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. 在正三棱锥中，平面， 则为正三角形的中心，即为重心. 连接并延长交于点Q，则. 由（1）可知，.又，则. 所以. 16．【详解】【答案】(1)证明见解析 (2)表面积为，距离为 【分析】（1）利用线面平行的性质定理，结合直三棱柱中平行四边形的性质，通过中位线定理证明为的中点； （2）先利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，计算三棱锥的表面积；再通过等体积法，转换顶点求解点到平面的距离. 【详解】（1）（5分）证明：如图，因为平面且平面， 又因平面平面， 所以.    又因在直三棱柱中，为平行四边形， 所以为的中点， 所以为的中位线. 所以为的中点. （2）（10分）因为三棱柱是直三棱柱且所有棱长均为2， 在中，由勾股定理可得，，. 因为，     所以，所以为直角三角形， 三棱锥的表面积为 .     设到平面的距离为，因为，所以 即，解得， 所以到平面的距离为. 17．【详解】【答案】（1）证明见解析；（2）； 【分析】（1）四边形为菱形，则，由证得，从而有平面，从而证得平面平面； （2）设，则即为与平面所成角，从而求得，，，，；延长，作于F点，则即为二面角的平面角，，从而求得余弦值. 【详解】（1）（5分）由题知，四边形为菱形，则， 又平面平面，且AC为交线，， 则平面，又平面， 则，又， 则平面，又平面， 则平面平面； （2）（10分）设，由（1）知，平面， 则即为与平面所成角，， 由，结合（1）中结论有，， 则，，三角形为正三角形，在菱形中， ，，， 由（1）知，平面，则， 延长，作于F点，则， 平面，从而 则即为二面角的平面角， 则，则 即二面角的余弦值为 18．【详解】【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面平行判定定理证明结论； （2）取的中点，连接，再由线面垂直判定定理可证平面，从而得证； （3）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； 【详解】（1）（5分）连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面；    （2）（5分）取的中点，连接， 因为为正三角形，所以， 又，则， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以； （3）（7分）取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得， 又，所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 19．【详解】【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）应用平行四边形得出，进而得出线线平行即可证明； （2）应用线面平行判定定理得出平面，再应用线面平行性质定理证明； （3）先证明四边形为平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理证明； 【详解】（1）（5分）证明：连接． 因为，分别为棱，的中点， 所以，又在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以，，，四点共面． （2）（5分）证明：由（1）知，又平面，平面， 所以平面． 因为平面平面，平面，所以． （3）（7分）存在，且． 理由如下：取的中点，连接，． 因为，分别为，的中点， 所以，， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 设为的中点，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 故存在所求的点，且． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教B版必修第四册数学单元自测 第十一章 立体几何初步·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．如图所示，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在正方体中，连接，则， 异面直线与所成的角等于所成的角，而， 所以所求角的大小为. 2．设，，为不同的平面，，，为不同的直线，则下列条件一定能得到的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】根据排除法，结合线面垂直的判定，可得结果. 【详解】在A中，因为，所以， 而并不垂直于内的所有直线， 所以和可能不垂直，故A错误； 在B中，只垂直内的一条直线， 所以不能推出，故B错误； 在C中，因为，所以//， 又，所以，故C正确； 在D中，由，不能推出//， 所以由不能推出，故D错误. 故选：C 【点睛】本题主要是线面垂直的判定，属基础题. 3．晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”.现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为，圆心角为.已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将区域还原到圆柱中求得其面积，由区域和全等可求得总面积. 【详解】由题意可知区域和全等，且都是底面半径为，高为的圆柱的侧面的一部分， 将区域还原到如图所示圆柱中.    由图可知，，， 由扇形的弧长公式可知，的长为， 结合圆柱的侧面积公式可知， 所以， 所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为. 故选：B 4．古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意四棱锥可补形为长方体，求出长方体的体对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的体积. 【详解】由于平面，平面，所以， 由于四边形是矩形，所以， 所以两两相互垂直， 所以四棱锥可补形为长方体，且长方体的体对角线为， 所以四棱锥的外接球的直径，即， 所以四棱锥的外接球的体积. 故选：A 5．如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，O为AC与BE交点.当平面时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线与平面平行性质可得：为使//平面，则//，据此可得答案. 【详解】若//平面，因平面，平面平面，则//，从而. 6．如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在平面内，作，与DE交于点，连接CF，证明MFCN是平行四边形，根据梯形中位线可求MF长度，从而得到答案. 【详解】如图所示，在平面内，作，与DE交于点，连接CF，则，所以共面，因为∥平面CDE，由线面平行的性质知，所以MFCN是平行四边形，所以. 又是的中点，所以MF是梯形的中位线， 设，则，即， 所以，所以. 故选：B. 7．如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的性质可得平面与平面平行，利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 然后作平行线找到点的位置，利用三角形相似即可求出的值. 【详解】    在正方体中，根据正方体的性质可得平面与平面平行， 利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 所以过点作直线的平行线与延长线交于一点， 此交点即为平面与棱所在直线交点，连接，如图所示. 所以四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：. 8．已知正四棱台的体积为，且，则正四棱台的高为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据正四棱台的体积公式，结合已知条件求出正四棱台的高.涉及的公式为正四棱台体积公式（其中为体积，为高，为下底面积，为上底面积）. 【详解】已知，，因为正四棱台的底面为正方形，可得下底面积，上底面积. 已知正四棱台体积，将，代入正四棱台体积公式，可得. 解得. 即正四棱台的高为. 故选：A. 2、 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．若一个球的直径为d，体积为，一个正方体的棱长为a，体积为，且它们的表面积相同，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由球的表面积公式与正方体的表面积公式，结合表面积相同的条件，可得，再由球的体积公式与正方体的体积公式，结合，可得. 【详解】球直径为，则半径为，则球的表面积为， 正方体棱长为，则表面积为． 由，因为，所以，即，故A正确，C错误； 又，， 因为，所以，即．故B错误，D正确； 故选：AD. 10．如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（    ）    A．，M，O三点共线 B．平面 C．直线与平面所成角的为 D．直线和直线是共面直线 【答案】ABC 【分析】根据正方体的特性，依次分析各项正误. 【详解】由正方体的特性可知，为正方体的体对角线，平面，平面平面于，又交平面于点，故点在上，故A项正确； 由正方体的特性可知，平面，平面，故，同理，，于点，故平面，故B项正确； 设正方体的边长为1，直线与平面的夹角为，则，点到平面的距离为，故，，C项正确； 直线与直线为异面直线，故D项错误. 故选：ABC. 11．如图（1）所示，和都是直角三角形，，如图（2）所示，把沿边折起，使所在平面与所在平面垂直，连接，下列说法正确的是（    ）    A．平面 B．与平面的夹角的正弦值为 C．三棱锥外接球的表面积为 D．点到平面的距离为 【答案】AC 【分析】A:由线面垂直性质定理可得答案; B：首先找到线面所成角，在求得其正弦值； C：首先确定球心，然后求得半径，可得其表面积； D:首先确定点到平面的距离所在位置，即可求得答案. 【详解】因为平面平面，平面平面， 为直角三角形，，∴平面， 平面 ， 为直角三角形，，平面, ∴平面. 故选项A正确.    取中点，连接， 因为平面平面，平面平面，平面, 平面, 即为与平面所成角 即与平面的夹角的正弦值为 故选项B错误. 取中点，连接，则 又平面, ， 易知为外心，则三棱锥的外接球球心在直线上, 又，则为外心，为三棱锥的外接球球心 ∴外接球半径， 则三棱锥外接球表面积 故选项C正确. 由于平面，平面, 所以平面平面，过点作于， 平面, ∴即为点到平面， 点到平面的距离为 故选项D错误. 综上，选项AC正确. 3、 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，，分别在，轴上，与重合，且，，则的面积为______．    【答案】 【详解】已知，，则， 还原直观图得，， ． 13．早在南北朝时期，我国数学家祖冲之的儿子祖暅提出了几何体体积的计算原理：幂势既同，则积不容异.也就是说，如果两个等高的几何体在任意同高处的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等.如图3所示是底面积和高都相等的两个几何体，左边是半球右边是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，用平行于半球与圆柱底面的平面去截这两个几何体，利用祖暅原理就可以推出球的体积公式.已知半球半径为2，若平行于半球与圆柱底面的平面过球半径的中点，则半球中底面与截面之间的几何体的体积_____.    【答案】 【分析】计算半圆柱和截面下方的圆锥的体积即可求出. 【详解】设半球中阴影截面圆的半径，球半径为，截面高度为， 则，截面圆面； 圆柱中截面小圆半径，圆柱底面半径为， 则截面圆环面积，所以， 所以半球中截面与底面之间的几何体体积等于半圆柱的体积减去截面下的圆锥体积. 半圆柱的体积为， 截面下方的圆锥体积为， 则半球中底面与截面之间的几何体的体积为 故答案为： 14．在矩形中，，，平面，且，E为上一点，，则的长为______________． 【答案】 【分析】连接，通过证明， ，证得平面，由此证得，由此求得，进而通过勾股定理求得的长. 【详解】连接，因为平面，平面， 所以，又，， 所以平面，又平面，则， 由矩形可知. 因为， 所以,解得， 则， 故答案为：. 三、解答题（共5小题，共77分） 15．（13分）在正三棱锥中，平面，垂足为点O，过O作平面与棱，，，交于点D，E，F，G. (1)求证：E，O，F三点共线； (2)若四边形为平行四边形，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）因为是平面与平面的交线，由平面基本事实即可得E，O，F三点共线； （2）由线面平行的性质结合条件可得，易得为重心，则，进而可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以平面. 同理平面，所以平面平面. 又因为平面，平面，所以. 即E，O，F三点共线. （2）若四边形为平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. 在正三棱锥中，平面， 则为正三角形的中心，即为重心. 连接并延长交于点Q，则. 由（1）可知，.又，则. 所以. 16．（15分）如图，已知直三棱柱的各棱长均为2，D为BC上的一点，，连接OD且平面. (1)求证：为BC的中点； (2)求三棱锥的表面积及到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)表面积为，距离为 【分析】（1）利用线面平行的性质定理，结合直三棱柱中平行四边形的性质，通过中位线定理证明为的中点； （2）先利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，计算三棱锥的表面积；再通过等体积法，转换顶点求解点到平面的距离. 【详解】（1）证明：如图，因为平面且平面， 又因平面平面， 所以.    又因在直三棱柱中，为平行四边形， 所以为的中点， 所以为的中位线. 所以为的中点. （2）因为三棱柱是直三棱柱且所有棱长均为2， 在中，由勾股定理可得，，. 因为，     所以，所以为直角三角形， 三棱锥的表面积为 .     设到平面的距离为，因为，所以 即，解得， 所以到平面的距离为. 17．（15分）如图，在三棱柱中，平面平面 （1）证明：平面平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）； 【分析】（1）四边形为菱形，则，由证得，从而有平面，从而证得平面平面； （2）设，则即为与平面所成角，从而求得，，，，；延长，作于F点，则即为二面角的平面角，，从而求得余弦值. 【详解】（1）由题知，四边形为菱形，则， 又平面平面，且AC为交线，， 则平面，又平面， 则，又， 则平面，又平面， 则平面平面； （2）设，由（1）知，平面， 则即为与平面所成角，， 由，结合（1）中结论有，， 则，，三角形为正三角形，在菱形中， ，，， 由（1）知，平面，则， 延长，作于F点，则， 平面，从而 则即为二面角的平面角， 则，则 即二面角的余弦值为 18．（17分）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上．    (1)若为中点，求证：平面； (2)若，求证； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面平行判定定理证明结论； （2）取的中点，连接，再由线面垂直判定定理可证平面，从而得证； （3）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面；    （2）取的中点，连接， 因为为正三角形，所以， 又，则， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以； （3）取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得， 又，所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 19．（17分）如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）应用平行四边形得出，进而得出线线平行即可证明； （2）应用线面平行判定定理得出平面，再应用线面平行性质定理证明； （3）先证明四边形为平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理证明； 【详解】（1）证明：连接． 因为，分别为棱，的中点， 所以，又在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以，，，四点共面． （2）证明：由（1）知，又平面，平面， 所以平面． 因为平面平面，平面，所以． （3）存在，且． 理由如下：取的中点，连接，． 因为，分别为，的中点， 所以，， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 设为的中点，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 故存在所求的点，且． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年人教B版必修第四册数学单元自测 第十一章 立体几何初步·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．如图所示，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．设，，为不同的平面，，，为不同的直线，则下列条件一定能得到的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”.现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为，圆心角为.已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（    ）    A． B． C． D． 4．古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 5．如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，O为AC与BE交点.当平面时，（    ） A． B． C． D． 6．如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（   ）    A． B． C． D． 7．如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）    A． B． C． D． 8．已知正四棱台的体积为，且，则正四棱台的高为（    ） A． B． C．2 D． 2、 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．若一个球的直径为d，体积为，一个正方体的棱长为a，体积为，且它们的表面积相同，则有（   ） A． B． C． D． 10．如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（    ）    A．，M，O三点共线 B．平面 C．直线与平面所成角的为 D．直线和直线是共面直线 11．如图（1）所示，和都是直角三角形，，如图（2）所示，把沿边折起，使所在平面与所在平面垂直，连接，下列说法正确的是（    ）    A．平面 B．与平面的夹角的正弦值为 C．三棱锥外接球的表面积为 D．点到平面的距离为 3、 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，，分别在，轴上，与重合，且，，则的面积为______．    13．早在南北朝时期，我国数学家祖冲之的儿子祖暅提出了几何体体积的计算原理：幂势既同，则积不容异.也就是说，如果两个等高的几何体在任意同高处的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等.如图3所示是底面积和高都相等的两个几何体，左边是半球右边是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，用平行于半球与圆柱底面的平面去截这两个几何体，利用祖暅原理就可以推出球的体积公式.已知半球半径为2，若平行于半球与圆柱底面的平面过球半径的中点，则半球中底面与截面之间的几何体的体积_____.    14．在矩形中，，，平面，且，E为上一点，，则的长为______________． 三、解答题（共5小题，共77分） 15．（13分）在正三棱锥中，平面，垂足为点O，过O作平面与棱，，，交于点D，E，F，G. (1)求证：E，O，F三点共线； (2)若四边形为平行四边形，求的值. 16．（15分）如图，已知直三棱柱的各棱长均为2，D为BC上的一点，，连接OD且平面. (1)求证：为BC的中点； (2)求三棱锥的表面积及到平面的距离. 17．（15分）如图，在三棱柱中，平面平面 （1）证明：平面平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 18．（17分）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上．    (1)若为中点，求证：平面； (2)若，求证； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 19．（17分）如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教B版必修第四册数学单元自测 第十一章 立体几何初步·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．如图所示，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．设，，为不同的平面，，，为不同的直线，则下列条件一定能得到的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”.现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为，圆心角为.已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（    ）    A． B． C． D． 4．古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 5．如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，O为AC与BE交点.当平面时，（    ） A． B． C． D． 6．如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（   ）    A． B． C． D． 7．如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）    A． B． C． D． 8．已知正四棱台的体积为，且，则正四棱台的高为（    ） A． B． C．2 D． 2、 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．若一个球的直径为d，体积为，一个正方体的棱长为a，体积为，且它们的表面积相同，则有（   ） A． B． C． D． 10．如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（    ）    A．，M，O三点共线 B．平面 C．直线与平面所成角的为 D．直线和直线是共面直线 11．如图（1）所示，和都是直角三角形，，如图（2）所示，把沿边折起，使所在平面与所在平面垂直，连接，下列说法正确的是（    ）    A．平面 B．与平面的夹角的正弦值为 C．三棱锥外接球的表面积为 D．点到平面的距离为 3、 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，，分别在，轴上，与重合，且，，则的面积为______．    13．早在南北朝时期，我国数学家祖冲之的儿子祖暅提出了几何体体积的计算原理：幂势既同，则积不容异.也就是说，如果两个等高的几何体在任意同高处的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等.如图3所示是底面积和高都相等的两个几何体，左边是半球右边是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，用平行于半球与圆柱底面的平面去截这两个几何体，利用祖暅原理就可以推出球的体积公式.已知半球半径为2，若平行于半球与圆柱底面的平面过球半径的中点，则半球中底面与截面之间的几何体的体积_____.    14．在矩形中，，，平面，且，E为上一点，，则的长为______________． 三、解答题（共5小题，共77分） 15．（13分）在正三棱锥中，平面，垂足为点O，过O作平面与棱，，，交于点D，E，F，G. (1)求证：E，O，F三点共线； (2)若四边形为平行四边形，求的值. 16．（15分）如图，已知直三棱柱的各棱长均为2，D为BC上的一点，，连接OD且平面. (1)求证：为BC的中点； (2)求三棱锥的表面积及到平面的距离. 17．（15分）如图，在三棱柱中，平面平面 （1）证明：平面平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 18．（17分）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上．    (1)若为中点，求证：平面； (2)若，求证； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 19．（17分）如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $