专题04 简单几何体表面积与体积（压轴题专项训练）高一数学人教B版必修第四册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04简单几何体表面积与体积 目录 典例详解 类型一、空间几何体的表面积 类型二、简单几何体的体积 类型三、球的表面积与体积 类型四、体积与表面积 类型五、求棱锥切割后的体积之比 类型六、其他体积之比 类型七、装水问题与体积 类型八、祖啦原理 压轴专练 典例详解 类型一、空间几何体的表面积 1、 表面积公式 柱体： S直棱柱=ch+2S底；S斜棱柱=c1+2S底c为直截面周长），S圆骏=2πr2+2πrl=2πrr+) 锥体：S正棱维=专nah+S底；S圆维=πr2+πrl=πrr+ 台体：S正棱台=专a+ah+S上+S下：S圆台=π(r2+2+rl+r 球：S=4πR2 例1.(25-26高一下·全国·课后作业)如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm,高与斜高的夹角为 30°，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为 和 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C A 变式1-1.（25-26高二上·上海·期末)若一个三棱锥的所有棱的长度构成的集合为{2,3，设该三棱锥的表面 积的所有可能取值构成的集合为S,则集合S的元素个数为 变式1-2.(25-26高一下·安微月考)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=4, AD=12.以BC所在的直线为旋转轴，将梯形ABCD旋转一周，得到一个几何体 D C A B (①)求该几何体的表面积： (②)若一只蚂蚁从点A出发，沿该几何体的侧面爬行一周回到起点A,求最短爬行路程 变式1-3.(25-26高一下·广东广州·期中)四等分切割如下图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何 体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是 类型二、简单儿何体的体积 体积公式 柱体：Vt=Sh 锥体：V维=Sh 2/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 台体：V台=s+V5s+sh 球：V=青πR3 例2.(25-26高一下·云南昆明·期中)在正四棱台ABCD-A,BC,D,中，AB=2,A,B,=1,AA=√2，则该棱台 的体积为() A.7V2 B.26 c.76 3 D.36 6 6 2 变式2-1.(25-26高一下·北京朝阳·阶段检测)某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体 截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是6dm,则石凳的体积为 dm'. 变式2-2.(25-26高一下·广东深圳期中)已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成 的角的正切值为2，则该圆台的表面积和体积为() A.12N5元，112B.24,112a C.44π，112π 112π 3 D.20π+125π，3 变式2-3.(25-26高一下·广东清远期中)己知某圆锥的轴截面是斜边为2的直角三角形，则该圆锥的体积 为() A.4n B. 2π D.n 3 3 类型三、球的表面积与体积 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球 常见模型与策略： 1、长方体（正方体）的外接球：球心在对角线交点，半径等于体对角线长的一半。 2、正多面体的外接/内切球：利用对称性，球心在中心，构造直角三角形求半径。 3、棱锥的外接球：关键找球心位置。常通过： 底面外心作垂线（适用于侧棱相等或侧棱与底面成等角的棱锥）。 3/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 或寻找到各顶点距离相等的点。 球与球的关系（相切、相交）：抓住球心距与两球半径的关系。 例3.(25-26高一下·贵州安顺阶段检测)在三棱锥P-ABC中，∠PAB=∠PAC=LBAC=90°，AB=1, AC=2,AP=√5，若A,B,C,P都在球O的球面上，则球O的表面积为· 变式3-1.(25-26高一下·天津·期中)古代数学名著《九章算术·商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底 面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖需若四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平 面ABCD,AB=BC=4,PA=3,则此阳马”外接球的体积为 P B 变式3-2.(25-26高一下·湖南邵阳期中)如图，DE是边长为2√3的正三角形ABC的一条中位线，将 ADE沿DE翻折至△A,DE,当三棱锥C-A,BE的体积最大时，四棱锥A-BCDE外接球的表面积为 变式3-3.(25-26高二下·四川德阳阶段检测)已知直三棱柱ABC-AB,C,的各顶点都在一个球面上，且 CA=CB=2V5,A4=4,∠ACB=120,则这个球的表面积为 类型四、体积与表面积 根据体积与表面积公式，利用其比值关系得出半径、高等的比值关系从而求目标值的比值。 例4.(2025河南模拟预测)我们把几何体的表面积与体积之比称为“相对积”，己知三棱锥0-ABC中， 4/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB=3,D、E、F分别在棱OA、OB、OC上，且截面DEF与底面ABC平行，DE=2,则三棱锥 O-ABC与三棱锥0-DEF的相对积之比为 变式4-1.(2026湖南常德二模)一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥 的侧面积与球的表面积的比值为() A.1 B.3 C.5 D.7 4 4 4 变式4-2.(2026高一，全国专题练习)己知一个直三棱柱的底面是直角三角形，两直角边分别为3和4，斜 边为5，棱柱的高为h,若该棱柱的表面积S和体积V满足关系S=V+18,则h的值为 变式4-3.(2026江西·二模)己知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等， 则该圆锥的体积与球O的体积之比为() A.35 B. 2W15 3 2 C. 4 D. 15 3 类型五、求棱锥切割后的体积之比 通用方法 直接公式法：若两个几何体形状规则（同底同高或等底等高），直接代入体积公式相比。 等积变形法：利用“同底等高的锥体（柱体）体积相等”进行等体积转化。 比例法：抓住影响体积的关键变量（底面积、高），分别求出它们的比例，再相乘得到体积比。 “割补法”与“分割法”： 将复杂几何体切割成若干个易于求体积比的简单几何体。尤其适用于棱锥被平面分割、台体还原为锥体 相减等情况。 例5.(25-26高一下·黑龙江哈尔滨期中)正三棱柱ABC-A,B,C,的底面边长为3，高为2，E为AB上的点， A,E=2EB,平面ACE将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为() B 11 A.2 B.12 13 e片 D.14 15 变式5-1.(2026天津河东·二模)己知正四棱锥P-ABCD,PB、PD的中点分别为E、F,点G为PC上一 5/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 动点，平面EFG将正四棱锥分为两个部分，当G为PC中点时，体积较小部分与体积较大部分的比值为 ;当PG=。PC时，体积较小部分与体积较大部分的比值为 3 变式5-2.（25-26高一下·安徽安庆期中)如图，在直三棱柱ABC-AB,C,中，E是AB的中点，D是AA,的 中点，则三棱锥D-B,C,E的体积与三棱柱ABC-A,B,C,的体积之比是() - A.1:3 B.1:4 C.1:6 D.1:8 变式5-3.(25-26高一下·天津蓟州期中)中国古代数学专著《九章算术》中对两类空间几何体有这样的记 载：①“堑堵”，即底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；②“阳马”，即底面为矩形，且有一侧棱 垂直于底面的四棱锥现有一“堑堵”ABC-A,B,C,,如图所示，AC⊥BC,AA=2AC=4,则其中“阳马” B-A,ACC,与“堑堵”ABC-A,B,C,的体积之比为() A B A.1:4 B.1:2 C.2:3 D.4:5 类型六、其他体积之比 通用方法 直接公式法：若两个几何体形状规则（同底同高或等底等高），直接代入体积公式相比。 等积变形法：利用“同底等高的锥体（柱体）体积相等”进行等体积转化。 比例法：抓住影响体积的关键变量（底面积、高），分别求出它们的比例，再相乘得到体积比。 6/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 例6.(25-26高一下·湖南株洲期中)如图一个三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=AC=BC,H、I、J 分别为所在棱中点，D、E分别为所在棱靠近P端的三等分点，沿平面CDE或平面HJ分割后，截面中均 恰好看不见球体.则球0与整个三棱锥体积之比为() A.23 9元 B.3 c.23 27 D.3 变式6-1.(25-26高一下·河南期中)已知甲、乙两个圆台的上底面的半径均为行，下底面的半径均为 <,母线长分别为35和5-，记甲，乙两个圆台的体积分别为，上，则 变式6-2.（2026江苏·二模)如图，己知圆锥的轴截面为正三角形PAB,底面圆心为0，OD⊥PB,垂足 为D.线段OD绕轴PO旋转一周所得的曲面将圆锥分割成上下两个几何体，则上下几何体的体积之比是() B A.8 1 5 B. 5 c. D. 变式6-3.(25-26高一下·福建宁德期中)如图是一个正四棱台ABCD-A,B,C,D,的铁料，上、下底面的边长 分别为10cm和20cm,高15cm B D B (1)求四棱台ABCD-A,BC,D,的表面积； (②)若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比 7/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型七、装水问题与体积 1、 水的体积是定值：无论容器如何放置，水的体积保持不变。 2、 转化思想：将“求水位高度”转化为“已知体积（水体积）和几何体形状，反求高度”。 3、画轴截面图：将立体问题转化为平面几何问题，在截面中观察水位线与容器边界的交点关系。 4、相似比优先：对于锥体或台体，优先考虑相似关系建立方程。 5、 临界点判断：若容器被倾斜或非标准放置，先确定水平面与容器边界的交点，判断水的形状（可能是 棱柱、棱台或不规则体，常分割为规则体求和)。 例7.(25-26高一下·北京大兴期中)如图1，正三棱柱形容器ABC-AB,C,中盛有水，侧棱AA=8,底面 边长AB=23,若侧面AA,B,B水平放置时，水面恰好经过AC,BC,B,C,AC的中点E,F,G,H. 图1 图2 (1)当底面ABC水平放置时（如图1所示），求水面的高度； (2)己知某三棱锥的底面与该三棱柱底面△ABC全等，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好 装满此三棱锥，求此三棱锥的高； (3)当底面ABC水平放置时（如图1所示），打开上底面A,B,C,的盖子，从上底面A,B,C放入半径为1的小铁 球，且沉入水中，当水从上底面A,B,C溢出时，求放入的小铁球个数的最小值.（结论不要求证明） 变式7-1.(25-26高一下·湖南长沙期中)如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱A4=10.若侧面 AAB,B水平放置时，水面恰好过AC,BC,A,C,B,C,的中点那么当底面ABC水平放置时，水面高为() A.6 B.7 C.7.5 D.8 8/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式7-2.（多选）(2026宁夏银川一模)（多选）一个竖直放置的底面半径为，高为h的透明圆柱形无盖 水杯（水杯壁厚度忽略不计)，杯中盛有水，水面高为h,(h>h,h>r),则() h A.若么≥，将水杯倾斜，水未溢出，则水面的形状是椭圆 B.若另有一圆柱的侧面积与水杯的侧面积相等，则该圆柱的体积与水杯的容积相等 11 C.往水杯内放置一个半径为。的球，水未溢出且球与水面和杯底均相切，则h,=一1 6 D.将水杯倾斜放置使水面的形状呈椭圆，若椭圆中心位于水杯上下底面中心连线的处，则竖直放置 时水面的形状的中心也在水杯上下底面中心连线的处 变式7-3.（25-26高一下·全国·课后作业)如图，往透明塑料制成的长方体ABCD-A,B,C,D,容器内灌进一些 水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法： ①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③当E在AA上时，AE+BF是定值. 其中，正确的说法是() A B H B A.①② B.① C.①②③ D.①③ 类型八、祖随原理 祖恒原理：幂势既同，则积不容异。即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任 意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。 常用于推导柱、锥、台、球等体积公式，以及解决一些不规则几何体体积问题。常见方法：构造一个己 知体积的几何体（如柱、锥、台），使其与所求几何体在等高处的截面面积处处相等，从而得到体积相等 例8.(25-26高三上广东惠州期末)我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂 势既同，则积不容异”意思是两个同高的几何体在等高处的截面积都相等，则这两个几何体的体积相等现 有同高的三棱锥和圆锥满足祖堩原理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径为3且圆心角为120°的扇形，由 9/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 此推算三棱锥的体积为() A. 2 个 B. V -元 3 C.4v2元 D. 3 3元 变式8-1.(25-26高三上·四川绵阳·月考)中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖堩父子提出介于两 个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两 个几何体的体积相等.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体如图所 示，则该不规则几何体的体积为 变式8-2.(25-26高二上·上海松江·期末)有趣的金马徐高想运用所学祖暅原理（如图1）解决如下问题： 如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为4的铁球，再注入水， 使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），则容器中水的体积为 (结果保留刀) R 图1 图2 变式8-3.(25-26高二上·上海期末)李华同学用如下左图所示的炒勺做蛋饺，在学习立体几何后，他打算 研究炒勺（不考虑勺柄，下同）的容积与表面积如图所示，取定球面上一点N,连接N与球心O,在线段 N0上取一点0'，过0'垂直于NO的平面（记作）将球面分成了两部分；李华同学将炒勺抽象为其中含 有点N的那部分曲面，并设球面半径为R (1)若将炒勺简化为一个半球面（即0'与0重合），求炒勺的容积； 10/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)李华记得必修三教材中，半球体积是利用如图所示的圆柱、圆锥以及祖暅原理推导所得模仿教材中的方 法，NO'=h(0<h≤R),求炒勺的容积V,并写出推导过程： 2R S 2R 图(1) 图(2) (3)设R=4厘米，N0'=h=2厘米，利用必修三教材中近似地推导球的表面积公式的方法，帮助李华同学推 测炒勺的内表面面积S(近似到0.01平方厘米)，并写出推导过程 9 压轴专练 1.(25-26高一下·贵州安顺阶段检测)如图，在正方体ABCD-A,B,C,D的八个顶点中，A,B,C,D1四 个顶点恰好是正三棱锥A-B,CD,的顶点，则正三棱锥A-B,CD,的体积与正方体ABCD-A,B,CD,的体积之 比为() D D B A.1:√2 B.1:V5 C.1:2 D.1:3 2.(25-26高一下·湖南长沙期中)如图，已知三棱台ABC-A,B,C,的体积为V,上、下底面边长之比为1：3， 若截去三棱锥C,-A,B,B,则剩余部分的体积为 (用V表示) B 3.(多选)(25-26高一下山东临沂期中)（多选）如图，圆锥PO的轴截面PCD是面积为4√3的正三角形， 11/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 用平行于圆锥PO底面的平面截该圆锥，截面圆O,与圆锥母线PD,PC分别交于点A,B,且AB=2,则() B92 -----)D A. 圆锥PO的表面积为12π B.圆台PO的高为√5 C.圆锥P0,的体积为4 3 D.从点C出发沿着该圆锥侧面到达AD中点的最短路程为5 4.(25-26高二下·江苏连云港期中)如图，在体积为1的三棱锥A-BCD的侧棱AB,AC,AD上分别取点 E,F,G,使AE:EB=AF:FC=1:l,AG:GD=2:1.记0为平面BCG、平面CDE、平面DBF的交点，则 三棱锥0-BCD的体积等于 B 5.(2025上海静安一模)已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相等，若圆柱的表面积与球的表面积也相等， 则圆柱的体积V与球的体积？之比？：'，= 6.(25-26高二下江苏南京期中)若圆锥的底面直径与球的直径相等，且圆锥的体积与球的体积相等，则 圆锥的侧面积与球的表面积之比为() A.√2：2 B.V5:2 C.5:4 D.V17:4 7.(多选)(25-26高一下·全国·课后作业)（多选）（多选）若一个球的直径为d,体积为'，一个正方体的 棱长为a,体积为'正，且它们的表面积相同，则有() A.d>a B.'球<V正 C. D.V球>VE 12/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.(多选)(25-26高一下·安徽池州期中)如图，己知正三棱柱ABC-A,B,C,的所有顶点都在表面积为16π的 球O的球面上，底面边长为a,侧棱长为h,则下列说法正确的有() A A.正三棱柱的外接球的球心O一定是上下底面中心连线的中点 B.若底面边长a=√5，则侧棱长h=2√3 C.若侧棱长h=2,则该正三棱柱的体积为3√5 D.该正三棱柱的侧面积的最大值为123 9.(2026天津北辰·二模)中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前476年一前222年)，其中沙 漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成， 开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器.如图，某沙漏是由两个形状完全相同的圆 锥容器组成.己知最初沙漏中细沙全部在上部容器时，其高度为圆锥高度的一半，假设细沙全部漏入下部容 器中，将细沙摇匀，此时细沙堆成如图所示的一个圆台.若圆锥容器的高为h,则此圆台的高为（) A, D.迈h 10.(多选)(25-26高三上·江苏南通月考)（多选）一个封闭的直三棱柱容器ABC-A,B,C,内装有高度为3 的水（如图所示，底面处于水平状态）.记水面为a,AC=BC=2,AC⊥BC,CC=4,现以AB所在直线为旋 转轴，将容器逆时针旋转90°的过程中，下列说法正确的是() 13/14 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A C B ⊙ A.水面形状的变化依次为三角形，等腰梯形，矩形 B.水面可能是正三角形 C.当a经过C时，a与面AB,C的交线长为√6 D.当逆时针旋转90°时，水面的面积为4√2 14/14 专题04 简单几何体表面积与体积 目录 典例详解 类型一、空间几何体的表面积 类型二、简单几何体的体积 类型三、球的表面积与体积 类型四、体积与表面积 类型五、求棱锥切割后的体积之比 类型六、其他体积之比 类型七、装水问题与体积 类型八、祖暅原理 压轴专练 类型一、空间几何体的表面积 1、 表面积公式 柱体：；为直截面周长； 锥体：； 台体：； 球 ： 例1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为______________和______________． 【答案】 【分析】利用四棱锥侧面积和表面积公式求解即可. 【详解】正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成． ，， ∴斜高． 因此， ． 故答案为：； 变式1-1．（25-26高二上·上海·期末）若一个三棱锥的所有棱的长度构成的集合为，设该三棱锥的表面积的所有可能取值构成的集合为，则集合的元素个数为__________． 【答案】 【分析】根据棱长中有几个棱长为3进行列举即可，并求出面积比较，得到总数. 【详解】首先考虑有2和3能够构成什么样的三角形? ，其中表示三条边分别为2，2，3. 面积分别为 当三棱锥所有棱长中只有1个，构成三棱锥的四个面的三角形， 2个 ，2个.面积为 当三棱锥所有棱长中只有2个3，构成三棱锥的四个面的三角形有一种情况 1个，2个，1个，面积为 当三棱锥所有棱长中只有3个3，构成三棱锥的四个面的三角形 ①1个，3个，面积为 ②1个，3个，面积为 ③2个，2个，面积为 当三棱锥所有棱长中只有4个3，构成三棱锥的四个面的三角形 ①1个，2个，1个，面积为 ②4个，面积为 当三棱锥所有棱长中只有5个3，构成三棱锥的四个面的三角形 2个，2个，面积为 一共8个 变式1-2．（25-26高一下·安徽·月考）如图，在梯形ABCD中，，，，.以BC所在的直线为旋转轴，将梯形ABCD旋转一周，得到一个几何体. (1)求该几何体的表面积； (2)若一只蚂蚁从点A出发，沿该几何体的侧面爬行一周回到起点A，求最短爬行路程. 【答案】(1) (2)24. 【分析】（1）将直角梯形ABCD以BC边所在的直线为旋转轴旋转一周，形成一个上底面半径为，下底面半径为，母线长的圆台，利用圆台的表面积公式求解即可； （2）将圆台的侧面沿母线AD剪开，展开后得到一个扇环，蚂蚁从点A出发，沿该几何体的侧面爬行一周回到起点A的最短路径即为线段，结合几何性质求解即可. 【详解】（1）如图所示，将直角梯形ABCD以BC边所在的直线为旋转轴旋转一周，形成一个上底面半径为，下底面半径为，母线长的圆台， 其表面积为. （2）将圆台的侧面沿母线AD剪开，展开后得到如图所示的一个扇环. ∵圆台上、下底面半径的关系为， ∴，， 又∵， ∴，. 设，则的长， 解得，连接，可知为等边三角形， ∴， ∴蚂蚁从点A出发，沿该几何体的侧面爬行一周回到起点A的最短路径即为线段， ∴蚂蚁爬行的最短路程为24. 变式1-3．（25-26高一下·广东广州·期中）四等分切割如下图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是________. 【答案】 【详解】设圆柱的底面半径为，高为， 根据题意，将圆柱重新组合成的几何体，表面积多了两个矩形，对应的边长分别为， 所以表面积增加了，即， 所以圆柱的侧面积为 类型二、简单几何体的体积 体积公式 柱体： 锥体： 台体： 球： 例2．（25-26高一下·云南昆明·期中）在正四棱台中，，则该棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】上底边长，下底边长，侧棱， 由正四棱台性质可得： 如图，， 所以，再由勾股定理可得棱台的高：， 代入体积公式计算： . 变式2-1．（25-26高一下·北京朝阳·阶段检测）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的体积为___________． 【答案】 【分析】利用正方体、棱锥的体积公式，结合石凳的结构特征求其体积. 【详解】正方体体积， 石凳体积为正方体体积减去8个被截去的正三棱锥体积，每个被截去的正三棱锥三条侧棱长为， 则一个正三棱锥体积为， 所以石凳的体积为. 变式2-2．（25-26高一下·广东深圳·期中）已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆台的表面积和体积为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】先根据圆台的轴截面得出圆台的高及母线，最后应用圆台的表面积公式计算求解. 【详解】依题意，圆台的上、下底面半径分别为2和4，则， 由题意的正切值为2， 设圆台的高为，即该等腰梯形的高， 则母线， 所以圆台的表面积. 圆台的体积. 变式2-3．（25-26高一下·广东清远·期中）已知某圆锥的轴截面是斜边为2的直角三角形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知该圆锥的轴截面是斜边为2的等腰直角三角形，所以圆锥的高为1，底面半径为1， 所以体积为． 类型三、球的表面积与体积 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见模型与策略： 1、长方体（正方体）的外接球：球心在对角线交点，半径等于体对角线长的一半。 2、正多面体的外接/内切球：利用对称性，球心在中心，构造直角三角形求半径。 3、棱锥的外接球：关键找球心位置。常通过： 底面外心作垂线（适用于侧棱相等或侧棱与底面成等角的棱锥）。 或寻找到各顶点距离相等的点。 球与球的关系（相切、相交）：抓住球心距与两球半径的关系。 例3．（25-26高一下·贵州安顺·阶段检测）在三棱锥中，，，，，若，，，都在球的球面上，则球的表面积为_______． 【答案】 【详解】在三棱锥中，， 则，，两两垂直， 三棱锥与以，，为棱的长方体有相同的外接球， 因此球的半径，所以球的表面积为． 变式3-1．（25-26高一下·天津·期中）古代数学名著《九章算术·商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为______. 【答案】 【分析】根据补形的方法求得外接球的体积. 【详解】由于平面，，平面，所以，， 由于四边形是矩形，所以，所以，，两两相互垂直， 所以四棱锥可补形为长方体，且长方体的体对角线为， 所以外接球的半径， 所以外接球的体积为. 变式3-2．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________. 【答案】 【分析】当平面垂直于平面时，三棱锥的体积最大，进而结合勾股定理和底面梯形外接圆性质确定外接球的球心位置和球半径，再结合求表面积公式求解即可. 【详解】依题意，，正三角形的高为，则到的距离与梯形的高均为. 三棱锥的体积，其中， 是到底面的高，由图知，当且仅当平面平面时，最大（），此时其体积最大. 又因是等腰梯形，为圆内接四边形，其外心必在对称轴（中点到中点的连线）上，而. 设四棱锥的底面外接圆半径为，外心到的距离为， 由勾股定理： 将代入可得，解得， 因.则可知棱锥底面外接圆圆心就是中点，且，即. 外接球的球心必在过底面外心且垂直于底面的直线上， 设，外接球半径为，则：. 由平面平面，，得底面，， 且.由勾股定理得：， 代入得：， 化简得：. 因此， 外接球表面积：. 变式3-3．（25-26高二下·四川德阳·阶段检测）已知直三棱柱的各顶点都在一个球面上，且，，，则这个球的表面积为______. 【答案】 【分析】利用正弦定理可得的外接圆的半径，在直角三角形 中，根据勾股定理可得球半径，进而可求表面积. 【详解】设的外心分别为,连接，可知外接球的球心为的中点， 连接 在，由，， 可得 由正弦定理可得的外接圆的半径, 在直角三角形中，外接球的半径, 所以直三棱柱的外接球的表面积为, 类型四、体积与表面积 根据体积与表面积公式，利用其比值关系得出半径、高等的比值关系从而求目标值的比值。 例4．（2025·河南·模拟预测）我们把几何体的表面积与体积之比称为“相对积”，已知三棱锥中，，、、分别在棱、、上，且截面与底面平行，，则三棱锥与三棱锥的相对积之比为______． 【答案】 【分析】根据相似锥体的体积比是边长比的立方，表面积比为边长的平方比，结合“相对积”的定义求解即可. 【详解】设三棱锥、三棱锥的体积分别为，表面积分别为， 因为，，、、分别在棱、、上， 且截面与底面平行，所以两个棱锥相似， 所以，， 则三棱锥与三棱锥的相对积之比为. 故答案为：. 变式4-1．（2026·湖南常德·二模）一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧面积与球的表面积的比值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为，圆锥的母线长为，高为，由已知可得，，计算侧面积与球的表面积的比值. 【详解】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为，圆锥的母线长为，高为． 由，得，， ，则． 变式4-2．（2026高一·全国·专题练习）已知一个直三棱柱的底面是直角三角形，两直角边分别为和，斜边为，棱柱的高为，若该棱柱的表面积和体积满足关系，则的值为_______. 【答案】1 【分析】利用分别表示出棱柱的表面积和体积，由已知等量关系可构造方程求得结果. 【详解】由题意知：棱柱的体积， 表面积， 因为， 所以，解得. 变式4-3．（2026·江西·二模）已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的底面半径为r，则其母线长为2r，高为， 所以该圆锥的表面积为， 设球O的半径为R，则球O的表面积为， 由题意知，所以， 圆锥的体积，球O的体积， 所以. 类型五、求棱锥切割后的体积之比 通用方法 直接公式法：若两个几何体形状规则（同底同高或等底等高），直接代入体积公式相比。 等积变形法：利用“同底等高的锥体（柱体）体积相等”进行等体积转化。 比例法：抓住影响体积的关键变量（底面积、高），分别求出它们的比例，再相乘得到体积比。 “割补法”与“分割法”： 将复杂几何体切割成若干个易于求体积比的简单几何体。尤其适用于棱锥被平面分割、台体还原为锥体相减等情况。 例5．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）正三棱柱的底面边长为，高为，为上的点，，平面将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定平面截棱柱的截面位置及截成的几何体的形状，一个三棱台和一个五面体，再分别计算三棱台的体积和三棱柱的体积，进而可得体积比值. 【详解】如图：设平面与棱交于点， 由棱柱的性质知，平面，平面， 所以平面，且平面，平面平面， 所以，因此，所以几何体是三棱台， ， ， ，， 所以，小的几何体与大的几何体的体积比值为. 变式5-1．（2026·天津河东·二模）已知正四棱锥，的中点分别为，点为上一动点，平面将正四棱锥分为两个部分，当为中点时，体积较小部分与体积较大部分的比值为________；当时，体积较小部分与体积较大部分的比值为________． 【答案】 【分析】由正四棱锥的性质及四棱锥的体积公式即可求解． 【详解】设正四棱锥的底面边长为，高为，平面截正四棱锥的截面为四边形，与交点为，如图所示， 因为的中点分别为，点为中点， 所以，且， 又平面，平面， 所以，平面，又，平面，且， 所以平面平面，则点也为中点， 所以四棱锥 与正四棱锥相似，相似比为， 所以四棱锥的底面边长为，高为，， 所以， 设体积较小部分的体积为，体积较大部分的体积为， 则，， 所以； 设底面正方形的中心为，作出平面与正四棱锥的截面图，交于点， 因为，所以为等腰直角三角形，， 在平面中，， 设，， 因为， 所以，即， 所以，即点重合，如图所示，截面为， 连接，，过点作，垂足为， 下面证明即为四棱锥底面的高，， 因为底面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，又，所以平面， 又平面，所以，， 又，，平面， 所以平面，即即为四棱锥底面的高， 在中， ， 斜边上的高为，， 所以， 由正四棱锥的性质可得，， ， 所以． 变式5-2．（25-26高一下·安徽安庆·期中）如图，在直三棱柱中，是AB的中点，是的中点，则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比是（   ） A．1:3 B．1:4 C．1:6 D．1:8 【答案】B 【详解】已知是AB的中点，是的中点， ， 又， ， ， 即三棱锥的体积与三棱柱的体积之比为. 变式5-3．（25-26高一下·天津蓟州·期中）中国古代数学专著《九章算术》中对两类空间几何体有这样的记载：①“堑堵”，即底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；②“阳马”，即底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一“堑堵”，如图所示，，，则其中“阳马”与“堑堵”的体积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，设， 因为，由“阳马”的定义可知，平面， 所以，， 所以“阳马”与“堑堵”的体积之比为. 类型六、其他体积之比 通用方法 直接公式法：若两个几何体形状规则（同底同高或等底等高），直接代入体积公式相比。 等积变形法：利用“同底等高的锥体（柱体）体积相等”进行等体积转化。 比例法：抓住影响体积的关键变量（底面积、高），分别求出它们的比例，再相乘得到体积比。 例6．（25-26高一下·湖南株洲·期中）如图一个三棱锥中，，、、分别为所在棱中点，、分别为所在棱靠近端的三等分点，沿平面或平面分割后，截面中均恰好看不见球体.则球与整个三棱锥体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，易知，且，设球半径为，，根据中点可知到的距离，，根据三角形面积公式及内切圆半径公式可得，结合余弦定理可得，进而可得，，可得内切球半径且可知三棱锥为正三棱锥，再根据球的体积公式及三棱锥公式分别求体积及比值. 【详解】 如图所示，取中点为，， 为方便计算，不妨设， 由，可知， 又、分别为所在棱靠近端的三等分点， 则， 且，、，，平面， 即平面，又平面，则平面平面， 设球半径为，， 由于、、分别为所在棱中点，且沿平面切开后，截面中均恰好看不见球体， 则到的距离，，， 又，解得：， 故， 又， 解得，， 所以，解得，， 由以上计算可知：为正三棱锥， 故 ， 所以比值为. 变式6-1．（25-26高一下·河南·期中）已知甲､乙两个圆台的上底面的半径均为，下底面的半径均为，母线长分别为和，记甲､乙两个圆台的体积分别为，则__________. 【答案】## 【分析】根据圆台的性质，先分别求出两圆台的高，再利用圆台体积公式计算即可． 【详解】解：由题可得两个圆台的高分别为， ， 所以. 变式6-2．（2026·江苏·二模）如图，已知圆锥的轴截面为正三角形，底面圆心为，，垂足为.线段绕轴旋转一周所得的曲面将圆锥分割成上下两个几何体，则上下几何体的体积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作，根据已知确定上几何体的构成，再应用圆锥的体积公式求上下几何体的体积，即可得. 【详解】过作，如下图示， 由题意，上几何体是半径为的两个圆锥组合而成，高分别为， 令的边长为，则，，，可得， 所以上几何体的体积为， 而圆锥的体积为， 所以下几何体的体积为， 综上，上下几何体的体积之比是. 变式6-3．（25-26高一下·福建宁德·期中）如图是一个正四棱台的铁料，上､下底面的边长分别为和，高. (1)求四棱台的表面积； (2)若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出侧面的斜高，得到侧面积，再与上下底面积求和得到表面积； （2）最大的圆台是上底面圆与棱台上底面正方形相切，高为棱台的高时，求出圆台的体积，再求出正四棱台的体积，即可得到削去部分，从而得到体积之比； 【详解】（1）如下图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 分别取中点，连接， 过点作，交于点. 则， 所以， 所以四棱台的表面积. （2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台， 则圆台的上、下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高. 则圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为， 高，则圆台的体积为． 又正四棱台的体积， 所以削去部分的体积， 所以削去部分与圆台的体积之比为； 类型七、装水问题与体积 1、水的体积是定值：无论容器如何放置，水的体积保持不变。 2、转化思想：将“求水位高度”转化为“已知体积（水体积）和几何体形状，反求高度”。 3、画轴截面图：将立体问题转化为平面几何问题，在截面中观察水位线与容器边界的交点关系。 4、相似比优先：对于锥体或台体，优先考虑相似关系建立方程。 5、临界点判断：若容器被倾斜或非标准放置，先确定水平面与容器边界的交点，判断水的形状（可能是棱柱、棱台或不规则体，常分割为规则体求和）。 例7．（25-26高一下·北京大兴·期中）如图1，正三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边长，若侧面水平放置时，水面恰好经过的中点 . (1)当底面水平放置时（如图1所示），求水面的高度； (2)已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面全等，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好装满此三棱锥，求此三棱锥的高； (3)当底面水平放置时（如图1所示），打开上底面的盖子，从上底面 放入半径为的小铁球，且沉入水中，当水从上底面溢出时，求放入的小铁球个数的最小值．（结论不要求证明） 【答案】(1)6 (2)18 (3)个. 【分析】（1）首先求水的体积，再应用棱柱的体积公式求底面ABC水平放置后水面的高度； （2）根据前后体积相同以及三棱锥的体积公式求解即可. （3）由题设只需放入小铁球的总体积大于空白区域的体积，结合球体的体积公式求放入的小铁球个数的最小值. 【详解】（1）因为正三棱柱中，侧棱，底面边长， 由题意可得底面内四边形的面积， 所以正三棱柱中水的体积． 又因为底面三角形的面积， 所以底面水平放置后水面高. （2）设三棱锥的高为． 由题意三棱锥的体积， 所以，则 所以三棱锥的高为． （3）个. 由题意，只需放入小铁球的总体积大于空白区域的体积即可. 空白区域的体积为. 小铁球的体积，若放入个小铁球水从上底面溢出， 所以，故最小为3. 变式7-1．（25-26高一下·湖南长沙·期中）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过的中点.那么当底面水平放置时，水面高为（    ） A．6 B．7 C．7.5 D．8 【答案】C 【分析】先根据水平放置时，水的形状为直四棱柱，求出水的体积，再求出当底面水平放置时，水面高即可. 【详解】设三棱柱的底面的面积为，高为，则. 当侧面水平放置时，水的形状呈直四棱柱形， 由于液面恰好经过的中点，则直四棱柱的底面积是直三棱柱底面积的，即直四棱柱的底面积是， 所以水的体积， 当底面水平放置时，设水面高为，则，从而有， 所以，即当底面水平放置时，水面高为7.5. 变式7-2．（多选）（2026·宁夏银川·一模）（多选）一个竖直放置的底面半径为r，高为h的透明圆柱形无盖水杯（水杯壁厚度忽略不计），杯中盛有水，水面高为，则（   ） A．若，将水杯倾斜，水未溢出，则水面的形状是椭圆 B．若另有一圆柱的侧面积与水杯的侧面积相等，则该圆柱的体积与水杯的容积相等 C．往水杯内放置一个半径为的球，水未溢出且球与水面和杯底均相切，则 D．将水杯倾斜放置使水面的形状呈椭圆，若椭圆中心位于水杯上下底面中心连线的处，则竖直放置时水面的形状的中心也在水杯上下底面中心连线的处 【答案】AD 【分析】把问题转化成水平面截圆柱的截面问题判断A；根据圆柱的侧面积公式和体积公式判断B；利用体积相等列式求解判断C；根据体积不变和椭圆与圆的对称性可判断D. 【详解】对于A：当圆柱水杯倾斜放置且水未溢出时，圆柱轴线倾斜， 水平面与圆柱侧面相交形成椭圆，水面呈椭圆面，正确； 对于B：设另一个圆柱的底面半径为R，高为t，由题意，即， 则该圆柱的体积与水杯的容积之比为：， 显然只有当时，该圆柱的体积与水杯的容积相等，错误； 对于C：由题意，即，解得，错误； 对于D：作出水杯的轴截面，如图所示： 其中是水杯竖直放置时水面直线，是水杯倾斜放置时水面形成椭圆的长轴线， 由于水的体积不变，椭圆与圆的对称性可知，不管水杯如何放置， 与都过点O，且， 则竖直放置时水面的形状的中心也在水杯上下底面中心连线的处，正确. 变式7-3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，往透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法： ①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形的面积不改变；③当在上时，是定值． 其中，正确的说法是（   ） A．①② B．① C．①②③ D．①③ 【答案】D 【分析】根据棱柱的特征，结合图形对三个命题逐一进行分析判断即可． 【详解】显然水的部分呈棱柱状，故①正确； 易知四边形是矩形，且保持不变，随着倾斜度的不同，长度也变化， 所以四边形面积也变化，故②不正确； 由于水的体积不变，即四棱柱的体积不变， 易知四棱柱的高为，即为定值， 故梯形的面积为定值，即为定值， 由于为定值，故是定值，故③正确， 所以三个命题中①③正确. 类型八、祖暅原理 祖暅原理：幂势既同，则积不容异。即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。 常用于推导柱、锥、台、球等体积公式，以及解决一些不规则几何体体积问题。常见方法：构造一个已知体积的几何体（如柱、锥、台），使其与所求几何体在等高处的截面面积处处相等，从而得到体积相等。 例8．（25-26高三上·广东惠州·期末）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体在等高处的截面积都相等，则这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径为3且圆心角为120°的扇形，由此推算三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥的侧面展开图求得圆锥的高和底面半径，得圆锥体积即得结论． 【详解】由题意可知，三棱锥的体积等于圆锥的体积， 圆锥的侧面展开图恰为一个半径为3的圆的三分之一， 所以圆锥的底面周长为，故圆锥的底面半径为1，母线为3， 所以圆锥的高为，则圆锥的体积， 从而所求三棱锥的体积为. 故选：A 变式8-1．（25-26高三上·四川绵阳·月考）中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子提出介于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体如图所示，则该不规则几何体的体积为_________. 【答案】7 【分析】利用台体的体积公式求正四棱台的体积，再根据祖暅原理即可得结果. 【详解】由题意可知：正四棱台的体积为， 根据祖暅原理可知该不规则几何体的体积为7. 故答案为：7. 变式8-2．（25-26高二上·上海松江·期末）有趣的金马徐高想运用所学祖暅原理（如图1）解决如下问题：如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为4的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），则容器中水的体积为________．（结果保留）    【答案】 【分析】根据条件和图1可得半球的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆锥的体积，半球阴影截面上半部分体积等于圆柱阴影截面上半部分体积减去圆台体积，然后在图2中运用此原理可求得答案. 【详解】如图1，已知圆柱、圆锥底面圆半径、高和球体半径相等，设半球中阴影截面圆的半径， 球体半径为，则，截面圆面； 圆柱中截面小圆半径，大圆半径为，则截面圆环面积， 所以，又高度相等， 所以半球的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆锥的体积. 同理，半球阴影截面上半部分体积等于圆柱阴影截面上半部分体积减去圆台体积.    如图2，设球体和水接触的上部分为，没和水接触的下部分为， 小半球相当于图1半球的截面上半部分，其体积等于图1中截面之上的圆柱体积减去相应圆台体积. 已知球体半径为，为等边三角形， ，， 根据祖暅原理， . 设图2中轴截面为梯形的圆台体积为，且， . 故答案为： 变式8-3．（25-26高二上·上海·期末）李华同学用如下左图所示的炒勺做蛋饺，在学习立体几何后，他打算研究炒勺（不考虑勺柄，下同）的容积与表面积.如图所示，取定球面上一点N，连接N与球心，在线段上取一点，过垂直于的平面（记作）将球面分成了两部分；李华同学将炒勺抽象为其中含有点N的那部分曲面，并设球面半径为R.    (1)若将炒勺简化为一个半球面（即与重合），求炒勺的容积； (2)李华记得必修三教材中，半球体积是利用如图所示的圆柱、圆锥以及祖暅原理推导所得.模仿教材中的方法，，求炒勺的容积V，并写出推导过程；    (3)设厘米，厘米，利用必修三教材中近似地推导球的表面积公式的方法，帮助李华同学推测炒勺的内表面面积S（近似到0.01平方厘米），并写出推导过程. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用球的体积公式即可求解； （2）先证明等高的横截面面积相等，再来计算相等部分的体积即可； （3）利用分割思想，把每一个锥体的高近似看成，再利用体积相等，来近似计算求出炒勺的表面积. 【详解】（1）若将炒勺简化为一个半球面（即与重合），则炒勺的容积为； （2）    如图：先证明对任意高度，图中的阴影部分面积相等， 图（1）中阴影部分圆的半径设为，则由垂径定理可知：， 所以图（1）中阴影部分圆的面积为：， 图（2）中阴影部分为圆环，设内圆半径为，则， 所以图（2）中阴影部分圆环的面积为：， 此时对任意的高度，都有，则根据祖暅原理， 可知炒勺的容积V等于一个高为的圆柱体积减去一个圆台体积， 即 ， 故炒勺的容积； （3）    当厘米，厘米，先计算炒勺的容积， 再计算阴影部分圆的半径 图中阴影部分下方的圆锥体积， 再根据推导球的表面积公式的方法，将炒勺的球面分割成微小的 n 个部分，每一个部分与球心形成的锥体的高都近似看成球的半径， 从而可将这 n 个锥体的体积之和等于炒勺和圆锥组成的几何体体积，最后可近似求出炒勺的表面积，设炒勺的表面积为， 则 故炒勺的表面积为. 1．（25-26高一下·贵州安顺·阶段检测）如图，在正方体的八个顶点中，，，，四个顶点恰好是正三棱锥的顶点，则正三棱锥的体积与正方体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方体的棱长为，求得正方体的体积是，结合间接法，求得正三棱锥的体积为，进而得到正三棱锥的体积与正方体的体积之比. 【详解】设正方体的棱长为，可得该正方体的体积是， 由三棱锥的体积为 正三棱锥的体积为， 所以正三棱锥的体积与正方体的体积之比为. 2．（25-26高一下·湖南长沙·期中）如图，已知三棱台的体积为，上、下底面边长之比为，若截去三棱锥，则剩余部分的体积为__________．（用表示） 【答案】 【分析】利用棱台性质及棱台与棱锥体积公式计算即可得. 【详解】由相似可知，三棱台上、下底面的面积之比为， 设棱台的高为，上底面的面积为，则点到平面的距离也是， 从而有， 则剩余部分的体积为． 3．（多选）（25-26高一下·山东临沂·期中）（多选）如图，圆锥的轴截面是面积为的正三角形，用平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截面圆与圆锥母线分别交于点，且，则（   ） A．圆锥的表面积为 B．圆台的高为 C．圆锥的体积为 D．从点出发沿着该圆锥侧面到达中点的最短路程为5 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，结合圆锥的性质，利用圆锥的表面积公式计算判断选项A；利用三角形的性质及相关比例关系计算，判断选项B；利用圆锥体积公式计算判断选项C；数形结合判断选项D． 【详解】选项A：已知截面是面积为的正三角形，设边长为，则 ，解得，则底面半径，母线长， 侧面积，底面积， ，故A正确； 选项B：， ， ， ，则，故B正确； 选项C：底面半径，， ，故C错误； 选项D：圆锥的侧面展开图是圆心角为的半圆，设的中点为， 连接， 则，， ，故D正确． 4．（25-26高二下·江苏连云港·期中）如图，在体积为1的三棱锥的侧棱上分别取点，使．记为平面、平面、平面的交点，则三棱锥的体积等于__________． 【答案】/ 【分析】设，则，又，求出，得到对应线段的比，设到底面的距离分别为，得到，进而得到体积. 【详解】如图，假设，连接， 则， 如图，在中，连接，设， 所以， 又， 所以，解得，即，同理， 则，则， 设到底面的距离分别为，则， 又，所以，所以， 所以， 5．（2025·上海静安·一模）已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相等，若圆柱的表面积与球的表面积也相等，则圆柱的体积与球的体积之比___________． 【答案】/ 【分析】根据圆柱的侧面积公式和球的表面积公式得出半径等于圆柱的高，再根据体积公式化简即可. 【详解】设圆柱的底面圆和球的半径为，圆柱的高为， 则由题意得，，则， 则. 故答案为： 6．（25-26高二下·江苏南京·期中）若圆锥的底面直径与球的直径相等，且圆锥的体积与球的体积相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥底面直径为，圆锥的高为，则圆锥底面半径为，球的半径为 圆锥的体积与球的体积相等，所以，解得， 所以圆锥母线长为：， 所以圆锥侧面积，球的表面积， 所以，即圆锥的侧面积与球的表面积之比为. 7．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）（多选）若一个球的直径为d，体积为，一个正方体的棱长为a，体积为，且它们的表面积相同，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由球的表面积公式与正方体的表面积公式，结合表面积相同的条件，可得，再由球的体积公式与正方体的体积公式，结合，可得. 【详解】球直径为，则半径为，则球的表面积为， 正方体棱长为，则表面积为． 由，因为，所以，即，故A正确，C错误； 又，， 因为，所以，即．故B错误，D正确； 故选：AD. 8．（多选）（25-26高一下·安徽池州·期中）如图，已知正三棱柱的所有顶点都在表面积为的球O的球面上，底面边长为a，侧棱长为h，则下列说法正确的有（   ） A．正三棱柱的外接球的球心O一定是上下底面中心连线的中点 B．若底面边长，则侧棱长 C．若侧棱长，则该正三棱柱的体积为 D．该正三棱柱的侧面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】由球表面积求得，由几何关系，正三棱柱的性质，三棱柱的体积公式及基本不等式结合选项分别判断即可求解． 【详解】由已知球表面积为得半径， 对于A，正三棱柱外接球球心为上下底面中心连线的中点，故A正确； 对于B，由几何关系得，即， 代入，得，故B正确； 对于C，若，则，体积，故C错误； 对于D，由得， 侧面积， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以，故D正确． 9．（2026·天津北辰·二模）中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前476年~前222年），其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器.如图，某沙漏是由两个形状完全相同的圆锥容器组成.已知最初沙漏中细沙全部在上部容器时，其高度为圆锥高度的一半，假设细沙全部漏入下部容器中，将细沙摇匀，此时细沙堆成如图所示的一个圆台.若圆锥容器的高为h，则此圆台的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设整个圆锥容器的体积为，容器高为，通过相似几何体体积比等于对应高比的立方，确定含沙圆锥体积，再确定含沙圆台体积，通过体积关系列出等式求解即可. 【详解】设整个圆锥容器的体积为，容器高为， 初始时细沙在上部是高为​的小圆锥， 根据相似几何体体积比等于对应高比的立方，得细沙体积： 细沙漏入下部后堆成圆台，设圆台高为， 下部圆锥顶点在上，因此圆台上方空的部分是一个小圆锥，空圆锥的高为， 同理空圆锥体积满足： ， 又圆台体积=细沙体积=整个圆锥体积减空圆锥体积，即， 代入 ，约去整理得： ， ​ 开立方整理得： 故此圆台的高为： 10．（多选）（25-26高三上·江苏南通·月考）（多选）一个封闭的直三棱柱容器内装有高度为3的水(如图所示，底面处于水平状态)．记水面为，，，现以所在直线为旋转轴，将容器逆时针旋转的过程中，下列说法正确的是（  ） A．水面形状的变化依次为三角形，等腰梯形，矩形 B．水面可能是正三角形 C．当经过时，与面的交线长为 D．当逆时针旋转时，水面的面积为 【答案】ABCD 【分析】找到临界情况，利用等体积、体积转化，分析此时的情况，逐个选项判断即可. 【详解】A选项，水的体积， ， 所以当水面经过时，水面与棱相交，如图3， 当水面经过点时，水面与面相交，如图4， 则在此之前水面形状均为三角形， 继续旋转直至之前，水面形状为等腰梯形，如图5， 转至时，水面形状为矩形，如图6，故A选项正确； B选项，初始位置，如图1，， 当水面经过时，如图3，此时， 所以，， 所以在转动过程中，存在，使得水面是正三角形，故B选项正确； C选项，如图4，，且由于与相似， 则， ，故C选项正确； D选项，当逆时针旋转时，如图6，， 且由于与相似，则，则， 则水面的面积为，故D选项正确. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $