2025-2026学年人教版七年级下学期数学期末模拟试题（重庆适用）

**基本信息** 覆盖七下及八上13-14章核心内容，基础题与创新题结合，融入《九章算术》文化情境和航天零部件调查等现实素材，梯度分明，适配期末综合检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|无理数判断、坐标系象限、平行线性质|第4题以航天零部件调查考普查适用，体现数据意识| |填空题|10/40|全等三角形条件、折叠问题、样本容量|第20题新定义“差数”，融合数感与创新意识| |解答题|7/70|统计图表分析、几何动态探究、实际应用|25题排球购买方案考模型意识，27题几何综合题发展推理能力|

2025-2026学年七年级数学下学期 期末模拟冲刺卷 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：新人教版七年级下册+八年级上册13,14章 5.难度系数：0.65。 第I卷（选择题） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分) 1.下列是无理数的是() A.-V2 B.-1 C.3.14 2.在平面直角坐标系中，点（1，m+)一定在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.如图，AD‖BC,连接AB,∠ABC的平分线BP交直线AD于点P,若∠BAD=80°， 则∠APB的度数为() B A.80° B.60 C.55° D.50° 4.下列调查中，适合采用普查的是() A.调查一批电视机的使用寿命 B.调查全省中学生最喜爱的体育运动项目 C.调查江苏卫视“苏超”直播节目的全国收视率 D.调查神舟二十三号载人飞船零部件的合格情况 5.如图，AE,BF分别是△ABC的高和中线，已知Sar=6,AE=4,则BC的长为 () B E A.4 B.5 C.6 D.7 6.下列不等式变形正确的是() A由>6，得写0-3>b-3, 3 B.由a>b,得-3a>-3b C.由a2c>b2c,得a>b D.由a2>b2,得a>b 7.《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡.雀俱重， 燕俱轻.一雀一燕交而处，衡适平.并燕、雀重一斤.问雀、燕一枚各重几何？”题意是： 现有5只雀，6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重.聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻 若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同.己知5只雀和6只燕总重1斤（注： 中国古代1斤=16两)，则1只雀和1只燕分别重多少？若假设每只雀、燕的重量分别为 3 x,y两，根据题意，可列出的方程组为() 4x+y=5y+x 5x+y=6y+x 4x+y=5y+x 5x+y=6y+x A. 5x+6y=16B. 5x+6y=16 x+y=16 0 x+y=16 8.已知点P(2m+3,m-2),若点P到两坐标轴的距离相等，则m的值为() 1 1 A.5或3 B.-5或3 C.5或3 D.-5或3 9.在锐角三角形ABC中AB=5,△ABC的面积为30，BD平分∠ABC交AC于点D,若 MN分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为() A.10 B.6 C.12 D.9 10.己知整式M=a,x+an-x+an-2x-2++ax+a,其中n,a为正整数，a,a, …,a为自然数，整数a满足la+4=8,a+a+a,+…+an=6.定义整式M的“加 权值”M'=(n+1)a,r+nan-x-+(n-1)an-2-2++2a,x+a.下列说法 ①当=1时不等式M≤5的解张为号： ②当x=1,n=3时，M'的最小值为17： 清足条件的所有二次三项式的和取最小值时，， 其中正确的个数是() A.3 B.2 C.1 D.0 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分) 11.点P(-5,-7)到x轴的距离为 12.若n为正整数，且满足n<V48<n+1,则n= 13.若实数x、y满足2x-川=-7,3+2y=0,则y的值是 14.如图，C是AB的中点，ADI‖EC,添加一个条件使得△ACD2aCBE,这个条件可以 是 (添加一个条件即可). D B 15.某中学八年级有1500名学生，为了解八年级学生的身高情况，在全校八年级中抽取了 100名学生进行检测，样本容量是 16.如图，将△ABC纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，小高说：“知道∠A的度数，就能 求出∠1+∠2的度数”，若∠A=40°，则∠1+∠2的度数为 17.如图，直线AB川CD,点Q、N分别为直线AB、CD上一点，点P、M为直线AB上方 的点，连接PQ、PN、M0.Mw,已知∠PM-PD,∠P=60,若 3 3∠PQM+∠PQA=180°，则∠M=一. 4 B D x-4 10 18.已知关于x的不等式组 3 -X> 3的解集为 ,且使得关于X、y的二元一次方 x-m<0 x<3 1y-x=6 程组2x-y=15有正整数解。则所有满足条件的整数m的和为 19.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=∠C=45°，D,E是边BC上两点，过点A作 AF⊥AD,垂足是A,过点C作CF⊥BC,垂足是C,交AF于点F,连接EF,其中 DE=EF.下列结论：①AD=AE;②∠DAE=45°；③若SABC=10,SADE=4,则 S四边形HCF=6;④CE+BD<DE.其中正确的是一·（填序号） D E 20.若一个四位自然数M=abcd满足各个数位上的数字互不相等且均不为0，且满足 ab-cd=k,k为不大于10的正整数，则称M为差k数，例如：M=3128,因为31-28=3， 所以3128是差3数.按照这个规定，最小的差4数是一：一个差k数M=abcd,记 F(M)=2la+b-2lc-d+6,(M)=a+b+c+d,若F(M)能被11整除，Q(M)为完 全平方数，则满足条件最大的M的值是 三、解答题：（本大题共7个小题，21-27题每小题10分，共70分） 5x+2≥2x-1① 21.解不等式组3x-2≤x+2② 请结合题意填空，完成本题的解答. (1)解不等式①，得」 (2)解不等式②，得 (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 上 -2-1012341 (4)原不等式组的解集为 22.在“世界读书日”来临之际，某校为了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部 分学生，调查他们平均每周的课外阅读时间（单位：），整理所得数据绘制成不完整的统 计图表如下所示： 平均每周的课外阅读时间频数分布表 平均每周的课外阅读 组别 人数 时间h A t<6 16 B 6≤t<8 C 8≤t<10, 6 D t≥10 P 6 平均每周的课外阅读时间 扇形统计图 B组 A组 20% D组 C组 30% 根据以上图表信息，解答下列问题： (1)这次抽样调查的样本容量是 (2)B组所在扇形的圆心角的大小是 (3)该校共1600名学生，请你估计该校学生平均每周的课外阅读时间不少于8h的人数 23.学习了平行线和尺规作图后，小明进行了拓展探究，他发现了等腰三角形一外角的角 平分线的一种作法，并与他的同伴进行了交流.现在你作为他的同伴，请根据他的想法与 思路，完成以下作图和填空 (1)如图，在△ABC中，∠A=∠B,点D在BC延长线上.尺规作图：在∠ACD的内部作 ∠DCE,使得∠DCE=∠B(要求另保留作图痕迹，不写作法)： (2)小明在完成(1)问的作图的基础上，发现了∠DCE与∠ACE之间满足某种数量关系， 并进行了推理说明，聪明的你请帮助小明补全下面的推理过程， 解：∠DCE=∠B(已知)， ..ABIl (同位角相等，两直线平行)， ∴.∠A= (两直线平行，-一 .∠A=∠B(已知)， ∴.∠ACE= (等量代换)， 7 平分∠ACD(角平分线的定义). 24.如图，在△ABC中，AE,AD分别是△ABC的中线和高，BF是△ABE的角平分线. E D (1)若△ABC的面积为20，BE=5,求AD的长： (2)若AD平分∠CAE,∠BFE=45°，∠BAE=30°，求∠C的度数. 25.为了更好地开展阳光体育活动，某校计划购买一批排球.己知购买4个甲品牌排球的 费用与购买3个乙品牌排球的费用相同，学校首次购买甲品牌排球20个、乙品牌排球30 个共花费3600元. (1)求甲、乙两品牌排球的单价： (2)因排球运动受到学生们的欢迎，根据需要，学校决定再次购买甲、乙两品牌排球共50个， 正逢商场举行促销活动，甲品牌排球每个优惠4元，乙品牌排球每个打8折.如果要求购 买甲乙两品牌50个排球的总费用不超过2960元，且购买乙品牌排球的数量不少于甲品牌 1 排球数量的，则有哪几种购买方案？最少需要多少费用？ 26.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(a,4),B(-5,b),且a+3=-√b-2,点C从 O点出发以每秒2个单位沿y轴负方向运动. A G D 图1 图2 (1)a= b三 F (2)如图1，连接AC、OB交于点D,则当点C运动多少秒时，S4m=ScoD: (3)如图2，点G是x轴负半轴上的一点，过点C作x轴的平行线l,在直线I上取两点E、F (点E在点F右侧)，满足OF=10,GE=5.当点C运动到某一位置时，四边形OEFG 的面积有最大值，请直接写出面积的最大值. 27.如图，在△ABC中，CA=CB,点D是CB上一动点，点E在AD的延长线上，且 CA=CE,CF平分∠BCE交DE于F,连接BF E D B B 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠ACE=120°，求∠CBF的度数： (2)如图2，若∠ABC=60°，求证：CF+EF=AF, (3)如图3，若∠ABC=45°，过点A作CB的平行线m,过点C作AB的平行线n,两直线 BF m'n相交于M:连接ME,当ME取得最大值时，请直接写出此时AD的值. 2025-2026学年七年级数学下学期 期末模拟冲刺卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新人教版七年级下册+八年级上册13,14章 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷（选择题） 1、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1．下列是无理数的是（     ） A． B． C．3.14 D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数， ∴ 是整数，属于有理数，是有限小数，可化为分数，属于有理数，是分数，属于有理数， 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数． 2．在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据平方的非负性判断点的横纵坐标的正负，结合平面直角坐标系各象限点的坐标特征即可判断点所在象限． 【详解】解：∵对于任意实数，都有， ∴， 又∵该点的横坐标为， ∴该点横坐标为负，纵坐标为正， ∵平面直角坐标系中第二象限点的坐标符号为（负，正）， ∴点一定在第二象限． 3．如图，，连接，的平分线交直线于点P，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质求出的度数，利用角平分线的定义求出的度数，再利用平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ， ． 4．下列调查中，适合采用普查的是（     ） A．调查一批电视机的使用寿命 B．调查全省中学生最喜爱的体育运动项目 C．调查江苏卫视“苏超”直播节目的全国收视率 D．调查神舟二十三号载人飞船零部件的合格情况 【答案】D 【分析】一般来说，范围过大、具有破坏性、对精确度要求不高的调查适合抽样调查，精确度要求高、事关重大的调查适合采用普查，根据这个原则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、调查电视机使用寿命具有破坏性，不适合采用普查，故选项不符合题意； B、调查全省中学生范围广，调查对象数量大，不适合采用普查，故选项不符合题意； C、调查全国收视率范围广，调查对象数量大，不适合采用普查，故选项不符合题意； D、神舟载人飞船零部件合格情况直接影响飞行安全，要求每个零件都合格，结果必须准确，因此适合采用普查，故选项符合题意． 5．如图，，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质求出的面积，再根据面积公式求出即可． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∵， 即， ∴． 6．下列不等式变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质，对每个选项逐一判断，即可得到正确结果． 【详解】解：对于选项A，∵，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，∴，不等式两边再同减，不等号方向不变，∴，选项A变形正确． 对于选项B，∵，不等式两边同乘负数，不等号方向改变，∴，选项B变形错误． 对于选项C，由，仅能推出时，但无法推出，选项C变形错误． 对于选项D，举例：当时，满足，但，因此无法推出，选项D变形错误． 7．《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现有5只雀，6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重．聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻．若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤（注：中国古代1斤两）．则1只雀和1只燕分别重多少？若假设每只雀、燕的重量分别为x，y两，根据题意，可列出的方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只需从题干提取两个等量关系，结合单位换算列出方程即可得到答案． 【详解】解：设每只雀重量为两，每只燕重量为两 ∵5只雀和6只燕总重1斤，且1斤=16两， ∴可得方程 将1只雀和1只燕互换位置后，两边重量相等，此时一边为4只雀加1只燕，另一边为5只燕加1只雀， ∴可得方程 , 因此可列方程组为． 8．已知点，若点到两坐标轴的距离相等，则的值为（     ） A．5或 B．或 C．5或 D．或 【答案】B 【分析】根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，得到点横、纵坐标的绝对值相等，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵点 到两坐标轴的距离相等， ∴， 分两种情况讨论： ①当 时， 即 ， 解得： ； ②当 时， 即 ， ， 解得 ； 综上，的值为或． 9．在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短，全等三角形的判定与性质，角平分线性质等知识； 过点C作于点E，在上取点F，使，连接，则，有，则，当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值，由面积关系可求得的长，从而求得最小值． 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上取点F，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值， ∵，， ∴， ∴的最小值为12． 故选：C． 10．已知整式，其中，为正整数，，，，为自然数，整数满足，．定义整式的“加权值”．下列说法： ①当时，不等式的解集为； ②当，时，的最小值为17： ③满足条件的所有二次三项式的和取最小值时，． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】先整理题目给出的通用条件，再逐个验证三个说法，利用整式性质和不等式等求解判断正误． 【详解】解：首先整理通用条件： 已知，，且是自然数，是正整数，是整数． ，若，左边为不成立， ，得， 化简得：，，且，为整数， 验证①：当时，，且，结合， 解得，， ， 不等式即，解得，①正确； 验证②：当，时，，代入，， 化简得：， 要使最小，最小取正整数， 此时，得， ，越大越小，最大， 代入得， ②正确； 验证③：二次三项式为， 由，得，， ，为整数， ∴可取，，，，，， 则对应可取12、10、8、6、4、2， 对应可取1、2、3、4、5、6， ∴在所有二次三项式的和中，的系数为，的系数为， ∴当时，所有二次三项式的和取得最小值， ③错误， 综上，正确的个数是． 第Ⅱ卷（非选择题） 2、 填空题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 11．点到轴的距离为________． 【答案】7 【分析】根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值求解即可． 【详解】解：点到轴的距离为． 12．若n为正整数，且满足，则__________． 【答案】6 【分析】估算的大小，确定其介于两个连续正整数之间，据此即可解答． 【详解】解：， 即， ，且为正整数， ． 13．若实数、满足，，则的值是_____． 【答案】 【分析】先由第二个方程得出，继而可得方程，再分两种情况讨论x的取值范围，可得方程组，解答方程组，验证即可得解． 【详解】解：由第二个方程，可得 ， ∵， ∴， ∴， 将 代入第一个方程 ，得：， 当，则，原方程组变为： 解得，与假设 矛盾，舍去； 当，则 ，原方程组变为： 解得，符合所有条件， ∴． 14．如图，C是的中点，，添加一个条件使得，这个条件可以是_____________ （添加一个条件即可）． 【答案】或或 【分析】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：．添加时注意：不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 要使，已知，则可以添加角的另一个边从而利用来判定其全等，或添加另一个角从而利用或来判定其全等． 【详解】解：添加或， 当添加时， ∵C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 当添加时，∴， 当添加时，∴ 故答案为：或或． 15．某中学八年级有1500名学生，为了解八年级学生的身高情况，在全校八年级中抽取了100名学生进行检测，样本容量是________． 【答案】 【分析】总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．根据题意即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，在全校八年级中抽取了名学生进行检测， ∴样本容量是． 16．如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，小高说：“知道的度数，就能求出的度数”，若，则的度数为__________． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质等知识，由三角形内角和定理得出，由折叠的性质可知：，，进而可得出，进而可得出，再根据邻补角的定义即可求出答案． 【详解】解：在中，， 则， 由折叠的性质可知：，， ， ， ， 故答案为：． 17．如图，直线，点Q、N分别为直线上一点，点P、M为直线上方的点，连接，已知．若，则______． 【答案】/度 【分析】设，求出，，根据三角形外角的性质即可求出答案． 【详解】解：如图， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴． 18．已知关于的不等式组的解集为，且使得关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为________． 【答案】19 【分析】先解不等式组，根据已知解集确定的取值范围，再解二元一次方程组，根据方程组的解为正整数确定符合条件的整数，最后计算所有满足条件的的和． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式得， 不等式组的解集为， ∴， 解方程组， 由第一个方程得， 代入第二个方程得， 解得， 将代入 得， 方程组的解为正整数，且为整数， ∴是的正因数，的正因数有， 当时，，不满足，舍去； 当时，，不满足，舍去； 当时，，满足条件，此时 均为正整数； 当 时，，满足条件，此时均为正整数； 所有满足条件的整数的和为，故答案为． 19．如图，在 中， ，，D，E是边BC上两点，过点A作，垂足是A，过点C作 ，垂足是C，交于点F，连接 ，其中．下列结论：① ；② ；③若，．则；④．其中正确的是______．（填序号） 【答案】②③/③② 【分析】证明即可判断①，证明，即可得到，即可判断②；根据得到，根据即可判断③；根据得到，由，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∴, 但是无法证明， ∴不一定成立； 故①错误； ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∵ ∴， ∵，， ∴，故④错误； 综上可知，正确的是②③． 20．若一个四位自然数满足各个数位上的数字互不相等且均不为，且满足，为不大于的正整数，则称为差数，例如：，因为，所以是差数．按照这个规定，最小的差数是______；一个差数，记 ， ，若能被整除，为完全平方数，则满足条件最大的的值是_________． 【答案】 2319 5146 【分析】根据差数定义，要找最小的差数，优先让千位、百位尽可能小，再结合数字互不相等且不为的条件，得出最小四位数．根据差数定义和整式变形，结合的整除特征求出的值；再根据数位数字和为完全平方数，推导数位数字关系，从大到小枚举，筛选出满足条件的最大四位数． 【详解】解：差数满足：，且，，，互不相等且不为， 要使四位数最小，则，否则为负数，与矛盾， 当时，， ，此时才能使得最小， 由得， 故最小差4数为2319． 设， ∵是差数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵能被11整除， ∴能被11整除， ∵为不大于10的自然数， ∴， ∴，变形得：， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵为整数，且不为0， ∴，即， 把代入，得，即， ∵为完全平方数， 代入，，得： ， ∵且互不相等， ∴， ∵为完全平方数，为偶数， ∴的可能取值为或或， 当时，，此时无满足条件的、的值， 当时，，此时，或，， ∵最大， ∴取，，此时不符合题意，舍去， ∴的可能取值为， ∴， ∴， 要使最大，优先让千位尽可能大： ，，， ∴， ∴当时，最大取，此时取，， 此时数字为，，，，互不相等且不为， ，，，符合条件， ，为完全平方数，符合条件， 故满足条件的最大为． 3、 解答题：（本大题共7个小题，21-27题每小题10分，共70分） 21．解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________________； (2)解不等式②，得________________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为________________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【详解】（1）解不等式①，得； （2）解不等式②，得； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为： 22．在“世界读书日”来临之际，某校为了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查他们平均每周的课外阅读时间（单位：h），整理所得数据绘制成不完整的统计图表如下所示： 平均每周的课外阅读时间频数分布表 组别 平均每周的课外阅读时间t/h 人数 A 16 B a C b D 8 根据以上图表信息，解答下列问题： (1)这次抽样调查的样本容量是________，________； (2)B组所在扇形的圆心角的大小是________； (3)该校共1600名学生，请你估计该校学生平均每周的课外阅读时间不少于的人数． 【答案】(1)80；32 (2) (3)该校学生平均每周的课外阅读时间不少于的人数大约有640人 【分析】（1）从两个统计图中可得，A组的频数为16人，占调查人数的，可求出调查人数，从而得出样本容量，再根据频率＝频数除以样本容量计算b的值，利用样本容量减去其他三组的人数即可求出a的值； （2）求出B组所占整体的百分比，即可求出相应的圆心角的度数； （3）求出学生平均每周的课外阅读时间不少于的占调查人数的百分比即可． 【详解】（1）解：这次抽样调查的样本容量是， C组的人数（人）， 所以B组的人数． （2）解：， 所以B组所在扇形的圆心角的大小是． （3）解：（人）， 答：该校学生平均每周的课外阅读时间不少于的人数大约有640人． 23．学习了平行线和尺规作图后，小明进行了拓展探究，他发现了等腰三角形一外角的角平分线的一种作法，并与他的同伴进行了交流．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空． (1)如图，在中，，点D在延长线上．尺规作图：在的内部作，使得（要求只保留作图痕迹，不写作法）； (2)小明在完成（1）问的作图的基础上，发现了与之间满足某种数量关系，并进行了推理说明，聪明的你请帮助小明补全下面的推理过程． 解：∵（已知）， ∴∥_________（同位角相等，两直线平行）， ∴_________（两直线平行，_________） ∵（已知）， ∴_________（等量代换）， ∴_________平分（角平分线的定义）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作角平分线的作图方法解答即可； （2）由得，推出，即可得到． 【详解】（1）解：如图，如图所示： （2）解：∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴平分（角平分线的定义）． 24．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形中线的定义可得，再根据三角形的面积公式解答即可； （2）根据三角形外角的性质可得，再结合角平分线的定义可得，根据是的高，可得，从而得到，再由角平分线的定义可得，即可解答． 【详解】（1）解：是的中线，， ， 的面积为20，是的高， ， ． （2）解：，且，． ， 是的角平分线， ， ， 是的高， ， ， ． 平分， ， ． 25．为了更好地开展阳光体育活动，某校计划购买一批排球．已知购买4个甲品牌排球的费用与购买3个乙品牌排球的费用相同，学校首次购买甲品牌排球20个、乙品牌排球30个共花费3600元． (1)求甲、乙两品牌排球的单价； (2)因排球运动受到学生们的欢迎，根据需要，学校决定再次购买甲、乙两品牌排球共50个，正逢商场举行促销活动，甲品牌排球每个优惠4元，乙品牌排球每个打8折．如果要求购买甲乙两品牌50个排球的总费用不超过2960元，且购买乙品牌排球的数量不少于甲品牌排球数量的，则有哪几种购买方案？最少需要多少费用？ 【答案】(1)甲品牌排球的单价是60元，乙品牌排球的单价是80元 (2)有4种购买方式：方案一：购买30个甲品牌排球，则购买20个乙品牌排球；方案二：购买31个甲品牌排球，则购买19个乙品牌排球；方案三：购买32个甲品牌排球，则购买18个乙品牌排球；方案四：购买33个甲品牌排球，则购买17个乙品牌排球；最少费用为2936元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设甲品牌排球的单价是元，乙品牌排球的单价是元，根据题意可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买个甲品牌排球，则购买个乙品牌排球，根据题意可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为正整数，可得出共有4种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲品牌排球的单价是元，乙品牌排球的单价是元， 依题意得：，解得． 答：甲品牌排球的单价是60元，乙品牌排球的单价是80元． （2）设购买个甲品牌排球，则购买个乙品牌排球， 依题意得：，解得． 为正整数， ，31，32，33． ∴共有4种购买方式： 方案一：购买30个甲品牌排球，则购买20个乙品牌排球； 方案二：购买31个甲品牌排球，则购买19个乙品牌排球； 方案三：购买32个甲品牌排球，则购买18个乙品牌排球； 方案四：购买33个甲品牌排球，则购买17个乙品牌排球． 方案一费用：（元）； 方案二费用：（元）； 方案三费用：（元）； 方案四费用：（元）； ∵， ∴最少费用为2936元． 26．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，点从点出发以每秒2个单位沿轴负方向运动． (1)________，________； (2)如图1，连接、交于点，则当点运动多少秒时，； (3)如图2，点是轴负半轴上的一点，过点作轴的平行线，在直线上取两点、（点在点右侧），满足，．当点运动到某一位置时，四边形的面积有最大值，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)25 【分析】本题主要考查图形与坐标及平移的性质，算术平方根，熟练掌握图形与坐标及平移的性质是解题的关键． （1）根据算术平方根的非负性求解即可； （2）连接，过B作于E，过A作轴于F，则，设C运动的时间为t秒时，，则，根据，可得，即可得解； （3）平移至，则，，根据面积关系可得，当时，的面积最大，求出的面积的最大值即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：由（1）知：，， 连接，过B作于E，过A作轴于F，则， ， ， 设C运动的时间为t秒时，，则， ， ， ， ， 当点运动秒时，； （3）解：平移至，则，， ， 当四边形的面积有最大时，的面积也最大， 当时，的面积最大，的面积的最大值为：， 四边形的面积的最大值为25． 27．如图，在中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线，相交于，连接，当取得最大值时，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据角平分线的性质证得，进而证得，根据全等三角形的性质证得，进而证得，； （2）在上截取，连接，则，证得，是等边三角形，进而证得； （3）根据、证得、，进而证得，当、、三点共线时，，取得最大值， 延长、交于点，证得，进而证得． 【详解】（1）解：平分 、 、 ； （2）证明：如图， 由（1）知、 在上截取，连接，则， 、、 、 、 ； （3）解：的值为，理由如下： 、 、 、 、 当、、三点共线时，，取得最大值 延长、交于点， 、 、、 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $