精品解析：重庆高新区2024-2025学年下学期学业质量监测（中学）七年级数学试题

重庆高新区2024-2025学年下期学业质量监测（中学） 七年级数学试题 答题须知 1．本堂考试为闭卷考试，考试时间为120分钟，请合理安排答题时间． 2．本套试题共三个大题，满分150分． 3．特别提醒： （1）试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． （2）作答前认真阅读答题卡上的注意事项． （3）考试结束，由监考人员将试题和答题卡收回． 一、单选题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下面各数，最小的是 （ ） A. B. C. D. 2. 一个一元一次不等式的解集在数轴上表示如下图，则此不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 如图， ，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各图中，与互为对顶角的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列调查中，最适宜采用抽样调查的是（ ） A. 调查嘉陵江水质污染的情况 B. 调查全校学生的校服尺寸 C. 调查全班学生最喜爱的运动项目 D. 调查“神舟二十号”载人飞船的零部件质量 6. 如图，这是北京（基准城市）、新疆阿图什（与北京纬度大致相同但经度不同）、广东揭阳（与北京经度大致相同但纬度比北京低）三地年二十四节气日的白昼时长的复合折线图，根据图形所给的信息，下列描述错误的是（ ） A. 三地年白昼时长最长的是夏至，最短的是冬至 B. 三地年春分、秋分白昼和黑夜几乎等长 C. 纬度相同时，经度差异对白昼时长变化的影响较大 D. 经度相同时，纬度高低对白昼时长变化的影响较大 7. 如图，将张完全相同的小长方形纸片不重叠地放在正方形 内，未被覆盖的部分恰好分割为长方形和长方形，记长方形周长为，长方形周长为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 下面各数，与最接近的整数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 出发，沿箭头所示方向，每次移动个单位长度，依次得到点，，，，，，，，，…，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 已知单项式：，其中 为正整数．例如：，．下列说法： ①若，则； ②若化简结果为单项式，则满足条件的有序数对共有个； ③， ，，四个数可以相同也可以不同，若，则化简结果共有种． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 12. 据气象预报，高新区未来天中“最高温度为”将出现 天，那么这天中出现“最高温度为”的频率是________． 13. 已知 ，满足方程组，则 ________． 14. 若关于 的一元一次不等式组有且只有3个整数解，则所有满足条件的整数的值之和是________． 15. 将一副直角三角板如图放置，点 在直线 上，在线段 上（不与 ，重合），已知 ，，． （1）若 ，则 ________； （2）若 ，则的度数用可表示为________． 16. 一个各位数字均不相等且不为的四位正整数，若满足，则称这个四位数为“半和数”．例如：四位数，因为，所以是一个“半和数”．按照这个规定，最大的“半和数”是________；若是一个“半和数”，且为整数，则满足条件的 中最大值与最小值的差为________． 三、解答题（本大题9个小题，第17—18题8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并写出不等式组的所有整数解． 18. 在学习了平行线的知识后，小虹进行了拓展性探究，她发现，两条平行线被第三条直线所截形成的内错角的角平分线互相平行．其解决思路是证明这两条角平分线被第三条直线所截形成的内错角相等得出结论．请根据她的思路补充证明过程及推理依据： 已知： ，分别与 ， 相交于点 ， ， 平分 ， 平分． 求证： ． 证明：， ① （两直线平行，内错角相等）． 平分 ， 平分， ， （角平分线的定义） ② （等量代换）， ③ ． 进一步思考，两条平行线被第三条直线所截形成的同旁内角的角平分线互相 ④ ． 19. 解方程组： （1）； （2）． 20. 阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．某中学七年级为了解本年级学生每天的课余阅读时间，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将每天课余阅读时间 （单位：小时）分组分为如下组（： ；： ；： ；： ；： ）进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图： （1）本次调查的样本容量是________，扇形统计图中组对应的扇形圆心角度数为________； （2）请你补全频数分布直方图，并在图上标明具体数据； （3）若该七年级一共有 名学生，请估计每天课余阅读时间不少于小时的学生人数． 21. 图是由个边长为的小正方形组成的图形，沿图的虚线剪拼，可以重新拼成一个图所示的大正方形 ． （1）拼成的大正方形 的面积为________，边长为________； （2）将图放在如图所示的数轴上，使得大正方形的顶点 与数轴上表示的点重合，以点 为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点 ， ， 是数轴上的两个动点（ 在 的左边），且． ①求点 表示的数； ②点 在数轴表示的数是 ，若点 始终在线段 （不含端点）上，求 的取值范围． 22. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，是三角形边上任意一点，将三角形平移，使得点与原点 重合，得到三角形，其中 ， ， 的对应点分别为，，． （1）画出三角形； （2）直接写出，，的坐标（用含 ，的式子表示）； （3）若在上，且轴，求的坐标． 23. 吃粽子是端午节的习俗．端午节前三天，某糕点店售出肉粽个，甜粽 个，销售额 元，已知肉粽的销售单价比甜粽的销售单价高元． （1）求肉粽和甜粽的销售单价分别是多少元； （2）端午节假期即将结束时，该糕点店对粽子的售价进行了调整，将每个肉粽按原销售单价的八折销售，每个甜粽在原销售单价基础上降价元销售．若该商家在价格调整后销售两种粽子共个，销售额不低于 元，求该商家在价格调整后至少销售肉粽多少个． 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 是长方形，点在第二象限，且 ， 满足 ，将点 向右平移 个单位长度得到点 ，连接，动点 从 出发，以 个单位长度每秒的速度沿折线方向运动，点 从 出发，以个单位长度每秒的速度沿折线方向运动， ， 两点同时出发，且点 到达点 时， ， 同时停止运动，记运动时间为 秒（）． （1）求点 的坐标和点 的坐标； （2） ， 运动过程中，求当 为何值时， ， 两点到 轴的距离相等； （3） ， 运动过程中，求当 为何范围时，三角形 面积大于三角形面积的倍，请直接写出 的取值范围． 25. 按照国际标准， 系列的纸为长方形．国际标准化组织（ ）的 标准定义一张 纸的标准尺寸为 厘米 厘米．如图所示，一张 纸边长 厘米， 厘米． 为 上一点，先沿着 折叠， 对应点为，再沿 折叠， 对应点为，即可得到一个简易纸袋形状，如下图所示： （1）如图，求证： ； （2）如图 ，当时，作 平分 ， 平分，求 的度数； （3）如图 ，当刚好落在线段 上时，连接， 为线段（不与端点重合）上任意一点，过点 作 于 ，若 （ 为常数）为定值，请直接写出 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆高新区2024-2025学年下期学业质量监测（中学） 七年级数学试题 答题须知 1．本堂考试为闭卷考试，考试时间为120分钟，请合理安排答题时间． 2．本套试题共三个大题，满分150分． 3．特别提醒： （1）试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． （2）作答前认真阅读答题卡上的注意事项． （3）考试结束，由监考人员将试题和答题卡收回． 一、单选题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下面各数，最小的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， 因此最小的数是． 2. 一个一元一次不等式的解集在数轴上表示如下图，则此不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴上表示出的解集，用式子写出即可． 【详解】由数轴可得， 此不等式的解集为． 3. 如图， ，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行的性质，根据邻补角的定义得到，再由平行的性质得到是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 又∵ ， ∴， 故选C． 4. 下列各图中，与互为对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的定义，理解对顶角的定义是解答关键． 根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，依次判定即可得出答案． 【详解】解：．与不是对顶角，故此选项不合题意； B．与的两边互为反向延长线，是对顶角，故此选项符合题意； C．与互补，在同一条直线上，故此选项不合题意； D．与不是对顶角，故此选项不符合题意． 故选：B． 5. 下列调查中，最适宜采用抽样调查的是（ ） A. 调查嘉陵江水质污染的情况 B. 调查全校学生的校服尺寸 C. 调查全班学生最喜爱的运动项目 D. 调查“神舟二十号”载人飞船的零部件质量 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据调查方式的选择原则，若调查范围小，精确度要求高，事关重大，适宜采用普查；若调查范围大，无法全面开展普查，适宜采用抽样调查． ∵A选项调查嘉陵江水质污染情况，调查范围大，无法对全流域所有水体进行全面调查，∴适宜采用抽样调查． B选项调查全校学生校服尺寸，范围较小，且需要每个学生的准确数据，适宜普查． C选项调查全班学生喜爱的运动项目，范围小，适宜普查． D选项调查“神舟二十号”飞船零部件质量，事关飞行安全，要求全部检测，必须普查． 6. 如图，这是北京（基准城市）、新疆阿图什（与北京纬度大致相同但经度不同）、广东揭阳（与北京经度大致相同但纬度比北京低）三地年二十四节气日的白昼时长的复合折线图，根据图形所给的信息，下列描述错误的是（ ） A. 三地年白昼时长最长的是夏至，最短的是冬至 B. 三地年春分、秋分白昼和黑夜几乎等长 C. 纬度相同时，经度差异对白昼时长变化的影响较大 D. 经度相同时，纬度高低对白昼时长变化的影响较大 【答案】C 【解析】 【分析】通过观察折线统计图，分析三地白昼时长随节气变化的趋势，结合题干中三地的经纬度关系，对比不同因素对白昼时长的影响程度，从而判断各选项的正误． 【详解】解：选项A. 观察图形可知，三条折线均在“夏至”处达到最高点，在“冬至”处达到最低点，说明三地2024年白昼时长最长的是夏至，最短的是冬至，故选项A描述正确，不符合题意； 选项B. 观察图形可知，在“春分”和“秋分”处，三条折线的数值均接近，说明三地2024年春分、秋分白昼和黑夜几乎等长，故选项B描述正确，不符合题意； 选项C. 北京与新疆阿图什纬度大致相同但经度不同，且图中代表两地的实线与虚线几乎重合，纬度相同时，经度差异对白昼时长变化的影响较小，故选项C描述错误，符合题意； 选项D. 北京与广东揭阳经度大致相同但纬度不同，且图中代表两地的实线与虚线分离较明显（北京变化幅度大，揭阳变化幅度小），经度相同时，纬度高低对白昼时长变化的影响较大，故选项D描述正确，不符合题意． 7. 如图，将 张完全相同的小长方形纸片不重叠地放在正方形 内，未被覆盖的部分恰好分割为长方形和长方形，记长方形周长为，长方形周长为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设小长方形纸片的长为 ，宽为 ，由长方形可得，，即，再利用长方形的周长公式分别表示出和，即可求解． 【详解】解：设小长方形纸片的长为 ，宽为 ， 则，，， 由长方形可得，， ∴， 长方形周长为， 长方形周长为， ∴． 8. 下面各数，与最接近的整数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ ， ， ， ， ∴， ∵ ， ∴与最接近的整数是4． 9. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 出发，沿箭头所示方向，每次移动 个单位长度，依次得到点，，，，，，，，，…，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：观察图形，第8个点一个循环周期， 余1， ∴点在第一象限， 再观察图形，，，，， ∵，，， ∴到达的编号是， 当时，， 当时，， ∴， ∴． 10. 已知单项式：，其中 为正整数．例如：，．下列说法： ①若，则 ； ②若化简结果为单项式，则满足条件的有序数对共有个； ③ ， ，，四个数可以相同也可以不同，若，则化简结果共有 种． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依次判断三个说法的正误，根据单项式和同类项的定义，结合正整数的性质枚举计算，得到正确说法的个数． 【详解】由题知 ， 为正整数． ①：，，解得 ，故①错误． ②：，化简结果为单项式，说明合并后只有一项，分情况讨论： 情况1：，此时 ，剩余 为单项式，整理得 ， 为正整数，可得有序对 ，共4个； 情况2：，此时 ，剩余 为单项式，整理得 ，可得有序对 ，共4个； 情况3：，代入得 ，无正整数解； 综上，共有 个有序对，故②正确． ③： 为正整数，，按从小到大枚举不同的不计顺序的分拆，可得：，共5种不同的化简结果，故③错误． 综上，正确的说法只有1个． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：. 12. 据气象预报，高新区未来 天中“最高温度为”将出现天，那么这 天中出现“最高温度为”的频率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据频率的定义，确定出现目标情况的频数和总天数，代入频率公式计算即可． 【详解】解：“最高温度为”出现的频数为，数据总数为 ， 因此频率． 13. 已知 ， 满足方程组，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】消去参数，整理方程即可得到 的值． 【详解】方程组， 将第一个方程变形得 ，代入第二个方程得 ， 去括号得， 移项整理得． 14. 若关于 的一元一次不等式组有且只有3个整数解，则所有满足条件的整数 的值之和是________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别解两个不等式得到不等式组的解集，再根据有且只有3个整数解得到关于 的不等式组，解出 的范围后找出符合条件的整数 ，求和即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为： 根据题意得，3个整数解为0，1，2 ∴ 解得 ∴满足条件的整数 的值为2，3 ∴所有满足条件的整数 的值之和是． 15. 将一副直角三角板如图放置，点在直线上， 在线段 上（不与，重合），已知 ，，． （1）若 ，则 ________； （2）若 ，则的度数用可表示为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得，过点 作，则，进而根据得出，结合已知可得，根据平行线的性质，即可求解； （2）根据平行线的性质和三角板的度数求得，过点 作，分别表示出，进而可得，进而根据邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：（1）∵ ∴ 如图，过点 作 ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ （2）∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 过点 作， ∴， ∴ ∴ 16. 一个各位数字均不相等且不为的四位正整数，若满足，则称这个四位数为“半和数”．例如：四位数，因为，所以是一个“半和数”．按照这个规定，最大的“半和数”是________；若是一个“半和数”，且为整数，则满足条件的中最大值与最小值的差为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据半和数定义，要得到最大四位数，优先让千位尽可能大，逐个验证得到最大半和数；化简为整数的条件，推出 必为偶数，是的倍数，根据“半和数”的定义分别找出的最大值和最小值，计算差值即可． 【详解】解：由题意，四位正整数中，，且互不相等， ∵，， ∴， 当时，则， 当时，， ∴或，均有数字重复，不成立； 当时，，不成立， 若，要使四位数最大， 应尽可能大，取，则， ∵， ∴， 时，与 重复，不成立； 时，四个数字 ，， ，互不相等且均不为，满足条件， ∴最大的“半和数”为， ∵， ∴， ∵是整数， ∴是偶数， ∵、都是偶数， ∴是偶数， ∴ 是偶数， ∵， ∴是的倍数， ∴或， 当时，，或，， ∵是“半和数”， ∴， ∴，，或，， ∴时，必有重复数字 ，不成立， 当时，， ∴，，或，， ∴当，时，取最大值为，当，时，取最小值为， ∴满足条件的中最大值与最小值的差为． 三、解答题（本大题9个小题，第17—18题8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并写出不等式组的所有整数解． 【答案】，所有整数解为2，3 【解析】 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为2，3． 18. 在学习了平行线的知识后，小虹进行了拓展性探究，她发现，两条平行线被第三条直线所截形成的内错角的角平分线互相平行．其解决思路是证明这两条角平分线被第三条直线所截形成的内错角相等得出结论．请根据她的思路补充证明过程及推理依据： 已知： ，分别与 ， 相交于点 ， ， 平分 ，平分． 求证： ． 证明：， ① （两直线平行，内错角相等）． 平分 ，平分， ， （角平分线的定义） ② （等量代换）， ③ ． 进一步思考，两条平行线被第三条直线所截形成的同旁内角的角平分线互相 ④ ． 【答案】 内错角相等，两直线平行 垂直 【解析】 【分析】由平行线的判定和性质，结合角平分线的定义，补充证明过程和推理依据即可． 【详解】如图，，与 、分别交于，平分，平分，与交于点 ， ， ， 平分，平分，与交于点 ， ，， ， ， ， 即两条平行线被第三条直线所截形成的同旁内角的角平分线互相垂直． 19. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法求解即可． （2）利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：， 得，解得：， 将代入①可得，解得：， 故方程组的解是． 【小问2详解】 解：， 得 ，解得：， 将代入①可得，解得：， 故方程组的解是． 20. 阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．某中学七年级为了解本年级学生每天的课余阅读时间，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将每天课余阅读时间 （单位：小时）分组分为如下组（： ；： ；： ；： ；： ）进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图： （1）本次调查的样本容量是________，扇形统计图中组对应的扇形圆心角度数为________； （2）请你补全频数分布直方图，并在图上标明具体数据； （3）若该七年级一共有 名学生，请估计每天课余阅读时间不少于小时的学生人数． 【答案】（1）50， （2）解：根据题意，得D组的频数为： （人），补图如下： （3）540人 【解析】 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量，利用圆心角度数计算公式解答即可． （2）利用频数之和等于样本容量，计算补图即可． （3）利用样本估计总体计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得B组有15人，占比为， 故 ， 根据题意，得． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意，得 （人）， 答：每天不少于小时的学生为540人． 21. 图 是由个边长为 的小正方形组成的图形，沿图 的虚线剪拼，可以重新拼成一个图 所示的大正方形 ． （1）拼成的大正方形 的面积为________，边长为________； （2）将图 放在如图所示的数轴上，使得大正方形的顶点 与数轴上表示的点重合，以点 为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点 ，，是数轴上的两个动点（在的左边），且． ①求点 表示的数； ②点在数轴表示的数是，若点 始终在线段（不含端点）上，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）①点 表示的数为或 ② 【解析】 【分析】（1）先求出小正方形的面积之和，然后利用等面积求解； （2）①分两种情况进行讨论，利用两点之间的距离求出点的坐标； ②分两种情况进行讨论，分别求出的取值范围，再求出公共部分． 【小问1详解】 解：5个小正方形的面积和为， ∴拼成的大正方形 的面积为， 边长为； 【小问2详解】 解：①由（1）得， 当点 在点 左侧时，点 表示的数为； 当点 在点 右侧时，点 表示的数为； 综上，点 表示的数为或； ②当点 表示的数为时，， 解得； 当点 表示的数为时，， 解得； ∵，且，， ∴， 即， ∴当时，点 始终在线段（不含端点）上． 22. 如图，在平面直角坐标系中，三角形 三个顶点的坐标分别是，，，是三角形 边上任意一点，将三角形 平移，使得点与原点 重合，得到三角形，其中 ， ， 的对应点分别为，，． （1）画出三角形； （2）直接写出，，的坐标（用含 ， 的式子表示）； （3）若在上，且轴，求的坐标． 【答案】（1） （2），， （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得平移到，故这是一个向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度的平移变换，根据，，，利用平移的性质得到即，同理可得，，画出三角形即可； （2）利用平移的性质得到即，同理可得，，求解即可； （3）求得的解析式为，求当时，，解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略： 【小问3详解】 解：设的解析式为，把代入解析式，得， 解得， 故的解析式为， 轴，且， 当时，， 故; 23. 吃粽子是端午节的习俗．端午节前三天，某糕点店售出肉粽个，甜粽 个，销售额 元，已知肉粽的销售单价比甜粽的销售单价高元． （1）求肉粽和甜粽的销售单价分别是多少元； （2）端午节假期即将结束时，该糕点店对粽子的售价进行了调整，将每个肉粽按原销售单价的八折销售，每个甜粽在原销售单价基础上降价元销售．若该商家在价格调整后销售两种粽子共个，销售额不低于 元，求该商家在价格调整后至少销售肉粽多少个． 【答案】（1）肉粽销售单价为8元，甜粽销售单价为5元； （2）该商家价格调整后至少销售肉粽200个． 【解析】 【分析】（1）设甜粽销售单价为 元，肉粽销售单价为元，根据题意列一元一次方程，求解即可； （2）设调整后销售肉粽个，则销售甜粽个，根据题意列不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设甜粽销售单价为 元，肉粽销售单价为元， 由题意得， 解得，， 答：肉粽销售单价为8元，甜粽销售单价为5元； 【小问2详解】 解：设调整后销售肉粽个，则销售甜粽个， 由题意得， 解得， 答：该商家价格调整后至少销售肉粽200个． 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 是长方形，点在第二象限，且 ，满足 ，将点 向右平移 个单位长度得到点 ，连接，动点 从 出发，以 个单位长度每秒的速度沿折线方向运动，点 从 出发，以个单位长度每秒的速度沿折线方向运动， ， 两点同时出发，且点 到达点 时， ， 同时停止运动，记运动时间为 秒（）． （1）求点 的坐标和点 的坐标； （2） ， 运动过程中，求当 为何值时， ， 两点到 轴的距离相等； （3） ， 运动过程中，求当 为何范围时，三角形 面积大于三角形面积的倍，请直接写出 的取值范围． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）、通过所给方程 解出 即可求出 点坐标，再利用长方形性质即可求出 点坐标， 由 平移得到； （2）、求 为何值时， ， 两点到 轴的距离相等要分两种情况讨论，第一种就是当 在 上运动， 在 上运动，第二种就是 在 上运动， 在 上运动； （3）、结合第（2）问可知要分两种情况来分析，第一种情况就是当 在 上运动， 在 上运动，第二种情况就是 在 上运动， 在 上运动，分别写出相应的面积代数式再求出 即可； 【小问1详解】 解： 可得， 解得， 则由长方形的性质可得， 将 往右平移6个单位长度得， 【小问2详解】 由于，则时间由 决定， ， ①、当 在 上运动， 在 上运动 即 ， 此时， 则 解得，或，满足 ②、当 在 上运动， 在 上运动 此时， 得，或 ，不满足 【小问3详解】 ①、 , ， 即 ，恒成立； ②、 ， 即 得， 综合得． 25. 按照国际标准， 系列的纸为长方形．国际标准化组织（ ）的 标准定义一张 纸的标准尺寸为 厘米 厘米．如图所示，一张 纸边长 厘米， 厘米． 为 上一点，先沿着 折叠， 对应点为，再沿 折叠， 对应点为，即可得到一个简易纸袋形状，如下图所示： （1）如图 ，求证： ； （2）如图 ，当时，作 平分 ， 平分，求 的度数； （3）如图 ，当刚好落在线段 上时，连接， 为线段（不与端点重合）上任意一点，过点 作 于 ，若 （ 为常数）为定值，请直接写出 的值． 【答案】（1）由折叠的性质得：，， ∵四边形 是矩形， ∴， ∴  ， ∴  ①； 又∵ ∴ ②， ①+②得： ， 在 中， ， 代入得：  ， ∴ ； （2）设 ，则 ， 由折叠性质： ，，且 ， ∴  ， 又∵， ∴  ， 解得 ， ∴ ， ， ∵作 平分 ， 平分， ∴ ,, ∴ ， ∴ ， 即 ， ∵ , ∴ , ∴ ， 即 ； （3） 【解析】 【分析】（1）先由矩形的性质得到直角，再由翻折的性质得到角相等，利用互余的性质得到 ①； ②， ，代入即可得证； （2）根据折叠的性质和三角形的内角和可以得到，通过设元代入即可求出 ， ，再根据角平分线的性质以及三角形内角和的性质即可得到 ； （3）根据已知条件可得，求出相关的线段长度，再建立平面直角坐标系求出各点的坐标，根据对称的性质求出的坐标，再联立方程组解出的解析式，表示 即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：∵厘米 ，厘米， ∴, 设，则， ∵四边形 为矩形， ∴ ,， 当刚好落在线段 上时，由折叠的性质可得 ， , ， 以为原点， 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ， ∵ ，设 ∴整理得 ， 把 代入①得 ∴ ， 设直线的解析式为 ， ∴解得 ∴直线解析式为： ， 设 ， ，得 ， ， ∴  要使该式为定值，则 ∴ ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，一次函数求解析式，以及一次函数必过定点的问题，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $