精品解析：广东佛山市顺德区乐从镇2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷数学试卷

2025—2026学年第二学期七年级期末学科素养模拟监测 （科目：数学 时间：120分钟 满分：120分） 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，能够根据轴对称图形定义识别轴对称图形是解题的关键． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可． 【详解】解∶A． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C． 是轴对称图形，故该选项符合题意； D． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了幂的运算性质，解题的关键是熟记运算法则．根据幂的运算性质计算即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 种植一种花卉成活率是，则种100株这种花一定会有95株成活 B. 天气预报“明天降水概率是”是指明天有的时间会下雨 C. 某位体育老师参加贾家庄半程马拉松比赛一定能获得大奖 D. 连续掷一枚质地均匀的骰子，若3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1” 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是概率的意义，熟知概率只是表示某事件发生的可能性是解答此题的关键．根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、种植一种花卉成活率是95%，则种100株这种花不一定会有95株成活，故A说法错误，不符合题意； B、天气预报“明天降水概率是”，是指明天有的概率会下雨，故B说法错误，不符合题意； C、某位体育老师参加贾家庄半程马拉松比赛不一定能获得大奖，故C说法错误，不符合题意；； D、连续掷一枚质地均匀的骰子，若3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1”, 故D说法正确，符合题意； 故选：D． 4. 小明同学计划从一堆木条中取出三根来拼接成一个三角形，若他选择了长度（单位：分米）为3和4的两根木棒，那么第三根木棒的长度不能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】解：设第三根木棒的长度为分米，根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∵ 已知两根木棒长度分别为和， ∴ ， 化简得 ， ∵ 选项中只有 不满足该范围， ∴ 第三根木棒的长度不能是 ． 5. 如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴点到直线的距离是， 故选： ． 6. 如图，直线，直角三角板的直角顶点 在直线上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等”是解决本题的关键．先由平行线的性质求出，再由直角和平角的定义，角的和差关系求出． 【详解】解：如下图所示： 直线， ， 又，， ， ， 故选：A． 7. 如图，在的正方形网格中，线段 ，的端点均在格点上，则和的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证出可得，再用邻补角定义求解即可．本题考查了全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】解：如图， 在和中，， ， ， ， ， 故选：A． 8. 茶文化是中国对茶认识的一种具体表现，其内涵与茶具设计之间存在着密不可分的联系．如图，向茶杯中匀速注水，下列哪幅图象能较好刻画出茶杯中水面高度的变化情况（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查函数的图象问题，根据茶杯的底部直径小，从底部向上直径逐渐增大，可知水面上升的速度由快变慢，据此可得答案，本题关键是分析出容器内水的高度随着注水时间t变化而变化的快慢． 【详解】解：由题意可知，向茶杯中匀速注水，水面上升的速度由快变慢，故选项B符合题意． 故选：B． 9. 如图1，2025年首届具身智能机器人运动会在江苏省无锡市举办．某研发公司为了测试某新型智能机器人的竞速跑情况，在一条笔直的跑道上设置了甲，乙，丙三个测试点．该机器人从甲处以的速度匀速跑到乙处，停留一会儿后，再以的速度匀速跑到丙处，停留后，从丙处匀速返回甲处．该机器人离测试点甲的距离与离开测试点甲的时间之间的关系如图2所示，下列说法错误的是（ ） A. 该机器人从测试点甲到测试点乙用了 B. 该机器人在测试点乙处停留了 C. 测试点乙与测试点丙之间的距离为 D. 该机器人从测试点丙返回到测试点甲的速度为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查从函数图象正确获取信息，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．A根据时间=路程÷速度计算即可；B．根据A和图象计算即可；C．根据路程=速度×时间计算即可；D．根据速度=路程÷时间计算即可． 【详解】解：该机器人从测试点甲到测试点乙用了， ∴A正确，不符合题意； 该机器人在测试点乙处停留了， ∴B正确，不符合题意； 测试点乙与测试点丙之间的距离为， ∴C正确，不符合题意； 该机器人从测试点丙返回到测试点甲的速度为， ∴D错误，符合题意． 故选：D． 10. 如图，在 中， 是 的角平分线，点E、F分别是上的动点，若，当的值最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质等知识．过点作于点，交 于点，过点作于点，与 交于点，连接，可证得，同理，可知，，，进而可知，即 ，在上时最小．由 是 的角平分线，可知，由“直角三角形两锐角互余”可得，则，由此可得结论． 【详解】解：在 上，作于点，交 于点，过点作于点，与 交于点，连接，，如图，则， ∵ 平分， ∴， ∵，， ∴，同理， ∴，，， ∴，即： ，在上时最小． 是 的角平分线， ， ∵， ，则， ． 故选C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可． 【详解】解：∵游戏板的面积为3×3=9，其中黑色区域为3， ∴小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是， 故答案是： ． 【点睛】本题考查了几何概率：求概率时，与几何有关的就是几何概率．计算方法是面积比或体积比等． 12. 若，则 的值是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是正确解答此题的关键． 根据平方差公式即可解答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：3． 13. 如图，四边形 的面积是10，各边的中点分别为M，N，P，Q，与相交于点 ，图中阴影部分的总面积为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的中线平分三角形的面积，掌握这一性质是解题的关键． 连接，根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可． 【详解】连接， ∵各边中点分别为M，N，P，Q， ∴， ∴， ， ， ， ，得 ， ∴ ． 故答案为；5． 14. 如图，在中，，，D、E分别在 、 上，将沿折叠得，且满足，则________． 【答案】##71度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，图形的折叠，平行线的性质，三角形的外角性质．先求出，根据折叠的性质得到，，由平行线的性质得到，，推出，然后根据平角的定义得，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图， 中，，D为平面上一点，，若，则 的面积为___________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 如图：过点B作于点E，证明和全等得，再根据三角形的面积公式即可求得 的面积． 【详解】解：如图：过点B作于点E， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴ 的面积为：． 故答案为：18． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先分别计算、绝对值、负整数指数幂和零指数幂运算，再由有理数加减运算法则计算即可； （2）先由平方差公式、完全平方公式展开，再去括号、合并同类项得到化简结果，最后将，代入计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当，时，原式． 17. 如图，已知线段b和． （1）请用无刻度的直尺和圆规作 ；使，；（保留作图痕迹，不写作法） （2）请作适当的辅助线证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握作图技能． （1）画射线，截取，利用画一个角等于已知角的方法作即可； （2）如图所示，过点B作，证明出，即可得到． 【小问1详解】 解：作图如下： 【小问2详解】 解：如图所示，过点B作 ∴ ∵， ∴ ∴． 18. 随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．为此，某团队设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行随机调查．将统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次参与调查的共有 人；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）如果某市有万人在使用手机： ①则估计该市最喜欢用“微信”进行沟通的人数为 万人； ②在该市使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，则抽取的最喜欢使用“”沟通的概率是 ． 【答案】（1）； （2）见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率、条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中获取需要的信息是解题的关键． （1）由用电话沟通的人数及其所占百分比可求出总人数，用乘以利用“微信”沟通人数占被调查人数的比例即可； （2）先求出短信沟通的人数，再根据种方式的人数之和等于总人数求出使用“微信”的人数，从而补全条形统计图； （3）①用总人数乘以样本中用微信人数所占比例即可； ②先求出抽取的恰好使用“”的频率，再用频率估计概率即可． 【小问1详解】 解：∵喜欢用“电话”进行沟通的人数为，所占百分比为， ∴此次共抽查了（人）， 表示“微信”的扇形圆心角的度数为：， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：喜欢用“短信”进行沟通的人数为：（人）， 喜欢用“微信”进行沟通的人数为：（人）， 补充条形统计图： 【小问3详解】 解：①由（2）知：参与调查的人中喜欢用“微信”进行沟通的人数有人， ∴该某市的万人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数有（万人）， 故答案为：； ②由（1）可知：参与这次调查的共有人，其中喜欢用“”进行沟通的人数为人， ∴在参与这次调查的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“”的频率是， ∴用频率估计概率，在该市使用手机的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“”的概率是， 故答案为：． 19. 背景资料：“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式．低碳生活的理念也已逐步被人们所接受．相关资料统计了一系列排碳计算公式，根据信息，解决问题： 排碳计算公式 家居用电的二氧化碳排放量耗电量 开私家车的二氧化碳排放量耗油量 家用天然气的二氧化碳排放量天然气使用量 家用自来水的二氧化碳排放量自来水使用量 （1）若x表示耗油量，开私家车的二氧化碳排放量为y，则开私家车的二氧化碳排放量与耗油量的关系式为 ． （2）在上述关系中，耗油量每增加，二氧化碳排放量就增加 ；当耗油量从增加到时，二氧化碳排放量就从 增加到 ． （3）小明家本月家居用电约，天然气，自来水，开私家车耗油，请你计算一下小明家这几项二氧化碳排放量的总和． 【答案】（1） （2）2.7； 8.1； 21.6 （3）小明家这几项二氧化碳排放量的总和为 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值，正确理解题意是解题的关键． （1）用耗油量乘以即可得到答案； （2）根据开私家车的二氧化碳排放量耗油量可得第一空答案；根据（1）所求函数关系式，分别求出时和时的函数值即可得到答案； （3）根据对应的二氧化碳排放量计算公式分别求出对应的二氧化碳排放量，再求和即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得； 【小问2详解】 解：∵开私家车的二氧化碳排放量耗油量， ∴耗油量每增加，二氧化碳排放量就增加； 在中，当时，；当时，； ∴当耗油量从增加到时，二氧化碳排放量就从增加到． 【小问3详解】 解： ． 答：小明家这几项二氧化碳排放量的总和为． 20. 利用三角形全等测距离． （1）任务1：目测出操场上与你距离相等的两个点 方案：第一步：在C点处面向B点的方向站好，调整帽子，使视线从A点通过帽檐正好落在B点； 第二步：转过一个角度，保持刚才的姿态，视线从D点通过帽檐正好落在F点． 示意图： 原理： ，，． 又，，（______），______． （2）任务2：测量输电线路长度 任务简介：如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A、B间的距离，请你设计一个方案，测出A、B间的距离，并作出示意图． 方案：第一步：________________________； 第二步：________________________； （可适当添加步骤）…… 示意图（请按方案补充完整） 【答案】（1），， （2）在池塘外取可同时到达、的点 ，连接AC并延长至点 ，使；连接并延长至点 ，使； 测量的长度，的长度就是、两点间的距离． 【解析】 【分析】（1）由 ， 可得两个直角相等，根据条件可以看出两角夹一边，即判定两个三角形全等，进而得到三角形对应边相等； （2）通过构造 ，得到 ，通过测量的长度即可． 【小问1详解】 ∵ ， ， ∴， ∵，， （）， 【小问2详解】 第一步：在池塘外取可同时到达、的点 ，连接并延长至点 ，使；连接并延长至点 ，使； 第二步：测量的长度，的长度就是、两点间的距离． 在 和中， ， ，， ∴ ， ∴ 图略 21. 探究活动：折叠中的对称之美 【初步探究】 在学习了轴对称的知识后，老师告诉大家：折叠中隐含着许多轴对称问题．为了深入理解，小明决定动于实验．他拿出一张长方形纸片，其中，，．他在边上取一点 ，在边上取一点，并将纸片沿直线折叠，使得点 落在新位置，如图 ，小明发现是等腰三角形； （1）请结合图1证明是一个等腰三角形（即） 【深入探究】 小明又沿着对称轴折叠，使得点 与重合，展开后如图，与交于点 ，连接后，他想进行以下探究活动： 活动1（计算面积）： 若测量得，，求四边形的面积； 活动2（证明性质）： 小明发现四边形的四条边均相等，你能证明吗？ （2）请选择以上任意一个活动完成． 【答案】（1）见解析；（2）活动一：40；活动二：见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，等角对等边，以及全等三角形的性质与判定；掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠可得，根据平行线的性质可得，即可得出，根据等角对等边，即可得证； （2）活动一：根据折叠的性质可得，进而根据，即可求解． 活动二：根据折叠的性质，证明，进而得出，即可得证． 【详解】（1）第一次折叠， 又，， ， （2）活动一： 第二次折叠，对称轴是， 活动二：第二次折叠， ，，， 又， 在和中 ， 22. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题．如图1，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2题由图1外阴影部分排成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． （1）请直接用含和的代数式表示___________，___________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：___________（用式子表达）． （2）请依据（1）得到的公式计算：． （3）请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数． 【答案】（1），， （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）用大正方形的面积减去小正方形的面积即可求出，根据长方形的面积公式即可求出，根据两个图形中的阴影部分面积相等即可得出相应的公式； （2）根据（1）中得到的平方差公式解答即可； （3）设两个相邻的奇数为（n为自然数），根据平方差公式解答即可． 【小问1详解】 由题意可得：，， 根据阴影部分面积相等可得公式：， 故答案为：，，； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 证明：设两个相邻的奇数为（n为自然数）， 则 ； 所以任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数． 【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，正确理解题意、熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 23. 已知：在 中，，，点D是上一点，交 的延长线于点E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若交的延长线于点F，连接，求证：； （3）如图3，若 是的平分线，交 于点H，交 于点G，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）2 【解析】 【分析】本题考查主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据等角的余角相等即可证明结论； （2）如图，过点C作于N，交于M，证明得到，再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论； （3）如图：过点C作于N，交于M，，证明得到，根据等腰三角形的性质得到，即，然后再代入计算即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 证明：如图，过点C作于N，交于M，         ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，即． 【小问3详解】 解：如图：过点C作于N，交于M，，         ∵，， ∴． ∵ 是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴，即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期七年级期末学科素养模拟监测 （科目：数学 时间：120分钟 满分：120分） 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 种植一种花卉成活率是，则种100株这种花一定会有95株成活 B. 天气预报“明天降水概率是”是指明天有的时间会下雨 C. 某位体育老师参加贾家庄半程马拉松比赛一定能获得大奖 D. 连续掷一枚质地均匀的骰子，若3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1” 4. 小明同学计划从一堆木条中取出三根来拼接成一个三角形，若他选择了长度（单位：分米）为3和4的两根木棒，那么第三根木棒的长度不能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，四点在直线上，点 在直线外，，若，，，，则点 到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，直角三角板的直角顶点 在直线上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是（ ） A. B. C. D. 8. 茶文化是中国对茶认识的一种具体表现，其内涵与茶具设计之间存在着密不可分的联系．如图，向茶杯中匀速注水，下列哪幅图象能较好刻画出茶杯中水面高度的变化情况（　　） A. B. C. D. 9. 如图1，2025年首届具身智能机器人运动会在江苏省无锡市举办．某研发公司为了测试某新型智能机器人的竞速跑情况，在一条笔直的跑道上设置了甲，乙，丙三个测试点．该机器人从甲处以的速度匀速跑到乙处，停留一会儿后，再以的速度匀速跑到丙处，停留后，从丙处匀速返回甲处．该机器人离测试点甲的距离与离开测试点甲的时间之间的关系如图2所示，下列说法错误的是（ ） A. 该机器人从测试点甲到测试点乙用了 B. 该机器人在测试点乙处停留了 C. 测试点乙与测试点丙之间的距离为 D. 该机器人从测试点丙返回到测试点甲的速度为 10. 如图，在 中，是 的角平分线，点E、F分别是上的动点，若，当的值最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是______． 12. 若，则 的值是________． 13. 如图，四边形的面积是10，各边的中点分别为M，N，P，Q，与相交于点 ，图中阴影部分的总面积为________． 14. 如图，在中，，，D、E分别在、 上，将沿 折叠得，且满足，则________． 15. 如图， 中，，D为平面上一点，，若，则的面积为___________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 如图，已知线段b和． （1）请用无刻度的直尺和圆规作 ；使，；（保留作图痕迹，不写作法） （2）请作适当的辅助线证明． 18. 随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．为此，某团队设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行随机调查．将统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次参与调查的共有 人；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）如果某市有万人在使用手机： ①则估计该市最喜欢用“微信”进行沟通的人数为 万人； ②在该市使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，则抽取的最喜欢使用“”沟通的概率是 ． 19. 背景资料：“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式．低碳生活的理念也已逐步被人们所接受．相关资料统计了一系列排碳计算公式，根据信息，解决问题： 排碳计算公式 家居用电的二氧化碳排放量耗电量 开私家车的二氧化碳排放量耗油量 家用天然气的二氧化碳排放量天然气使用量 家用自来水的二氧化碳排放量自来水使用量 （1）若x表示耗油量，开私家车的二氧化碳排放量为y，则开私家车的二氧化碳排放量与耗油量的关系式为 ． （2）在上述关系中，耗油量每增加，二氧化碳排放量就增加 ；当耗油量从增加到时，二氧化碳排放量就从 增加到 ． （3）小明家本月家居用电约，天然气，自来水，开私家车耗油，请你计算一下小明家这几项二氧化碳排放量的总和． 20. 利用三角形全等测距离． （1）任务1：目测出操场上与你距离相等的两个点 方案：第一步：在C点处面向B点的方向站好，调整帽子，使视线从A点通过帽檐正好落在B点； 第二步：转过一个角度，保持刚才的姿态，视线从D点通过帽檐正好落在F点． 示意图： 原理： ，，． 又，，（______），______． （2）任务2：测量输电线路长度 任务简介：如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A、B间的距离，请你设计一个方案，测出A、B间的距离，并作出示意图． 方案：第一步：________________________； 第二步：________________________； （可适当添加步骤）…… 示意图（请按方案补充完整） 21. 探究活动：折叠中的对称之美 【初步探究】 在学习了轴对称的知识后，老师告诉大家：折叠中隐含着许多轴对称问题．为了深入理解，小明决定动于实验．他拿出一张长方形纸片，其中，，．他在边上取一点 ，在边上取一点，并将纸片沿直线折叠，使得点 落在新位置，如图 ，小明发现是等腰三角形； （1）请结合图1证明是一个等腰三角形（即） 【深入探究】 小明又沿着对称轴折叠，使得点 与重合，展开后如图 ，与交于点 ，连接后，他想进行以下探究活动： 活动1（计算面积）： 若测量得，，求四边形的面积； 活动2（证明性质）： 小明发现四边形的四条边均相等，你能证明吗？ （2）请选择以上任意一个活动完成． 22. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题．如图1，边长为 的正方形中有一个边长为的小正方形，图2题由图1外阴影部分排成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． （1）请直接用含 和的代数式表示___________，___________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：___________（用式子表达）． （2）请依据（1）得到的公式计算：． （3）请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数． 23. 已知：在 中，，，点D是 上一点，交的延长线于点E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若交的延长线于点F，连接，求证：； （3）如图3，若是的平分线，交于点H，交于点G，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $