第21章 21.2 一元二次方程的解法-1 直接开平方法和因式分解法-课时2 因式分解法-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（华东师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册“一元二次方程的解法”，涵盖提公因式法、公式法、十字相乘法等核心知识点。通过目录“刷基础”“刷提升”超链接跳转实现课堂导入，前后知识从基础巩固到中档提升、易错纠正再到思维拓展，构建递进式学习支架。 其亮点在于分层设计与核心素养融合，以运算能力（如多步骤因式分解题）、推理意识（易错点“方程两边除含未知数代数式丢根”的逻辑纠错）、创新意识（新定义“∞”运算题）为导向。含开放性试题、几何与方程结合题等实例，讲练结合助力学生提升解题与思维能力，教师可直接编辑使用，高效辅助教学。

数 学 九年级上册 HS 1 2 3 第21章 一元二次方程 21.2 一元二次方程的解法 4 1 直接开平方法和因式分解法 课时2 因式分解法 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 用提公因式法解一元二次方程 1.【2025陕西咸阳质检】一元二次方程 的根是( ) A A.， B.， C.， D.， 【解析】，，解得, ，故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 2.将 转化为两个一元一次方程，这两个方程是( ) C A., B., C., D., 【解析】， ， ，， 转化的两个一元一 次方程为， ，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 3.已知菱形，边的长是方程 的一个根，则菱形 的周长是( ) C A.12 B.16 C.12或16 D.24 【解析】，整理，得,解得 , .①当时，菱形的周长为；②当 时，菱形 的周长为 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 4.【2025江苏南京期中】若关于的一元二次方程 有实 数根,，且，则 的取值范围是____________. 【解析】 ， ，， ， ，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 开放性试题 【2025四川泸州质检】写出一个两根分别为 和0的一元二 次方程：_________________________. （答案不唯一） 【解析】一元二次方程的两根分别为和0， 设该一元二次方程为 ，当时，，即 ，故答案为 （答案不唯一） . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 关键点拨 由方程两根分别为和0推出一元二次方程为 是解题关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 6.解方程： （1） ; 【解】原方程可化为 . 整理得 . 方程左边因式分解，得 . 解得, . （2） ; 【解】原方程整理为.方程左边因式分解得.解得 ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 （3） ; 【解】方程左边因式分解，得,即 . 解得, . （4） . 【解】移项,得.整理,得 .方程 左边因式分解,得.解得, . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 知识点2 用公式法分解因式解方程 7.定义一种新运算“ ”：，则方程 的实数根 是( ) D A., B. C., D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 【解析】 步骤名称 过程 依据 运算转换 由 得 定义式 整理方程 去括号、移项、合并同类项、 二次项系数化为1 解方程 ， 故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 8.解方程： （1） ; 【解】 ， ，则 ， 即 ， 或 ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 （2） ； 【解】整理,得 ， 开平方得 ， . （3） . 【解】原方程可化为 ， 即 ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 刷易错 易错点 解方程时，方程两边同时除以含有未知数的代数式导致 丢根 9.阅读下列解方程 的过程，并解决相关问题. 解：将方程左边分解因式， 得 ，（第一步） 方程两边都除以，得 ，（第二步） 解得 .（第三步） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 （1）第一步方程左边分解因式的方法是________，解方程的过程从第____步开始 出现错误，错误的原因是_____________； 公式法 二 可能为0 【解】第一步方程左边分解因式的方法是公式法，解方程的过程从第二步开始出 现错误，错误的原因是可能为0，故答案为公式法，二， 可能为0. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 （2）请直接写出正确的解题过程. 【解】 ， ， ，则 ， 或 ， 解得， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 易错警示 当时，方程两边可以同时除以；当 时，方程两边就不能同 时除以 了.解方程时，方程两边同时除以含有未知数的代数式时，一定要论 证这个代数式不为零. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 22 提升 1.［中］已知一元二次方程 的一个根与方程 的一个根互为相反数，那么 的根是( ) A A.0， B.0， C.，2 D.1， 【解析】设为方程的一个根，则 为方程 的一个根， ， ，，得 ， 即，解得或.又，，.把 代入方程得，解得或 .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 2.【2025河南郑州期中，中】若，则关于 的一元二次方程 必有一个实数根是____. 【解析】把代入方程得 ，整理得 ，，， ， 关于的一元二次方程必有一个实数根是，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 3. 【2026四川绵阳期末，中】若关于的方程 的 所有根都是比1小的正实数，则实数 的取值范围是______________． 或 【解析】当时，．当时，可得， ，符合 题意；当时，可得，，不符合题意.当 时， ， ， ． 关于的方程 的所有根都是比1小的正实 数，解得．综上可得，实数的取值范围是 或 ．故答案为或 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 思路分析 分，两种情况讨论，当 时，求出方程的根后进行 取舍；当 时，先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的 正实数，列出不等式组，求出 的取值范围． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 微专题1 “十字相乘法”解一元二次方程 4.【2025吉林白城质检，中】【阅读与理解】将 分解因式，我们可以 按下面方法解答： ①竖分二次项与常数项：， . ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次 项） #1.2 ， .#1.2.1 ③横向写出两因式： . 我们把这种分解因式的方法叫十字相乘法. 根据若，则或，方程 可以这样求解：方程因式 分解得.所以原方程的解为， .#1.5 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 【解决问题】 （1）二次项系数为1 试用上述方法和原理解下列方程： ；； . 【解】①方程左边因式分解，得，或 ， ， . ②方程左边因式分解，得,或 , ， . ③方程左边因式分解，得，或 , ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 28 （2）二次项系数不为1直接写出方程 的解. 【解】方程的解为, .方程左边因式分解，得 ，或，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 29 刷素养 走向重高 5.核心素养 运算能力 ［较难］若关于 的一元二次方程 且，的解为 ， ，则称该方程为二次“差解方程”.例如： 的 解为，，且， ，所以方程 是二次“差解方程”. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 30 根据上述材料，解决下列问题： （1）判断方程 是否为二次“差解方程”，并说明理由； 【解】方程 不是二次“差解方程”.理由如下： 方程的解为,.，， 该方程不是二次“差解方程”. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 31 （2）若关于的方程 是二次“差解方程”，求 关于的一元二次方程 的解. 【解】方程的解为, . 该方程是二次“差解方程”，, ， 整理得,.得 关于 的一元 二次方程 ，整理可得 ，将①②③代入得 ，，, . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 32 关键点拨 理解二次“差解方程”的定义是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 33 $