2 21.2.1 第1课时 直接开平方法（Word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（华东师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的直接开平方法，引导学生通过自主学习中x²=4等具体方程的求解，联系平方根定义引出直接开平方法，搭建从具体问题到抽象解法的学习支架，衔接平方根知识与一元二次方程降次转化思想。 资料以自主归纳、合作探究分层次（x²=p和(mx+n)²=p两种形式）、针对训练及当堂检测为特色，通过问题链设计培养学生抽象能力（符号意识）、推理意识和运算能力，助力学生自主构建知识体系，提升数学思维与解决问题的能力。

第21章 一元二次方程 21.2 一元二次方程的解法 1.直接开平方法和因式分解法 第1课时 直接开平方法 学习目标： 1．体会解一元二次方程降次的转化思想； 2．会利用直接开平方法解形如x2＝p（重点）或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程（难点）． 自主学习 一、新知预习 试着解下列方程： （1）x2=4； （2）x²-1=0. 【自主归纳】形如x2=p(p≥0)或（mx+n）2=p(p≥0)的一元二次方程可利用平方根的定义， 用开平方的方法直接求解，这种解方程的方法叫做_______________. 合作探究 一、探究过程 探究点1：用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的一元二次方程 如果关于x的方程能化成x2=p（p≥0）的形式，那么可得x=________.解一元二次方程的数学思想是“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程. 【归纳总结】当方程的一边是未知数的平方，另一边是非负数时，可以用直接开平方法求 解．一般地，对于x2＝p，当p＞0时，x1＝，x2＝－； 当p＝0时，x1＝x2＝0；当p＜0时，方程无实数根． 【针对训练】 1.方程x2－36＝0的解是(　 　) A．x＝6 B．x＝－6 C．x＝4或x=9 D．x＝±6 2.解方程：（1）x2＝12； （2）2x2－18＝0. 探究点2：用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程 如果关于x的方程能化成(mx+n)2=p的形式，那么可得mx+n=_____,即x=______.方程有解的条件是________. 【归纳总结】当方程的一边容易变形为含未知数的完全平方式，另一边是非负数时，可以用 直接开平方法求解，即对于(mx＋n)2＝p(p≥0)，直接开平方得解． 【针对训练】 3.解下列方程： （1）（x+2）2=36； （2）x2+6x+9=0. 二、课堂小结 内容 公式 直接开平方法 形如x2=p(p≥0)或（mx+n）2=p(p≥0)的一元二次方程可利用平方根的定义用开平方的方法直接求解. 如果方程能化成x2=p（p≥0）或(mx+n)2=p(p≥0)的形式，那么可得x=____,或mx+n=_____,即x=________. 当堂检测 1．判断下列一元二次方程能否用直接开平方法求解： (1)x2＝2；( ) (2)p2－49＝0；( ) (3)6x2＝3；( ) (4)(5x＋9)2－2x－16＝0；( ) (5)121－(y＋3)2＝0.( ) 2．如果25x2－16＝0，那么x1＝______，x2＝______． 3．如果2(x＋3)2＝8，那么x1＝_____，x2＝______． 4．用直接开平方法解下列方程： (1)(x－1)2＝8； (2)(2x＋3)2＝24； (3)(x－)2＝9； (4)(x＋1)2－3＝0. 5．已知方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是x＝3，求k的值和方程的另一个根． 参考答案 自主学习 一、新知预习 （1）x=±2 （2）x=±1 【自主归纳】直接开平方法 合作探究 一、探究过程 探究点1：± 【针对训练】 1.D 2.解：（1）x=±2. （2）x=±3. 探究点2：± p≥0 【针对训练】 3.解：（1）x1=4，x2=-8. （2）x1=x2=-3. 二、课堂小结 ± ± 当堂检测 1． (1)可以 (2)可以 (3)可以 (4)不可以 (5)可以 2. - 3．－1 －5 4．解：(1)x1＝1＋2，x2＝1－2. (2)x1＝－＋，x2＝－－. (3)x1＝＋3，x2＝－3. (4)x1＝－1＋2，x2＝－1－2. 5． 解：把x＝3代入(x－1)2＝k2＋2得：(3－1)2＝k2＋2.解得k＝±，原方程为(x－1)2＝4，所以方程的根为：x1＝3，x2＝－1，即方程的另一个根为x=－1. 学科网（北京）股份有限公司 $