10.2　事件的相互独立性 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册

**基本信息** 分层清晰，梯度合理，从基础概念到综合应用，通过例题引领、基础巩固与能力提升三级设计，助力事件相互独立性知识的系统掌握与数学思维的逐步深化。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|5道典型题，覆盖两人/三人独立事件、比赛问题、安全知识竞赛等情境|从基础概率计算到含纠错分析的综合应用，引领解题方法| |A组基础达标|12题（单选6、多选2、填空2、解答2），涵盖事件关系判断、独立事件概率公式及简单应用|聚焦概念辨析与基本运算，匹配课时基础目标| |B组能力提升|5题（单选2、填空2、解答1），涉及复杂比赛模型、概率最值、实际数据应用|综合实际情境与逻辑推理，提升数学应用与创新意识|

10.2　事件的相互独立性 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【例题精练】 【例1】某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13 s内（称为合格）的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检验，求： (1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)三人中恰有两人合格的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，且事件A，B，C相互独立，设恰有k人合格的概率为，则三人都合格的概率为求解； （2）三人都不合格的概率，由求解； （3）三人中恰有两人合格的概率，由求解. 【详解】（1）解：设甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立， 且，设恰有k人合格的概率为． 则三人都合格的概率：； （2）三人都不合格的概率：； （3）三人中恰有两人合格的概率： ， . 【例2】根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立． (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率； (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率； (3)求一位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据事件的相互独立性，由独立事件的乘法公式计算可得结果； （2）根据对立事件概率公式计算可得结果； （3）方法一：将所包含的所有基本事件概率求出后相加可得结果，方法二：根据正难则反的原则，求出其对立事件的概率即可. 【详解】（1）记表示事件“购买甲种保险”，表示事件“购买乙种保险”， 则由题意得与，与，与，与都是相互独立事件， 且，． 记表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则， 所以． （2）记表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则， 所以． （3）记表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”， 方法一：则事件包括，，AB，且它们彼此为互斥事件． 所以． 方法二：事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件． 所以． 【例3】有甲、乙、丙三支足球队互相进行比赛，每场都要分出胜负，已知甲队胜乙队的概率是0.4，甲队胜丙队的概率是0.3，乙队胜丙队的概率是0.5，现规定比赛顺序是：第一场甲队对乙队，第二场是第一场中的胜者对丙队，第三场是第二场中的胜者对第一场中的败者，以后每一场都是上一场中的胜者对前一场中的败者，若某队连胜四场则比赛结束，求： （1）第四场结束比赛的概率； （2）第五场结束比赛的概率. 【答案】(1)0.1044；(2)0.1225 【分析】（1）先计算出甲连胜四场的概率和乙连胜四场的概率，从而得到第四场结束比赛的概率；（2）先判断出只有丙队由可能，然后计算甲胜第一场，丙连胜四场和乙胜第一场，丙连胜四场的概率，从而得到第五场结束比赛的概率. 【详解】解：（1）因为甲连胜四场. 乙连胜四场， 所以第四场结束比赛. （2）第五场结束比赛即某队从第二场起连胜四场，只有丙队有可能. 因为甲胜第一场，丙连胜四场， 乙胜第一场，丙连胜四场， 所以第五场结束比赛. 【点睛】本题考查互斥事件、相互独立事件的概率计算，属于简单题 【例4】溺水、触电等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，假设甲队每人回答问题的正确率均为，乙队每人回答问题的正确率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响． (1)求甲队总得分为3分的概率； (2)求甲队总得分为3分且乙队总得分为1分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记“甲队总得分为3分”为事件A，甲队得3分，即三人都回答正确，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为3分的概率； （2）记“乙队得分为1分”为事件B，利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为3分且乙队总得分为1分的概率． 【详解】（1）记“甲队总得分为3分”为事件A， 甲队得3分，即三人都回答正确， 其概率P(A)＝； （2）“乙队总得分为1分”为事件B. 乙队得1分，即乙队三人中只有1人回答正确，其余2人回答错误， 则P(B)＝ 由题意得事件A与事件B相互独立， 则甲队总得分为3分且乙队总得分为1分的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝. 【例5】甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译出密码的概率为0.8，乙破译出密码的概率为0.7.记事件：甲破译出密码，事件：乙破译出密码. (1)求甲、乙二人都破译出密码的概率； (2)求恰有一人破译出密码的概率； (3)小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下： 解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”，所以随机事件“密码被破译”可以表示为，所以. 请指出小明同学错误的原因，并给出正确解答过程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由相互独立事件概率乘法公式即可求解； （2）恰有一人破译出密码有两种情况：甲破译出密码且乙没有破译出密码和甲没有破译出密码且乙破译出密码，由互斥事件概率加法公式及相互独立事件概率乘法公式即可求解； （3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程中， 方法一：“密码被破译”也就是“甲、乙二人至少有一人破译密码”，可以表示为，且，，两两互斥，利用互斥事件概率的加法公式即可求解；方法二：由和不是互斥事件，，由此能求出密码被破译的概率． 【详解】（1）由题意可知，，且事件，相互独立，事件“甲、乙二人都破译出密码”可表示为，所以， 所以甲、乙二人都破译出密码的概率为； （2）事件“恰有一人破译出密码”可表示为，且，互斥， 所以； （3）小明同学的错误在于事件，不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式. 正确解答过程如下： 方法一：“密码被破译”也就是“甲、乙二人至少有一人破译密码”，可以表示为，且，，两两互斥， 所以. 方法二：“密码被破译”为事件， 【A组基础达标】 一、单选题 1．掷一枚骰子一次，设事件：“出现偶数点”，事件：“出现3点或6点”，则事件，的关系是 A．互斥但不相互独立 B．相互独立但不互斥 C．互斥且相互独立 D．既不相互独立也不互斥 【答案】B 【详解】事件，事件，事件，基本事件空间，所以，，，即，因此，事件与相互独立．当“出现6点”时，事件，同时发生，所以，不是互斥事件．故选B． 2．已知事件和事件独立，若，则（   ） A．0.56 B．0.76 C．0.80 D．0.96 【答案】B 【分析】根据独立事件的乘法公式，及互斥事件的概率加法公式求解即可． 【详解】由，则， 又事件和事件独立，则事件和事件也独立， 则， 所以． 3．甲乙两人投篮投中的概率分别为，，已知两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用独立事件概率乘法公式及互斥事件概率和公式计算求解. 【详解】因为甲乙两人投篮投中的概率分别为，， 又因为两人是否投中互不影响，两人各投篮一次， 则只有一个人投中的概率是. 4．甲、乙两名选手进行围棋比赛，已知每局比赛结果只有胜负两种，且甲每局获胜的概率为若比赛采用局胜制先胜局者赢得比赛，则甲赢得比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合已知条件，对甲最终获胜的情况进行分类，进而即可得到答案. 【详解】由题意可知，甲最终获胜的情况：胜胜，胜负胜，负胜胜， 故甲获胜的概率为：. 5．已知甲、乙两名运动员击中目标的概率分别为，，且2人是否击中目标相互独立，若他们2人向目标各发1枪，则目标被击中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据独立事件概率乘法公式结合对立事件概率公式运算求解. 【详解】设甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件， 则，，且，可得，， 所以. 故选：B. 6．某地有四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是同样也假定受，和感染的概率都是在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出：因为直接受感染的人至少是，而恰有一人是由感染的，由此可计算出概率． 【详解】设直接受感染分别为事件，则事件是相互独立的， ，，，由题意可知，除了外，二人中恰有一人是由感染的， 由于二人中恰有一人是由感染的事件是，并且，， 所以， 所以中恰有两人直接受感染的概率是，故C正确. 二、多选题 7．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（    ） A．A与B独立 B．B与C对立 C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A，，，且, 因为，所以与独立. 选项B，因为， ，所以与不对立. 选项C，. 选项D，. 8．甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，．若他们3人分别向目标各发一枪，且他们相互之间没有影响，则这3枪中（     ） A．至少有一枪命中目标的概率为 B．恰好有一枪命中目标的概率为 C．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让甲打第2枪 D．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让丙打第2枪 【答案】AD 【分析】由独立事件乘法公式和对立事件概率计算公式、互斥事件和事件概率公式可判断AB，分别计算甲、乙、丙在第2枪时，连续命中两枪的概率，即可判断CD. 【详解】对于A：三枪全不中的概率， 故至少有一枪命中目标的概率为，A正确； 对于B：恰好有一枪命中目标的概率，B错误； 对于C、D： 设枪连续命中的概率为，枪连续命中的概率为，三枪都中的概率为， 则由题意至少连续两枪命中的概率， 若甲在第2枪：乙在第1枪，丙在第3枪， 若甲在第2枪：乙在第3枪，丙在第1枪， 即甲在第2枪，连续命中两枪的概率为， 同理：若乙在第2枪， 连续命中两枪的概率为， 若丙在第2枪： 连续命中两枪的概率为， 因此丙在第2枪时概率最大，C错误，D正确. 三、填空题 9．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________． 【答案】/ 【分析】设相应事件，可知取得同色球为，根据互斥事件以及独立事件概率求法运算求解. 【详解】设“从甲袋中取白球”为事件，则， 设“从乙袋中取白球”为事件，则， 因为取得同色球为， 所以． 10．早期的生成式人工智能原理是“单字接龙”，人工智能模型会进行“算法预测”．例如输入“白日”之后，系统会检索文本库中包含“白日”的词语或短句，假设文本库中包含“白日”的词语或短句只有“白日梦”和“白日依山尽”，且二者在文本库中出现的频率为0.8和0.2，则模型下一个字输出“梦”和“依”的概率分别为0.8和0.2，依此类推生成下一个汉字．假设有一个简化的人工智能模型，仅能生成四个汉字，生成每个汉字之前都需要对前面的所有汉字进行“算法预测”，并且每一步判断是相互独立的．该人工智能模型的文本库如下： 人大附小 人民英雄 人大附中集团校 人大附中 人才济济 人大代表 人民大学 人大附幼儿园 地灵人杰 学为人师 助人为乐 人大附中东门 输入“人”后，下一个字输出“大”的概率为___________； 输入“人”后，最终输出结果为“人大附中”的概率为___________． 【答案】 / / 【分析】根据古典概型概率公式求解 【详解】文本库中包含“人”的所有短语为： 人大附小、人民英雄、人大附中集团校、人大附中、人才济济、人大代表、人民大学、人大附幼儿园、地灵人杰、学为人师、助人为乐、人大附中东门 统计“人”之后的第一个字： 大（出现于：人大附小、人大附中集团校、人大附中、人大代表、人大附幼儿园、人大附中东门，共6次） 民（出现于：人民英雄、人民大学，共2次） 才（出现于：人才济济，共1次） 杰（出现于：地灵人杰，共1次） 师（出现于：学为人师，共1次） 为（出现于：助人为乐，共1次） 总样本数 输出“大”的概率 ； 生成“人大附中”需要依次满足： （1）. 输入“人”→“大”：概率 （2）. 输入“人大”→“附”：文本库中以“人大”开头的短语为：人大附小、人大附中集团校、人大附中、人大代表、人大附幼儿园、人大附中东门 → 共6条，其中“人大”后接“附”的有：人大附小、人大附中集团校、人大附中、人大附幼儿园、人大附中东门 → 共5条，概率 = ， （3）. 输入“人大附”→“中”：文本库中以“人大附”开头的短语为：人大附小、人大附中集团校、人大附中、人大附幼儿园、人大附中东门 → 共5条，其中“人大附”后接“中”的有：人大附中集团校、人大附中、人大附中东门 → 共3条，概率 =， 三步独立事件，总概率 ； 故答案为： 四、解答题 11．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式及互斥事件的加法公式直接计算即可； （2）分情况结合乘法公式即互斥事件加法公式即可得解． 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，， 则，，， 应聘者用方案一考试通过的概率： ； （2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为， 考试通过的概率： . 12．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设，为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断. 【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. 【B组能力提升】 1．为丰富老年人的精神文化生活，提高老年人的生活幸福指数，某街道举办以社区为代表队的老年门球比赛，比赛分老年男组和老年女组，男女组分别进行淘汰赛．经过多轮淘汰后，西苑社区的老年男子“龙马”队和老年女子“风采”队都进入了决赛．按照以往的比赛经验，在决赛中“龙马”队获胜的概率为，“风采”队获胜的概率为，（“龙马”队和“风采”队两队中只有一支队伍获胜的概率为（“龙马”队和“风采”队在比赛中互不影响），则西苑社区的“龙马”队和“风采”队同时获得冠军的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据独立事件的乘法公式得到关于的方程，解出值，则得到同时获得冠军的概率. 【详解】由题意得两队中只有一队获胜包含“龙马”队获胜“风采”队未获胜、“龙马”队未获胜“风采”队获胜； 则，解得． 所以两队同时获得冠军的概率为． 故选：C． 2．一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）．从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球．记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】C 【分析】围绕有放回抽样中的互斥事件、独立事件、概率加法公式三个核心概念，通过对样本空间的枚举和概率计算，逐一验证选项的正确性． 【详解】选项A：事件是第一次取出编号1，事件是两次编号之和为5， 二者存在公共样本点（第一次取1，第二次取4，同时满足E和G），即，因此事件E与事件G不互斥，A错误． 选项B：（第二次取1的样本点共6个）， （两次和为5的样本点为 ，共4个）， （同时满足第二次取1、两次和为5的样本点仅，共1个）， 验证得，因此事件与事件不相互独立，B错误． 选项C：， （两次和为奇数等价于两次取出的数一奇一偶，总样本数为）， （第一次取1为奇数，第二次需要取偶数才能让和为奇数，第二次可取，共3个样本点）， 验证得， 满足独立事件定义，因此事件与事件相互独立，C正确． 选项D：根据概率的加法公式， 其中（两次都取1的样本点仅1个）， 代入计算：，因此D错误． 3．某知识竞赛题库中有2道类题和2道类题.选手先随机抽取1道题作答（抽后不放回），若答对，则继续抽取下一道（仍不放回）；若答错，则立即终止.已知选手答对类题的概率为，答对类题的概率为，且每次答题结果相互独立.则选手恰好答对1道题的概率为__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式列式求解. 【详解】由选手恰好答对1道题，得第1题对，第2题错， 当第1题为A类题时，， 当第1题为B类题时，， 所以选手恰好答对1道题的概率为. 4．已知每门大炮射击一次击中某目标的概率是0.4，现在n门大炮向此目标各射击一次．如果此目标至少被击中一次的概率超过92%，那么至少需要大炮的门数是____________．（参考数据：，） 【答案】5 【分析】根据给定条件，利用对立事件及相互独立事件的概率公式列出不等式，再借助对数函数求解. 【详解】由每门大炮射击一次击中目标的概率是0.4，得此大炮没有击中目标的概率为， 由n门大炮射击是相互独立事件，得n门大炮都没有击中目标的概率为， 而“目标至少被击中一次”的对立事件是“目标一次都没有被击中”，则“目标至少被击中一次”的概率为 由目标至少被击中一次的概率超过92%，得不等式，即， 两边同时取常用对数，得，而， ， 不等式，又为正整数， 所以n的最小值为5，即至少需要大炮的门数是5． 5．某地区为了解市民的心理健康状况，随机抽取了位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分百分制按国家制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在中的市民有200人．心理测评评价标准 调查评分 心理等级 A (1)求的值及频率分布直方图中的值； (2)该地区主管部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只管发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数调查评分） (3)在抽取的心理等级为的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为的概率． 【答案】(1)， (2)不需要举办心理健康大讲堂活动，理由见详解 (3) 【分析】（1）根据调查评分在中的市民有200人，且频率为可求出的值，再由各组频率和为1列方程可求出的值； （2）根据频率分布直方图结合平均数的定义求出调查评分的平均值，再计算出心理健康指数比较即可； （3）根据频率分布直方图结合分层抽样的定义求出抽取的调查评分在和中的人数，然后根据相互独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）由已知条件可得， 又因为每组的小矩形的面积之和为1. 所以，解得； （2）由频率分布直方图可得， . 估计市民心理健康调查评分的平均值为80.7， 所以市民心理健康指数平均值为. 所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动. （3）由（1）知：，则调查评分在中的人数是调查评分在中人数的， 若按分层抽样抽取3人，则调查评分在中有1人，在中有2人， 设事件“在抽取的3人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为B”. 因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立， 所以. 故经心理疏导后恰有一人的心理等级转为B的概率为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.2　事件的相互独立性 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【例题精练】 【例1】某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13 s内（称为合格）的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检验，求： (1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)三人中恰有两人合格的概率． 【例2】根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立． (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率； (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率； (3)求一位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率． 【例3】有甲、乙、丙三支足球队互相进行比赛，每场都要分出胜负，已知甲队胜乙队的概率是0.4，甲队胜丙队的概率是0.3，乙队胜丙队的概率是0.5，现规定比赛顺序是：第一场甲队对乙队，第二场是第一场中的胜者对丙队，第三场是第二场中的胜者对第一场中的败者，以后每一场都是上一场中的胜者对前一场中的败者，若某队连胜四场则比赛结束，求： （1）第四场结束比赛的概率； （2）第五场结束比赛的概率. 【例4】溺水、触电等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，假设甲队每人回答问题的正确率均为，乙队每人回答问题的正确率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响． (1)求甲队总得分为3分的概率； (2)求甲队总得分为3分且乙队总得分为1分的概率． 【例5】甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译出密码的概率为0.8，乙破译出密码的概率为0.7.记事件：甲破译出密码，事件：乙破译出密码. (1)求甲、乙二人都破译出密码的概率； (2)求恰有一人破译出密码的概率； (3)小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下： 解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”，所以随机事件“密码被破译”可以表示为，所以. 请指出小明同学错误的原因，并给出正确解答过程. 【A组基础达标】 一、单选题 1．掷一枚骰子一次，设事件：“出现偶数点”，事件：“出现3点或6点”，则事件，的关系是 A．互斥但不相互独立 B．相互独立但不互斥 C．互斥且相互独立 D．既不相互独立也不互斥 2．已知事件和事件独立，若，则（   ） A．0.56 B．0.76 C．0.80 D．0.96 3．甲乙两人投篮投中的概率分别为，，已知两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是（     ） A． B． C． D． 4．甲、乙两名选手进行围棋比赛，已知每局比赛结果只有胜负两种，且甲每局获胜的概率为若比赛采用局胜制先胜局者赢得比赛，则甲赢得比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 5．已知甲、乙两名运动员击中目标的概率分别为，，且2人是否击中目标相互独立，若他们2人向目标各发1枪，则目标被击中的概率为（    ） A． B． C． D． 6．某地有四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是同样也假定受，和感染的概率都是在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（    ） A．A与B独立 B．B与C对立 C． D． 8．甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，．若他们3人分别向目标各发一枪，且他们相互之间没有影响，则这3枪中（     ） A．至少有一枪命中目标的概率为 B．恰好有一枪命中目标的概率为 C．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让甲打第2枪 D．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让丙打第2枪 三、填空题 9．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________． 10．早期的生成式人工智能原理是“单字接龙”，人工智能模型会进行“算法预测”．例如输入“白日”之后，系统会检索文本库中包含“白日”的词语或短句，假设文本库中包含“白日”的词语或短句只有“白日梦”和“白日依山尽”，且二者在文本库中出现的频率为0.8和0.2，则模型下一个字输出“梦”和“依”的概率分别为0.8和0.2，依此类推生成下一个汉字．假设有一个简化的人工智能模型，仅能生成四个汉字，生成每个汉字之前都需要对前面的所有汉字进行“算法预测”，并且每一步判断是相互独立的．该人工智能模型的文本库如下： 人大附小 人民英雄 人大附中集团校 人大附中 人才济济 人大代表 人民大学 人大附幼儿园 地灵人杰 学为人师 助人为乐 人大附中东门 输入“人”后，下一个字输出“大”的概率为___________； 输入“人”后，最终输出结果为“人大附中”的概率为___________． 四、解答题 11．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 12．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设，为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【B组能力提升】 1．为丰富老年人的精神文化生活，提高老年人的生活幸福指数，某街道举办以社区为代表队的老年门球比赛，比赛分老年男组和老年女组，男女组分别进行淘汰赛．经过多轮淘汰后，西苑社区的老年男子“龙马”队和老年女子“风采”队都进入了决赛．按照以往的比赛经验，在决赛中“龙马”队获胜的概率为，“风采”队获胜的概率为，（“龙马”队和“风采”队两队中只有一支队伍获胜的概率为（“龙马”队和“风采”队在比赛中互不影响），则西苑社区的“龙马”队和“风采”队同时获得冠军的概率为（    ） A． B． C． D． 2．一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）．从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球．记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 3．某知识竞赛题库中有2道类题和2道类题.选手先随机抽取1道题作答（抽后不放回），若答对，则继续抽取下一道（仍不放回）；若答错，则立即终止.已知选手答对类题的概率为，答对类题的概率为，且每次答题结果相互独立.则选手恰好答对1道题的概率为__________. 4．已知每门大炮射击一次击中某目标的概率是0.4，现在n门大炮向此目标各射击一次．如果此目标至少被击中一次的概率超过92%，那么至少需要大炮的门数是____________．（参考数据：，） 5．某地区为了解市民的心理健康状况，随机抽取了位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分百分制按国家制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在中的市民有200人．心理测评评价标准 调查评分 心理等级 A (1)求的值及频率分布直方图中的值； (2)该地区主管部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只管发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数调查评分） (3)在抽取的心理等级为的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为的概率． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $