10.2 事件的相互独立性（二） 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.2 事件的相互独立性（二） 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 1.甲、乙、丙三名同学参加英语听力测试，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为p，，，三人达标与否互不影响.若三人中有人达标但没有全部达标的概率为，则p等于（　　） A. B. C. D. 2.种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p和q，则恰有一株成活的概率为（　　） A.pq B.p＋q C.p＋q－pq D.p＋q－2pq 3.若M，N是两个相互独立事件，P（M），P（N）分别表示它们发生的概率，则1－P（M）P（N）表示（　　） A.事件M，N同时发生的概率 B.事件M，N至多有一个发生的概率 C.事件M，N至少有一个发生的概率 D.事件M，N都不发生的概率 4.某校举办航天知识竞赛，竞赛设置了A，B，C三道必答题目.已知某同学答对A，B，C题目的概率分别为0.8，0.7，0.5，且各题是否回答正确相互独立，则该同学最多有两道题目回答正确的概率为（　　） A.0.56 B.0.72 C.0.89 D.0.92 5.（2025·福建莆田高一月考）如图所示，电路中5个格子表示保险匣，格子中所示数据表示通电时保险丝熔断的概率，各保险丝是否熔断相互独立，则当开关闭合时，电路为通路的概率是（　　） A. B. C. D. 6.某校组织知识竞赛，最终A，B两队进入决赛，两队各由三名选手组成，每局两队各派一名选手出战，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为（　　） A. B. C. D. 7.一个旅行团到某地旅游，有百花村与云洞岩两个景点可供选择，该旅行团选择去哪个景点互不影响.若旅行团选择两个景点都去的概率是，只去百花村不去云洞岩与只去云洞岩不去百花村的概率相等，则旅行团选择去百花村的概率是（　　） A. B. C. D. 8.事件A，B是相互独立的，P（A）＝0.4，P（B）＝0.3.下列四个式子：①P（AB）＝0.12；②P（B）＝0.18；③P（）＝0.28；④P（）＝0.42.其中正确的有（　　） A.4个 B.2个 C.3个 D.1个 9.（多选）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果：记A＝“Ⅰ号骰子出现的点数为1”，B＝“Ⅱ号骰子出现的点数为2”，C＝“两个点数之和为8”，D＝“两个点数之和为7”，则 （　　） A.A与B相互独立 B.A与D相互独立 C.B与C相互独立 D.C与D相互独立 10.（多选）某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券.奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动.若两次兑奖活动的中奖概率都是 0.05，则两次抽奖中（　　） A.都抽到某一指定号码的概率为0.05 B.都没有抽到某一指定号码的概率为0.95 C.恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095 D.至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.097 5 二、填空题 11.某天下午，小李要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他准备用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是 . 12.甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，恰有一人命中的概率是 . 13.某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中进行比赛，采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束，不会出现平局）.第一局独孤队获胜的概率为0.4，独孤队队员的表现受情绪影响较大，若前一局获胜，则下一局获胜概率增加0.1，反之降低0.1，且各局的结果相互独立，则独孤队不超过四局就能赢得比赛的概率为 . 三、解答题 14.面对某种流感病毒，各国医疗研究机构都在研制疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内研制出疫苗的概率分别是，，.求： （1）他们能研制出疫苗的概率； （2）至多有一个机构研制出疫苗的概率. 15.计算机考试分理论与实际操作两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？ （2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率. 16.为刺激消费，某市给市民发放面额为100元的旅游消费券，通过抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点游玩时的消费额及其概率如下表所示： 消费额 年龄段 200元 300元 400元 500元 老年 0.4 0.3 0.2 0.1 中年 0.3 0.4 0.2 0.1 青年 0.3 0.3 0.2 0.2 某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点游玩.求： （1）这三人恰有两人的消费额不少于300元的概率； （2）这三人的消费总额大于或等于1 300元的概率. 参 考 答 案 一、选择题 1.甲、乙、丙三名同学参加英语听力测试，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为p，，，三人达标与否互不影响.若三人中有人达标但没有全部达标的概率为，则p等于（　C　） A. B. C. D. 解析： 事件“三人中有人达标但没有全部达标”的对立事件为“三人都达标或全部没有达标”，则×p＋××（1－p）＝1－，解得p＝. 2.种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p和q，则恰有一株成活的概率为（　D　） A.pq B.p＋q C.p＋q－pq D.p＋q－2pq 解析： 恰有一株成活的概率为p（1－q）＋（1－p）q＝p－pq＋q－pq＝p＋q－2pq. 3.若M，N是两个相互独立事件，P（M），P（N）分别表示它们发生的概率，则1－P（M）P（N）表示（　B　） A.事件M，N同时发生的概率 B.事件M，N至多有一个发生的概率 C.事件M，N至少有一个发生的概率 D.事件M，N都不发生的概率 解析： ∵事件M，N同时发生的对立事件为事件M，N至多有一个发生，M，N是两个相互独立事件，∴事件M，N至多有一个发生的概率为1－P（MN）＝1－P（M）P（N）.　 4.某校举办航天知识竞赛，竞赛设置了A，B，C三道必答题目.已知某同学答对A，B，C题目的概率分别为0.8，0.7，0.5，且各题是否回答正确相互独立，则该同学最多有两道题目回答正确的概率为（　B　） A.0.56 B.0.72 C.0.89 D.0.92 解析： 该同学A，B，C三道必答题目都回答正确的概率为P1＝0.8×0.7×0.5＝0.28，故该同学最多有两道题目回答正确的概率为P＝1－P1＝1－0.28＝0.72. 5.（2025·福建莆田高一月考）如图所示，电路中5个格子表示保险匣，格子中所示数据表示通电时保险丝熔断的概率，各保险丝是否熔断相互独立，则当开关闭合时，电路为通路的概率是（　D　） A. B. C. D. 解析： 当开关合上时，电路为通路即表示左边至中间为通路且中间至右边为通路，左边至中间为通路的概率为P1＝1－×＝，中间至右边为通路的概率为P2＝1－×＝，∴电路为通路的概率为P＝P1P2＝×＝. 6.某校组织知识竞赛，最终A，B两队进入决赛，两队各由三名选手组成，每局两队各派一名选手出战，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为（　C　） A. B. C. D. 解析： 比赛结束时A队的得分高于B队的得分包含三种情况：①A全胜；②第一局A胜，第二局B胜，第三局A胜；③第一局B胜，第二局A胜，第三局A胜，∴比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率P＝＋××＋×× ＝. 7.一个旅行团到某地旅游，有百花村与云洞岩两个景点可供选择，该旅行团选择去哪个景点互不影响.若旅行团选择两个景点都去的概率是，只去百花村不去云洞岩与只去云洞岩不去百花村的概率相等，则旅行团选择去百花村的概率是（　A　） A. B. C. D. 解析： 设事件A＝“旅行团选择去百花村”，事件B＝“旅行团选择去云洞岩”，A，B相互独立，则P（AB）＝，P（）＝P（B）.设P（A）＝x，P（B）＝y，则解得或（舍去），故旅行团选择去百花村的概率是. 8.事件A，B是相互独立的，P（A）＝0.4，P（B）＝0.3.下列四个式子：①P（AB）＝0.12；②P（B）＝0.18；③P（）＝0.28；④P（）＝0.42.其中正确的有（　A　） A.4个 B.2个 C.3个 D.1个 解析： 事件A，B是相互独立的，P（A）＝0.4，P（B）＝0.3，在①中，P（AB）＝P（A）P（B）＝0.4×0.3＝0.12，①正确；在②中，P（B）＝P（）P（B）＝0.6×0.3＝0.18，②正确；在③中，P（）＝P（A）P（）＝0.4×0.7＝0.28，③正确；在④中，P（）＝P（）P（）＝0.6×0.7＝0.42，④正确. 9.（多选）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果：记A＝“Ⅰ号骰子出现的点数为1”，B＝“Ⅱ号骰子出现的点数为2”，C＝“两个点数之和为8”，D＝“两个点数之和为7”，则 （　AB　） A.A与B相互独立 B.A与D相互独立 C.B与C相互独立 D.C与D相互独立 解析： 对于A，事件A发生与否和事件B发生与否互不影响，∴A与B相互独立，A正确；对于B，P（A）＝，P（D）＝，P（AD）＝，∴P（AD）＝P（A）P（D），∴A与D相互独立，B正确；对于C，∵P（BC）＝，P（B）P（C）＝×≠，B与C不相互独立，C错误；对于D，P（CD）＝0≠P（C）P（D），∴C与D不相互独立，D错误. 10.（多选）某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券.奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动.若两次兑奖活动的中奖概率都是 0.05，则两次抽奖中（　CD　） A.都抽到某一指定号码的概率为0.05 B.都没有抽到某一指定号码的概率为0.95 C.恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095 D.至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.097 5 解析： 记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”为事件AB.由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立.于是由事件的相互独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0.05×0.05＝0.002 5.同理“两次抽奖都没有抽到某一指定号码”的概率为P（）＝P（）P（）＝0.95×0.95＝0.902 5；“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（）∪（B）表示.由于事件与B互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，得所求的概率为P（）＋P（B）＝P（A）P（）＋P（）P（B）＝0.05×（1－0.05）＋（1－0.05）×0.05＝0.095；“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可用（AB）∪（）∪（B）表示.由于事件AB，和B两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，得所求的概率为P（AB）＋P（）＋P（B）＝0.002 5＋0.095＝0.097 5，∴A，B错误，C，D正确. 二、填空题 11.某天下午，小李要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他准备用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是　0.98　. 解析： 至少有一个准时响的概率为1－（1－0.90）×（1－0.80）＝1－0.10×0.20＝0.98. 12.甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，恰有一人命中的概率是　　. 解析： 设A，B分别表示事件“一次投篮中甲命中”和“一次投篮中乙命中”，∴P（A）＝，P（B）＝，则甲、乙两人各投篮一次，恰有一人命中的概率为P（∪B）＝P（）＋P（B）＝×＋×＝. 13.某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中进行比赛，采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束，不会出现平局）.第一局独孤队获胜的概率为0.4，独孤队队员的表现受情绪影响较大，若前一局获胜，则下一局获胜概率增加0.1，反之降低0.1，且各局的结果相互独立，则独孤队不超过四局就能赢得比赛的概率为　0.236　. 解析： 设Ai（i＝1，2，3，4）为独孤队第i局获胜，由题意，独孤队不超过四局就赢得比赛的可能结果为四个互斥事件A1A2A3，A1A2A4，A1A3A4，A2A3A4，∴所求概率P＝P（A1A2A3）＋P（A1A2A4）＋P（A1A3A4）＋P（A2A3A4）＝0.4×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.4×0.5＋0.4×0.5×0.4×0.5＋0.6×0.3×0.4×0.5＝0.236. 三、解答题 14.面对某种流感病毒，各国医疗研究机构都在研制疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内研制出疫苗的概率分别是，，.求： （1）他们能研制出疫苗的概率； 解：（1）设“A机构在一定时期内研制出疫苗”为事件D，“B机构在一定时期内研制出疫苗”为事件E，“C机构在一定时期内研制出疫苗”为事件F，则P（D）＝，P（E）＝，P（F）＝， ∴他们能研制出疫苗的概率P＝1－P（）＝1－××＝. （2）至多有一个机构研制出疫苗的概率. 解：（2）至多有一个机构研制出疫苗的概率为 P（∪∪F∪）＝P（）＋P（）＋P（F）＋P（）＝××＋××＋××＋××＝. 15.计算机考试分理论与实际操作两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？ 解：（1）记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则P（A）＝×＝，P（B）＝×＝，P（C）＝×＝.∵P（C）＞P（B）＞P（A），∴丙获得合格证书的可能性最大. （2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率. 解：（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，由题易知三人是否获得合格证书相互独立，则P（D）＝P（）＋P（C）＋P（BC）＝××＋××＋××＝. 16.为刺激消费，某市给市民发放面额为100元的旅游消费券，通过抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点游玩时的消费额及其概率如下表所示： 消费额 年龄段 200元 300元 400元 500元 老年 0.4 0.3 0.2 0.1 中年 0.3 0.4 0.2 0.1 青年 0.3 0.3 0.2 0.2 某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点游玩.求： （1）这三人恰有两人的消费额不少于300元的概率； 解：（1）设三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率为P1，则P1＝（0.7）2×0.4＋2×0.3×0.7×0.6＝0.448. （2）这三人的消费总额大于或等于1 300元的概率. 解：（2）消费总额为1 500元的概率是0.1×0.1×0.2＝0.002， 消费总额为1 400元的概率是（0.1）2×0.2＋2×（0.2）2×0.1＝0.010，消费总额为 1 300元的概率是（0.1）2×0.3＋0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋（0.2）3＋2×（0.2）2×0.1＝0.033，0.002＋0.010＋0.033＝0.045， ∴消费总额大于或等于1 300元的概率是0.045. 学科网（北京）股份有限公司 $