10.2 事件的相互独立性（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

10.2　事件的相互独立性 基础过关练 题组一　相互独立事件的判断 1.(多选题)(2024河北秦皇岛联考)下列各对事件中,不是相互独立事件的有(　　) A.运动员甲射击一次,“射中10环”与“射中9环” B.甲、乙两名运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环” C.甲、乙两名运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标” D.甲、乙两名运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标” 2.(多选题)(2025湖南怀化期末)已知事件A,B满足P(A)=0.5,P(B)=0.2,则下列结论正确的是　(　　) A.若B⊆A,则P(AB)=0.5 B.若A与B互斥,则P(A+B)=0.7 C.若P(AB)=0.1,则A与B相互独立 D.若A与B相互独立,则P(A)=0.9 3.(2025四川成都期中)一个正八面体,八个面分别标以数字1到8,任意抛掷一次这个正八面体,观察它与地面接触的面上的数字,得到样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6,7,8},记事件A=“得到的点数为奇数”,事件B=“得到的点数不大于4”,事件C=“得到的点数为质数”,则下列说法正确的是(　　) A.事件B与C互斥　　 B.P(A∪B)= C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)　　 D.A,B,C两两相互独立 4.(教材习题改编)从甲、乙两名男生,丙、丁两名女生中随机选两人参加某比赛,事件A表示“甲被选中”,事件B表示“乙没被选中”,事件C表示“被选中的两个人性别相同”,则(　　) A.A与B互斥　　B.A与B独立　　 C.A与C互斥　　D.A与C独立 题组二　相互独立事件的概率计算 5.(2025辽宁沈阳五校协作体期中)已知事件A,B相互独立,且P(A)=,P(B)=,则P()=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 6.(多选题)(2024辽宁丹东期末)已知事件A,B相互独立,且P(B)=,P(AB)=,则(　　) A.P(A)=　　B.P(B)= C.P(A)=　　D.P()= 7.(2025福建漳州三中期中)甲、乙两人独立地破译一份密码,已知两人能破译的概率分别是,,则(　　) A.两人均成功破译的概率为 B.恰有一人成功破译的概率为 C.密码被成功破译的概率为 D.密码破译失败的概率为 8.(2025四川内江一中开学考试)某高校的入学面试中有3道难度相当的题目,李华答对每道题目的概率都是,若每位面试者共有三次机会,一旦某次答对抽到的题目,则面试通过,否则就一直抽题到第3次为止,假设对抽到的不同题目能否答对相互独立,则李华最终通过面试的概率为　　　　.  9.(2025江西九江期末)如图,某电子元件由A,B,C三种部件组成,现将该电子元件应用到某研发设备中,经过反复测试,A,B,C三种部件不能正常工作的概率分别为,,,各个部件是否正常工作相互独立,A,B同时正常工作或C正常工作则该电子元件能正常工作,那么该电子元件能正常工作的概率是　　　　.  10.(2024山东青岛模拟)某人上楼梯,每步上1阶的概率为,每步上2阶的概率为,则此人从第1阶台阶出发,到达第3阶台阶的概率为　　　　.  11.(2024广西南宁第三中学月考)某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为,,,若对这三名短跑运动员的100 m跑的成绩进行一次检验,求: (1)三人都合格的概率; (2)三人都不合格的概率; (3)三人中恰有两人合格的概率. 12.(2025海南中学月考)小明和小王两名同学组成诗词挑战杯代表队参加市相关部门组建的猜诗词大会,每轮挑战由小明、小王各猜1句诗词,已知小明每轮猜对的概率为,小王每轮猜对的概率为.在每轮活动中,小明和小王猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响. (1)求小明在两轮活动中恰好猜对1句诗词的概率; (2)求诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词的概率. 能力提升练 题组　相互独立事件的概率计算 1.(2025江西新九校协作体期中)已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题,甲队独立攻克该难题的概率为,甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为,则该难题被攻克的概率为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 2.(2025辽宁沈阳重点高中联合体期中)设事件A={1,2},事件B={1,3},已知事件A与事件B相互独立,则样本空间Ω可能是(　　) A.{1,2,3}　　B.{1,2,3,4}　　 C.{1,2,3,4,5}　　D.{1,2,3,4,5,6} 3.(多选题)(2024湖北鄂州二中期中)甲、乙两人准备各买一部手机,购买A品牌手机的概率分别为0.8,0.9,购买黑色手机的概率分别为0.7,0.5,若甲、乙两人购买哪种品牌、哪种颜色的手机相互独立,则(　　) A.甲、乙两人恰有一人购买A品牌手机的概率为0.26 B.甲购买A品牌手机,但不是黑色的概率为0.24 C.甲、乙两人都没有购买黑色手机的概率为0.3 D.甲、乙两人至少有一人购买A品牌黑色手机的概率为0.758 4.(2025河南驻马店段考)甲、乙两人进行一场比赛,且比赛中不存在平局,先赢三局者获胜,并可以获得200元奖金.已知甲、乙两人在每局比赛中获胜的可能性均相同.已知甲连赢两局,乙一局未赢时,因某种特殊情况需要终止比赛.现将200元奖金按两人最终获胜的可能性的比例进行分配,则甲应该分得　　　　元.  5.(2024天津红桥模拟)某同学高考后参加国内3所名牌大学A,B,C的“强基计划”招生考试.已知该同学能通过这3所大学的“强基计划”招生考试的概率分别为x,y,,其中x,y>0,该同学能否通过这3所大学的“强基计划”招生考试相互独立,且该同学恰好能通过其中2所大学的“强基计划”招生考试的概率为,则该同学至少通过1所大学的“强基计划”招生考试的概率为　　　　;该同学恰好通过A,B两所大学的“强基计划”招生考试的概率的最大值为　　　　.  6.(2025河北保定月考)甲、乙两位队员进行某种球类对抗赛,每局依次轮流发球,连续赢2个球者获胜,通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知,甲发球甲赢的概率为,乙发球甲赢的概率为,不同球的结果互不影响,已知某局甲先发球. (1)求该局打4个球甲赢的概率; (2)求该局打5个球结束的概率. 答案与分层梯度式解析 10.2　事件的相互独立性 基础过关练 1.ACD 2.BC 3.C 4.D 5.B 6.ACD 7.C 1.ACD　对于A,两个事件不可能同时发生,二者不相互独立;对于B,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;对于C,两事件不可能同时发生,二者不相互独立;对于D,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B,则AB=B,因为P(A)≠1,所以P(AB)≠P(A)P(B),故事件A,B不相互独立. 2.BC　对于A,由B⊆A,得P(AB)=P(B)=0.2,因此A错误;对于B,由A与B互斥,得P(A+B)=0.5+0.2=0.7,因此B正确;对于C,由P(AB)=0.1=0.5×0.2,得P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立,因此C正确;对于D,由A与B相互独立,得A,相互独立,则P(A)=P(A)P()=0.5×0.8=0.4,因此D错误. 3.C　由题意得,事件A包含的样本点为1,3,5,7,事件B包含的样本点为1,2,3,4,事件C包含的样本点为2,3,5,7. 对于A,事件B与C均包含样本点2,3,所以不互斥,因此A错误; 对于B,事件A∪B中样本点个数为6,所以P(A∪B)==,因此B错误; 对于D,易知P(A)==,P(C)==,且事件AC包含的样本点为3,5,7,则P(AC)=, 因为P(AC)≠P(A)P(C),所以事件A与C不相互独立,因此D错误; 对于C,因为事件ABC包含的样本点为3,所以P(ABC)=,又P(B)==,所以P(ABC)=P(A)P(B)P(C),因此C正确. 4.D　随机选两人参加比赛,样本空间Ω={(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁)},则n(Ω)=6, A={(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁)},则n(A)=3, ∴P(A)==, B={(甲,丙),(甲,丁),(丙,丁)},则n(B)=3, ∴P(B)==, C={(甲,乙),(丙,丁)},则n(C)=2, ∴P(C)==, AB={(甲,丙),(甲,丁)},则n(AB)=2, ∴P(AB)==, AC={(甲,乙)},则n(AC)=1, ∴P(AC)==. 对于A,∵n(AB)=2≠0,∴A与B不互斥,故A错误; 对于B,∵P(AB)≠P(A)P(B),∴A与B不独立,故B错误; 对于C,∵n(AC)≠0,∴A与C不互斥,故C错误; 对于D,∵P(AC)=P(A)P(C),∴A与C独立,故D正确. 5.B　因为事件A,B相互独立,所以,也相互独立, 又P(A)=,P(B)=, 所以P()=P()P()=[1-P(A)][1-P(B)]=×=. 6.ACD　由题意得 解得P(A)=,P(B)=,A正确,B错误; P(A)=P(A)[1-P(B)]=×=,C正确; P()=[1-P(A)][1-P(B)]=×=,D正确. 7.C　对于A,两人均成功破译的概率为×=,因此A错误; 对于B,恰有一人成功破译的概率为×+×=,因此B错误; 对于C,密码被成功破译的概率为1-×=1-×=,因此C正确; 对于D,密码破译失败的概率为×=,因此D错误. 8.答案　 解析　设“李华答对第i道题”为事件Ai(i=1,2,3),则Ai相互独立,且P(Ai)=. 设“李华最终通过面试”为事件M,则=,(点拨:正难则反) 所以P()==,所以P(M)=1-=. 9.答案　 解析　设A,B同时正常工作为事件M,(点拨:串联从能正常工作(一种情况)入手) 则P(M)=×=. 设C正常工作为事件N,该电子元件能正常工作为事件E,则=,(点拨:并联从不能正常工作(一种情况)入手) 则P()=P()P(),即1-P(E)=×=,因此P(E)=,即该电子元件能正常工作的概率是. 10.答案　 解析　到达第3阶台阶的方法有两种: ①走两步,每步上一阶台阶,其概率为×=; ②只走一步且一步上两阶台阶,其概率为. 故到达第3阶台阶的概率为+=. 11.解析　设甲、乙、丙三人100 m跑的成绩合格分别为事件A,B,C,则事件A,B,C相互独立,且P(A)=,P(B)=,P(C)=. (1)三人都合格的概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=××=. (2)三人都不合格的概率为P()=P()P()P()=××=. (3)三人中恰有两人合格的概率为P(AB)+P(AC)+P(BC)=××+××+××=. 12.解析　设“小明第i轮猜对诗词”为事件Ai,“小王第i轮猜对诗词”为事件Bi(i=1,2),则P(Ai)=,P(Bi)=. (1)设“小明在两轮活动中恰好猜对1句诗词”为事件E,则E=A1+A2, 因此P(E)=×+×=. (2)设事件M1,M2分别表示小明两轮猜对1句,2句诗词,事件N1,N2分别表示小王两轮猜对1句,2句诗词,则P(M1)=,P(M2)==, 同理P(N1)=×+×=,P(N2)==. 设事件F=“诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词”,则F=M1N2∪M2N1, 所以P(F)=P(M1N2)+P(M2N1)=×+×=, 即诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词的概率是. 能力提升练 1.B 2.B 3.ABD 1.B　设A表示“甲队独立攻克该难题”,B表示“乙队独立攻克该难题”,则P(A)=,设P(B)=p, 由题意可得P(A+B)=,即P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=(1-p)+p=,解得p=, 所以该难题被攻克的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-×=. 2.B　设样本空间Ω含有n个样本点,由已知可得,AB={1},则P(AB)=. 因为事件A与事件B相互独立,所以P(A)P(B)=P(AB),即·=,解得n=4,结合选项可知B符合题意. 3.ABD　对于A,甲、乙两人恰有一人购买A品牌手机的概率为0.8×0.1+0.2×0.9=0.26,故A正确; 对于B,甲购买A品牌手机,但不是黑色的概率为0.8×0.3=0.24,故B正确; 对于C,甲、乙两人都没有购买黑色手机的概率为0.3×0.5=0.15,故C错误; 对于D,甲购买A品牌黑色手机的概率为0.8×0.7=0.56,乙购买A品牌黑色手机的概率为0.9×0.5=0.45,则甲、乙两人至少有一人购买A品牌黑色手机的概率为1-(1-0.56)×(1-0.45)=0.758,故D正确. 4.答案　175 解析　由题意,如果比赛继续,乙要连赢三局才能获胜, 因为甲、乙两人在每局比赛中获胜的可能性均相同, 所以乙连赢三局的概率为××=,甲获胜的概率为1-=, 所以甲应该分得×200=175(元). 5.答案　; 解析　该同学恰好能通过其中2所大学的“强基计划”招生考试的概率P=xy+x(1-y)+y(1-x)=x+y-xy=, ∴该同学至少通过1所大学的“强基计划”招生考试的概率为1-(1-x)(1-y)=+x+y-xy=+=. 该同学恰好通过A,B两所大学的“强基计划”招生考试的概率为xy, 由x+y-xy=,得x+y-xy=, ∴x+y=+xy≥2(当且仅当x=y时,等号成立), 即xy-2+≥0, 解得xy≤或xy≥, ∵0<x<1,0<y<1, ∴0<xy<1,∴0<xy≤, ∴0<xy≤. ∴该同学恰好通过A,B两所大学的“强基计划”招生考试的概率的最大值为. 6.解析　(1)设甲发球甲赢为事件A,乙发球甲赢为事件B,该局打4个球甲赢为事件C, 由题意可知P(A)=,P(B)=,P()=,P()=,且C=AAB, 可得P(C)=P(AAB)=P(A)P()P(A)P(B)=×××=, 所以该局打4个球甲赢的概率为. (2)设该局打5个球结束时甲赢为事件D,乙赢为事件E,打5个球结束为事件F, 则事件D,E为互斥事件,且D=BBA,E=AA,F=D∪E, 故P(D)=P(BBA)=P()P(B)P()P(B)P(A)=××××=, P(E)=P(AA)=P(A)P()P(A)P()P()=××××=, 所以P(F)=P(D∪E)=P(D)+P(E)=+=, 所以该局打5个球结束的概率为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $