上海市实验学校2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

上海市实验学校2025学年第二学期高二数学期末考试 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．设全集，，则________． 2．不等式的解集为________． 3．的展开式中的系数为________． 4．已知，则的最小值为________． 5．已知，则_____． 6．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________． 7．已知，则________． 8．一个总体分为、两层，其个体数之比为4∶1，用分层抽样方法从总体中的抽取一个容量为10的样本，已知层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数是________． 9．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则________． 10．设集合，的子集满足，，这样的子集的个数为________． 11．设27元集合，，、分别为空间直角坐标系轴、轴、轴正方向的单位向量．是中所有元素的一个排列，满足，这样的排列的个数为________．（结果用数字作答） 12．设随机变量，（其中，表示、中的较大者）．已知的均值，则的方差________． 二、（本大题满分18分）本大题共4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分． 13．已知四组不同数据的两个变量的线性相关系数如下： 数据组①的相关系数； 数据组②的相关系数； 数据组③的相关系数； 数据组④的相关系数． 则下列说法正确的是（ ） A．数据组①对应的数据点都在同一直线上 B．数据组②中的两个变量线性相关性最强 C．数据组③中的两个变量线性相关性最强 D．数据组④中的两个变量线性相关性最强 14．已知，则“”是“事件与事件互相独立”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知，且，对任意均有，则（ ） A．， B．， C．， D．， 16．已知定义在上的函数的导函数为．有以下两个结论： ①对任意实数，均存在实数，，满足且； ②若在上为严格增函数，且不等式的解集为，则函数在上为增函数． 则下列说法正确的是（ ） A．①正确，②正确 B．①不正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②不正确 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 上海市实验学校进行一次校内常规体检后，该校的数学建模活动小组学生随机抽取了10名学生体重数据（单位：）：55，58，62，74，88，68，54，52，56，86． （1）求该组数据的极差和第25百分位数； （2）依据体检数据，求得这10名学生体重（单位：）关于身高（单位：）的回归方程为，已知这10名学生身高（单位：）的平均数为176.3，求的值（精确到0.1）． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 如图，在三棱柱中，，为的中点，，． （1）求证：平面； （2）若平面，点在棱上，且平面，求直线与平面所成角的正弦值． 19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 设函数（，，）． （1）设，，，求的极值； （2）设为偶数，，，求的最小值和最大值； （3）设，若对任意，，有，求的取值范围． 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 在上海市实验学校举办的体育节乒乓球活动中，甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是（），各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局． （1）时，若两人共进行5局比赛．设两人所赢局数之差的绝对值为，求的概率； （2）时，若两人共进行（，）局比赛．记事件表示“在前局比赛中甲赢了（）局”．事件表示“甲最终获胜”．请写出，，，的值（直接写出结果即可）； （3）若两人共进行了（）局比赛，甲获胜的概率记为．当时，试判断与的大小，并说明理由． 21．（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分14分． 对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知，且的不动点的集合为．以和分别表示集合中的最小元素和最大元素． （1）若，求的元素个数及； （2）当恰有一个元素时，的取值集合记为． （ⅰ）求集合； （ⅱ）若，数列满足，．求证：对任意，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市实验学校2025学年度 第二学期高二数学学科期末考试 答案 （考试时间：120分钟） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题. 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．设全集，，则 ． 【答案】． 2．不等式的解集为 ． 【答案】． 3．的展开式中的系数为 ． 【答案】40． 4．已知，则的最小值为 ． 【答案】1． 5．已知，则________． 【答案】． 6．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________． 【答案】． 7．已知，则 ． 【答案】1或3． 8．一个总体分为A、B两层，其个体数之比为，用分层抽样方法从总体中的抽取一个容量为10的样本，已知层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数是_______． 【答案】40． 9．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ． 【答案】． 10．设集合，的子集满足,，这样的子集的个数为________． 【答案】888． 11．设27元集合，分别为空间直角坐标系轴、轴、轴正方向的单位向量．是中所有元素的一个排列，满足，这样的排列的个数为 ．（结果用数字作答） 【答案】． 解析：按照各1个，按照各3个，按照为6个．共有种． 12．设随机变量，（其中，表示中的较大者）．已知的均值，则的方差 ． 【答案】． 提示：利用． 二、（本大题满分18分）本大题共4题，每题有且只有一个正确答案. 考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分． 13．已知四组不同数据的两个变量的线性相关系数如下： 数据组①的相关系数； 数据组②的相关系数； 数据组③的相关系数； 数据组④的相关系数． 则下列说法正确的是（     ）． A．数据组①对应的数据点都在同一直线上 B．数据组②中的两个变量线性相关性最强 C．数据组③中的两个变量线性相关性最强 D．数据组④中的两个变量线性相关性最强 答案：B． 14．已知，则“”是“事件A与事件B互相独立”的（ ）． A．充分不必要条件； B．必要不充分条件； C．充要条件； D．既不充分也不必要条件． 答案：C． 15．已知a，bR且ab≠0，对任意均有，则（ ）． A． B． C． D． 答案：C． 16．已知定义在上的函数的导函数为．有以下两个结论： ①对任意实数，均存在实数，满足且； ②若在上为严格增函数，且不等式的解集为，则函数在上为增函数． 则下列说法正确的是（ ）． A．①正确，②正确 B．①不正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②不正确 答案：B． 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 上海市实验学校进行一次校内常规体检后，该校的数学建模活动小组学生随机抽取了10名学生体重数据（单位：kg）：55，58，62，74，88，68，54，52，56，86． （1）求该组数据的极差和第25百分位数； （2）依据体检数据，求得这10名学生体重（单位：kg）关于身高（单位：cm）的回归方程为，已知这10名学生身高（单位：cm）的平均数为176.3，求的值（精确到0.1）． 【答案】(1)36；55 (2) 【分析】（1）先将数据从小到大排列，进而最大值减最小值可得极差，利用求百分位数步骤可得第25百分位数； （2）先求，将代入回归方程可求； 【详解】（1）将数据从小到大排列：52，54，55，56，58，62，68，74，86，88， 故极差， 因不为整数，故第25百分位数是第三个数为55. （2）， 因回归方程为过样本中心点，故， 得 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 如图，在三棱柱中，为的中点， （1）求证：平面； （2）若平面点P在棱上，且平面, 求直线CP与平面所成角的正弦值． 【答案】证：（1）连接B与CB1底相交于点E，因四边形为平行四边形，所以点E是B的中点. ……2分 又因为的中点，故为的中位线，从而 ……4分 故由，得平面. ……6分 解：(2)由条件知两两垂直，故以点C为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系;则相关点的坐标为： …… 8分 设点则 从而由得 所以点 …… 10分 设平面的一个法向量为则 即 取得 …… 12分 设直线CP与平面所成的角为 则 …… 14分 19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 设函数． （1）设，求的极值； （2）设为偶数，，，求的最小值和最大值； （3）设，若对任意，有，求的取值范围． 解：（1），无极大值； （2）依题意，即，① ，即，② ①②得：， 当，时，；当时，； 的最小值为，最大值为； （3）解：当，若对任意，有， 等价于在上最大值与最小值之差，， 据此分类讨论如下： 当时，，； 当时，两极值点分别为， ①当时，即， 由对称性，最大值和最小值要么同时分别在处取得，要么同时分别在1，-1处取得； 只需，； ②若，则，无解； 综上所述，． 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 在上海市实验学校举办的体育节乒乓球活动中，甲､乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局． （1）时，若两人共进行5局比赛．设两人所赢局数之差的绝对值为，求的概率； （2）时，若两人共进行局比赛．记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”．事件表示“甲最终获胜”．请写出的值（直接写出结果即可）； （3）若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为．当时，试判断与的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析； 【详解】（1）解：； （2）当时，剩余2局最多赢2局，总赢局数，无法获胜，其概率为； 当时，需要赢剩余2局，其概率为； 当时，需要赢至少1局，其概率； 当时，已满足获胜条件，概率为. 故. （3）由全概率公式得 . 所以. 当时，. . 因为，所以，即． 21．（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分14分． 对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知，且的不动点的集合为．以和分别表示集合中的最小元素和最大元素． （1）若，求的元素个数及； （2）当恰有一个元素时，的取值集合记为． （i）求集合； （ii）若，数列满足，．求证：，． 【答案】(1)的元素个数为2， (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）当时，，其定义域为. 由得. 设，则， 当时，；当时，； 所以在单调递增；在单调递减， 注意到，所以在恰有一个零点，且， 又，所以，所以在恰有一个零点， 即在恰有一个不动点，在恰有一个不动点， 所以，所以的元素个数为， 又因为，所以. （2）（i）当时，由（1）知，有两个元素，不符合题意； 当时，，其定义域为， 由得. 设，，则， 设，则， ①当时，，所以在单调递增， 又，所以在恰有一个零点， 即在恰有一个不动点，符合题意； ②当，故恰有两个零点. 又因为，所以， 当时，；当时，； 当时，； 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增； 注意到，所以在恰有一个零点， 且， 又时，，所以在恰有一个零点， 从而至少有两个不动点，不符合题意； 所以的取值范围为，即集合. （ii）由（i）知，，所以， 此时，，，由（i）知，在单调递增， 所以，当时，，所以，即， 故若，则，因此，若存在正整数使得，则，从而， 重复这一过程有限次后可得，与矛盾，从而，， 下面我们先证明当时，， 设，， 所以，所以在单调递减， 所以， 即当时，， 从而当时，， 从而，即， 故，即， 由于，，所以，， 故， 故时，， 所以. 解法二：（i）当时，，故是的一个不动点； 当时，由，得（*）， 要使得恰有一个元素，即方程有唯一解，因此方程（*）无实数解， 即直线与曲线无公共点. 令，则，令， 则， 所以在单调递减，又因为，所以当时，，当时，， 所以当时，，当时， 所以在单调递增，在单调递减， 令，则，， 则 ， 又因为当时，，当时，， 所以曲线的大致图象如图所示： 由图可知，，所以的取值范围为，即集合. （ii）由（i）知，，所以， 此时，， 令，则， 令，当时，，所以在单调递增， 所以当时，，所以， 所以在单调递增，所以， 故若，则，因此，若存在正整数使得，则，从而， 重复这一过程有限次后可得，与矛盾，从而，. 下面先证明当时，. 令，则， 所以在单调递增，所以当时，，所以当时，. 所以， 由于，所以， 故，即， 故， 故时，. 所以. （ii）解法三：同解法一可得，. 下面我们先证明当时，. 设，则当时，，所以在单调递减，所以，即， 从而当时，， 于是， 从而，即， 故，即， 由于，所以， 故， 故时，. 所以. 2 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $