精品解析：2026年广东省梅州市兴宁市实验学校、宁江中学二模数学试题

九年级数学三模试卷 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 中国古代数学著作《九章算术》中最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算．若向东走记作，则向西走可记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵向东记为正， ∴向西记为负， ∴向西走记作． 2. 米斗是古代用于称量粮食的木质量器，其常见的造型为口大底小．如图是“米斗”的几何示意图，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由俯视图的定义可得“米斗”的俯视图是． 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】解：， 故． 4. 已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：设第三边为x，根据三角形三边关系：，即， 故只有符合． 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（ ） A. 4 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ∴ 又∵在方程中，，， ∴ 解得 6. 如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可． 【详解】解：A、如图： ∵，， ∴，和不互余，故本选项不符合题意； B、， ∴和互余，故本选项符合题意； C、∵， ∴和不互余，故本选项不符合题意； D、∵， ∴和互补，而不互余，故本选项不符合题意． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方差公式、有理数的乘方、积的乘方和同底数幂的乘法的运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A：，正确，符合题意； B：，原计算错误，不符合题意； C：，原计算错误，不符合题意； D：，原计算错误，不符合题意． 8. 某次考试中，每道单项选择题一般有4个选项，某同学有两道题不会做，于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答案，则该同学的这两道题全对的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查画树状图或列表格求概率、概率公式，画树状图得共有16种等可能的结果，其中这两道题全对有1种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：设每道题的四个选项分别为A、B、C、D，且选项A为正确答案， 画树状图如下： 由图可得，共有16种等可能的结果，其中这两道题全对有1种等可能的结果， ∴该同学的这两道题全对的概率是， 故答案为 ． 故选：D． 9. 如图，在中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定与性质逐一判断即可． 【详解】解：由作图可知，为的垂直平分线，为 的角平分线， ∵，， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意， ∵， ∴， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意， ∵为 的角平分线， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，故C选项正确，不符合题意， ∵，， ∴，故D选项错误，符合题意． 10. 甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地，甲车出发0.5小时后，乙车才沿相同的路线开始行驶，乙车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与甲车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离S与乙车行驶时间t的函数关系图象，则下列说法正确的是（ ） A. 乙车的速度为 B. 两地相距 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图像，分别求出甲、乙行驶的时间，速度，以及不同状态下两车之间的距离，再判断各项即可． 本题考查函数图像与行程问题，理解其数量关系是解题的关键． 【详解】解：A、由题意可知，折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离S与乙车行驶时间t的函数关系，则甲的行驶时间为， ∴甲用行驶了， ∴甲的速度为 由可知乙用追上了甲， 此时甲行驶了，路程是， ∴乙用了行驶了， ∴乙的速度是， 故A选项错误，不符合题意； B、由可知，时甲、乙两车相距， ∴，即A、B两地相距， 故B选项错误，不符合题意； C、，即甲、乙两车最远相距， 故C选项错误，不符合题意； D、∵乙车先达到B地并停留30分钟后， ∴， ∴，， ∴ ∴乙车出发与甲车相遇， 故D选项正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为零求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴． 12. 记者2026年5月8日从工信部获悉，今年推动新能源汽车下乡补贴政策实施以来，效果显著．4月，新能源汽车销售量超2000万辆，销售额近850亿元．其中2000万用科学记数法可表示为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：2000万. 13. 某中学开展“非遗文化进校园”系列活动，为了解学生对国家级非遗项目：彝族烟盒舞、阿细跳月、建水紫陶烧制技艺、蒙自过桥米线制作技艺的喜好情况，随机抽取500名学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成扇形统计图．根据图中信息，该校3000名学生中，喜爱“彝族烟盒舞”的学生大约有_____名． 【答案】 600 【解析】 【分析】利用该校总学生人数乘以扇形统计图中“彝族烟盒舞”的学生的占比即可． 【详解】解：根据题意可知，该校学生中，喜爱“彝族烟盒舞”的学生大约有（名）． 14. 数学活动课上，同学们用如图所示直径为的圆形材料加工成一种扇形模具部件，已知扇形的圆心角，则扇形部件的面积为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】先确定扇形的半径，再根据扇形面积公式进行面积计算． 【详解】解：连接， ∵， ∴是圆的直径，即． 在中，，根据勾股定理， ∴，解得：，即扇形半径． ∴． 15. 如图，点P是边长为2的正方形内部一点，且，点E是边的中点，将线段以点D为中心逆时针旋转得到线段，连结，，线段长度的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，可得，从而得到点Q在以为直径的圆上运动，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴，即， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动， 如图，取的中点H，连接，则， ∴， ∵， ∴当点E，H，Q在同一直线上时，取得最大值，最大值为的长，即． 三、解答题（一）（共3小题，每题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 17. 某校举办校园投篮比赛，九年级（1）班选拔甲、乙两名同学参加集训．两人近5次投篮训练成绩（单位：个）制作成如下不完整的统计图与统计表： 投篮训练成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 甲 8 b 乙 a 8 （1）补全条形统计图； （2）表中______，______． （3）根据计算结果，请你用相关统计知识分析谁更适合代表班级参赛． 【答案】（1） 补全条形统计图： ； （2）8，9 （3）甲乙两人平均数和中位数相同，乙的方差小于甲的方差，乙比甲发挥更稳定，所以乙更适合代表班级参赛答案不唯一，言之有理即可 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，平均数，中位数，方差的意义．关键是掌握这些知识进行解答． （1）根据平均数求出甲第5次、乙第3次的成绩，补全条形统计图； （2）按照中位数和众数的定义解答即可； （3）根据平均数，中位数，众数以及方差判断即可． 【小问1详解】 解：第5次甲的成绩：（个）， 第3次乙的成绩：（个）， 图略； 【小问2详解】 解：把乙的成绩从小到大排列为：6，7，8，8，8， ； 甲的成绩为：5，6，8，9，9， ∴， 故答案为：8，9； 【小问3详解】 略 18. 如图，菱形的对角线与相交于点O，E为边的中点，连接，若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的对角线互相垂直且平分，可得，再用勾股定理计算出，最后根据直角三角形斜边中线的性质求解． 【详解】解：在菱形中，， ， 由勾股定理得，， 为边的中点， ． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图， 是 的直径，是 的弦，点D是的中点．过点D作交的延长线于点E．四边形内接于 ，是 的直径，连接． （1）若，求 的度数； （2）求证：是的切线． 【答案】（1） （2）证明：如图，连接． ∵点D是的中点， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵ 是 的半径， ∴是 的切线． 【解析】 【分析】（1）证明 是等腰直角三角形，即可求解； （2）利用垂径定理求得，推出，即可得到，据此即可证明是 的切线； 【小问1详解】 解：如图，连接． ∵ 是 的直径， ∴ ． ∵， ∴， 则 是等腰直角三角形． ∴； 【小问2详解】 略 20. 综合与实践： A. 新增选项 项目 测量某塔的高度 方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：利用锐角三角函数，测量：距离，仰角，仰角． 测量示意图 测量 项目 第一次 第二次 平均值 测量 项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 （1）根据“方案一”的测量数据，求出塔的高度； （2）根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和锐角三角函数的实际应用． （1）由题意可知，从而得出，代入测量的平均值进行求解即可； （2）根据锐角三角函数的正切值分别得出，，再根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图， 由题意可知， ∴，即， 解得， ∴塔的高度为米； 【小问2详解】 解：如图， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，即． ∴米， ∴塔的高度为米． 21. 某中学光影社团计划利用光学原理，设计一款可变换的灯光投影装置． （1）基础支架的搭建：社团有两种长度不同的金属杆，分别记为A杆和B杆．已知A杆长度的2倍比B杆长度多70厘米；A杆长度比B杆长度的2倍少10厘米．求A杆和B杆各自的长度； （2）投影布的尺寸限制：社团决定选用两根A杆作为投影装置的主干竖直固定在地面，一根B杆两头固定于A杆顶部作为横杆．现有一块矩形的投影布，用两挂钩将其水平悬挂在横杆上（投影布竖直向下垂落）．设投影布上边缘与水平横杆的距离为x厘米．要求：x不大于5厘米；投影布下边缘距离地面不小于26厘米．已知投影布自身高度为20厘米，求x的取值范围； （3）光影图形的缩放：若（2）中投影布正好形成一个特定的矩形光屏，经测量此时投影布另一边长为25厘米．现在，社团利用凸透镜成像原理，将这个矩形光屏上的影像投射到远处的另一块幕布上．已知成像存在一个缩放比例因子k．由于光学畸变，实际成像的长与宽的缩放比例不同，遵循规律：长边的缩放倍率为k，宽边的缩放倍率为．若最终的成像面积为1920平方厘米，求缩放比例因子k的值． 【答案】（1）A杆的长度为，B杆的长度为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设A杆的长度为，B杆的长度为，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意列不等式求解即可； （3）根据题意列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设A杆的长度为，B杆的长度为， 根据题意，得， 解得， 答：A杆的长度为，B杆的长度为． 【小问2详解】 解：根据题意，横杆距地面， ∴投影布下边缘距地面： 根据题意，得， 解得， 又，， ∴． 【小问3详解】 解：根据题意，得 整理，得 解得或（舍去）． 即缩放比例因子． 五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 著名数学家华罗庚曾经用诗词表达了“数形结合”的思想，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： （1）【结论探究】从“数”的角度证明：； （2）【结论应用】用尺规作 ，使，，顶点A、B（A在第一象限，B在第三象限）都在反比例函数的图象上，AB经过原点O（保留作图痕迹，不用写作图步骤）； （3）请利用（1）的结论求出 的周长的最小值及此时点A的坐标． 【答案】（1）证明：， ， ． （2）解：如图所示即为所求． （3）周长最小值为，点A的坐标为 【解析】 【分析】（1）运用完全平方公式和非负数的性质即可证明； （2）作第一、三象限的角平分线，交双曲线于A、B两点，然后过点B作 的垂线，再以B为圆心，为半径画弧，交垂线于点C，连接 ， 即为所求； （3）根据锐角三角函数的定义可得，再利用勾股定理可得，进而推得，设A点坐标，利用 的长度公式结合第（1）问结论求出 的最小值，进而得出周长最小值及点A的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 证明：在 ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵A、B都在反比例函数的图象上， ∴设，则， ∴， 当且仅当，即 时， 取得最小值， ∴ 的周长的最小值为：，点A的坐标为． 23. 如图，抛物线y＝ax2﹣ax﹣12a经过点C(0，4)，与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q． （1）直接写出a的值以及A，B的坐标：a＝　 　，A （　 　，　 　），B （　 　，　 　）； （2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M(m，0)，试求PQ+PN的最大值； （3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）﹣，﹣3，0，4，0；（2）；（3）存在，Q(1，3)或Q(，) 【解析】 【分析】（1）先将C（0，4）代入y＝ax2﹣ax﹣12a可得a的值，然后令y＝0即可求得A、B坐标； （2）由OB＝OC可得∠CBO＝45°，即△PNQ是等腰直角三角形，PQ＝PN，故求PQ+PN最大值，只需求出PQ最大值，并用m表示出PQ，再求最值即可； （3）用m表示出△ACQ三边的长，分AC＝AQ、AC＝CQ 、AQ＝CQ三种情况解答即可． 【详解】解：（1）将C（0，4）代入y＝ax2﹣ax﹣12a得4＝﹣12a， ∴a＝﹣， ∴y＝﹣x2+x+4， 令y＝0得0＝﹣x2+x+4，解得x1＝4，x2＝﹣3， ∴A（﹣3，0），B（4，0）， 故答案为：﹣；﹣3，0；4，0； （2）∵y＝﹣x2+x+4， ∴令x＝0得y＝4， ∴C（0，4），OC＝4， 而B（4，0）有OB＝4， ∴OB＝OC，△BOC为等腰直角三角形， ∴∠CBO＝45°， ∵PM⊥x轴， ∴∠BQM＝45°＝∠PQC， ∵PN⊥BC， ∴△PQN是等腰直角三角形， ∴PQ＝PN， ∴PQ+PN＝2PQ， ∴PQ+PN取最大值即是PQ取最大值， 由C（0，4），B（4，0）可得BC解析式为y＝﹣x+4， ∵M（m，0）， ∴P（m，﹣m2+m+4），Q（m，﹣m+4）， ∴PQ＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣2）2+， ∴m＝2时，PQ最大值为， ∴PQ+PN的最大值为； （3）∵A（﹣3，0），C（0，4），Q（m，﹣m+4）， ∴AC＝＝5，AQ＝＝，CQ＝＝， 以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况： ①AC＝AQ时，＝5，解得m＝0（此时Q与C重合，舍去）或m＝1， ∴Q（1，3）； ②AC＝CQ时，＝5，解得m＝或m＝﹣（此时M不在线段OB上，舍去）， ∴Q（，）； ③AQ＝CQ时，＝，解得m＝12.5（此时M不在线段OB上，舍去）， 综上所述，以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，Q(1，3)或Q(，)． 【点睛】本题主要考查二次函数综合运用，解题的关键在于根据题意表示相关点的坐标、线段长度并运用列方程求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学三模试卷 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 中国古代数学著作《九章算术》中最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算．若向东走记作，则向西走可记作（ ） A. B. C. D. 2. 米斗是古代用于称量粮食的木质量器，其常见的造型为口大底小．如图是“米斗”的几何示意图，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 9 4. 已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（ ） A. 4 B. 0 C. D. 6. 如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是（ ） A. B. C. D. 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某次考试中，每道单项选择题一般有4个选项，某同学有两道题不会做，于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答案，则该同学的这两道题全对的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地，甲车出发0.5小时后，乙车才沿相同的路线开始行驶，乙车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与甲车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离S与乙车行驶时间t的函数关系图象，则下列说法正确的是（ ） A. 乙车的速度为 B. 两地相距 C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是__________． 12. 记者2026年5月8日从工信部获悉，今年推动新能源汽车下乡补贴政策实施以来，效果显著．4月，新能源汽车销售量超2000万辆，销售额近850亿元．其中2000万用科学记数法可表示为__________． 13. 某中学开展“非遗文化进校园”系列活动，为了解学生对国家级非遗项目：彝族烟盒舞、阿细跳月、建水紫陶烧制技艺、蒙自过桥米线制作技艺的喜好情况，随机抽取500名学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成扇形统计图．根据图中信息，该校3000名学生中，喜爱“彝族烟盒舞”的学生大约有_____名． 14. 数学活动课上，同学们用如图所示直径为的圆形材料加工成一种扇形模具部件，已知扇形的圆心角，则扇形部件的面积为________．（结果保留） 15. 如图，点P是边长为2的正方形内部一点，且，点E是边的中点，将线段以点D为中心逆时针旋转得到线段，连结，，线段长度的最大值为_________． 三、解答题（一）（共3小题，每题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 某校举办校园投篮比赛，九年级（1）班选拔甲、乙两名同学参加集训．两人近5次投篮训练成绩（单位：个）制作成如下不完整的统计图与统计表： 投篮训练成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 甲 8 b 乙 a 8 （1）补全条形统计图； （2）表中______，______． （3）根据计算结果，请你用相关统计知识分析谁更适合代表班级参赛． 18. 如图，菱形的对角线与相交于点O，E为边的中点，连接，若，，求的长． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图， 是 的直径，是 的弦，点D是的中点．过点D作交的延长线于点E．四边形内接于 ，是 的直径，连接． （1）若，求的度数； （2）求证：是的切线． 20. 综合与实践： A. 新增选项 项目 测量某塔的高度 方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：利用锐角三角函数，测量：距离，仰角，仰角． 测量示意图 测量 项目 第一次 第二次 平均值 测量 项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 （1）根据“方案一”的测量数据，求出塔的高度； （2）根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：，，，，，） 21. 某中学光影社团计划利用光学原理，设计一款可变换的灯光投影装置． （1）基础支架的搭建：社团有两种长度不同的金属杆，分别记为A杆和B杆．已知A杆长度的2倍比B杆长度多70厘米；A杆长度比B杆长度的2倍少10厘米．求A杆和B杆各自的长度； （2）投影布的尺寸限制：社团决定选用两根A杆作为投影装置的主干竖直固定在地面，一根B杆两头固定于A杆顶部作为横杆．现有一块矩形的投影布，用两挂钩将其水平悬挂在横杆上（投影布竖直向下垂落）．设投影布上边缘与水平横杆的距离为x厘米．要求：x不大于5厘米；投影布下边缘距离地面不小于26厘米．已知投影布自身高度为20厘米，求x的取值范围； （3）光影图形的缩放：若（2）中投影布正好形成一个特定的矩形光屏，经测量此时投影布另一边长为25厘米．现在，社团利用凸透镜成像原理，将这个矩形光屏上的影像投射到远处的另一块幕布上．已知成像存在一个缩放比例因子k．由于光学畸变，实际成像的长与宽的缩放比例不同，遵循规律：长边的缩放倍率为k，宽边的缩放倍率为．若最终的成像面积为1920平方厘米，求缩放比例因子k的值． 五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 著名数学家华罗庚曾经用诗词表达了“数形结合”的思想，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： （1）【结论探究】从“数”的角度证明：； （2）【结论应用】用尺规作 ，使，，顶点A、B（A在第一象限，B在第三象限）都在反比例函数的图象上，AB经过原点O（保留作图痕迹，不用写作图步骤）； （3）请利用（1）的结论求出 的周长的最小值及此时点A的坐标． 23. 如图，抛物线y＝ax2﹣ax﹣12a经过点C(0，4)，与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q． （1）直接写出a的值以及A，B的坐标：a＝　 　，A （　 　，　 　），B （　 　，　 　）； （2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M(m，0)，试求PQ+PN的最大值； （3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $