精品解析：2025年广东省梅州市兴宁市实验学校、宁江中学中考 二模数学试题

2024-2025学年第二学期质检试题（数学科） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ）． A. a3+a4=a7 B. 2a3•a4=2a7 C. （2a4）3=8a7 D. a8÷a2=a4 2. 2016年全国献血人数达到人次．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 0.13× 3. 如图是六个相同的小正方体组成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，， 则边的长是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，把矩形沿 翻折， 点恰好落在边的处且， 则是（ ） A. B. C. D. 7. 某商场购进一批服装，每件进价为100元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的7折销售，若打折后每件服装仍能获利，设该服装的标价为元，根据题意可列方程（　　） A. B. C. D. 8. 一个扇形半径，圆心角，用它围成一个圆锥，则这个圆锥的底面周长为（ ） A. B. C. D. 9. 对于二次函数，下列说法正确的是( ) A. 当，随的增大而减小 B. 当时， 有最大值 C. 图像的顶点 D. 图像与x轴有两个交点 10. 如图，正方形的边长为，为正方形边上一动点，它沿的路径匀速移动，设点经过的路径长为，的面积是，则下列图象能大致反映变量与变量的关系图象的是（） A. B. C. D. 二.填空题（每小题4分，共28分） 11. 在实数范围内因式分解：_____． 12. 已知代数式与是同类项，则 _____． 13. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 14. 如图，是的切线，A，B是切点，点C为上一点，若，则的度数为_____． 15. 不等式组 的解集是_____． 16. 已知扇形的半径为，弧长为，则此扇形的面积是_____． 17. 如图，在中，，，．把绕边上的点D顺时针旋转得到，交于点E．若，则的面积是______． 三．解答题（一）（每小题6分，共18分） 18. 计算： 19. 先化简再计算：，其中． 20. 为响应国家的“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对，，，四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出厂家的合格率为，并根据检测数据绘制了两幅不完整的统计图. (1)抽查厂家的零件为______件，扇形统计图中厂家对应的圆心角为______. (2)抽查厂家的合格零件为_______件. (3)若要从，，，四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用列表法或画树状图的方法求出，两个厂家同时被选中的概率，并列出所有等可能的结果. 四．解答题（二）（每小题8分，共24分） 21. 如图，已知二次函数 的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，其中． （1）求二次函数的表达式； （2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段交x轴于点D，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 22. 某学校在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元． （1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； （2）为响应“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．如果此次购买甲、乙两种足球的单价不变，总费用不超过2750元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？ 23. 如图，反比例函数（，）的图象与直线相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD. （1）求k的值； （2）求点C的坐标； （3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标. 五．解答题（三）（每小题10分，共20分） 24. 如图， 在中， ， 是的平分线，的平分线 交 于点 ，点在上，以点为圆心的长为半径的圆经过点，交于点，交 于点． （1）求证： 为的切线． （2）当， 时，求的半径． （3）在（2）的条件下， 线段 ； ． 25. 如图， 已知点， ， 的平分线交于， 一动点 从点出发， 以每秒个单位长度的速度，沿轴向点作匀速运动，过点 且平行于 的直线交轴于 ，作点 、关于直线的对称点、．设点运动的时间为秒． （1）用含的代数式表示点，的坐标，点的坐标为 ，点的坐标为 ． （2）求点的坐标． （3）设与 重叠部分的面积为 ．试求关于的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期质检试题（数学科） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ）． A. a3+a4=a7 B. 2a3•a4=2a7 C. （2a4）3=8a7 D. a8÷a2=a4 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法分别求出每个式子的值，再判断即可． 【详解】解：A、a3和a4不是同类项不能合并，故本选项错误； B、2a3•a4=2a7，故本选项正确； C、（2a4）3=8a12，故本选项错误； D、a8÷a2=a6，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查单项式乘单项式，解题的关键是掌握合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法． 2. 2016年全国献血人数达到人次．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 0.13× 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C． 3. 如图是六个相同的小正方体组成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得,从立体图的左侧看，为D选项中的图形，故选D. 4. 在中，，，， 则边的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，在直角三角形中，已知的长和角的正弦值可求出． 【详解】解：在中， ， 所以 故选：B． 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，使用配方法将方程转化为完全平方形式，通过添加一次项系数一半的平方完成配方即可． 【详解】解：， ， ； 故选B． 6. 如图，把矩形沿 翻折， 点恰好落在边的处且， 则是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，根据可得，根据折叠的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴ 故选：A． 7. 某商场购进一批服装，每件进价为100元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的7折销售，若打折后每件服装仍能获利，设该服装的标价为元，根据题意可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设该服装每件的标价是x元，根据利润售价进价，列出方程即可．解题的关键是根据等量关系列出方程． 【详解】解：设该服装每件的标价是x元，根据题意得： ， 故选：A． 8. 一个扇形半径，圆心角，用它围成一个圆锥，则这个圆锥的底面周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得． 【详解】解：这个圆锥的底面周长为 故选：C． 9. 对于二次函数，下列说法正确的是( ) A. 当，随的增大而减小 B. 当时， 有最大值 C. 图像的顶点 D. 图像与x轴有两个交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键；把二次函数化为顶点式，根据顶点式即可对各选项进行判断． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，开口向下，对称轴为，当时随的增大而减小，故A选项错误 当时， 有最大值，与轴没有交点，故C、D选项错误，B选项正确， 故选：B． 10. 如图，正方形的边长为，为正方形边上一动点，它沿的路径匀速移动，设点经过的路径长为，的面积是，则下列图象能大致反映变量与变量的关系图象的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据动点在正方形各边上的运动状态，分段讨论的底与高的变化情况，从而确定面积与路径长的函数关系，进而判断图象． 【详解】解：由题意可知，正方形边长为4，周长为16． 当时，点在边上运动，此时三点共线， 的面积； 当时，点在边上运动，的底，高为， ，此时随的增大而增大； 当时，点在边上运动，的底，高为正方形边长4， ，此时保持不变； 当时，点在边上运动，的底，高为， ，此时随的增大而减小； 综上所述，图象应为先平（在轴上），再上升，再平（），最后下降．故选B． 二.填空题（每小题4分，共28分） 11. 在实数范围内因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题关键；先提取公因式，再运用公式法因式分解. 【详解】解： 故答案为：． 12. 已知代数式与是同类项，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同类项，解二元一次方程组，熟练掌握同类项的定义，代入法解二元一次方程组，是解题关键．同类项是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项．根据同类项的定义可得一个关于、的二元一次方程组，解方程组可得、的值，代入可得． 【详解】解：∵代数式与是同类项， ∴，， ∴， 由①得：③， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为：， ∴． 故答案为：． 13. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为． 14. 如图，是的切线，A，B是切点，点C为上一点，若，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键． 如图所示，连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理可得，根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线，为切点， ∴，即， ∵点为上一点，， ∴， 在四边形中，． 故答案为： ． 15. 不等式组 的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 故答案为：． 16. 已知扇形的半径为，弧长为，则此扇形的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了扇形的面积的计算公式，解题的关键是扇形的面积计算．根据扇形的面积计算即可得到答案． 【详解】解：此扇形的面积是 故答案为：． 17. 如图，在中，，，．把绕边上的点D顺时针旋转得到，交于点E．若，则的面积是______． 【答案】6 【解析】 【分析】由旋转的性质可知：，，设，则，，继而根据锐角三角函数可得，列方程，解方程可得，，继而即可根据三角形面积公式即可求解． 【详解】由旋转的性质可知：，， 设，则，， ， 即：， 整理得： 解得， ∴，， ∴ 【点睛】本题考查旋转的性质和锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和锐角三角函数． 三．解答题（一）（每小题6分，共18分） 18. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【详解】解： ． 19. 先化简再计算：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 当时，原式． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20. 为响应国家的“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对，，，四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出厂家的合格率为，并根据检测数据绘制了两幅不完整的统计图. (1)抽查厂家的零件为______件，扇形统计图中厂家对应的圆心角为______. (2)抽查厂家的合格零件为_______件. (3)若要从，，，四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用列表法或画树状图的方法求出，两个厂家同时被选中的概率，并列出所有等可能的结果. 【答案】(1)500，；(2)380；(3). 【解析】 【分析】（1）用2000乘以D所占的百分比得到抽查D厂家的零件数，然后用360°乘以D所占的百分比得到得到扇形统计图中D厂家对应的圆心角； （2）用2000乘以C厂家的合格率得到抽查C厂家的合格零件数，然后补全条形统计图； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出C、D两个厂家同时被选中的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：（1）抽查D厂家的零件为2000（1-35%-20%-20%）=500（件），扇形统计图中D厂家对应的圆心角=×360°=90°； （2）抽查C厂家的合格零件=2000×95%×20%=380（件）， 条形统计图补充为： （3）根据题意画出树状图，如图所示 共有12种等可能的情况：. 其中两个厂家同时被选中的情况有两种. . 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图． 四．解答题（二）（每小题8分，共24分） 21. 如图，已知二次函数 的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，其中． （1）求二次函数的表达式； （2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段交x轴于点D，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查求二次函数表达式、二次函数的图象与性质、解一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等. （1）根据待定系数法求解即可； （2）设，由点在第二象限得到．依题意，得，即可得出，求出，再建立一元二次方程，求出，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：将代入， 得， 解得， 所以，二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：设，因为点在第二象限，所以． 依题意，得，即，所以． 由已知，得， 所以． ∴， 解得（舍去）， 所以点坐标为． 22. 某学校在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元． （1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； （2）为响应“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．如果此次购买甲、乙两种足球的单价不变，总费用不超过2750元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？ 【答案】（1）购买一个甲种足球50元，则购买一个乙种足球70元； （2）12个 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设购买一个甲种足球x元，则购买一个乙种足球元，根据购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍建立方程求解即可； （2）设这所学校购买乙种足球m个，则购买甲种足球个，根据购买总费用不超过2750元建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设购买一个甲种足球x元，则购买一个乙种足球元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：购买一个甲种足球50元，则购买一个乙种足球70元； 【小问2详解】 解：设这所学校购买乙种足球m个，则购买甲种足球个， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的最大值为12， 答：这所学校最多可购买12个乙种足球． 23. 如图，反比例函数（，）的图象与直线相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD. （1）求k的值； （2）求点C的坐标； （3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标. 【答案】k=1；C（，）；M（（0，） 【解析】 【详解】试题分析：首先根据点A的坐标和AB=3BD求出点B的坐标，从而得出k的值；根据一次函数和反比例函数的解析式得出点C的坐标；作点D关于y轴对称点E，连接CE交y轴于点M，即为所求，设直线CE的解析式为y=kx+b，将点C和点E的坐标代入求出k和b的值，从而得到直线CE的解析式，然后求出直线与y轴的交点坐标，即点M的坐标. 试题解析：（1）∵A（1，3）， ∴OB=1，AB=3， 又AB=3BD， ∴BD=1， ∴B（1，1）， ∴k=1×1=1； （2）由（1）知反比例函数的解析式为， 解方程组，得或（舍去）， ∴点C的坐标为（，）； （3）作点D关于y轴对称点E，则E（,1），连接CE交y轴于点M，即为所求. 设直线CE的解析式为，则 ，解得，， ∴直线CE的解析式为， 当x=0时，y=， ∴点M的坐标为（0，）. 考点：反比例函数与一次函数 五．解答题（三）（每小题10分，共20分） 24. 如图， 在中， ， 是的平分线，的平分线 交 于点 ，点在上，以点为圆心的长为半径的圆经过点，交于点，交 于点． （1）求证： 为的切线． （2）当， 时，求的半径． （3）在（2）的条件下， 线段 ； ． 【答案】（1）证明：连接． ，平分， ， ， ， 平分， ， ， 又， ， 是的切线； （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了切线的证明，相似三角形的判定与性质等，勾股定理与矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接．利用角平分线的性质和平行线的性质得到，后即可证得是的切线； （2）设的半径为，根据，得到，利用平行线的性质得到，即可解得 ，的半径为； （3）过点作于点，则，根据得到四边形是矩形，从而得到和，证得结论，进而根据勾股定理求得，即可求得的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ∵，， ， ， 即， 解得， 的半径为； 【小问3详解】 过点作于点，则， 又，， ∴ 四边形是矩形， ， ， ． 在中， ∴ 故答案为：，． 25. 如图， 已知点， ， 的平分线交于， 一动点 从点出发， 以每秒个单位长度的速度，沿轴向点作匀速运动，过点 且平行于 的直线交轴于 ，作点 、关于直线的对称点、．设点运动的时间为秒． （1）用含的代数式表示点，的坐标，点的坐标为 ，点的坐标为 ． （2）求点的坐标． （3）设与 重叠部分的面积为 ．试求关于的函数关系式． 【答案】（1），． （2） （3） 【解析】 【分析】本题是运动型综合题，涉及二次函数与一次函数、待定系数法、相似、图形面积计算、动点问题函数图象等知识点，正确地进行分类讨论，是解决本题的关键． （1）根据平行线分线段成比例得出，进而得出，进而得出的坐标，根据轴对称的性质可得，即可求解； （2）证明四边形是正方形，设正方形的边长为，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解； （3）所求函数关系式为分段函数，需要分类讨论：图2，图3表示出运动过程中重叠部分(阴影)的变化，分别求解即可． 【小问1详解】 ∵点， ， ∴ ∵， ∴，即 ∴ 动点 从点出发， 以每秒个单位长度的速度，沿轴向点作匀速运动， ， ． 的平分线交于，即对称轴为第一象限的角平分线， ∴，． 【小问2详解】 解：过点作轴于点，轴于点， ∵的平分线交于，即对称轴为第一象限的角平分线， ∴， 又∵轴于点，轴于点， ∴ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形，设正方形的边长为， ∴ 轴 ∴即 解得：， ∴ 【小问3详解】 当时，如图2所示，点在线段上，重叠部分面积为． . 当时，如图3所示，点在的延长线上， 设与交于点，则重叠部分面积为． 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得 直线的解析式为 同理求得直线的解析式为：． 联立与，求得点的横坐标为． ． 综上所述，关于的函数关系式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $