精品解析：2026年河南省平顶山市鲁山县第一教研区中考前模拟数学试题

2026年中考学科第三次调研 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 我国自主研制的“海斗一号”潜水器最大下潜深度为10907米，“极目一号”型浮空艇最高升空至海拔9050米．若将海平面以下10907米记作米，则海平面以上9050米记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 红绿彩瓷器是金代首创的品种，也是中国最早的釉上彩之一，如图是河南博物院收藏的白釉红绿彩缠枝花瓷罐．关于它的三视图（不看图案），下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 3. 目前已知宇宙中体积最大的恒星是史蒂文森2-18，其体积大约是太阳的100亿倍．数据“100亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，图中的虚线相互平行，若，则 的长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 5 5. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 将以点O为中心点的量角器与直角三角板 （其中）按如图所示方式摆放，量角器的0刻度线与斜边 重合．点D为斜边 上一点，作射线 交于点E，若点E所对应的读数为，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 中国传统乐器种类繁多，历史悠久，承载着丰富的文化内涵和艺术价值．某学校开设了古筝、二胡、竹笛三种器乐社团，小军和小华随机选择加入其中的一个社团，则两人选择加入同一个社团的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形 中，，点E，F分别在边 ， 上，且，连接 ，G是 的中点，连接交对角线 于点H，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 10. 如图1，在正方形 中，对角线 ， 相交于点O，动点P从点O出发沿方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿方向以的速度运动．当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．设运动时间为x（s），的面积为，图2是点P，Q运动时y随x变化的关系图象，则正方形 的边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个只含字母的三次单项式：________． 12. 为了解全校1500名学生对跳绳、篮球、乒乓球、足球、排球五类体育项目的喜爱情况，某中学就“我最喜爱的体育项目”进行了一次简单随机抽样调查（每名学生只能选择其中一种）．如图是根据调查结果绘制的扇形统计图，根据图中信息，估计该校1500名学生中，最喜爱乒乓球项目的学生有________名． 13. 观察2，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为________． 14. 如图， 是半圆O的直径，C是半圆O上一点，将半圆O沿 翻折，点O的对应点恰好落在上，点A的对应点为D，过点C的切线与 交于点E．若，则图中阴影部分的面积为________． 15. 如图，在矩形 中，，，点E，F分别是边 ， 上的动点（不与端点重合），且，过点A作直线 的垂线，垂足为G，连接，则的最大值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算及化简： （1）计算：， （2）化简：． 17. 为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后组织了航天知识竞赛．为了解七年级两个班级的竞赛情况，该校从两个班级各随机抽取12名学生的成绩（满分分，成绩均为整数），并绘制了如下统计图表： 成绩统计表 统计量 班级 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的，，． （2）你认为哪个班级的学生成绩更好？请至少选择两个统计量说明理由． 18. 如图，的顶点，，，反比例函数的图象经过点A． （1）求反比例函数的表达式． （2）将向上平移m个单位长度，当点B落在反比例函数的图象上时，求m的值． 19. 如图，在 中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作 的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若（1）中所作角平分线交 于点D，判断线段 ， ， 之间的数量关系，并证明． 20. 广告牌可以进行社会公益宣传，促进社会和谐发展．某校数学兴趣小组利用业余时间来到某商业街区实地测量广告牌的高度．如示意图， 为广告牌（点在同一条铅垂线上），街区上平台 的高为，平台 距离广告牌的水平距离 为，小林用测角仪在点 处测得广告牌底端 的仰角为，在点处测得广告牌顶端处的仰角为．求广告牌 的高度（结果精确到．参考数据：，，，）． 21. 2025年11月9日至21日，第十五届全国运动会在广东、香港、澳门三地共同举办，运动会吉祥物“喜洋洋”“乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱．某特许零售店在售A，B两种吉祥物挂件，已知购买3个A种挂件和1个B种挂件共需花费105元，购买2个A种挂件和3个B种挂件共需花费140元． （1）求购买一个A种挂件和一个B种挂件分别需要多少元． （2）某游客计划购买A，B两种挂件共48个，且购买A种挂件的数量不多于B种挂件数量的，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 22. 综合与实践 某环保研究小组开展“净化剂投放量对水质净化效果的影响”研究项目．污水处理中，净化剂投放量不足时净化效果差，过量投放反而会破坏水质．通过建立数学模型，可以确定最优投放量．请你参与探究，完成以下任务． 【数据收集】 该小组在某污水处理厂进行实验，记录不同净化剂投放量x（单位：克/升）对应的水质净化率y（单位： ），数据如下表： 净化剂投放量x（克/升） 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 6.2 水质净化率y 70. 00 76.875 82.50 86.875 90.00 91.875 92.50 91.875 90.00 86.875 82.5 66.90 【数据分析】 小组成员将表中数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，如图所示． 说明：①当投放 时，净化率为自然净化率（无净化剂作用）； ②当净化率大于等于零且小于自然净化率时，该净化剂抑制水质净化； ③当净化剂抑制水质净化，使得净化率减小到0时，停止实验探究． 【问题解决】 （1）观察各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式． （2）根据所建模型，请计算抑制水质净化时的净化剂投放量x的取值范围． 23. 在中，，将线段 绕点 顺时针旋转得到 ，点 是直线 上一动点，连接 ，过点 作，交直线 于点 ． 初步探究 （1）如图1，若，点 在线段 上，则线段 ， 的数量关系是 ． 类比探究 （2）如图2，若，点 在线段 上，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出正确结论，并证明． 拓展应用 （3）若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科第三次调研 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 我国自主研制的“海斗一号”潜水器最大下潜深度为10907米，“极目一号”型浮空艇最高升空至海拔9050米．若将海平面以下10907米记作米，则海平面以上9050米记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据正数和负数表示具有相反意义的量，可知海平面以上9050米记作米． 2. 红绿彩瓷器是金代首创的品种，也是中国最早的釉上彩之一，如图是河南博物院收藏的白釉红绿彩缠枝花瓷罐．关于它的三视图（不看图案），下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【详解】解：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图是一个圆，与主视图、左视图不相同，故A选项符合题意． 3. 目前已知宇宙中体积最大的恒星是史蒂文森2-18，其体积大约是太阳的100亿倍．数据“100亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：∵， ∴． 4. 如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，图中的虚线相互平行，若，则 的长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】解：由图可得，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 5. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴． 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先观察两个分式的分母，发现二者互为相反数，先通过变号统一分母，再合并分子，对分子的平方差多项式因式分解后约去公因式，即可得到化简结果． 【详解】解： ． 7. 将以点O为中心点的量角器与直角三角板 （其中）按如图所示方式摆放，量角器的0刻度线与斜边 重合．点D为斜边 上一点，作射线 交于点E，若点E所对应的读数为，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接 、，根据直角三角形斜边上的中线的性质推出点C在 上，结合圆周角定理计算即可． 【详解】解：如图，连接 、， 由题意，可知，，， ∴， ∴点C在 上， ∴， ∴， ∴． 8. 中国传统乐器种类繁多，历史悠久，承载着丰富的文化内涵和艺术价值．某学校开设了古筝、二胡、竹笛三种器乐社团，小军和小华随机选择加入其中的一个社团，则两人选择加入同一个社团的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过列表法或画树状图找出所有等可能的结果和满足要求的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如下． 由树状图可知共有9种等可能的结果，其中两人选择加入同一个社团的结果有3种， ∴两人选择加入同一个社团的概率为． 9. 如图，在菱形 中，，点E，F分别在边 ， 上，且，连接 ，G是 的中点，连接交对角线 于点H，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接 交 于点O，连接，由菱形的性质得到，，可得是的中位线，得到，，从而证得，得出四边形是平行四边形，进而推出，再说明，即可求解． 【详解】解：连接 交 于点O，连接， ∵四边形 是菱形， ∴，， ∵G是 的中点， ∴是的中位线． ∴，． ∵，， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵ ， ∴． ∵在菱形 中，，， 平分， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． 10. 如图1，在正方形 中，对角线 ， 相交于点O，动点P从点O出发沿方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿方向以的速度运动．当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．设运动时间为x（s），的面积为，图2是点P，Q运动时y随x变化的关系图象，则正方形 的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象，可知当点P与点A重合时，，，，则，根据列出方程，求解即可． 【详解】解：由图象，可知当点P与点A重合时，，，． ∵在正方形 中， ，， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）或． ∴， 即正方形 的边长为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个只含字母的三次单项式：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】只要写出的单项式只含有字母，并且所有字母的指数和为即可． 【详解】解：∵只含的三次单项式， ∴只需满足 和的指数和为，且系数不为即可， 例如中，指数为，指数为，指数和，符合要求． 12. 为了解全校1500名学生对跳绳、篮球、乒乓球、足球、排球五类体育项目的喜爱情况，某中学就“我最喜爱的体育项目”进行了一次简单随机抽样调查（每名学生只能选择其中一种）．如图是根据调查结果绘制的扇形统计图，根据图中信息，估计该校1500名学生中，最喜爱乒乓球项目的学生有________名． 【答案】300 【解析】 【分析】先求出样本中最喜爱乒乓球学生的百分比，再根据样本估计总体的思想求解即可． 【详解】解：由扇形统计图可得，样本中最喜爱乒乓球的学生有 由此估计，该校最喜爱乒乓球项目的学生大约有（名）． 13. 观察2，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为________． 【答案】## 【解析】 【分析】观察发现，奇数项为正，偶数项为负，分母为连续奇数，分子为连续偶数，x的指数为连续自然数，则式子规律可表示为（n为正整数），即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， …， 第n个式子为， ∴第10个式子为，即． 14. 如图， 是半圆O的直径，C是半圆O上一点，将半圆O沿 翻折，点O的对应点恰好落在上，点A的对应点为D，过点C的切线与 交于点E．若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，，由翻折的性质进一步证明四边形为菱形．由切线的性质得，证明为等边三角形．由等边三角形的性质得出，由菱形的性质进一步得出，由直角三角形两个锐角互余得出，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，根据，可得出阴影部分为，据此求解即可. 【详解】解：连接，，，如下图所示． 由翻折，可知，． 又∵， ∴． ∴四边形为菱形． ∴． ∵是半圆O的切线， ∴． ∴． ∵，， ∴为等边三角形． ∴． ∵四边形为菱形， ∴． ∴ ∴, ∴在中，， ∴，. ∵， ∴． 15. 如图，在矩形 中，，，点E，F分别是边 ， 上的动点（不与端点重合），且，过点A作直线 的垂线，垂足为G，连接，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接 ，交 于点O，易证，得到．设的中点为P，连接，则，因此点G在以点P为圆心， 为直径的圆弧上运动，当B，P，G三点共线时，的值最大，连接 ，则点O在 上，，易得为等边三角形，根据“三线合一”结合勾股定理求出，根据解答即可． 【详解】解：连接 ，交 于点O，如图1， ∵四边形 是矩形， ∴ ，， ∴，， ∵， ∴，即 ， ∴， ∴． ∵在矩形 中， ， ∴， ∴． 设的中点为P，连接． ∵，即， ∴． ∴点G在以点P为圆心， 为直径的圆弧上运动． 当B，P，G三点共线时，的值最大，如图2． 连接 ，则 与 的交点为 的中点，已证点O是 的中点， ∴点O在 上，， ∵， ∴为等边三角形， ∵P为 的中点， ∴，． ∴在中，． ∴． 即的最大值为． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算及化简： （1）计算：， （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据零指数幂的定义，立方根的定义以及绝对值的定义求解，然后再计算加减法即可． （2）根据完全平方公式以及单项式乘以多项式展开，然后合并同类项即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后组织了航天知识竞赛．为了解七年级两个班级的竞赛情况，该校从两个班级各随机抽取12名学生的成绩（满分分，成绩均为整数），并绘制了如下统计图表： 成绩统计表 统计量 班级 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的，，． （2）你认为哪个班级的学生成绩更好？请至少选择两个统计量说明理由． 【答案】（1） （2） 班学生的成绩更好． 理由如下： ① 班的中位数是，高于班的中位数， 班的中位数是，高于班的中位数 ， 说明 班中等水平的成绩更高，整体成绩更好； ② 班的方差小于A班的方差，方差越小成绩越稳定，说明 班成绩比班更稳定．（理由合理即可） 【解析】 【分析】（）先从条形图提取两班各分数人数，分别算出 班平均数、班中位数 、 班众数； （）对比平均数、中位数、方差分析得出B班成绩更好． 【小问1详解】 解：① 求（ 班平均数）： 从条形图可得 班各分数人数：分人， 分人，分人，分人，分人，总人数人， 班总分为： 平均数； ② 求 （班中位数）：班总人数人，中位数是从小到大排序后第个成绩的平均数， 班各分数人数：分人， 分人，分人，分人，分人， 排序后：第至名成绩为，第 到 名成绩为 ， ∴第个成绩都是 ，中位数 ； ③ 求（ 班众数）： 班中分的人数最多（人），因此众数； 【小问2详解】 略 18. 如图，的顶点，，，反比例函数的图象经过点A． （1）求反比例函数的表达式． （2）将向上平移m个单位长度，当点B落在反比例函数的图象上时，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）利用平行四边形的性质得到，轴，求出，平移后点B的坐标为，代入解析式即可求出m的值． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∴． ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵四边形 是平行四边形， ∴， ． ∵，， ∴，轴． ∵， ∴． ∵向上平移m个单位长度， ∴平移后点B的坐标为． ∵平移后点B落在反比例函数的图象上， ∴． ∴． 19. 如图，在 中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作 的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若（1）中所作角平分线交 于点D，判断线段 ， ， 之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）解：如图， 为所求． （2）． 证明：如图，在 上截取，连接 ． ∵ 是 的平分线， ∴． 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴． ∴， ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）根据作角平分线的作图方法作图即可； （2）在 上截取，连接 ．证明，得到，，结合，可得，因此，即可推出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 广告牌可以进行社会公益宣传，促进社会和谐发展．某校数学兴趣小组利用业余时间来到某商业街区实地测量广告牌的高度．如示意图， 为广告牌（点在同一条铅垂线上），街区上平台 的高为，平台 距离广告牌的水平距离 为，小林用测角仪在点 处测得广告牌底端 的仰角为，在点处测得广告牌顶端处的仰角为．求广告牌 的高度（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】广告牌 的高度约为 【解析】 【分析】先作垂线构造矩形得到水平距离、竖直段，再分别在两个直角三角形中利用正切求出与，算出 后用减去 得到广告牌 高度． 【详解】解：如解图，过点作于点 ． 可得四边形是矩形， ∴，． 在中，，， ∴ ∴． 在中，，， ∴． ∴． 答：广告牌 的高度约为 21. 2025年11月9日至21日，第十五届全国运动会在广东、香港、澳门三地共同举办，运动会吉祥物“喜洋洋”“乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱．某特许零售店在售A，B两种吉祥物挂件，已知购买3个A种挂件和1个B种挂件共需花费105元，购买2个A种挂件和3个B种挂件共需花费140元． （1）求购买一个A种挂件和一个B种挂件分别需要多少元． （2）某游客计划购买A，B两种挂件共48个，且购买A种挂件的数量不多于B种挂件数量的，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】（1）购买一个A种挂件需要25元，购买一个B种挂件需要30元 （2）购买A种挂件12个，B种挂件36个时总费用最少，最少费用为1380元 【解析】 【分析】（1）设购买一个A种挂件需要a元，购买一个B种挂件需要b元．根据题意列出关于a，b的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购买A种挂件m个，则购买B种挂件个，总费用为w元．根据题意列出关于m的一元一次不等式求解得出m的取值范围，再列出w关于m的一次函数，利用一次函数的图象和性质求解即可． 【小问1详解】 解：设购买一个A种挂件需要a元，购买一个B种挂件需要b元． 根据题意，得 解得 答：购买一个A种挂件需要25元，购买一个B种挂件需要30元． 【小问2详解】 解：设购买A种挂件m个，则购买B种挂件个，总费用为w元． 根据题意，得，解得． 根据题意，得． ∵， ∴w随m的增大而减小． ∴当时，w最小，最小值为． 此时． 答：购买A种挂件12个，B种挂件36个时总费用最少，最少费用为1380元． 22. 综合与实践 某环保研究小组开展“净化剂投放量对水质净化效果的影响”研究项目．污水处理中，净化剂投放量不足时净化效果差，过量投放反而会破坏水质．通过建立数学模型，可以确定最优投放量．请你参与探究，完成以下任务． 【数据收集】 该小组在某污水处理厂进行实验，记录不同净化剂投放量x（单位：克/升）对应的水质净化率y（单位： ），数据如下表： 净化剂投放量x（克/升） 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 6.2 水质净化率y 70. 00 76.875 82.50 86.875 90.00 91.875 92.50 91.875 90.00 86.875 82.5 66.90 【数据分析】 小组成员将表中数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，如图所示． 说明：①当投放 时，净化率为自然净化率（无净化剂作用）； ②当净化率大于等于零且小于自然净化率时，该净化剂抑制水质净化； ③当净化剂抑制水质净化，使得净化率减小到0时，停止实验探究． 【问题解决】 （1）观察各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式． （2）根据所建模型，请计算抑制水质净化时的净化剂投放量x的取值范围． 【答案】（1）观察各点的分布规律，可知y关于x的函数是二次函数； （2）抑制水质净化时的净化剂投放量x的取值范围为 【解析】 【分析】（1）先判断出y关于x的函数是二次函数，再利用待定系数法求解即可； （2）先计算出自然净化率为 ，由二次函数的对称性，可知当 时， ，令 时，求得x的值，再结合图象求解即可． 【小问1详解】 解：观察各点的分布规律，可知y关于x的函数是二次函数． 且最高点坐标为 设该二次函数的表达式为． 将代入，得 ，解得 ． ∴该二次函数的表达式为 ． 【小问2详解】 解：当 时， ， ∴自然净化率为 ． ∵ ， ∴二次函数的对称轴为直线 ． ∴由二次函数的对称性，可知当 时， ． 令 ， 解得（舍去），． 由题意，知当 时，该净化剂抑制水质净化， ∴抑制水质净化时的净化剂投放量x的取值范围为． 23. 在中，，将线段 绕点 顺时针旋转得到 ，点 是直线 上一动点，连接 ，过点 作，交直线 于点 ． 初步探究 （1）如图1，若，点 在线段 上，则线段 ， 的数量关系是 ． 类比探究 （2）如图2，若，点 在线段 上，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出正确结论，并证明． 拓展应用 （3）若，，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）（1）中的结论不成立，正确结论为． 证法一：过点 作，交于点 ，则， ∵， ∴， 由旋转有， ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 证法二：连接 ． ∵在 中，， ∴． ∵， ∴， 由旋转得， ∴， ∴ 、 、、 四点共圆， ∴， ∴， ∴． （3）或 【解析】 【分析】（1）解法一：过点 作，交于点 ，则，根据等腰 得到，进而得到，从而，再根据角的和差得到，根据直角三角形的两锐角互余结合对顶角相等得到，从而证得，即可得到结论； 解法二：连接 ，根据，得到 、 、、 四点共圆，由圆周角定理可得，即可得到结论； （2）证法一：过点 作，交于点 ，则，证明，，得到，因此，再根据即可求解； 证法二：连接 ，由，得到，根据，得到 、 、、 四点共圆，由圆周角定理可得，则，即可求解； （3）由旋转得，，根据得到，，过点作，垂足为 ，解直角三角形得到的长，因此，得到点 在点 的右侧．分两种情况：当点 在线段上时，当点 在的延长线上，分别求解即可． 【小问1详解】 解法一：过点 作，交于点 ，设与 的交点为 ，则． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 由旋转得， ∴，， ∴． ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 解法二：连接 ． ∵，， ∴． 由旋转有， ∵， ∴， ∴ 、 、、 四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由旋转得，，． ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作，垂足为 ． ∴， ∵， ∴． ∴点 在点 的右侧． 分两种情况：当点 在线段上时，连接 ， 与（2）同理可得． ∴，． ∴． ∴在中，由勾股定理，得． ∴． 当点 在的延长线上时，连接 ， 与（2）同理可得． ∴，． ∴在中，， ∴在中，， ∴． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $