第2章 第11讲 指数与指数函数（PPT课件）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“指数与指数函数”专题，依据高考评价体系梳理了根式、分数指数幂运算、指数函数图象性质及应用等核心考点，通过近五年真题分析明确指数式运算、函数性质应用等高频考点权重，归纳出求值化简、比较大小等常考题型。 课件亮点在于“真题引领+方法提炼+素养提升”，如以2025天津三模比较大小题为例，用“同底化”“中间量法”突破，培养学生数学思维中的推理能力。总结复合函数单调性判断、恒成立问题转化等技巧，帮助学生掌握答题方法，教师可据此精准教学，助力高考冲刺。

第二章 基本初等函数 第11讲　指数与指数函数 1 知识梳理　体系构建 【解析】 D 激活思维 知识梳理　体系构建 2．(教材经典题改编)设a＝30.7，b＝2-0.4，c＝90.4，则 (　　) A．b<c<a　　　　B．c<a<b 　　　　C．a<b<c　　　　D．b<a<c 【解析】 　　　　b＝2-0.4<20＝1，c＝90.4＝30.8>30.7＝a>30＝1，所以b<a<c. D 【解析】 B 激活思维 知识梳理　体系构建 4．下列函数的值域是(0，＋∞)的是 (　　) 【解析】 C 5．函数y＝ax+2 026＋2 026(a>0，a≠1)的图象恒过定点___________________． (－2 026，2 027) 激活思维 知识梳理　体系构建 根式 聚焦知识 知识梳理　体系构建 2．分数指数幂 (2) 有理指数幂的运算性质：aras＝________； (ar)s＝______；(ab)r＝_______，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 没有意义 ar＋s ars arbr 聚焦知识 知识梳理　体系构建 3．指数函数的图象与性质   a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 ____________ 性质 过定点_________，即当x＝0时，y＝1 当x>0时，_______； 当x<0时，__________ 当x<0时，_______； 当x>0时，__________ 在(－∞，＋∞)上是_________ 在(－∞，＋∞)上是_________ (0，＋∞) (0，1) y>1 0<y<1 y>1 0<y<1 增函数 减函数 聚焦知识 知识梳理　体系构建 4．常用结论 (1) 画指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象时注意两个关键点：(1，a)，(0，1). (2) 底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”． 聚焦知识 知识梳理　体系构建 题型突破　能力进阶 目标 1 指数式的求值与化简 1 【解析】 A 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 1 ABD 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　(3) (2025·漳州三模)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k>0.若在前5 h内消除了10%的污染物，则15 h后污染物含量还剩余 (　　) A．70%　　　　B．85%　　　　C．81%　　　　D．72.9% 【解析】 D 1 举题说法 题型突破　能力进阶 指数幂运算的一般原则：(1) 负指数幂化成正指数幂的倒数．(2) 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(3) 若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示． 总 结 提 炼 【解析】 【解析】 3 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 举题说法 题型突破　能力进阶 目标 2 指数函数的图象及应用 　　　(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为 (　　　) A．a＝b　　　　B．0<b<a 　　　　C．a<b<0　　　　D．0<a<b 2 【解析】 　　　　由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的大致图象如图所示． 由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，故A正确；作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，则0<b<a，故B正确； 作出直线y＝m，当0<m<1时，若3a＝6b＝m，则a<b<0，故C正确；当0<a<b时，易得2b>1，则3a<3b<2b·3b＝6b，故D错误． ABC 举题说法 题型突破　能力进阶 指数型函数的图象，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应分类讨论． 总 结 提 炼 1．(2025·北京卷)为了得到函数y＝9x的图象，只需把函数y＝3x的图象上所有点的 (　　) 【解析】 A 题组 高频 强化 举题说法 题型突破　能力进阶 2．函数y＝2|1-x|的图象大致是 (　　) 【解析】 A 举题说法 题型突破　能力进阶 3．(2025·安庆二模)若函数f(x)＝a·2－|x|＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交，则 (　　) A．函数f(x)不具有奇偶性 B．a＝2 C．函数f(x)的值域为(－∞，2) D．函数f(x)的单调递增区间为[0，＋∞) 【解析】 　　　　因为函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故A错误； 由函数f(x)的图象过原点，得f(0)＝0，即a＋b＝0，所以f(x)＝a(2－|x|－1)，由于－1<2－|x|－1≤0，f(x)的图象无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，故a<0，且0≤a(2|x|－1)<－a，故a＝－2，于是B，C错误； D 举题说法 题型突破　能力进阶 目标 3 指数函数的性质及应用 视角1　比较函数值(式)的大小 【解析】 3－1 D 举题说法 题型突破　能力进阶 变式 3-1　(2024·天津卷)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为 (　　) A．a>b>c　　　　B．b>a>c 　　　　C．c>a>b　　　　D．b>c>a 【解析】 　　　　因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.3<0<0.3，所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3，即0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0<a<1<b. 因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0<0.2<1，所以log4.20.2<log4.21＝0，即c<0.综上，b>a>c. B 举题说法 题型突破　能力进阶 视角2　单调区间 　　　　　(1) (2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是 (　　) A．(－∞，－2]　　　　 B．[－2，0) C．(0，2]　　　　 D．[2，＋∞) 【解析】 D 3－2 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　　　(2) 已知函数f(x)＝a·4x－(a－2)2x＋1在(－2，＋∞)上单调递增，则a的取值范围为 (　　) A．[0，4]　　　B．(0，4] 　　　C．[2，＋∞)　　　D．{0}∪[2，＋∞) 【解析】 A 3－2 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 (－∞，2] 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 　　　　易知二次函数t＝－x2＋4x的图象开口向下，当x＝2时，取得最大值4，且t∈(－∞，4). 3－3 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　　　(2) 函数y＝4x－3×2x+2＋1(x∈(－∞，3])的值域是____________． 【解析】 　　　　令t＝2x，因为x∈(－∞，3]，所以t∈(0，8]，则4x－3×2x+2＋1＝t2－12t＋1. 令g(t)＝t2－12t＋1＝(t－6)2－35，t∈(0，8]，所以当t＝6时，g(t)取得最小值，且g(t)min＝－35. 又g(0)＝1，g(8)＝－31，所以g(t)∈[－35，1)，即函数y＝4x－3×2x+2＋1(x∈(－∞，3])的值域是[－35，1). [－35，1) 3－3 举题说法 题型突破　能力进阶 视角4　综合应用 【解答】 3－4 (1) 求函数f(x)在R上的解析式； 举题说法 题型突破　能力进阶 (2) 判断函数f(x)在R上的单调性，并用定义证明； 【解答】 因为 x1<x2，所以2x1<2x2，所以2x1－2x2<0.又因为2x1＋1>0，2x2＋1>0，所以f(x1)－f(x2)<0，所以f(x)在R上单调递增． 3－4 举题说法 题型突破　能力进阶 (3) 若对任意实数m∈[－1，1]，f(m)＋f(m2－2t)<0 恒成立，求实数t的取值范围． 【解答】 3－4 举题说法 题型突破　能力进阶 (1) 利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量． (2) 求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断． 总 结 提 炼 1．(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为 (　　) A．c>a>b　　　　B．c>b>a　　　　C．a>b>c　　　　D．b>a>c 【解析】 　　　　由y＝1.01x在R上单调递增，得a＝1.010.5<b＝1.010.6；由y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，得a＝1.010.5>c＝0.60.5，综上，b>a>c. D 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 2．(2025·青岛二模)已知函数f(x)＝x，g(x)＝2x＋2－x，则大致图象如图的函数可能是 (　　) A．f(x)＋g(x) B．f(x)－g(x) C．f(x)g(x) 【解析】 　　　　因为f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(－x)＝－x＝－f(x)，g(－x)＝2－x＋2x＝g(x)，所以f(x)为奇函数，g(x)为偶函数． 由图易知其为奇函数，而f(x)＋g(x)与f(x)－g(x)为非奇非偶函数，故排除A，B.当x→＋∞时，f(x)g(x)→＋∞，排除C. D 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 A．(－∞，2)　　　B．(－∞，－2) 　　　C．(2，＋∞)　　　D．(－2，2) 【解析】 　　　　因为y＝2 026x，y＝－2 026－x在R上单调递增，所以f(x)＝2 026x－2 026－x在R上单调递增． 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 【答案】A 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 【解析】 ACD 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 配套精练 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则 (　　) A．a>b>c　　　　B．a>c>b　　　　C．b>c>a　　　　D．c>b>a 【解析】 　　　　方法一：由指数函数y＝0.3x在定义域内单调递减，得a<b.由幂函数y＝x0.5在定义域内单调递增，得c>b.综上，c>b>a. D 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 又因为x不恒为0，所以ex－e(a-1)x＝0，即ex＝e(a-1)x，则x＝(a－1)x恒成立，即1＝a－1，解得a＝2. D 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 B 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 4．(2025·广州一模)已知实数a，b满足3a＝4b，则下列不等式可能成立的是 (　　) A．b<a<0　　　　B．2b<a<0　　　　C．0<a<b　　　　D．0<2b<a 【解析】 　　　　设函数f(x)＝3x，g(x)＝4x，h(x)＝2x，作出函数f(x)与g(x)的图象如图(1)所示，设3a＝4b＝t，直线y＝t与函数f(x)＝3x，g(x)＝4x的图象交点的横坐标为a，b. 当0<t<1时，由图象可知a<b<0；当t>1时，由图象可知0<b<a，故A，C错误． 图(1) 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 因为3a＝4b，所以3a＝22b，设3a＝22b＝t，作出函数f(x)＝3x，h(x)＝2x的图象如图(2)所示，直线y＝t与函数f(x)＝3x，h(x)＝2x的图象交点的横坐标为a，2b. 当0<t<1时，由图象可知2b<a<0；当t>1时，由图象可知0<a<2b，故B正确，D错误． 图(2) 【答案】B 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 A．5.4倍　　　　B．5.5倍　　　　C．5.6倍　　　　D．5.7倍 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 【答案】C 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 二、 多项选择题 6．已知a>0，b>0，x>0，y>0，则下列运算或化简中正确的有 (　　) 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 【答案】ABD 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 　　　　由f(x)＋g(x)＝2x+1，得f(－x)＋g(－x)＝2－x+1.因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以－f(x)＋g(x)＝2－x+1，解得f(x)＝2x－2－x，g(x)＝2x＋2－x，故A，C正确． ACD 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 三、 填空题 8．若函数f(x)＝2x2＋ax－3在(1，＋∞)上单调，则实数a的取值范围是______________． 【解析】 [－2，＋∞) 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 {－1，0，1} 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 2 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 (1) 求实数a的值； 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 (2) 判断函数g(x)的单调性并用定义证明； 【解答】 因为x1<x2，所以2x1<2x2，2x1＋1>0，2x2＋1>0，所以g(x1)－g(x2)<0，所以g(x1)<g(x2)，所以函数g(x)在R上单调递增． 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 (3) 求不等式g(2x－1)＋g(x)>0的解集． 【解答】 　　　　因为g(x)是R上的奇函数，所以不等式g(2x－1)＋g(x)>0等价于g(2x－1)>－g(x)，即g(2x－1)>g(－x). 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 12．已知函数f(x)＝4x＋m·2x，m∈R. (1) 若m＝－3，解关于x的不等式：f(x)>4； 【解答】 　　　　当m＝－3时，由f(x)＝4x－3×2x>4，得4x－3×2x－4>0，即(2x＋1)(2x－4)>0. 因为2x＋1>0，所以2x－4>0，解得x>2，所以原不等式的解集为(2，＋∞). 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 12．已知函数f(x)＝4x＋m·2x，m∈R. (2) 若函数y＝f(x)＋f(－x)的最小值为－4，求m的值． 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 C 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 14．(2025·漳州一模)(多选)已知定义在R上的函数f(x)不恒等于0，f(π)＝0，且对任意的x，y∈R，有f(2x)＋f(2y)＝2f(x＋y)f(x－y)，则 (　　　) A．f(0)＝1 B．f(x)是偶函数 C．f(x)的图象关于点(π，0)中心对称 D．2π是f(x)的一个周期 【解析】 　　　　对于A，令x＝y，可得f(2x)＋f(2x)＝2f(2x)f(0)，解得f(0)＝1，故A正确； 对于B，令x＝－y，可得f(2x)＋f(－2x)＝2f(0)f(2x)＝2f(2x)，所以f(2x)＝f(－2x)，即对任意的x∈R，f(x)＝f(－x)，故f(x)是偶函数，故B正确； 对于C，令x＋y＝π，则f(2π－2y)＋f(2y)＝2f(π)·f(π－2y)＝0，即f(2π－x)＋f(x)＝0，因此f(x)的图象关于点(π，0)中心对称，故C正确； 对于D，因为f(x)是偶函数，所以f(x－2π)＋f(x)＝0，即f(x)＋f(x＋2π)＝0，可得f(x－2π)＝f(x＋2π)，也即f(x)＝f(x＋4π)，所以4π是f(x)的一个周期，故D错误． ABC 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 $