精品解析：上海大学附属中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试卷

2026年上大附中高一下5月月考数学试卷 一、填空题（本大题满分38分，第1-10题每题3分，第11-12题每题4分） 1. 已知向量，，若，则 ______． 2. 已知空间中的两个角和，若，则_____. 3. 如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形中________． 4. 已知是关于x的方程的一个解，则______． 5. 函数的定义域为______ 6. 已知，为单位向量，它们的夹角为，则在上的投影向量是______． 7. 已知，，，且，则的值为___________． 8. 关于 的方程有实数解，则实数的取值范围是__________. 9. 已知复数z满足，则的取值范围为________． 10. 如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中正确结论的序号是________． 11. 10世纪阿拉伯天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观察者异地同时观测同一颗流星星的高度.如图，设有两个观察者在地球上A、B两地同时观察到一颗流星S，仰角分别是和（MA，MB表示当地的地平线）.设，，，地球的半径，则流星的高度为________km（精确到1km），参考数据：． 12. 已知函数在闭区间I上的最大值记为，若实数k满足，则______. 二、单选题（本大题满分12分，每题3分） 13. 若复数在复平面内对应的点在第一象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 14. 在空间中，l，m是不重合的直线， ， 是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 15. 已知函数的部分图像如图所示，若，则的最小值为（ ） A. B. π C. D. 2π 16. 已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x､y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 三、解答题（本大题共有5题，满分50分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤. 17. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行. （1）求 ； （2）若，，求△ABC的面积. 18. 已知两个不共线的平面向量，记. （1）若，求的值. （2）若时，，求的夹角. 19. 如图，在长方体中，，，点为棱上一点． （1）试确定点P的位置，使得平面，并说明理由； （2）若，求异面直线与所成角的大小． 20. 已知函数． （1）若，且，求的值； （2）在锐角三角形中，若，求的取值范围； （3）设函数，若在区间上恒成立，求的取值范围． 21. 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.两个复向量的数量积记作，定义为，复向量的模定义为.记为虚数单位. （1）设，求复向量与的模； （2）对两个复向量与，若时，称与平行.设，，是否存在实数 ，使与平行，若存在，求出 ；若不存在，请说明理由. （3）我们知道对于任意平面向量与，都有；对任意两个复向量与，不等式是否仍成立，试给出判断，并说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上大附中高一下5月月考数学试卷 一、填空题（本大题满分38分，第1-10题每题3分，第11-12题每题4分） 1. 已知向量，，若，则 ______． 【答案】3 【解析】 【详解】向量，， 因为，则， 得. 2. 已知空间中的两个角和，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据等角定理可得. 【详解】由等角定理可知与相等或互补， 所以或. 故答案为：或. 3. 如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形中________． 【答案】 【解析】 【详解】因为正方形的边长为1，所以，则原图形中. 4. 已知是关于x的方程的一个解，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次方程的根为共轭复数，再由韦达定理求解. 【详解】因为是关于x的方程的一个根， 所以为方程的另一个根， 所以由韦达定理可得，，解得， 所以. 5. 函数的定义域为______ 【答案】 【解析】 【分析】由题意，则，结合正弦函数的图象即可得到答案. 【详解】要使有意义，由题意得到，即， 解得, 所以函数 的定义域为. 6. 已知，为单位向量，它们的夹角为，则在上的投影向量是______． 【答案】 【解析】 【分析】结合投影向量的定义求解即可. 【详解】已知，，两向量夹角为， 则 所以在上的投影向量是： 7. 已知，，，且，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知得出，，即可根据同角三角函数关系得出，，令，即可根据两角和差的正弦公式展开，代入求值即可得出答案. 【详解】，，， ，， ，， ． 故答案为：． 8. 关于 的方程有实数解，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，换元令，分离参数转化为二次函数有解问题求解即可. 【详解】由可得． 令，则关于的方程在区间上有实数解． 则， ，时，，时，， 故实数的取值范围是． 故答案为： 9. 已知复数z满足，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的模的几何意义，将问题转化为圆上的点到定点的距离问题，即可求解. 【详解】设， 由复数z满足，得点的轨迹为以坐标原点为圆心，以 为半径的圆. 则可看作点到定点的距离. 因为圆上的点到定点的距离的最大值为圆心到定点的距离加上圆的半径，最小值为圆心到定点的距离减去圆的半径， 所以， 即的取值范围为. 10. 如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】 通过证明BC⊥平面PAC可判断①；通过证明PB⊥平面AEF可判断②；假设AF⊥BC成立，可证明AF⊥平面PBC，从而可推出AFAE，与已知矛盾，可判断③；通过证明AE⊥平面PBC可判断④. 【详解】解：①因为AB是⊙O的直径，则BC⊥AC， 又PA⊥⊙O所在平面，且BC⊂⊙O所在平面，所以BC⊥PA， 又， 所以BC⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC， 所以AE⊥BC，故①正确； ②因为AE⊥PC，AE⊥BC， 所以AE⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC 所以AE⊥PB，又AF⊥PB，且， 所以PB⊥平面AEF，又EF⊂平面AEF 所以EF⊥PB，故②正确； ③若AF⊥BC成立，又AF⊥PB ，且 所以AF⊥平面PBC，又AE⊥平面PBC， 则AFAE与已知矛盾，故③错误； 由①可知AE⊥BC，又AE⊥PC，且 所以AE⊥平面PBC，故④正确． 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定与性质定理，圆的性质，是中档题. 11. 10世纪阿拉伯天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观察者异地同时观测同一颗流星星的高度.如图，设有两个观察者在地球上A、B两地同时观察到一颗流星S，仰角分别是和（MA，MB表示当地的地平线）.设，，，地球的半径，则流星的高度为________km（精确到1km），参考数据：． 【答案】197 【解析】 【分析】利用正弦定理，结合三角函数恒等变换求解即可. 【详解】已知弧长，地球的半径，设圆心角为 ， 则， 仰角，是视线与地平线的夹角，而地平线垂直于地球半径， 视线与半径的夹角分别为， ， 设 为流星的高度，则地心到流星的距离， 在中，①， 在中，②， 且③， 设，由①可得， 由②可得， 由③可得， ， ， ， ，化简得，解得， ，解得． 12. 已知函数在闭区间I上的最大值记为，若实数k满足，则______. 【答案】或 【解析】 【分析】可以根据区间的定义，，得到，然后根据余弦函数单调性和特殊角的余弦值得到或. 【详解】根据区间的定义，左端点小于右端点，，得到，即根据余弦函数的性质，，由题意：，根据函数的周期为，而且其在单调递减，在单调递增，，，即，所以，即， 当时，，在单调递减，则，可得； 当时，，在单调递减，且在单调递增，，. 故答案为：或. 二、单选题（本大题满分12分，每题3分） 13. 若复数在复平面内对应的点在第一象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数对应的点在各个象限的特征即可求解. 【详解】由在复平面内对应的点在第一象限,所以， 故选：C 14. 在空间中，l，m是不重合的直线， ， 是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【详解】若，，，则或是异面直线，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，则或，故C错误； 若，，则，故D正确； 15. 已知函数的部分图像如图所示，若，则的最小值为（ ） A. B. π C. D. 2π 【答案】B 【解析】 【分析】由图像可知，函数最小正周期为，再把点代入求得，由于，计算出可能取值，再计算出的最小值. 【详解】由图像可知，函数最小正周期为，， ， 把点代入,得 ，, 所以， 又, 所以，， ， 令，得 所以，，或， 所以最小值为. 16. 已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x､y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 【答案】C 【解析】 【分析】①根据及与的夹角为求出，假设成立，求出与，代入后发现等式不成立，故①错误；②利用向量共线定理可知，点C在线段AB上，再结合，可得：，利用投影公式求出，只需求出最大值，利用面积公式和基本不等式求出最大值为1，进而求出的最大值. 【详解】由，解得：，当时，，由得：，即，由得：，因为，假设，则可求出，，代入中，等号不成立，故①错误； 设，，，因为，由向量共线定理可知，点C在线段AB上，如图，设，则，因为，所以，即，故在方向的投影等于在方向的投影相等，故点C满足，又，，所以 ，其中，而要想保证最大，只需最小，由余弦定理可得：，当且仅当时，等号成立，所以最小值为，所以最大值为，故的最大值为，②正确. 故选：C 【点睛】向量投影的理解是很重要的，在出题中往往会画出图形来进行思考问题，利用几何法来解决问题，这道题目的突破口就是结合与，可得：点C在线段AB上且，进而得到最小值. 三、解答题（本大题共有5题，满分50分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤. 17. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行. （1）求； （2）若，，求△ABC的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行得到，利用正弦定理化简得到答案. （2）利用余弦定理计算得到，再计算面积即可. 【小问1详解】 （1）向量与平行， 所以， 由正弦定理可知：， ，， 所以，， 可得； 【小问2详解】 ，， 由余弦定理可得：， 可得， 解得或（舍）， 的面积为． 18. 已知两个不共线的平面向量，记. （1）若，求的值. （2）若时，，求的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意意可得，利用向量相等可求； （2）由，可求得，利用向量的夹角公式可求的夹角. 【小问1详解】 因为，不共线，所以为非零向量，所以由可得存在，使得， 即， 所以，解得； 【小问2详解】 当时，，又， 所以， 又，所以，解得， 所以，又，所以， 所以的夹角为. 19. 如图，在长方体中，，，点为棱上一点． （1）试确定点P的位置，使得平面，并说明理由； （2）若，求异面直线与所成角的大小． 【答案】（1）为棱的中点，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，需通过证明线线平行推出线面平行即可，即证明. （2）异面直线与 所成角是直线与 所成角，然后根据线段长度求出该角即可. 【小问1详解】 点为的中点时使得平面，理由如下 令的交点为，连接. 则在中，. 因为平面，不在平面内， 所以平面. 【小问2详解】 连接，则. 所以异面直线与 所成角是直线与 所成角，即. 因为，所以. 所以在中，. 在中，. 所以所以. 所以异面直线与 所成角的大小为. 20. 已知函数． （1）若，且，求的值； （2）在锐角三角形中，若，求的取值范围； （3）设函数，若在区间上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变形，最后化为已知角的某个三角函数值，去求另一个角的三角函数值； （2）利用三角形已知一个角，再利用三角形内角和消元，从而化为一个三角函数的值域来求解； （3）利用二倍角关系，转化为同一个角的三角函数式上来，再利用分离参变量思想来求解. 【小问1详解】 ， 由题意知，所以， 又，， 则， 故； 【小问2详解】 由得， ，，，， 故， 由是锐角三角形，得， 则，得， 即的取值范围为； 【小问3详解】 ， 当时，， 令，则，在区间上恒成立， 等价于关于的不等式在区间上恒成立， 即有在区间上恒成立， 又在区间上单调递减， 当时，有最大值 ， 故有，即的取值范围为． 21. 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.两个复向量的数量积记作，定义为，复向量的模定义为.记为虚数单位. （1）设，求复向量与的模； （2）对两个复向量与，若时，称与平行.设，，是否存在实数 ，使与平行，若存在，求出 ；若不存在，请说明理由. （3）我们知道对于任意平面向量与，都有；对任意两个复向量与，不等式是否仍成立，试给出判断，并说明理由； 【答案】（1）；； （2）不存在，理由见解析 （3）成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由复向量的模的定义代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由给定的平行条件代入计算，即可判断； （3）根据题意，由复数的三角不等式代入计算，即可判断. 【小问1详解】 因为，所以， 所以的模为； 因为，所以， 可得的模为； 【小问2详解】 不存在 ， 得， 若与平行，则， 得， 得，而，则此方程无实数根， 故不存在实数 ，使得与平行. 【小问3详解】 因为，所以， 由复数的三角不等式， 由，得，所以， 所以， 综上所知，. 【点睛】关键点睛：本题主考考查了向量的新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于理解所给定义并且结合向量坐标运算的相关知识解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $