（5）幂函数——初升高数学教材衔接

数学初高教材衔接——幂函数 初中阶段要求 高中阶段要求 衔接要点 1.函数认知： 仅接触简单幂型函数，识别、、这三类基础整式函数，无幂函数专属定义。 2.图象性质： 识记正比例、二次、三次函数基础图象，只读增减性、对称性，不归纳通用图象规律。 3.运算要求： 掌握整数指数幂四则运算，仅限正整数指数，不研究负指数、分数指数幂函数形态。 1.概念界定： 熟记幂函数标准定义，区分幂函数、指数函数解析式差异。 2.性质研判： 分类探究正负、分数指数幂图象，归纳定义域、奇偶性、单调性，确定通用规律。 3.综合应用： 依托幂函数单调性比较数值大小；结合定义域、不等式求解参数范围，联动函数图象解题。 1.认知升级： 从“零散特殊幂型函数识记”，进阶为“统一解析式分类探究全域性质”。 2.思维转变： 从整数指数固定图象记忆，转向指数分类讨论、数形对比，区分幂指两类函数的定式思维。 3.逻辑构建： 搭建指数运算→解析式辨析→图象性质→大小比较完整逻辑，为指数、对数函数学习铺垫体系。 回顾初中 1.正比例函数的图象与性质 的取值范围 象限 图象 增减性 一、三 随的增大而增大 二、四 随的增大而减小 2.反比例函数的图象与性质 反比例函数 的符号 图象 图象位置 第一、第三象限 第二、第四象限 性质 增减性 在同一支上，y随x的增大而减小；在两支上，第一象限y值大于第三象限y值 在同一支上，y随x的增大而增大；在两支上，第二象限y值大于第四象限y值 对称性 关于直线，成轴对称； 关于原点成中心对称. 3.二次函数的图象和性质 函数 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 顶点坐标 奇偶性 当时是偶函数，当时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 衔接高中 1.幂函数的概念：一般地，函数叫作幂函数，其中是自变量，是常数． （1）幂函数的特征：的系数是1；的底数是自变量；的指数为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如，，等的函数都不是幂函数． （2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数，，，，的图象(如图)． 2.幂函数的性质 （1）所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点(1，1)； （2）如果，那么幂函数的图象过原点，并且在区间上单调递增； （3）如果，那么幂函数的图象在区间上单调递减，在第一象限内，当从右边趋向于原点时，图象在轴右方无限接近轴，当从原点趋向于时，图象在轴上方无限接近轴； （4）在上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近轴． 1.已知是幂函数，若，则( ) A. B.2 C.4 D.6 2.下列函数不是幂函数的是( ) A. B. C. D. 3.已知幂函数的图象过点，则( ) A.2 B. C.3 D. 4.已知函数是幂函数，且在上递增，则实数( ) A.2 B. C.1 D.1或 5.已知m是常数，幂函数在上单调递减，则( ) A. B. C.2 D.4 6.已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则( ) A. B. C.2 D. 7.已知，，，则( ) A. B. C. D. 8.若函数是幂函数，则m的取值为________. 9.若幂函数的定义域为R，则_________________. 10.请写出一个幂函数满足以下两个条件：①定义域为；②为减函数，则___________________. 11.已知幂函数的图象过点，则__________. 12.已知幂函数的图象不经过坐标原点，则_____________. 13.已知幂函数的图象过点，则该幂函数的定义域是________. 14.若函数是幂函数，且，则_________________. 15.已知幂函数在上单调递增. （1）求实数m的值: （2）若函数在上的最小值为1，求实数a的值. 答案以及解析 1.答案：C 解析：因为是幂函数，所以，解得，即，若，则.故选C. 2.答案：C 解析：对于选项A，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项B，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项C，不符合幂函数的形式，不是幂函数； 对于选项D，符合幂函数的形式，是幂函数. 故选：C. 3.答案：B 解析：幂函数的一般形式为（为常数），所以， 解得，故幂函数解析式为， . 故选：B. 4.答案：B 解析：由题意幂函数可得，解得， 当时，在上单调递减，不合题意，故舍去; 当时，在上单调递增，满足题意，故; 故选:B. 5.答案：A 解析：因为函数是幂函数，所以，解得， 当时，函数在上单调递增，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，符合题意， 所以. 故选：A. 6.答案：A 解析：令，解得或1， 若，则，与坐标轴没有公共点，满足要求， 若，则，与坐标轴有公共点，交点为原点，不符合要求， 故. 故选：A 7.答案：A 解析：，而函数在上单调递增， ，因此，所以. 故选：A 8.答案：/0.6 解析：由幂函数定义可知，，解得， 故答案为：. 9.答案：1 解析：因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，定义域为R，符合题意； 当时，，定义域为，不符合题意. 故. 10.答案：（答案不唯一）. 解析：举例，其定义域为，且为减函数， 故答案为：（答案不唯一）. 11.答案：4 解析：由函数为幂函数， 得，即，所以， 又函数过点，则， 故答案为：4. 12.答案： 解析：因为是幂函数，所以，即， 解得或. 当时，，其图象经过坐标原点，不符合题意； 当时，，其图象不经过坐标原点，符合题意. 故答案为：. 13.答案： 解析：设，由的图象过点， 得，解得， 因此，其定义域为， 所以该幂函数的定义域是. 故答案为： 14.答案：64 解析：设，由，得，解得，所以，所以. 故答案为：64. 15.答案：（1）1 （2）1 解析：（1）由题可得，即，解得或1， 当时，在上单调递减，不合题意; 当时，在上单调递增，合题意. 综上，. （2）由（1），所以，，对称轴， 当时，在上单调递增，所以，不合题意; 当时，在上单调递减，所以， ，解得，不合题意; 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，又，所以; 综上，. 学科网（北京）股份有限公司 $